Краевая задача для смешанного уравнения с перпендикулярными линиями изменения типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954

UDC 517.954

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

Лесев Вадим Николаевич к.ф.-м.н., доцент

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия

В работе исследована нелокальная краевая задача для смешанного параболо-гиперболического уравнения второго порядка с негладкими условиями сопряжения. Доказаны единственность и существование решения данной задачи

Ключевые слова: СМЕШАННОЕ УРАВНЕНИЕ, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR MIXED EQUATION WITH PERPENDICULAR LINES OF TYPE ALTERATION

Lesev Vadim Nikolaevich Cand.Phys.-Math.Sci., associate professor Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekova, Nalchik, Russia

The non-local boundary value problem for the second order mixed parabolo-hyperbolic equation with the non-smooth conditions of conjugation has been examined. The uniqueness and the existence of the solution for this problem have been proved

Keywords: MIXED EQUATION, BOUNDARY VALUE PROBLEM, UNIQUENESS AND EXISTENCE OF THE SOLUTION

Введение

Краевые задачи для смешанных уравнений образуют особое направление в теории дифференциальных уравнений. Доказательство существования и единственности решений для таких задач отличается применением специальных методов (например [1-5]), практически не имеющих аналогов для классических уравнений. В настоящей работе представлены результаты исследования однозначной разрешимости задачи для модельного уравнения параболо-гиперболического типа в характеристической области с нелокальными краевыми условиями и разрывными условиями сопряжения на линии изменения типа.

1. Постановка задачи Рассмотрим уравнение смешанного типа

0=

luxx uy + c0u, в W0,

(1)

\uxx - 'Ыуу , в О1 и О 2 ,

где О0 - область ограниченная отрезками АВ, ВС, СО и ОА прямых x = 1, у = 1, x = 0, у = 0 соответственно; О1 и О 2 - характеристические треугольники, причем О1 - ограничен отрезком ОА = J1 оси абсцисс и двумя характеристиками АЕ: x - у = 1, ОЕ: x + у = 0 уравнения (1), выходящими из

точек А, О и пересекающимися в точке Е; О2 - ограничен отрезком ОС = -2 оси ординат и двумя характеристиками СВ: у - х = 1, ВО: х + у = 0

уравнения (1), выходящими из точек С,О и пересекающимися в точке В; с0 = с0 (х, у) - заданная непрерывная функция в О0.

Пусть О = О0 и О1 и О2 и — и -2, д0 (х) = х - іх , в1 (х) = + і ^хх^~,

в2 (У) = - у ^, (у) = + іУ+1, Ъ±(х) = 1іт u(x, У), п1±(х) = 1іт иу(х У),

2 2 2 2 у ®0 ± у ® 0±

т±(у)= 1іт и(х, у), п±(у )= 1іт их (х, у).

х ® 0 ± х ®0 ±

Задача 1. Найти регулярное в О \ (— и -2) решение уравнения (1) из класса С(ц) I С1 (о0 и — и J2) I С1 (о1 и —) I С1 (о2 и J2) (і = 0,1,2), удовлетворяющее краевым условиям

а1 (х)и[в0(х)]+ Ь1 (х)и[^1 (х)] = с1 (х), 0 < х < 1, (2)

а2 (У) и\®2 (У)]+ Ь2 (У) и[#3 (У)] = с2 (Уі 0 < У < ^ (3)

и(1, У)= сз (Уі 0 < У < и (4)

условиям сопряжения:

ъ-(х) = а1 (х)ъ+(х)+ Ї1 (4

П1 (х) = А (х)П+(х)+ ^1(х )ъ1+(х)+ <*1(х і

^2 (У) = а2 (У )ъ2(У)+ 72 (Уі п-(У) = ь (У (У)+ ^2 (У )ъ2(У)+ ^2 (УI

(5)

(6)

и обладающее тем свойством, что Введем обозначение

+ і

(У)] , п1±(х1 П±(У)є 1 [°,1].

А (г ) = ,, а7 () ... я ( ) = Ь (А ()

г а ()ь ()Уаг ()+ьг(И ’ г аИ ,

где t е 17, 7 = 1,2, (при 7 = 1 Г = х, а при 7 = 2 Г = у ).

2. Доказательство единственности решения задачи Для задачи 1 справедлива следующая Теорема 1. Если выполнены условия:

/

с0 < 0, а, (t) + Ъ7 (t) ^ 0, а1 (о) а1 (1) ^ 0, Ь2 (о) Ь2 (1) ^ 0, а, (t)Д- (t) ^ 0

А,(1)> 0, в,(0)> 0, А,'()< 0, в'()> 0, (7)

Ь)< 0, (8)

то задача 1 не может иметь более одного решения.

Пусть и(х, у) - решение задачи 1, тогда функциональные

соотношения между т- ^) и п: ^), имеют вид

т~ () [а, ^) + Ь7(t)] - а,(t) | у~(Х йХ - Ь7 ^) | у~(х) й^ = /,(t), (9)

0 г

где /г () = 2с, ()-т“(0) а, ()-Т-(1) Ьг (); при 7 = 1 t = х, а при 7 = 2 t = у .

Соотношения (9) содержат неизвестные постоянные т“(0),т“(1),

(7 = 1,2), которые легко определить. Действительно, поскольку т+ (1) = с3(0), то т-(1) = а1 (1) с3 (0)+ у1 (1). Следовательно, с учетом (2) и (3), будем иметь:

т- (0) с1(0) а1(1) - Ь1(0) 1с1(1)- Ь1(1) а1(1) с3 (0)+ 71 (1)]| т (0)= 0^ ,

■(0) =

а2(0) Гт-(0)-71(0)

+

72 (0) , Т2-(1) =

Ь2 (0) с2 (1) - а2 (1) с2 (0) - а2 (0) Т2 (0)

а(0)

Далее, интегрируя тождество

[ихх - иу + с0и ]= ~Э(иих )

Ь2 (0)Ь2 (1)

и \ихх - и., + с0и I = — (и их ) - и2----------------(и21 + с0 и2 ° 0

у 01 Эх х 2 Эх У. ) 0

по области ц,, в случае однородной задачи, будем иметь:

— | и2(х,1) — и2(х,0) dх + | т+(у)п+(у)йу + |

^0

2 2 их - с0и

йх йу = 0 .

(10)

(11)

Переходя к пределу при у ® 0, в области П0, получаем

1+(х) + с0(х,0)т1+(х) = п1+(х).

С учетом (12), будем иметь

11 = | т+(х)п+(х) йх = -|

т1+ (х)

йх + | с0 (х,0) т+ (х)

йх < 0.

(12)

(13)

Теперь, докажем справедливость неравенств:

0

0

г/

2

2

0

0

0

It = J T+(t)n+(t)dt > 0, i = 1,2. (14)

0

Действительно, интеграл It с учетом (5) и (6), представим в виде

I, = I

ti-(tR(t) - (t)

a(t )p (t) P,(t)

(t)

a

Tty

i = 1,2 .

(15)

Для определения знака выражения (15) будем рассматривать каждое слагаемое отдельно. Принимая во внимание (9), получим

11 = j <(t R(t)

o a

= I

A (t)vl(t) I vi(x) dX

+1

Bi(t)v, (t) 1 vi (x)dx

(16)

Равенство (16) может быть преобразовано к виду

Il = 41A (t)

f t \ I v"(X)dX

o

dt - ТІ B,(t)

f l ^ 2 I v"(x)dx

(17)

Применяя к (17) интегрирование по частям, приходим к равенству:

1 (1 ^2 1 1 (t

11 = — Л(1) J n (x) dx - — J Ai(t) J n (x) dx dt +

2 У 0 J 2 0 У 0

1 (1 V 1 1 (1 N

+ 2 Bt (0) J n- (x) dx + -2 J B'(t) J ni" (x)dx

2 У0 J 20 У t у

Теперь, очевидно, что при выполнении неравенств (7), будет справедливо неравенство I1 > 0, а неравенство I2 > 0 будет справедливо при выполнении условия (8). Таким образом, доказано неравенство I, > 0. Отсюда, принимая во внимание (13), получим t1 (х) = const, но так как t+ (0) = t+ (1) = 0, то t+ (х) = 0 или и(х,0) = 0 .

Следовательно, из (11) с учетом (14) получаем, что их (х, у )= 0 в W0. Значит, и(х, у) = w(y), но так как и(1, у) = 0, то и(х, у) = 0 . Отсюда следует, что в области W0 справедливо тождество и(х, у) ° 0 . В областях W1 и W2 и(х, у) ° 0 как решение задачи Коши с нулевыми начальными данными. Таким образом, и(х, у) ° 0 в W и решение задачи 1 единственно.

2

0

0

0

0

2

0

0

t

3. Доказательство существования решения задачи

Для доказательства существования решения задачи 1, в отличие от работы [4] применим метод функции Грина.

Решение и(х, у) (если оно существует) должно удовлетворять условию (12), которое можно переписать в виде

Т+т(х) = п(х).

— 2

Здесь Т+ = —- + с0 (х,о) - дифференциальный оператор, т(х) = т+(х), —х

Их) = п1+(х).

Непосредственным вычислением, с учетом (5) и условий теоремы 1, получаем

Ф) = *0 , т(1) = *1,

где

_ с (0)«1 (1)-*1 (0){С1 (1)-*1 (1)[«1 (1)Сз(0)+71 (1)11 71 (0) * с (0)

Т0 = «1(0) « (0) « (1) ай0у, Т1 =Сз (0).

Введем новые неизвестные функции

Г(х) = т(х)- (Т1 - *0) х -Tо, N(х) = у(х)- С0(х,0) [(^1 - *0) х + *01.

Легко видеть, что

Т+Г(х) = N (х) г(0) = г(1) = 0. (18)

Пусть о(х, t) - функция Г рина оператора Т+ с областью определения

я(т+) = {г(х)е с(-А) IС2 ^1)}. Тогда, для задачи (18), можем записать

Г(х)= } о(х, t) N() Л . (19)

0

Из (9), принимая во внимание (5), получим второе соотношение между т1+ (х) и п+ (х):

а(х) *1+(х) - «1(х) х Гь () ^1+(t)+% () ()

■ *1(х) I А(tК+ ^) + %(t) *1+ ^) — = <22 (хI

1

где

х

а (х) = а1 (х )[а1 (х)+ Ь1 (x)J,

X 1

б2(х) = к(х) + а1(х) I О() Ж + Ь1(х) I 0-1() Ж - п(х) [а1(х) + Ь1(х)] •

0 х

Из (20), с учетом (19), будем иметь

1 х 1

I бэ (x, {) п1+ () Ж - а1 (х) I Ь () п1+ () Ж - Ь1(х) I Д() п1+ ^) Ж = б4 (х), (21)

0 0 х

где бэ и б4 - выражаются через заданные функции по аналогии с 61 и & •

Полагая г(х) = -Д (х )^1+(х) и применяя дифференцирование, перепишем уравнение (21) в виде

а1 (х) г(х)- Ь1 (х) г(х)+ а^(х) I z(t)Ж + Ь((х) | z(t) Ж = б4(х)+ | бэх (х, t)—От Ж . (22)

0 х 0 ^1V)

Таким образом, при а1 (х) ф Ь1 (х), в силу теоремы 1, п+(х) однозначно находим как решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (22), а т+(х) - из соотношения (18). Функции ^“(х) и у-(х) определяем из условий сопряжения (5). Очевидно, что теперь решение задачи 1 в области 01 находим как решение задачи Коши для уравнения (1).

Чтобы определить т±(у) и п±(у) воспользуемся решением первой краевой задачи для уравнения (1) в О0, которое, как известно [6], имеет вид:

1 У ...

(23)

1У

<(х, У) = «0(х, У)-I ЖХ I С0(Х,л)о(Х, л; х, У)и(Х,л)Л

0 0

где

ип\х

1 IУ У 1 1

(х, У ) = —Т= и т2(л) 0^0, т х, У) Жл- I Сэ Л) 0{(1,л; х, У) Жл + I Т1+(х) 0(Х,0; х, у ) ЖХ

2у/ р [0 0 0 ]

o(x, л;x, у )= . (1 ^

2л]р(у - Л) п

- функция Грина первой краевой задачи уравнения теплопроводности.

Выпишем решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (23) с помощью резольвенты я(Х,л; х, у) ядра с0 (Х,л)о(Х,л; х, у), получим

(х - Х + 2п )2 (х + Х + 2п)2

ехр 4(У - Л) - ехр 4(У - Л) ]

У У

(х, у) = | т+(л)О£(0,к х, у)ёл - | сз(л)^х(і,л; х, у)ёл

+

У У

I ъЬ) Рі (л; X, у) ёл + І Сз (л) ^2 (л; х, у) ёл + ¥(х, у)+ V (х, у),

(24)

где

у і

^ (л; X, у )= І I вх(о,л;0, і) я(в, і; х, у) ёв йі ,

л о

у і

^2(л; х, у) = -| І ^(і, л; в, ґ)д(в, і; х, у)ёвл,

л о

у і

*(х, у)= І І V(в, і) д(в, і; х, у) йвйі, V(х, у) = | G(X,0; х, у)т^(£) .

л о о

Дифференцируя по х равенство (24), а затем, переходя в полученном равенстве к пределу при х ® 0 +, будем иметь

' =0 ° П2+(У) = У р1х(л;0, уКМЖл + У р2х(л;0, у)Сэ (л)Жл +

1х=о

+1

і 2

+ , , - Е ехр

п=

Vр(у - л) Vр(у - л) п=і

Г 2 ^

- п

у-л

V /

(л) ёл

+

+ І

о

+ ¥ X Е

п = -¥

А(у - л)

(2п - і):

ехр

4(у -л).

(25)

+

2

X

'2 1 І (і + 2п):

ехрі_луі Г + ехрі“лу

2-у/ Р(у - л) с3(Л) ёл + ^з (у і

где Я, (у ) =

Э^(х, у) ЭV (х, у)

Эх

+

Эх

а штрих после знака суммы означает

х=о

суммирование по всем указанным п кроме п=0.

Равенство (25) представляет собой функциональное соотношение между т2+(у) и п+(у), принесенное из области О0 на единичный интервал ОС. Перепишем это соотношение в виде

п2+(у) = І ^4 и лК {л) ёл +1 ^іх (л;0, у КМ ёл + *5 (у К

о о

(26)

где

и

о

о

о

о

о

о

і

і

і

/

кйр://е].киЬа§го.ги/2оі4/о4/рдГ/23.рдГ

■ +

л/р(у - л) л/р(у - л) п=і

Е ехР

Г 2 ^

- п

у-л

V /

Р5 (у) = Рз (у)+ I Р2 х (лА у) сз (л) ёл + |

7р(у - л)

ехр

і +¥ 2VР(у - л) п=-¥

(2п - і)2 ] [ (і + 2п)2

ехрі_лИ [ + ехр|_4^уу

4(у - л) _ [ сз (л) ёл.

+

Теперь, представим условия сопряжения (6) в виде

'(у )= а2-1 (У) ^2_(У )-П2 (У) ,

п2+ (у) = ^2і (у )|п2 (у) - ^2 (у) - а2і (у ) ^2 (у ) т2 (у ) - Ъ2 (у )

(27)

(28)

Из равенства (27), принимая во внимание соотношение (9), будем

иметь

Ъ+(у ) =

/2(у)+ а2(у)І п2(і)л + ь2(у)І п2(і)- •

ТТТ ТЛ ГПУ2\уР~ а2\Уп у2 \1)ш "г и2\Уп у2\1 и 1 ( ГГ

а2 (У )[а2 (У)+ Ь2 (У)] [ 0 у | а2 (У)

Продифференцировав равенства (9), (27), получим

(29)

(у ) =

>2 (у)о2(у)-т2(у)а2 (у)

2

а

(у)

(у)

а

^у)

(зо)

(у ) =

/2 (у )

а2 (у )+ Ь2 (у )

+

а2 (у ) а2 (у )+ Ь2 (у )

І п^(і) л

+

+

Ь2 (у ) а2 (у )+ Ь2 (у )

І у (і) Л + п (у)

а2 (у )- Ь2 (у ) а2 (у )+ Ь2 (у )

(зі)

Подставляя соотношения (9), (зі) в равенство (зо), будем иметь

+

Т2

(у) = 5о(у)І п2(і)л + 5(у)І п^(і)л + 52(у^(у)+ ^з(у).

о

(з2)

где S0 (у), ^ (у), Б2 (у), Sэ (у) - выражаются через заданные функции. Из (28), с учетом (9), находим

+

П2

(у ) =

Му ) Ь2 (у )

+ ,

54 (у ) І П2(і) Ж + 55 (у ) І П2(і) Ж + 56 (у ) .

о

’5 и2

у

(зз)

Здесь £4 (у), S5 (у), £6 (у) - также известны.

Ьйр://е].киЬа§го.ги/2оі4/о4/рдГ/2з.рдГ

2

оо

і

і

о

о

+

т

2

т

2

о

Принимая во внимание равенства (29), (32) и (33), из (26), будем

иметь

где

п2~ (у )

&2 (У )

I Р4 (У,л)

+

54 (У) I П2 (* ) + 55 (У ) I П2 (*) й* = 57 (У )

0

’5 V7 Л у2'

У

+

У

+ I Р4

0

л 1

50(У) I п-(*)й + 51 М I п-(*)й + 52 Мп"М

0

+ I

У Рц. (л;0, У)

0 а2 (Л)[а2 Ы + *2 {л)\

а2 (л) I ^) Ж + Ъ2 (л) I М) Ж

0

2 V/ Л у2 '

л

йл +

Жл,

57 (у)=І ъ (іа у) { *2 л - ОО§| йл+

+ I Р4(У,л)53(л)йл + Р5(У)-5б(У)

(34)

В результате ряда преобразований, равенство (34), примет вид

П2 (У) + I Т0 (У, * ) п2 () й + Т1 (У) I п2 () й = т2 (У),

где

Т0 (У, * )= & (У )

58(У, *)-I 59(У,л)йл- I 510(У,л)йл

г

Т1 (У) = р2 (У )

55 (У )- | 510 Ы *) й

Т2 (У )= &2 (У ) 57 (У ) •

Принимая обозначение

Т (у, * >=|Т0

Т0 (У, * )1 0 £ * £ У, (у ) у < * £ 1,

представим уравнение (35) в виде

П2 (У)+ I Т(У, *К ()й* = Т2 (У) •

(35)

(36)

Заключение

В силу свойств функций Т (у, *), Т2 (у) и единственности решения задачи 1, интегральное уравнение Фредгольма второго рода (36) однозначно разрешимо. Обращая это уравнение через резольвенту ядра Т (у, *), находим

0

0

0

0

п-(у), а п2+(у) - из равенства (33). После определения функций т-(у), т+(у) из соотношений (9) и (29) решение задачи 1 в области О0 находим как решение первой краевой задачи для уравнения (1), а в областях 01, О 2 как решение соответствующих задач Коши.

Таким образом, доказана однозначная разрешимость исследуемой нелокальной краевой задачи.

Список литературы

1.Елеев В. А., Лайпанова А.М. О существовании и единственности решения задачи Ф.И. Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН. 2000. № 2(5). - С. 50-56.

2.Елеев В.А., Лесев В.Н. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа // Владикавказский мат. журнал, 2001. - Т3. Вып.4. - С. 9-22.

3. Лесев В.Н., Желдашева А.О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия смоленского государственного университета, 2013. №3 (23). - С. 379-386.

4.Лесев В.Н., Желдашева А.О. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка в характеристической области // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2012. - № 3 (106). -С. 52-56.

5.Лесев В.Н., Желдашева А.О. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения с разрывными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. 2012. № 3 (19). - С. 392-399.

6.Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа // Дифференциальные уравнения, 1977. Т.13, №1. - С. 56-63.

References

1. Eleev V.A., Lajpanova A.M. O sushhestvovanii i edinstvennosti reshenija zadachi F.I. Franklja dlja smeshannogo uravnenija giperbolo-parabolicheskogo tipa // Izvestija KBNC RAN. 2000. № 2(5). - S. 50-56.

2. Eleev V.A., Lesev V.N. O dvuh kraevyh zadachah dlja smeshannyh uravnenij s perpendikuljarnymi linijami izmenenija tipa // Vladikavkazskij mat. zhurnal, 2001. - T3. Vyp.4. - S. 9-22.

3. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Neklassicheskaja kraevaja zadacha dlja smeshannogo uravnenija vtorogo porjadka s integral'nymi uslovijami soprjazhenija // Izvestija smolenskogo gosudarstvennogo universiteta, 2013. №3 (23). - S. 379-386.

4. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nelokal'naja kraevaja zadacha dlja uravnenija smeshannogo tipa vtorogo porjadka v harakteristicheskoj oblasti // Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija 4: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki, 2012. - № 3 (106). - S. 5256.

5. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Ob odnoj kraevoj zadache dlja smeshannogo uravnenija s razryvnymi uslovijami soprjazhenija // Izvestija Smolenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. №

3 (19). - S. 392-399.

6. Eleev V.A. Analog zadachi Trikomi dlja smeshannyh parabolo-giperbolicheskih uravnenij s neharakteristicheskoj liniej izmenenija tipa // Differencial'nye uravnenija, 1977. T.13, №1. - S. 56-63.