Построение фундаментального решения для одного вырождающегося эллиптического уравнения с оператором Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки

Том 24, № 125 2019

© Ибрагимова Н.А., 2019

DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-47-59

УДК 517.956.23

Построение фундаментального решения

для одного вырождающегося эллиптического уравнения

с оператором Бесселя

Наиля Анасовна ИБРАГИМОВА

ФГБОУ ВО «Казанский государственный энергетический университет»

420066, Российская Федерация, г. Казань, ул. Красносельская, 51 ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1915-7986, e-mail: NAI.liya@yandex.ru

Construction of a fundamental solution for a one degenerating elliptic equation with a Bessel operator

Nailya A. IBRAGIMOVA

Kazan State Energy University 51 Krasnoselskaya St., Kazan 420066, Russian Federation ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1915-7986, e-mail: NAI.liya@yandex.ru

Аннотация. Вырождающиеся эллиптические уравнения, содержащие оператор Бесселя, представляют собой математические модели осевой и многоосевой симметрии самых разнообразных процессов и явлений окружающего мира. Сложности в исследовании таких уравнений связаны, в том числе, с наличием особенностей в коэффициентах. В данной статье рассмотрено p -мерное, p ^ 3 , вырождающееся эллиптическое уравнение с отрицательным параметром, в котором по одной из переменных действует оператор Бесселя. Построено фундаментальное решение этого уравнения и исследованы его свойства, в частности, поведение на бесконечности и в точках координатных плоскостей xp-i =0 , xp = 0 . Полученные результаты найдут применение при построении решений краевых задач, так как на основе фундаментального решения можно подобрать потенциал, с помощью которого сингулярная задача сводится к регулярной системе интегральных уравнений.

Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение с оператором Бесселя; вырождающееся B-эллиптическое уравнение; фундаментальное решение Для цитирования: Ибрагимова Н. А. Построение фундаментального решения для одного вырождающегося эллиптического уравнения с оператором Бесселя // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2019. Т. 24. № 125. С. 47-59. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-47-59

Abstract. Degenerating elliptic equations containing the Bessel operator are mathematical models of axial and multi-axial symmetry of a wide variety of processes and phenomena of the surrounding world. Difficulties in the study of such equations are associated, inter alia, with the presence of singularities in the coefficients. This article considers a p -dimensional, p > 3, degenerating elliptic equation with a negative parameter, in which the Bessel opera-

tor acts on one of the variables. A fundamental solution of this equation is constructed and its properties are investigated, in particular, the behavior at infinity and at points of the coordinate planes xp_i =0, xp = 0. The results obtained will find application in the construction of solutions of boundary value problems, since on the basis of a fundamental solution, it is possible to choose the potential with which the singular problem is reduced to a regular system of integral equations.

Keywords: degenerating elliptic equation with a Bessel operator; degenerating B-elliptic equation; fundamental solution

For citation: Ibragimova N. A. Postroenie fundamental'nogo resheniya dlya odnogo vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya s operatorom Besselya [Construction of a fundamental solution for a one degenerating elliptic equation with a Bessel operator]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2019, vol. 24, no. 125, pp. 47-59. DOI 10.20310/1810-0198-2019-24-125-47-59 (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

В последние годы уделяется большое внимание изучению неклассических уравнений в частных производных. С одной стороны, такие уравнения мало изучены, а с другой стороны, все чаще обнаруживаются их приложения к различным задачам механики, физики и техники.

В данной статье рассматривается неклассическое вырождающееся эллиптическое уравнение относительно функции п(х\,... , хр) , р ^ 3 , с отрицательным параметром

=f хт (Ax'u + BXp_!u) + дщ - х2х7г

д2 к д

где по одной из переменных действует оператор Бесселя ВХр-1 = ——2--1---,

дхр— \ хр—1 дхр—1

Р-2 д2

ДХ' = — лапласиан, Л Е К, т > 0 — некоторые постоянные. Эллиптические

1=1 дхг

уравнения, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя

BXI - ТТ^Т +

дх2 xi dxi'

были названы И. А. Киприяновым в [1] В-эллиптическими.

Построение фундаментальных решений для новых классов дифференциальных уравнений весьма трудная, но актуальная задача. Фундаментальные результаты в этом направлении для В-эллиптических уравнений принадлежат И. А. Киприянову [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались В. В. Катраховым [2], А. Ю. Сазоновым [3]. Исследование сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя было продолжено в работах Л. Н. Ляхова [4], [5]. Построением фундаментальных решений для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений,

а также исследованием краевых задач для этих уравнений занимались Ф. Г. Мухли-сов [6], А. Ш. Хисматуллин [7], Э. В. Чеботарева [8], И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев [9] и др.

Вопросы постановки корректных краевых задач и разработки конструктивных методов их решения для уравнения (1) не изучены, так как применение метода потенциала для решения краевых задач требует знания фундаментального решения, которое, по нашим сведениям, еще не построено.

1. Основные результаты

Пусть Ер — р-мерное евклидово пространство, Е++ = {х = (хь...,хр) € Ер | Хр—\ > 0,хр > 0} , Д — конечная область в Е++ , ограниченная поверхностью Г и частями Г0 и Г1 плоскостей хр-1 = 0 , хр = 0 , соответственно, Д= = Е++ . Для точек евклидова пространства введем обозначения: х" = (х1,... , хр—2) , Х = (х1,..., хр-1) = — (х , хр—1), х — (х 1,..., хр) — (х , хр) — (х , хр— 1, хр) .

Обозначим через С^ВР-1 (Е++) множество функций, определенных на Е++ , бесконечное число раз непрерывно дифференцируемых, финитных в Е++ и удовлетворяющих условию —-= о(1) при хр_ 1 ^ 0.

дхр—1

Определение 1. Функция Z(х,х0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке х0 € Е++ , если для некоторого к > 0 и для любой функции € С0°°БР-1 (Е++) такой, что х0 € Яирр ^ , выполняется

к

Z (х,х0)Мв [^(х)]х 1 ^х = — ^(х0)

Е++

Приступим к построению фундаментального решения уравнения (1). С помощью замены переменных по формулам

6 = хь I = 1,р — 1, 6р =(1 — 7 )хр-7 (3)

уравнение (1) приведем к В-эллиптическому уравнению с отрицательным параметром

^ д2и 7 ди , 2

Д?„и + Вр-1 и + — + — А2м = 0, (4)

где 6" = (61,62,..., Ср—2) , 7 = т+2 . Ясно, что 0 < 7 < 1 при т > 0 . Ищем решение уравнения (4) в виде

1

и(6) =

где r = л . Относительно v получаем уравнение

1=1

d2v p + k + y — 1 dv q

dr2 r dr

С помощью замены переменных по формулам

( г ч г р + к + 7 - 2 у(т)=\^Л) ™(г), Г = -, V = р-^— (6)

уравнение (5) сводим к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента

«2 ^ + ^ — ('2 + О W(t) = 0. (7)

Известно [10], что частными решениями уравнения (7) являются функция Бесселя

те

от чисто мнимого аргумента Iv (t) = ^ —--^^-- и функция Макдональда

m=o Г(т + 1)r(v + m +1)

Kv(t) = п Ш-UM. (8)

2 sin vn

Возвращаясь в (8) к переменной r , с учетом формул (6), получим частное решение уравнения (5)

v(r) = -r-v Kv (Xr), (9)

где - — некоторая постоянная, подлежащая определению. Из асимптотического представления функции Макдональда на бесконечности следует, что для функции (9) при r ^ <х справедлива оценка

v(r) = O (e"r) . (10)

Из разложения функции Макдональда в степенной ряд следует, что функция v может быть представлена в виде

v(r) = r-2v + Ф(г), (11)

где Ф(г) — регулярная функция в E++. Функция (11) является решением уравнения (4), которое имеет в начале координат степенную особенность вида r-2v.

Для получения решения уравнения (4) с особенностью в точке , 0,£op) G E++ применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига [11]

п

z(e',cP-i,cP; es,o,CoP) = í (г — eof+ep-i+

+ep+e0P — 2£P£oPcos<р)-vsin7-1 vdf+r r,eP-i,eP; eo',0,ы,

Г( Y±i )

гДе Cy = ТпгЩ ' //,Ср-1,Ср; Éon 0,Cop) - Регу.лярная в точке (g;, 0,^op) ФункЦия-Имеем

Z r,ep-i,ep; с o,^ ) =вСт г )-2 х

х rç2-p-fc+g2 eo;, о,ы, (12)

где r°~ = |£/; — |2 + 62-;l + (£P — g0p)2 • Возвращаясь в (12) к переменной x , с учетом формул (3), получим

7( ,, . /; _ вС(m + 2)YГ (2) Г (p±—)

Z (x ,xp-i,xp; xo, 0, xop) 22-v±7A^ X

X (xpxop)- T p2-P-k + g2 (x/;, xp-i, xp; x0;, 0, xop), (13)

V2 4 / т + 2 т + 2 ч 2

|х" — х01 + хр—1 + (т+2)2 ( хр 2 — х0р2 ) . Отсюда следует, что решение (13)

уравнения (1) имеет в точках координатной плоскости хр—1 = 0 степенную особенность вида р2—р—к .

Применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига

Z( ) = вСCk(m + 2)YГ (2) г (p±^) Г г / // 2 +2 +2 _

Z (x, x0) = m 1 x x O1 + xp-l + x Op-1

22-v±yAv (xpx0p)4 J p p

4 / m±2 m±2 4 2

2xp-ixop-1 cos p + (m + 2)2 \ P x0p J

2-p-k 2

sink-1 ^dp + ga(x,xo), (14)

(т + 2) Г(к+1)

где Ск = г- р2 к \ , а ^2(х,х0) — регулярная в точке х0 функция.

Vя" г(2)

Предложение 1. Z (х, х0) допускает при рХХ0 ^ 0 оценку

Z(х,х0) = О (рХ—ор) ,

2 / / 2 4 / т+2 т+2 ч 2

где рхх0 = |х — х0| + (т+2)2 ( хр 2 — х0р2 ) •

Доказательство. Рассмотрим в (14) подынтегральную функцию

|x// — xo;| + xp-l + x0p-l — 2xp-lxop-1 cos ^ +

4

(m + 2)

m±2

2

2 lxp xop

m±2 \ 2 2

2-p-k 2

|x/; — xo;|2 + x°-L + x°p-l — 2xp-ixop-i + 2xp-ixop-i(1 — cos p) +

+

4

(m + 2)

m±2

2

2 xp - xop

m±2 \ 2 2

2-p-k 2

PXxo +4xp-lxop-l sin2 ^

2-p-k

2

Тогда интеграл в (14) запишется в виде

Iх" — хо 1 + хр-1 + х0р-1 — 2хр-1х0р-1 СОЙ ф +

п

I=/

0

2-р-к

2

,к-1

т+2 т+2\2

2 _ 2

хР х

вт ф dф =

п

2-р-к

(т + 2)2 V0р

рХХ0 + 4хр-1 хор-1 й1п2 ф ) 2 йтк-1 ф dф

0

п

[ (. .2 , /.„^2 ф\ -к- 1

= (хр-1хор-1)2р у (и2 + 4 вт2 2) 2 Й1пк 1 фdф, (15)

0

Р2

где и2 = х—^—1 . Разность между интегралом (15) и интегралом

п

2-р-к Г 2 2. 2-Р-к 1

(хр-1хор-1) 2 (и2 + ф2) 2 фк-1 dф 0

является регулярной функцией в Е++ . Обозначим ее через дз(х,хо). Тогда I можно представить в виде

п

2-р-к Г 2-р-к

I =(хр-1хор-1) 2 (и2 + ф2) 2 фк-^ф + дз(х,хо). (16)

о

Заменой ф = иг интеграл (16) приводится к виду

П

2-р-к ^ Г оч 2-Р-к .

I = (хр-1хор-1) 2 и2-Р (1 + г2) 2 гк-Чг + дз(х,хо) =

о ^

2-р-к р2-Р Г , 2-р-к

(хр-1 хор-1) 2 - 0 ^ (1 + г2) 2 гк-Мг + дз(х,хо)

(хр-1 хор-1) 2 о

(хр-1хор-1) 2 рХ- (1 + г2) 2 гк 1dí + дз(х,хо)

= (хр-1хор-1) 2 рХхР [11 - 12] + дз(х, хо),

00 2 рк 00 2 рк

где 11 = / (1 + г2) ^ tk-1dí, 12 = / (1 + г2) ^ tk-1dí.

о п

С помощью известной формулы (см. [12])

оо

х"—1^х 1 М " Г (V) Г + 1 — V) , 0 <^<п +1, (17)

У (р + дх*)га+1 ^ Г(п +1) V

интеграл 11 запишется в виде

, = 1Г (к) Г (р—2

= тг

2 Г (р+к—2) "

Разлагая подынтегральную функцию интеграла 12 в степенной ряд, получим

2 — р — к

2—р—к ( 1 \ 2

¿к—1 (1 + ¿2) 2 = ¿1—^ 1 + - > - +1—р

2 — р — к 2 1+—(+

2—р—к(2—р—к 1) 2—р—к(2—р—к 1)(2—р—к 2)

2 ^ 2 ^ ¿—4 _ 2 2_^ ^ 2_6 +

2! 3!

г) т 2—р—к р+к 2—р—к р+к р+к+2

= ,1—р + 2 — р — к , —(р+1) _ 2 ~ ,— (р+3) + 2 ~ 2 ,— (р+5) +

=Г +2 Г 2! Г + 3! Г +...

Этот ряд сходится равномерно в промежутке , то) , поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате получим

Г(к)Г(р—2) —к ^ 1 = 2Г2 (р+к—2) (хр—1 х0р—1) 2 ржж0 + ^4(х, х0).

Отсюда и из (14) следует, что Z(х х ) = вС7Ск (т + 2^Г (2) Г (к) Г (^)

^ (х,х0) = 23—х

_т _к ~

х (хрх0р) 4 (хр—1х0р—1) 2 Рх—0р + Z*(x,Хo), (18)

где Z* (х, х0) — регулярная функция в Е++ . □

Докажем, что при определенном значении постоянной в функция (14) удовлетворяет равенству (2) и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке х0 € Е++ . Для этого получим формулы Грина для оператора МБ.

Обозначим через С^ (Д) множество функций ф класса Ск(Д) таких, что ^^ = о(1) при х; ^ 0, I = 1,р.

Пусть функции и, V € С^р(Д) П С|р-1 (Д) П С 1(Д). Непосредственным вычислением можно убедится, что имеет место тождество

[и]хр" + (х" |р д£ дх; + д| дхр)^

= дхг + дхр (хр-^<9хр) Л2хк-1хтп".

Интегрируя обе части этого тождества по области О и пользуясь формулой Остроградского, получаем

Р-1

.мБ м^ +1 (^ ^ £+1хр !хр) ^

^А[п]£к- ^Г - Л2 / п^хтхк_^х, (19)

рр

р-1

где А = СРТ ^ еов(п, )дт + еов(п,£р)дг — конормальная производная, п — единичный 1=1

вектор внешней нормали к границе. Формула (19) называется первой формулой Грина для оператора Мв.

Меняя в формуле (19) местами п и v, получим

/г / Р_1 дv дп дv дп

пМв [v]xp-ldx + / К ^ дх1 дх + дхр дхр хкк-^х =

д ^ \ 1=1 /

= У пА^р^Г - Л2 У ^х^хр^х. г д

Вычитая это равенство из (19), получаем вторую формулу Грина для оператора Мв :

У [п] - пМв[v]] xр-1dx = У ^А[п] - пА^]] Ср^Г. (20)

д г

Пусть ф е Со00Бр-1 (Е++) , хо € Яирр ф — фиксированная точка, $Х0£ — сфера с центром в точке хо и радиуса е такая, что

5хов с Е++, = {х е Е++ : |х| = Я, хр-1 > 0, хр > 0}

— часть сферы, принадлежащая Е++ с центром в начале координат, такая, что Яиррф С где — часть шара в Е++, ограниченная . Обозначим через область, ограниченную , 5Х0£ и частями плоскостей хр-1 = 0 , хр = 0.

+ еД

Применяя к функциям Z(х,хо) и ф(х) вторую формулу Грина (20) в области Q с учетом того, что Мв [Z(х,хо)] = 0 в Q+R , получим

У Z(х,хо)Мв[ф(x)]xр-1dx = 1£ + 1£', (21)

Од

где /£ = - / Z(x,Xo)A[^(x)]xk-1dSxo£ , /£' = / <p(x)A[Z(x, Xo)]xk-1dSxo£ , A - внешняя конормаль к сфере Sxo£ .

Нетрудно доказать, что lim /£ = 0. Вычислим предел при е ^ 0 интеграла /£'.

£—0

Воспользуемся формулой (18) для значения Z(x,x0). Получим

/1'

<p(x)A[Z(x,xo)]xJ;-idSxo£ = (2 - p)

ßC7 Cfc (m + 2)Y 23-v+y Л^

X

X

Г Г (f) Г r -f k #

I ^(x)pxx0?A[pxxo]x- 4 xp-1dSxo£ + /*

m k

/V» 4 /V» 2 ^

x0p x0p-1 Sx

(22)

где /* = / <p(x)A[Z*(x, x0)]x^-1dSX0£ . Нетрудно доказать, что

lim /* = 0.

£ —^0 £

(23)

Найдем предел / при е ^ 0 интеграла

(2 - р) ßO,Ct(m + 2)YГ (m) Г(2) Г (^) f ^^a^X-mx,lÄ,

ОЗ-V+Y \ V™ 4 ry. 2 2 'Л x0p x0p-1

Вычисляя конормальную производную А[рХХ0] и пользуясь формулой Лагранжа, приведем этот интеграл к виду

/£ = (2 - p)

ßC7C!(m + 2)YГ (2) Г (!) Г

m k

03 — 4 ~ 2 c

2 Л x0p x0p-1 е

X

x

3m 4

p

X

p(x)-

p-1

^(xi - x0i)2 +

J=1

xop+g(xp-xopM 2

xp I (xp

(xp x0p)

^Cpj_1 d/Sr

p ^p 2

xo£)

р—1 т

(х; — х0;)2 + (х0р + в(хр — х0р))т (хр — х0р)2

,г=1

где 0 < в < 1. Переходя в этом интеграле к обобщенной сферической системе координат

x1 = x01 + r sin 01 sin 02 ... sin 0p-2 sin 0p-1 x2 = x02 + r cos 01 sin 02 ... sin 0p-2 sin 0p-1 x3 = x03 + r cos 02 ... sin 0p-2 sin 0p-1

xp-1 = x0p-1 + r cos 0p-2 sin 0p-1 xp x0p + r cos 0p-1

SXn£

SXn£

SXr\£

(0 ^ r < то, 0 ^ 01 < 2п; 0 ^ 0М < п, ^ = 2,... ,p — 1) и учитывая то, что элемент поверхности сферы представляется в виде dSXQS = £p-1 sin 02 ... sinp-2 0p-1d01... d0p-1, получаем

£ = (2 — p) -CC (m + 2)YГ (j) Г (k) Г (*-) x

03-v+7\v™ 4 ™ 2 c

2 X xop xop-1 fc

2п п п

X / d0i / sin 02 d02 ... Í sinp-3 0p-2 d^p-2 X

3m

X ф (x01 + £ sin ... sin 0p-1, . . . ,X0p + £ cos 0p-1) (x0p + £ COS 0p-1) 4 X

m

c-2 ^2 л i ^x0p +geeosgp-Л 2 c-2 m„2 д

£ Sin 0p-i + ^ xop+ecosgp,! ) £ COS 0p-1 X pX

[£2 Sin2 0p-1 + (x0p + 0£ COS 0p-1)m £2 COS2 0p-1] 2

k

X (x0p-1 + £ COS 0p-2 Sin 0p-1)2 £p 1 Sinp 2 0p-1d0p-1. Сокращая на £p+1 и переходя к пределу при £ ^ 0 , получаем

f (2 ) вСC(m + 2)YГ (2) Г (2) Г (^) m ( )

1— (2 - Р)-23-v+7^v -- X02p

2п п п

X Í d01 / Sin 02 d02 ... í Sinp-3 0p-2 d0p-2

Sinp 2 0p-1 d0p-1

0 (Sin2 0p-1 + xSp COS2 0p-1

(2 - p) C(m + 2)YГ (j) Г(|)Г(^) пV X

X xOpф(хо) / 2 p-1 ) — . (24)

22-v+yAvГ (p^) Sinp-2 0p-1 d0p-1

(Sin2 0p-1 + xmp COS2 0p-1)

Преобразуем интеграл в (24)

п 2

J = Г Sinp-2 0p-1 d0p-1 = 2 2 Sinp-2 0p-1 d0p-1

(Sin2 0p-1 + xgp COS2 0p-^ 2 0 (Sin2 0p-1 + Xm COS2 0p-^ 2

— / _ t \p—2 / _ m \

tgp-20p-1 d (tg0p-1) _ -m 2 p2 tg 0p-O d p2 tg0p-1 j

2 I — — 2x,

— ¿^Op I ^ —

Og20p—11+xSp>2 0 ((x—pt tg0p—1)2+1)2

п

п

Используя замену x0p2 tg #p_i = t и учитывая, что t = 0 при #p_i = 0, t = то при

п _m 00 tp_2dt

0p-1 = — , имеем J = 2x°p2 f-p . Отсюда, на основании формулы (17), получаем

2 о (1 + t2)2

J = x_m г (¥) A = x_m r (¥) A

J Xop г (p) Xop pp_- г () •

Подставляя полученное выражение в (24), определяем

/ = -eCYCk(m +i2V+rg) г (k) П2 ,(*,). (25)

Находим нормирующую константу

2l_v+Y д^ 2l_v+Y Д^

в = C7Ck(m + 2)yг (2) г (k) np = (m + 2)yГ (Y+) Г () n^ • (26)

Итак, из (22) получаем следующее предельное соотношение lim У <^(x)A[Z(x,Xo)]xk_1 dSx0£ = -<^(xo).

Следовательно, переходя к пределу в (21) при е ^ 0 и R ^ то, с учетом (26), соотношений (22), (23), (25) и финитности функции <p(x) , получаем (2).

Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке xo при малых значениях рХХ0 представляется в виде

г (p_

Z(х,х0) = —т^И" (хрх0р) 4 (хр—1х0р—1) 2 рХхр + Z*(х,х0), 4п2

где Z*(х,х0) — регулярная функция в Е++ .

Также нетрудно доказать, что для фундаментального решения Z(х, 6) имеют место следующие асимптотические формулы:

dZ (ж, О dZ (x,£)

d =o(1) при xp ^ 0, =o(1) при Cp ^ 0.

Из формулы (10) следует, что на бесконечности имеет место асимптотическая формула Z(х, х0) = О (е—Р0), где р0 = |х'|2 + хт+2 .

Предложение 2. Z (х, х0) имеет в точках координатной плоскости хр = 0 степенную особенность вида р2—р—7, где р^ = |х' — х0|2 + (т+2)2 хт+2 , х0 = (х0, 0).

Доказательство проводится аналогично доказательству предложения 1. □

Полученные в работе результаты в дальнейшем планируется использовать для решения краевых задач.

Список литературы

[1] И. А. Киприянов, В. И. Кононенко, "Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений", Дифференциальные уравнения, 3:1 (1967), 114-129.

[2] В. В. Катрахов, "Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений", Математический сборник, 112:3 (1980), 354-379.

[3] А. Ю. Сазонов, Л. Н. Суркова, "О единственности классического решения задачи Дирихле для B -эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 12:4 (2007), 523-524.

[4] Л. Н. Ляхов, "Фундаментальные решения сингулярных дифференциальных уравнений с Db -оператором Бесселя", Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 278, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2012, 148-160.

[5] Л. Н. Ляхов, А. В. Рыжков, "О решениях B -полигармонического уравнения", Дифференциальные уравнения, 36:10 (2000), 1365-1368.

[6] Ф. Г. Мухлисов, "О существовании и единственности решения некоторых уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя", Изв. вузов. Матем., 1984, №11, 63-66.

[7] А. Ш. Хисматуллин, "Решение краевых задач для одного вырождающегося B -эллиптического уравнения 2-го рода методом потенциалов", Изв. вузов. Матем., 2007, №1, 63-75.

[8] Э. В. Чеботарева, "Исследование краевых задач для сингулярного B -эллиптического уравнения методом потенциалов", Изв. вузов. Матем., 2010, №5, 88-90.

[9] I. B. Garipov, R. M. Mavlyaviev, "Fundamental solution of a multidimensional axisymmetric equation", Complex Variables and Elliptic Equations, 63:9 (2018), 1290-1305.

[10] Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций. Т. 1, И.Л., М., 1949, 798 с.

[11] Б. М. Левитан, "Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье", УМН, 6:2(42) (1951), 102-143.

[12] И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Наука, М., 1971, 1108 с.

References

[1] I. A. Kipriyanov, V. I. Kononenko, "Fundamental solutions of B -elliptic equations", Differ. Equ., 3:1 (1967), 114-129 (In Russian).

[2] V. V. Katrakhov, "General boundary value problems for a class of singular and degenerate elliptic equations", Math. USSR-Sb., 40:3 (1981), 325-347.

[3] A. Yu. Sazonov, L. N. Surkova, "On the uniqueness of the classical solution of the Dirichlet problem for a B -elliptic equation with constant coefficients", Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 12:4 (2007), 523-524 (In Russian).

[4] L. N. Lyakhov, "Fundamental solutions of singular differential equations with a bessel DB -operator", Proc. Steklov Inst. Math., 278 (2012), 139-151.

[5] L. N. Lyakhov, A. V. Ryzhkov, "Solutions of the B -polyharmonic equation", Differ. Equ., 36:10 (2000), 1507-1511.

[6] F. G. Mukhlisov, "On the existence and uniqueness of the solution of some partial differential equations with the Bessel differential operator", Soviet Math. (Iz. VUZ), 28:11 (1984), 81-85.

[7] A. Sh. Khismatullin, "Solution of boundary value problems for one degenerate B -elliptic equation of the 2nd kind by the method of potentials", Russian Math. (Iz. VUZ), 51:1 (2007), 58-70.

[8] E. V. Chebatoreva, "The study of boundary value problems for a singular B -elliptic equation by the method of potentials", Russian Math. (Iz. VUZ), 2010, №5, 88-90 (In Russian).

[9] I. B. Garipov, R. M. Mavlyaviev, "Fundamental solution of a multidimensional axisymmetric equation", Complex Variables and Elliptic Equations, 63:9 (2018), 1290-1305.

[10] G. N. Watson, Theory of Bessel Functions. V. 1, Foreign Literature Publ., Moscow, 1949 (In Russian).

[11] B. M. Levitan, "Expansion in Fourier series and integrals with Bessel functions", Russian Mathematical Surveys, 6:2(42) (1951), 102-143 (In Russian).

[12] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Tables of Integrals, Sums, Series and Products, The Science Publishing House, Moscow, 1971 (In Russian).

Информация об авторе

Ибрагимова Наиля Анасовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерной кибернетики. Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Российская Федерация. E-mail: NAI.liya@yandex.ru

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1915-7986

Поступила в редакцию 09.01.2019 г. Поступила после рецензирования 11.02.2019 г. Принята к публикации 14.03.2019 г.

Information about the author

Nailya A. Ibragimova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Engineering Cybernetics Department. Kazan State Energy University, Kazan, the Russian Federation. E-mail: NAI.liya@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1915-7986

Received 9 January 2019 Reviewed 11 February 2019 Accepted for press 14 March 2019