Априорная оценка задачи Каттабрига для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 66-71. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-66-71

УДК 517.954

АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА ЗАДАЧИ КАТТАБРИГА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

А. М. Шхагапсоев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89а

E-mail: [email protected]

Методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения задачи Кат-табрига для уравнения с кратными характеристиками.

Ключевые слова: дробная производная по Капуто, априорная оценка краевых задач, уравнение с кратными характеристиками, метод интегралов энергии.

@ Шхагапсоев А.М., 2016

MSC 35M13

A PRIORI EVALUATION OF THE TASK OF CATTABRIGA FOR THE GENERALIZED THIRD-ORDER EQUATION WITH MULTIPLE

CHARACTERISTICS

A. M. Shkhagapsoev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, KBR, Nalchik, st. Shortanova 89a, Russia

E-mail: [email protected]

The method of energy inequalities obtained a priori estimate of the solution of the problem of Cattabriga for the equation with multiple characteristics.

Key words: Caputo Fractional derivative; a priori estimate of the boundary-value problems; equations with multiple characteristics; method of energy integrals.

© Shkhagapsoev A.M., 2016

Введение

Применения уравнений с частными производными дробного порядка при описании физических и химических процессов, протекающих в средах с фрактальной структурой, а так же при моделировании биологических явлений подробно описано в [1]. Работа [2] посвящена вопросам обобщения операций дифференцирования и интегрирования с целых порядков на дробные, а также приложениями теории дробного интегрирования и дифференцирования. Уравнение третьего порядка, с кратными характеристиками содержащее производную первого порядка по времени

Иу = Идхс + / (х, у),

впервые было рассмотрено в работах [3] - [5]. В работе [6] построены фундаментальные решения с применением преобразования Лапласа и получены оценки этих решений и их производных. Полученные в них результаты были обобщены для уравнения (2п-1)-го порядка соответственно в работах [7] - [9].

Для уравнения

Иу = Иххх + «1 (х, у) Их + «2 (х, у) И + / (х, у),

в работах [10] - [12] рассмотрены как локальные так нелокальные краевые задачи и получены решения в интегральной форме. А в монографии [13] доказано единственность решения этого уравнения и построена функция Грина краевой задачи Каттабрига.

Постановка задачи Каттабрига

В прямоугольнике D = {(x, y) :0 < x < r, 0 < y < h } рассмотрим краевую задачу

дОУ = Ai(yKxx + МуК + ¿з(у)" + f (x,y),0 < x < r,0 < y < h (1)

u(0,y) = 0, u(r,y) = 0, ux(0,y) = 0,0 < y < h (2)

u(x,0) = т(x),0 < x < r (3)

где

y

0y Г(а)J (y - т)a

- дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1 [14], Я1 (y), A2(y), Я3(у) заданные известные функции, зависящие только от переменной y из класса C(D).

В дальнейшем будем предполагать существование решения u(x,y) е C3,1(D) задачи (1) - (3), где C3,1(D) - класс непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x ипервого порядка по y на D. Введем следующие обозначения:

||u||2 = /u2(x,y)dx, Dayu(x,y) = г1) / (y—- дробный интеграл Риммана-Лиувилля порядка а [1].

Теорема.

Если ХТ(у) > 0 и f (х,у) Е О то для решения и(х,у) задачи (1) - (3) справедлива априорная оценка

||и||02 < Еа(ейа)||т||0 + Г(а)Еа,а(Ыа)О£,||f ||°, (4)

гж е1 = 1 + °Хз (у), Еа(1) = ЕГ=0 га+Т), Еа,М(г) = £Г=0 ЦОЩ - фУнкЦии Миттаг-Леффлера.

Доказательство.

Умножая (1) на и = и(х,у) и интегрируя по х от 0 до г, получим:

г ' 0 \ г — I Их + Хъ (у) [ и

I идоуиИх = Хт(у) I ((и и хх)х - их ихх)Их + Х°(у) I ( и-) Их + Хз(у) I и2 Их + I ^Их. (5) 0 0 0 00

После преобразований, тождество (5) примет вид

ju(x,y)d0ayu(x,y)dx = X1(y)(u(r,y)uxx(r,y) - u(0,y)uxx(0,y) - y) 2 Ux(0,y)

0

и (Гу) / (0,у)) + Хз(у) |и|° + 1 и(х,y)f(х,у)Их. (6)

Учитывая однородные условия (2), равенство (6) перепмшется в виде

г Х г

I и (х, у)д®у и (х, у) Их = - Хт°у) и2х (г, у) + Хз (уЩи^ + I ^Их. (7)

00

В силу Леммы 1 из [15] справедливо следующее неравенство

г

[ 1 11° и(х,у)дауи(х,у)Их ^ °д0у 11и110. (8)

0

С учетом (8) соотношение (7) примет вид

г

Тд0у11и10 ^ -^и°(г,у) + Хз(у)|и|° + 1 и^х. (9)

0

В силу известного неравенства

г

J и(х,y)f (х,у)Их ^ е||и|0 + || f ||0, 0

где £ произвольное сколь угодно малое положительное число, выражение (9) перепишется в виде:

1 <N12+^ и2(г, у) - (£+азОО)||иЦ2 ^ 1II /112. (10)

Учитывая условия теоремы и обозначая £ = 2, С1 > 1 + 2Аз(у), что всегда возможно в силу Я1(у) е С(О), формула (10) примет вид

д0ау ||и|2 > С1 ||и||0 + II /112. (11)

Применив к обеим частям неравенства (11) оператор дробного интегрирования _0®у и на основании Леммы 2 из [15] приходим к априорной оценке (4).

Заключение

Из априорной оценки (4) следует единственность и непрерывная зависимость решения задачи (1)-(3) от входных данных, а так же существование слабого решения.

Список литературы/References

[1

[2

[3 [4 [5 [6 [7 [8

[9 [10

Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с., [ Nahushev A.M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, M.: Fizmatlit, 2003, 272 p. (in Russian)].

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987, 668 с., [Nahushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie, M.: Fizmatlit, 2003, 272 p. (in Russian)].

Block H., "Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples", Ark. mat., astron., fys, 7:13 (1912), 1-34.

Del Vecchio E., "Sulle equazioni Zxxx — Zy + <pi(x,y) = 0, Zxxx — Z^ + <Pi (x,y) = 0", Mem. Real acad. cienc. Torino., 66:2 (1915), 1-41.

Del Vecchio E., "Sulle deux problems d'integration pour las equazions paraboliques Zxxx — Z = 0, Zxxx — Zyy = 0", Ark. mat., astron., fys., 11 (1916), 32-34.

Cattabriga L., "Un problema al kontorno per una equazione di ordine dispary", Analli della scuola normale superior di pisa fis e mat, 3:2 (1959), 163-169.

Cattabriga L., "Potenzialli di linia edi domino per equation nom paraboliche in olue variabli a caracteristiche multiple", Rendi del Som. Mat. della Univ. di Padova, 3 (1961), 1-45.

Абдиназаров С., "О фундаментальных решениях линейных уравнений с кратными характеристиками высокого порядка", Известие АН УзССР, серия физ. мат. наук, 1989, 3 - 15, [Abdinazarov S. O fundamental'nyh reshenijah linejnyh uravnenij s kratnymi harakteristikami vysokogo porjadka, Izvestie AN UzSSR, serija fiz. mat. nauk. 1989, No. 3., 3 - 15. (in Russian)].

Джураев Т. Д., "К теории уравнений нечетного порядка с кратными характеристиками", Узб. мат. жур., 1991, № 1, 21 - 31, [Dzhuraev T. D. K teorii uravnenij nechetnogo porjadka s kratnymi harakteristikami, Uzb. mat. zhur., 1991, No.1., 21 - 31 (in Russian)].

Иргашев Ю., Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения, ФАН, Ташкент, 1976, [Irgashev Ju. Nekotorye kraevye zadachi dlja uravnenij tret'ego porjadka s kratnymi harakteristikami , Kraevye zadachi dlja differencial'nyh uravnenij i ih prilozhenija. Tashkent, FAN, 1976., 17 - 27 (in Russian)].

Абдиназаров С., Собиров З.А., "О фундаментальных решениях уравнения с кратными характеристиками третьего порядка в многомерном пространстве.", «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики» (Труды межд. научн. конф), 2004, 12 - 13, [Abdinazarov S., Sobirov Z.A. O fundamental'nyh reshenijah uravnenija s kratnymi harakteristikami tret'ego porjadka v

mnogomernom prostranstve, Trudy mezhd. nauchn. konf. «Differencial'nye uravnenija s chastnymi proizvodnymi i rodstvennye problemy analiza i informatiki». Tashkent, 2004., 12 - 13. (in Russian)].

[12] Абдиназаров С., "Решение задачи Коши для вырождающихся уравнений высокого нечетного порядка с кратными характеристиками в многомерном пространстве", Uzbek Mathematical Journal, 2005, №3, 11 - 16, [Abdinazarov S. Reshenie zadachi koshi dlja vyrozhdajushhihsja uravnenij vysokogo nechetnogo porjadka s kratnymi harakteristikami v mnogomernom prostranstve", Uzbek Mathematical Journal, 2005, №3, 11-16 (in Russian)].

[13] Джураев Т.Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-состовного типов., ФАН, Ташкент, 1979, 236 с., [Dzhuraev T. D. Kraevye zadachi dlja uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostovnogo tipov, Tashkent: FAN. 1979., 236 p. (in Russian)].

[14] Caputo M., Elasticita e Dissipazione, Bologna, 1969.

[15] Алиханов А. А., "Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка", Дифференц. уравнения, 46:5 (2010), 658 - 664, [Alihanov A. A. Apriornye ocenki reshenij kraevyh zadach dlja uravnenij drobnogo porjadka, Differenc. uravnenija. 2010. T. 46, №5., 658 - 664 (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.

[2] Самко С. Г., Килбас А. А., Maричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Mинск: Наука и техника,1987. 668 c.

[3] Block H. Sur les equations lineaires aux derivees partielles a carateristiques multiples // Ark. mat., astron., fys. 1912. vol. 7. issue 13. pp. 1-34

[4] Del Vecchio E. Sulle equazioni Zxxx — Zy + çl(x,y) = 0, Zxxx — Zyy + çl(x,y) = 0 // Mem. Real acad. cienc. Torino. 1915. vol. 66, no 2. pp. 1-41

[5] Del Vecchio E. Sulle deux problems d'integration pour las equazions paraboliques Zxxx — Zy = 0, Zxxx — Zyy = 0 // Ark. mat., astron., fys. 1916. vol. 11. C. 32-34

[6] Cattabriga L. Un problema al kontorno per una equazione di ordine dispary // Analli della scuola normale superior di pisa fis e mat. 1959. vol. 3. no 2. pp. 163-169

[7] Cattabriga L. Potenzialli di linia edi domino per equation nom paraboliche in olue variabli a caracteristiche multiple // Rendi del Som. Mat. della Univ. di Padova. 1961. vol. 3. pp. 1-45

[8] Абдиназаров С. О фундаментальных решениях линейных уравнений с кратными характеристиками высокого порядка // Известие АН УзССР, серия физ. мат. наук. 1989. № 3. C. 3 - 15

[9] Джураев Т. Д. К теории уравнений нечетного порядка с кратными характеристиками // Узб. мат. жур.1991. no 1. C. 21 - 31

[10] Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. Ташкент: ФАН, 1976. C. 17 - 27

[11] Абдиназаров С., Собиров З. А. О фундаментальных решениях уравнения с кратными характеристиками третьего порядка в многомерном пространстве // «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики». Труды межд. научн. конф. Ташкент: 2004. C. 12 - 13

[12] Абдиназаров С. Решение задачи Коши для вырождающихся уравнений высокого нечетного порядка с кратными характеристиками в многомерном пространстве // Uzbek Mathematical Journal. 2005. №3. С. 11 - 16

[13] Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-состовного типов. Ташкент: ФАН, 1979. 236 c.

[14] Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Bologna: 1969

[15] Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. №5. C. 658 - 664

Для цитирования: Шхагапсоев А. М. Априорная оценка задачи Каттабрига для обобщенного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 66-71. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-66-71

For citation: Shkhagapsoev A. M. A priori evaluation of the task of Cattabriga for the generalized third-order equation with multiple characteristics, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 66-71. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-66-71

Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.11.2016