Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 72-82

Математика

УДК 517.956

Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода

А. М. Нигмедзянова

Аннотация. Строится фундаментальное решение для многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода. Дается интегральное представление решения уравнения.

Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое уравнение, фундаментальное решение.

1. Фундаментальное решение

Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х ,хр),х = (х\,х2, ...,хр-\)1 ^-конечная область в Е+,

ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г.

В Е+ рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение

^п=ё Щ + ^ Щ=0, (1)

3 = 1 3 р

где т> 4, р ^ 3.

Уравнение (1) при помощи введения новых переменных х1, г = 1,р и новой функции V по формулам

ж3- = хз= 1,р — 1, хр = х-1, и = x-1V

приводится к вырождающемуся эллиптическому уравнению первого рода

~т_ 4 р- д 2и д 2и п

хр ^=1 Щ + ~дЩ ~ (2)

3 = 1 3 р

Известно [2], что одно из фундаментальных решений этого уравнения с особенностью в точке хо имеет вид

£(х,Хо) = а (рі) ( 2 +в)

Г(2в )Г (-Ч—2) ( р-2 + ^ _ _ р +

Г(в)Г (в - —) V’ 2 в’ 2; I

Р - 2 2 р ~

--’ 2 — - , р

22

= а (р1)-( ^ +в)

Г(в)Г + в)

Г(2в)Г (-г(в’_^ + в’р+ Г(2в(^^

Г(в)Г(в- —)' V" 2 '2"7 1 Г(в)Г(2—2 +в)

в (в - 2_2) ~2-р , 1 в(1 + в) (в - 2—2) (в - 2-2 + ^ ~3- р

„ , . . , '2-2 , 1 т ^ (в ¡Г) ¡Г Т" V ~3— р ,

Х 1 р 2 + 2! 2) - - р 2 +

2

(2 - 1) (1 - I)

~2-27_2в Г(2в)Г і2—2)

+ ар2-2р,

Г(в)Г С2—2 + в)

+

(3)

где

р2

р = ^2 ’ в = Рі

т — 4

р2

2

2(т - 2) ’ Рі

^ 2__^ 4 / т — 2 т — 2 \ 2

| Х - ХІ°)2 + (т __ 2)2 (Р2 2 ^ Х202 )

(4)

Так как 0 ^ х ^ 1, то гипергеометрические функции определены для всех X € Е+ и, следовательно, фундаментальное решение (3) с особенностью в точке Хо имеет степенную особенность вида р2~р.

Если в уравнении (2) и в формулах (3), (4) перейти к переменной х, то имеем

Є(х’ х0) = (х2Х20) (Рі) ( 2 +в)

Г(2в)Г -(вР_-2 + в р; +

Г(в)Г (в - 2_2) V 2 в’ 2 ’ ^

р—2 Г(2в )Г( — ) (

+а_—-------1 \ 2 \ ^ (в, в -

Г(в)Г (— + в V

р - 2 р

-------, 2 — — . О

2 ’ 2’

(5)

где

о =

^2 ’ в = РІ

т - 4 2(т - 2)

Рі

2-і

= ^(Хз - Хзо)2 +

І=і

(2 - т)2

2 і 2

2—т 2—т \ 2

2 Щ Х 2 + Х20

X

X

X

2

2

4

р

С помощью ряда Гаусса, разложения функций 1+--------------(—т) р2-т ) при

V 16 (ХрХро) )

малых значениях р в степенной ряд фундаментальное решение (5) запишем

в виде

Е (ж,жо) = £(ж,жо) + Е *(ж,жо), (6)

где 2 т

Е(ж,жо) = а+ в) (2 ?4)-------------------(ЖрЖро)^ (Р^Р- ,

Е*(ж,ж0) — регулярная часть фундаментального решения Е(ж,ж0).

Нетрудно проверить, что

Е(І, ж) = О ^ж(т 2) 2 ^ при жр ^ 0,

дджж)= О (ж(т_2) 2 _1) при жр ^ 0,

дЕ((,ж) ( (т-2)^) 0

^жг = О (& ) при & ^ 0

Ат [Е(С,ж)]= О^ 2) 2 ^ при жр ^ 0,

Е(ж,жо)= О (^(р2) ( 2 при Г = у!ж\ + ... + ж2 ^ то,

Ат[Е(ж,жо)] = О (^(р2) ( 2 при Г = у/ж2 + ... + ж2 ► ТО,

р-1

где Р2 = Е ж2 + Т2-т^ жp-m,

3 = 1

Ат[Е (ж, жо)] = жрт ^ сов(п, жз) д Е дж,жо) + сов(п, жр) дЕ дЖ, жо)

• -3 и^р

3 = 1

— конормальная производная.

2. Формулы Грина

Обозначим через Ст(О) множество функций f(ж), непрерывных в О

91 (ж) ( (т-2) -Л 0 Ч

и удовлетворяющих условию —------ = О I жр при жр ^ 0. Через

джр \ у

Ст (Г) обозначим множество функций <^(£) класса С (Г), удовлетворяющих

дф(0 гл (Лт-2) 2-1 , . п

условию = О Кр ) при (р ^ 0.

Пусть функции и, У Є С2(Б) П С1 (Б) П Ст(Б)

Непосредственным вычислением можно убедиться, что имеет место тождество

>«■,+(£ I г+£ г) -

(>Э (>£)■

Умножая обе части тождества (7) на х-' , интегрируя по области Б и пользуясь формулой Остроградского, получаем

I УЬт[и ]х-^х+!

П П \?’=1

„„,.]хГУх+у I ^ Ц § + хт^ Ц х-т,іх = / УА„,[и\ІТ,

ъ ъ у-^=1 7 г

(8)

р-1

где А'[и] — х-'Т, со^(п,х^) Щ + сов(п,Хр) дХ- — конормальная

.7 = 1 р

производная, п - внешняя нормаль к Г.

Формула (8) называется первой формулой Грина для оператора Ьт. Меняя местами и и V в формуле (8), имеем

I иЬт[У ]х-т(1х + I

п п \І=1

ЗУ ди ди ЗУ \ Г

— ~ чу4_ щщ + ^^^ = / иАтУ]Р-

Ъ ъ ^=1 7 г

Вычитая это равенство из (8), получаем

і [УЬт[и] - иЬт[У]]х-^х = ! [УАт[и] - иАт[У]] Ж. (9)

Ъг

Формула (9) называется второй формулой Грина для оператора Ьт.

3. Интегральное представление

Найдем теперь интегральное представление решения уравнения (1) в области Б .

Пусть и(х) е Ст(Б) П С 1(Б) решение уравнения (1) в области Б .

Зададим в области Б произвольную точку хо. Вырежем эту точку шаром Qx0s . Радиус е возьмем столь малым, чтобы шар Qx0£ целиком находился внутри области Б. В области Бе — Б \ Qx0£ фундаментальное решение Е(х,х0) уравнения (1) (т.е. (6)) принадлежит классу С'(Б£)[) С 1(Бе).

Применяя к функциям и(х) и Е(х,хо) в области Бе вторую формулу Грина для оператора Ьт, получаем

J [Е(х,хо)Ьт[и(х)] - и(х)Ьт[Е(х,хо)]]х-т^х =

Ъ£

= У[Е(х,хо)Ат[и(х)] - и(х)Ат[Е(х,хо)]]ЙГ+ г

+ У [-Е(х, хо)Ат[и(х)] + и(х)Ат[Е(х, хо)]^Бс

Х0 Є-

Учитывая, что Lm[E(x,x0)] =0 и Lm[U(ж)] =0 в De, имеем

J [E(x,xo)Am[U(x)] - U(x)Am[£(x,xo)]]dr =

Г (10) = [E(x,xo)Am[U(x)] - U(x)Am[E(x,xo)]]dSxoe = Je + I'e + I"e,

Sx0s

где Am — внешняя конормаль к сфере SXoe,

Je = У [E*(x,xo)Am[U(x)] - U(x)Am[E*(x, xo)]]dSxoe,

I'e = J E(x,xo)Am[U(x)]dSXoe, I"e = — J U(x)Am[E(x,xo)]dSXoe.

SXQ£ SXQ£

Вычислим пределы при г 0 этих трех интегралов. Нетрудно проверить,

lim Je = 0, lim I'e = 0. (11)

e—>0 e ’ e—0 e v ’

Вычислим предел третьего интеграла

I'e = — [ U(x)Am[E(x,xo)]dSxoe =

что

x0£

r(2ß).r \2 \ (2 m)m 2xp0 f U(x)Am[xpm p-(p-2)]dSx0e = r(ß)Г(— + ß) 4 J V ; m p 1 1 Х0Є

= Je + Je,

SXn£

SXn£

где

= Г(2в)Г і?-2) (2 - т) ^ хР4

О є = -а

Г(в)Г (*- + в) 4

и(х)р (р 2) Ат [хр4 ]<І£хоє,

X" = -а:

Г(2в)Г (2-2) (2 - т)т=2 х.

Ро

Г(в)Г (Р-2 + в) 4

и (х)хр4 Ат[р (Р 2)]

жоє-

Ясно, что

ІІШ X є = о

о

(12)

Вычислим предел интеграла

л 77~1,

,, = ^ Г(2в)Г (Р-^) (2 - т) т=2 х?о

= -1а:

= а(р - 2)

Г(в)Г + в) 4

Г(2 - 2в)Г )Р-2) (2 - т) ™=2 х;

20

Г(1 - в)Г (Р - в) 4 „

вхо£

о т т

Г(2в)Г І2-“) (2 - т)^х?4о

и(х)хр4 Ат[р (Р 2)]^5Жоє =

и (х)хр р (Р 1) Ат [рЦБхоє =

= а(р - 2)

Г(в)Г і2-2 + в) 4

р-1

х и(х)х2 р (2 1)

х2

С08(и, х3) + С08(и, х2)

3=1

дх3

др

дх2

ЛБхоє.

Так как поверхность БХоЄ определяется уравнением

г =

\

5^(х* - хіо)2 = Є,

і=1

в

ХГ\Ь

4

вХП£

Ьхоє

4

X

вХп£

то

ґ~ііу> /у> . _ /у> .

/ \ и/ хі хіо ■ ї---

сов(и,хі) =-—= ----------------------------, г = 1,р,

дхі г

/ 1 т л т

і 1 2 1 2

др (хз - хзо) . - др 2 - х^о)

я , .І = 1,р - 1 Т. 0

дхз р дх2 2 - т

ЛіТї

р

Отсюда следует, что

Г(2в)Г (2=2) (2 - m) m-2x

J'j — a(p — 2)

m

m-

4

bV0

Г(в)Г( - + 4

U (x) x

Xp

р-i 0 m

E, N 2 2 Xp

(xj — Xj0 ) +

Lj=i

2m

2 — m bp

2 — m ¿20

22 x2 X2o l \x2 x20)

dS.

XQ£-

S

Xn£

4

X

2

p

В последнем равенстве, пользуясь формулой Лагранжа f (х) — f (х0) —

— f'(x0 + в(х — х0))(х — х0), где 0 <9 < 1, получаем

Г(2в)Г (2-г) (2 — m)m—2 X

Je — a(p — 2)

20

Г(в)Г (2-=2 + в £ 4

U (x) x

X2

3m ' 4

2- i m m 2

Е (xj — xj0)2 + (x2) f (x20 + 0(x2 — x20))-f (x2 — x20)2

Lj=l

2-1 _ 2

E (xj — xj0)2 + (x20 + e(x2 — x20)) ™ (x2 — x20)2

Lj=l

dSX

4

SXn£

Переходя в этом интеграле к обобщенной сферической системе координат

[5] и учитывая то, что элемент поверхности сферы представляется в виде dSX0e — £2-1 sin ф2... sin2-2 ф2-1 dp1... d^2-1, получаем

J" — alv 2) Г<2'Э>Г t2-2) (2 — m)^x20

J — a(v — 2)Г(в)Г (- + 0) £ 4 x

2п п п

x J d<¿>1 J sin ^2d^2--- j sin2-3 ^2-2 d^-2x 0 0 0

п x J U (x10 + £ sin ф1. . . sin ф2-1,...,x20 + £ cos ф2-1) (x20 + £ COs ф2-1)-~ x 0

£2 sin2 ф2-1 + (x20 + £ cos ф2-1) TJ2 (x20 + 0£ cos ф2-1)- T £2 cos2 ф2-1 x p x (£2 sin2 ф2-1 + (x20 + 0£ cos ф2-1)-т£2 cos2 ф2-1) 2 x £2-1 sin2-2 ф2-^ф2-1.

Сократив на ep+l и переходя к пределу при є ^ 0, имеем

r(2ß)Г (2-2) (2 — m) m-2 x.

J — a(p — 2)

20

Г(£ )Г( 2-2 + ^

U (xo) Xpo 4 X

2п

df

1...

sin2 3 fp-2 dfp-2

sin2 2 fp-1 dfp-1

(sin2 fp-1 + Xpom cos2 fp-1

где J" — lim J"є.

є—* 0

2п

Учитывая, что f df-^J sin f2df2...J sinp 3 fp-2 dfp-2 — oo o

получаем

2п~

P-1

m __1

J — a('p — 2)

r(2ß)Г (p^) (2 — m)m-2x.

(ß)r

p—1 п

p0

r(ß)r (- + ß) 4

2^ f sinp-2 fp-1dfp-1

U (xo)x

(13)

Г(^-t) o (sin2 fp_1 + xPom cos2 fp_1)

p/2 ■

Преобразуем последний интеграл в (13):

sinp 2 fp-1dfp-1

(sin2 fp_1 + x_m cos2 fp_1

n/2

—2

sinp 2 fp-1dfp-1

n/2

—2

sinp 2 fp_1 dfp-1

o (sm2 fp-1 + xpo cos2 fp-1

tt/2

d(ctg fp-1)

sinp fp-1 (1 + xPom ctg2 fp-1)

n/2

— —2 --------

J ( ( - m

o (1+ ^po2 ctg fp-1

отсюда после замены

2\ 2

p — —2 xp2o

d(x-o2 ctg fp-1)

4 P 2\ 2

1 + xpo2 ctg fp-1

получаем

xpo2 ctg fp-1 — t, fp-1 — 0, t — то,

fp-1 — 2, t — 0

і— —2xpo

dt

(1 +12)2

— 2x 2

p — ^xpo

dt

(1 +12)2

4

4

п

п

X

p

2

2

X

п

p

2

p

p

2

2

o

С помощью известной формулы

оо

х^ 1йх 1 /р\ * Г (V) Г (п + 1 — у

, 0 < — < п + 1,

У (р + цхи)п+1 vpn+1 \ Ц / Г(п + 1) ’ V

0

имеем / л ч /л ч

, — хЧ Г (г-1) г( 1)

' - хр° Г (2) •

Подставляя полученное выражение в (13), получаем

Г(20)Г (е-2) (2 — т) т х~р? ТТ,. 2пщ Г (-) Г (Г

Г(0)Г (- + 0) 4 ' 7 Г (2-1) Р° Г ^р

2 ,

(2 — т)^ Г(20)Г (2 — ^ и(х )_2П!

4 г(0)г (- + 0) ( 0)г (2

— а(Р — 2)------4---- Г(0)Г (Р-2 . ■ (х0) , , _

Если положить

а — - г(№(¥ + 0) (14)

п 2 Г(20) (2 — т) т-2

то получим

3 — и (х0). (15)

Значит, переходя к пределу при е ^ 0 в (10), с учетом (11), (12), (14),

(15), получим

J[E (х,х0)А'[и (х)] — и (х)А'[Е (х,х0)рГ — и (х0). г

Таким образом, для всякой функции и(х), удовлетворяющей условиям:

a). и(х) е С2(Б) П С 1(Б) П С'(Б),

b). Ь'(и(х)) — 0, х е Б

и для любой точки х0 е Б справедливо интегральное представление

и (х0) — J [Е (х,х0)А'[и (х)] — и (х)А'[Е (х,х0)]]йГ. (16)

г

При этом фундаментальное решение уравнения (1) представляется в виде

Г ( Р _ 1) 2

Е(х,х0) — - (хрхр°)^ (р2)- V + Е*(х,х0).

4п 2

4. Свойства решений уравнения

Из интегрального представления (16) вытекают следующие свойства решения уравнения (1):

10. Существует решение U (ж) уравнения (1) в области D, удовлетворяющее условию

при xp ^ 0.

20. Существует решение U(ж) уравнения (1) в области De = E+\D, удовлетворяющее условию

30. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления

(16), сформулируем в виде теоремы:

Теорема. Если и(х) е С2(Б) П Ст(Б) — решение уравнения (1), то функция и(х) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значения на границе Г, если она тождественно не равна нулю.

Доказательство. Пусть функция и(х) е С2(Б) П Ст(Б) удовлетворяет уравнению (1) и достигает своего наибольшего положительного значения и в некоторой внутренней точке Мю(х0) области Б , т.е. существует 5 — окрестность Qx° $ точки х0 (шар), где и(х) < и(х0) — и0, при х —

— х0 и и(х) > 0.

Полагая в формуле (16) Г — дQx° $ — Бх° $, получаем

U(xo) = E(x, xo)Am[U(x)]dSxoS - U(x)Am[E(x, xo)]dSXQs = Iis + I2S

На SXQs E (ж, ж0 ) > 0 , U (ж) > 0 , Am[U (ж)] < 0 и Am[E (ж, ж0)] < 0. Поэтому

1ц < 0 и Ï2S > 0.

В силу вышесказанного при 5 ^ 0 1ц, возрастая, стремится к нулю, а I2s, возрастая, стремится к U0. Отсюда следует, что

Заменяя в правой части формулы (17) во втором интеграле и (х) на и и учитывая оценки (18), имеем и0 < 12$ < и0, т.е. и0 — и0 •

Полученное противоречие доказывает справедливость первого утверждения теоремы. Второе утверждение доказывается переходом от и к —и. При этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное значение.

2(т-2)

т — 4

при r

ф

x2 + ... + xp ^ œ,

p-1

2

(17)

Iis < 0 и I2S < Uo.

(18)

Следствие. Если функция U(ж) Е C2(D) П Cm(D) — решение уравнения (1), то \U(ж)| ^ max\U(жо)|, ж Е D. В частности, если U(ж)|г = 0, то

жо€Г

U (ж) = 0 в D.

Список литературы

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. 6-ое. СПб., М.; Краснодар: Лань, 2003. 832 с.

2. Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Второй Всероссийской науч. конф. Ч.3. Самара: СамГТУ, 2005. С.180-182.

3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

4. Смирнов М.М. Курс высшей математики. Т.3, Ч.2. М., 1957.

5. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1966. 207 с.

Нигмедзянова Айгуль Махмутовна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Integrated representation of the solution of one multidimensional degenerating elliptic equation of the second

king

A. M. Nigmedzianova

Abstract. The fundamental solution for the multidimensional degenerating elliptic equation of the second king is under construction. Integrated representation of the solution of the equation is given.

Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation, fundamental solution.

Nigmedzianova Aigul ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, department of higher mathematics and mathematical modelling, Lobachevsky Institute of mathematic and mechanic, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 03.06.2012