Интегральное представление решения одного вырождающегося $b$-эллиптического уравнения с отрицательным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 6-24

= Математика =

УДК 517.946

Интегральное представление решения одного вырождающегося В -эллиптического уравнения с отрицательным параметром

Л.Ф. Галяутдинова, Ф.Г. Мухлисов

Аннотация. Строится фундаментальное решение для вырождающегося В-эллиптического уравнения с отрицательным параметром. Дается интегральное представление решения уравнения.

Ключевые слова: оператор Бесселя, функция Макдональда, фундаментальное решение.

1. Фундаментальное решение

Пусть 0+ — конечная область в первой четверти Е+ координатной плоскости Оху, ограниченная кривой Г+ с концами в точках А(1, 0) и В(0,1) и отрезками Г1 = ОА и Го = [ОВ] осей координат соответственно Ох и Оу, 0+ = Е+ \0+, 0+о = 0+ и Г1 и Го.

Рассмотрим вырождающееся В-эллиптическое уравнение с параметром вида:

д2 и

Тв(и) = утВхи + - Л2ути = 0, (1)

где Вх = дХ + ХхдХх — оператор Бесселя, т > 0, к > 0, Л — заданные действительные числа.

Множество четных по х бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Е+ обозначим через 0+. Функции из множества 0+ будем называть основными.

Определение 1. Функция е (х,у; х0,у0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке Мо (хо,Уо) € Е+, если она является решением уравнения (1) во всех точках Е+\Мо (хо,уо) и удовлетворяет для любой основной функции ^(х, у) € 0+ такой, что

р(хо, уо) = 0, равенству

е(х,у; хо,уо)Тв(р)хкйхйу = -у(хо,уо),

(2)

или в терминах обобщенных функций уравнению Тв (е (х,у; хо,уо)) = — —5(хо — х,уо — у), где 5(хо — х,уо — у) — известная ¿-функция Дирака.

Теорема 1. Если т > 0 и к > 0, то уравнение (1) имеет фундаментальное решение с особенностью в точке Мо (хо,уо), удовлетворяющее следующим асимптотическим равенствам:

Доказательство. Пусть а = т/(т + 2). С помощью замены переменных по формулам

уравнение (1) приводится к В-эллиптическому уравнению с параметром

уравнение (7) приводится к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента

е (х,у; хо,уо) = О (Ьрмм0) > рмм0 ^ 0; е (х, у; хо, уо) = О{е-рмм°) , рммо ^ ж,

£ = х, п = (1 — а)у1/(1 а

(3)

(4)

Ясно, что 0 < а < 1 при т > 0. Пусть т = (£2 + п2)1/2. Ищем решение уравнения (4) в виде

и (£,п) = и (т). Подставляя функцию (5) в уравнение (4), получаем и'' + (к + а + 1) /т ■ и' — Л2и = 0. Умножая это уравнение на г2, имеем

т2и" + (к + а + 1) ти' — Л2т2и = 0. С помощью замены переменных по формулам

(5)

(6)

(7)

и = (г/л)-(к+а)/2 ш, т = г/л

(8)

г2ш'' + гш' — (г2 + и2) ш = 0,

(9)

где V = (к + а) /2. Известно [1, с. 798], что частными решениями этого уравнения являются функции Бесселя от чисто мнимого аргумента Iv (t), I-v (t), и функция Макдональда

K„ (t) = 2(Iv {t)-I-v (t)). (10)

2 sin vn

Возвращаясь в (10) к переменной r, с учетом формул (8), получим частное решение уравнения (6)

и (r) = Yr-VKv (Xr), (11)

где y — нормирующая постоянная.

Известно [1, с. 798], что при r ^ ж имеет место следующая

асимптотическая формула

и (r) = O (e-r) . (12)

Из разложения функций Iv (x) и I-v (x) в степенной ряд следует, что решение (11) может быть представлено в виде

v (r) = 2v+itIi - v) r-2 + Ф (r) , (13)

где ф (r) — регулярная функция в E+.

Функция (13) является решением уравнения (4) и имеет в начале

координат степенную особенность вида r-2v.

Для получения решения уравнения (4) с особенностью в точке (0, по) £ £ E2 применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига ТЩ0:

П g ((,п;0,по) = 2v+iyC\ — v) j 2 + п2 + п0- 2ппо co) <¿>)-u х

о

х )ina-1 pdp + ф* (£,п; по), (14)

где ф* ((,п; п0) — регулярная функция в точке Р0 (0,п0), C-1 =

= f )ina-1 pdp = л/ПТ (2)/Г (Op). о

Докажем, что интеграл в (14) имеет степенную особенность в точке Ро (0, по). Для этого интеграл запишем в виде

П

J = J (rpPo +4ппо )in2 (v/2))-V to- <¿d<£ + ф* (£,п; По). (15)

о

Ясно, что разность Ф(£,п', По) между интегралом (15) и интегралом

П

j Va-1 (rpPo + ппоV2)-V dV (16)

является регулярной функцией от С, п даже в точке Ро (0, по) (т.е. для Грри = = 0). Так что интеграл 3 можно представить в виде

3 = у (Грр0 + ппо<р2) фа + Ф(С,п; по)•

о

Производя в этом интеграле замену переменной по формуле ф = Грр0 (ППо)-1/2 Т, получаем

3 = Грр0 (ппо) а/2 У (1 + т2) * та 1йт + Ф(С,п; По)• (17)

о

При малых значениях Грр0 этот интеграл также можно записать в виде

и

3 = Грри (ппо)-а/2 ! ^ + Т2)р та-1 йт + ф1 (С,п; по)- (18)

р (ппо)-а/2 j (1 + Т2\р Та-1, 1

Разлагая подынтегральную функцию в (18) в степенной ряд, получим

1 \ — (_+а)/2

Та-1 (1+ Т2) * = Т-(_+1) ^ 1+

=Т-(к+1)

1 к+а -2 + к++а (к++а +^ -4 _+Т № +^ № +1) -6 +

1^~¥-Т +-----------2\------Т----------------3------------Т +•

-(к+1) к+а -(к+3) + _+Г ( _+Г+1) -(к+5)

2 2\

_+ (_++1) (_++2) ^..

3

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; то). Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

к

(ппо)-а/2 к

\2) 1/2

3 =-------к-Г-ри + ф2 (^п; по) , (19)

где Грр0 = ({2 + (п — по) ) _ расстояние между точками Р (С,п) и

Ро (0, по), Ф2 (С, п; па) ~ регулярная в точке Ро (0, по) функция. Отсюда и из (16) следует, что решение д (С, п; 0, по) уравнения (4) в Е+ с особенностью в точках координатной оси С = 0 может быть представлено в виде

П (ппп)-а/2 С

д (С, п; 0, по) = ^к2™Г{1 — а Г-ри + Фз (С, п; по) • (20)

П

7Т

и

7Т

Возвращаясь в (20) к переменным x и у, с учетом формул (3) и значений V = (к + а) /2, а = т/ (т + 2), имеем

П (wiin)-т/4 C

£(x, у; ° уо) = Y k2v+1r ^ - у) р-к + ф4 (х, У; Уо), (21)

/ / ч 2\ 1/2

где р = ^ (у(т+2)/2 - y(m+2)/2)j .

Отсюда следует, что решение (21) уравнения (1) имеет в точках координатной оси x = 0 степенную особенность вида р-к. Для получения решения уравнения (1) с особенностью в произвольной точке (xо,Уо) £ E+ применим к функции (21) оператор обобщенного сдвига Т£0:

/л П

, Yn (ууо)-т/ CaCk f( 2 2

g (x, у; ^,уо)= k4v+1T{1 - V) J ^ + Xо - 2xxо cos v+

о

2 \ -k/2

+ ^у{т+2)/2 - у0т+2)/^ х )ink-1 <pdp + Ф* (x, у; Xо, уо), (22)

где Ф*4 (x,y; x0^0) — регулярная в точке Мо ^о,уо) функция, С-1 =

= f )ink-1 vdv = /ПГ (2 )/Г (k+¡1).

о

Докажем, что интеграл в (22) в точке Мо (xо,уо) £ E+ имеет

логарифмическую особенность. Для этого этот интеграл, как раньше,

запишем в виде

П

J = [ (x2+x0—2xx0+2xx0 (1-СО) V) +-----------4-2 (у(т+2')/2-у^т+2')/2

(m+2)2 о

о

П

х )ink-1 vdv = J (рмм0 +4xx0 )in2 (v/2)) k/2 )ink-1 vdv, (23)

о

где pMmo = (x - x0)2 + m+if {у(т+2)/2 - у0т+2)/2)2.

Как раньше, разность ф (x, у; x0, у0) между интегралом (23) и интегралом

П

j vk-1 (P2MMo + xx0v2) k/2 dv является регулярной функцией в E+. Отсюда

о0

следует, что интеграл J можно представить в виде

П

J = J (рмм0 + xx0V2)-k/2 vk-1dv + ^(x,W; x0^0) ■ (24)

о

С помощью замены переменной по формуле ф = (ххо) 1/2 рммиТ интеграл (24) приводится к виду

рмм0

1 = (ххо)-к/2 I (1 + т2) к/2 тк- 1йт + Ф(х,у; хо,уо).

о

Также последний интеграл можно представить в виде

1 = (ххо) к/2 I (1 + т2) к/2 Тк 1 йт + ф (х, у; Хо,Уо), (25)

1

где ф (х,у; хо,уо) — регулярная в Е+ функция.

Разлагая подынтегральную функцию в (25) в степенной ряд, получим

тк-1 (1+ т2)-к/2 = т-1 {1 + 1/т2)-к/2 =

= т-1

' к _о к/2 (к/2 + 1) _4 к/2 (к/2 + 1) (к/2+ 2) _6

1 — —т +-----------------------т —-------------------------------т + . . .

2 2! 3!

_1 к _3 к/2 (к/2 + 1) _5 к/2 (к/2 + 1) (к/2+ 2) _7

= Т — —Т + ------------------Т — ------------------------Т + • • • •

2 2! 3!

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; то). Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

з = (ххо)-к/2рмши) + ф2 (х,у; хо ,уо) •

Отсюда и из (22) следует, что

( ) П (ххо)-к/2 (ууо)-т/4 СаСк 1 ( 1 \ + Я ( ,

е(x, у; хо, уо) = 7---12и+1г(1------)------1п --------- + Я (х, у; хо, Уо),

к2"+1Г (1 — V) \pMMo/

(26)

где Я (х,хо; у,уо) — регулярная функция в Е+.

Из формулы (12) следует, что при рмми ^ то имеет место

асимптотическая формула

е (х,у; хо,уо) = О (е-рмми) • (27)

Докажем, что при определенном значении постоянной 7 функция (26) удовлетворяет равенству (2) и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке Мо (хо,уо) £ Е+. Для этого введем формулы Грина для оператора Тв. Обозначим через С'В (0+) множество четных по х, п раз непрерывно дифференцируемых функций в 0+, а через Со (0+) (Со (Г+)) — множество функций, удовлетворяющих

0

0

условию ди/ду\у=о = 0 (дф/дп\п=о = 0). Пусть и, и £ Ср (0+) П Со (0+). Непосредственным вычислением можно доказать, что

k і m du du du дп\ k

иТв (и)х_ + ут —— + дуд^)хк = дх дх ду ду

= дх (хктиди\ + д (хкиду\ — х2хкутии•

дх дх ду ду

Интегрируя обе части этого тождества по области 0+ и пользуясь формулой Остоградского, получаем

IIuTB (u)xkdxdy + U ^ дх дЕ. + дУдУ Jxdxdy =

m du du du du \ k dx dx dy dy

D+ D+

= J uA[u]£kdr — X2 JJ £krjmuud£dn, (28)

km

Г+ D+

где А [ ] = пт сов(п,С) д/дС + оов(п,п) д/дп — конормальная производная, п — единичный вектор внешней нормали к границе Г+.

Заменяя в формуле (28) местами и и и, получим

JI иТв(и)хкйхйу + JJ (ут ^ дх + ^уду \ хкйхйу = э+ э+

= J uA[u]£kdT — X2 JJ £krjmuud£dn. (29)

km

Г+ D+

Вычитая из (28) формулу (29), получаем

k

Ц [uTB(u) — uTB(u)]xkdxdy = j (uA[u] — uA[u])£kdr+. (30)

D+ Г+

Формулы (28) и (30) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Tb .

Пусть М0 (xo,yo) Є E+ и ф (x,y) Є D+ такая, что ф (x0,y0) = 0. Рассмотрим окружность См0є с центром в точке М0 и радиуса є и четверть круга K+ С E+ с центром в начале координат и радиуса R. Предполагается, что СМоє С K+ С Supp ф. Четверть круга K+ ограничена четвертью окружности С+ и отрезками [0, R] и [R, 0] осей координат x = 0 и y = 0. Обозначим через G+R область, ограниченную окружностью См0є и границей четверти круга K+. Применяя к функциям и = є (x,y; xo,yo) и

и (х, у) = ф (х, у) вторую формулу Грина (30) в области С+и, с учетом того что Тв (е (х, у; хо,уо)) = 0 в С+я и ф (х,у) = 0 вне области С+я получим

J j е (x, y; xo,yo) Tb (ф) xkdxdy =

G+

(nme (C, n; xo,yo) А[ф] - фА[е (С, n; xo, yo)])Ckdr =

CMn

- J ф (C,n) А [е (C,n; xo,yo)] Ckdr — J nme (C,n; xo,yo) а [ф] Ckdr =

CMq£ CMq£

= I\e — he- (31)

Нетрудно доказать, что при е ^ 0 12е 0. Вычислим предел при е ^ 0

интеграла

с_ йг (32)

he = J ф (С,п) А [е (С,п; xo,yo)] Ckdr.

CMq£

Заменяя в (32) е (£,ц; x0,y0) на его значение из (26), получим

1

nx0k/2y0m/A CaCk f , he = ф (C,n) А

k2v+lr(1 — v)

CM0

ln

Pm0p

Также нетрудно доказать, что

lim J2e = 0.

e^0

Вычислим предел интеграла

nx-k/2y-m/4CaCk f Jie = Y UJ0„ a..k ф (С,П) А

k2v+lr(1 — v)

CMn

ln

pM0P

rm/2ik/2dCM0e + J2e.

(33)

(34)

rm/2Ck/2dCM0e

при е ^ 0.

Вычисляя конормальную производную А [1п(1/рмир)] = —А [1п рмир] и пользуясь формулой Лагранжа

/ (х) — / (хо ) = / (хо + 0 (х — хо))(х — хо), 0 <0< 1, (35)

приведем этот интеграл к виду

т Пх-к/2уо-т/4СаСк [ ^

31е = -1 Ли+^м Ф С п) х

k2v+1Г (1 — v) е

CM0

1

&

пт (С - x0)2 + (уо + 0 (п - уо))т/2 (п - уо)2 Пт/2 М2 -т/2dC (С - x0)2 + (уо + о (п - уо))т (п - уо) с

Mo£-

Полагая в этом интеграле С = x0 + £ co) v, п = у0 + £ )in V, получим -k/2 -т/4г, Г1 2

nx0 у0 CaCk /

J1e = -Y k2v+1V(i - v) £ J V (x0 + £ СО) V^0 + £ )in V) х

(у0 + £ )in v)m £2 cos2 v + (у0 + 0£ )in v)m/2 £2 )in2 V (у0 + £ )in v)m/2 £2 СО)2 V + (у0 + 0£ sin V)rn £2 sin 2V

х (x0 + £ cos V)k/2 (у0 + £ sin v)-m/4 £dv-

Сокращая на £3, получаем

Ju = -Y

- k/2 - т/4 nx0 7 уо CaCk

k2v+1 Г(1 - v)

2п

J V (x0 + £ cos V^0 + £ sin v) х

(у0 + £ sin v)m cos2 v + (у0 + 0£ sin v)m/2 sin2 V (у0 + £ sin v)m/2 cos2 v + (у0 + 0£ sin V)т sin 2V х (x0 + £ cos v)k/2 (у0 + £ sin v)-m/4 dv-

Переходя в (36) к пределу при £ ^ 0, имеем

J1 = -Y

nx0 к/2у0 m/4CaCkV Ы,уо)

k2v+1Г(1 - V)

2п

т 2 i т/2 . 2 т/2

х I у0 cos V + у0 т я"2*у° x^v-^iv.

0

cos2 V + уП sin 2V

(36)

(37)

или

J1 = -Y

nCaCkV Ы,уо)

2п

m/2 j

уо dv

k2v+1T (1 - v) J cos2 v + у™ sin 2V 0

-2Y

= -2y

пСaСkV ^о,уо) k2v+1Г(1 - v)

пССV (x0,у0)

tt/2

m/2 7

уо dv

tt/2

J cos^ V + ут sin2 V j s™Z V + у01 V

+

m/2 7

уо dV

T2 ID 4- 1 tm Q2 I

k2v+1Г(1 - v)

f/2 Л ( m/2,

г Цуо tgv

+

f/2 J ( m/2 ,

г Цуо ctgv

1+ (ут/2tgv) о 1+ (у0™/2 ctg v)

X

X

X

X

X

со

^ _2 пСаСк У (Хо,Уо) [ dt _ CaCk У (xp ,Уо)

_ 7 k2v+1 Г(1 - V) J (1 + t2) _ nlk2v+1r(1 - V) ■

0

C C

Требуя, чтобы 2nj k2v+ar(l-V) _ 1, получим

_ k2v+1r(1 - v)

7 2nCaCk ■ ( )

Переходя к пределу в (31) при £ ^ 0 и R ^ то, с учетом (38), предельных соотношений (34), (37) и финитности функции у (x,y), получаем (2).

Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке Mp (xo,yo) при малых значениях рмм0 может быть представлено в виде

( , (xxo)-k/2 (yyo)-m/4 1 ( 1 \ + R ( , (39)

£ (x, y; xo,yo) _ ------- ---------1n[ ------ + R (x, y; xo,yo), (39)

2 \ pMMo J

где R (x,y; xo,yo) — регулярная функция в точке Mo (xo,yo). Теорема доказана.

Заменяя в (21) 7 на его значение из (38), получаем фундаментальное решение уравнения с особенностью в точке Mo (0, yo)

(yv )-m/4

£ (x, y; 0, yo) _ -c---P-k + Ф4 (x, У; yo) ■ (40)

Также нетрудно доказать, что для фундаментального решения £ (x,y; С,п) имеют место следующие асимптотические формулы:

d£/dy _ о(1) при y ^ 0, д£/дп _ о(1) при п 0- (41)

Теперь исследуем поведение фундаментального решения в точках координатной оси Ox (y _ 0). Для этого применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига Т^°

о- t п\ YnCk

qCo-0) = 2+г{—Г)x

П

xj {С2 + V2 + Co - 2CCo cos y)-v sink-1 ydy + ф (С,п; Co), (42)

o

где ф (C,V; Со) — регулярная функция в точке (£o, 0), С= л/лГ (k) /Г {k+r). Как раньше, интеграл из (42) запишем в виде

П

J _ J {грр0 + 4CCo sin2 (y/2))-v sink-1 ydy + ф (£,ц; Co)- (43)

o

Разность Ф (С, п; Со) между этим интегралом и интегралом

п

! фк-1 (г2рр0 + ССоР2)-йф

является регулярной функцией от С, п, в точке Ро (Со, 0) (т.е. для Грр0 = 0). Так что интеграл 3 можно представить в виде

п

3 = I (ГРРо + ССоф2)Р фк-1йФ + ф (С, п; Со)•

о

Производя в этом интеграле замену переменной по формуле ф = Грр0 (ССо)-1/2 Т, получим

п(ао)1/2/ГРР0

3 = г-р0 ш-к/2 I (1 + т2)-итк-1йт + ф(С,п;Со)•

0

Этот интеграл при малых значениях грр0 также можно представить в виде

п{££0)1/2/грр0

3 = г-р% Ш-К/2 I (1 + Т2)-иТк-1йт + ф1 (С,п;Со)•

1

Разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд, получим тк+1 (1 + т2)-и = т-(а+1) - (к + а) /2 • тр(а+3) +

+ (к + а) /2 ((к + а) /2 + ^ т-(к+5)

+-------------21------------Т •••

Нетрудно проверить, что этот ряд сходится равномерно в [1, то). Интегрируя его почленно, имеем

п(^0)1/2/грр0

3 = трр,0 (ССо)-к/2 ! (т-(а+1) - (к + а) /2 • Т-(а+3 + ...)йт+

о

+Ф (С, п; Со) = 1/а • грр0 (ССо)-к/2 + Ф(С, п; Со) •

В результате имеем

(ССо)-к/2 =

з = «—гРар0 + ф(С,п; Со), (44)

где грр0 = ((С — Со)2 + п2)1/2 - расстояние между точками Р(С, п) и Ро (Со, 0),

Ф (С, п; Со) - регулярная в точке Ро (Со, 0) функция. Отсюда и из (42) следует, что решение ^ (С, п; Со, 0) уравнения (4) в Е+ в точках координатной оси п = 0 может быть представлено в виде

д(С,п;Со,0) = -V)гра0 + Ф(С,п;Со) • (45)

Возвращаясь в (45) к переменным х и у, с учетом формул (3) получаем фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точках координатной оси у = 0

е (х у; хо, 0) = 7 а^Г ^ -^и) Р- + Ф (х, У; хо) • (46)

Отсюда следует, что фундаментальное решение (46) уравнения (1) имеет в точках координатной оси у = 0 степенную особенность вида р-а. Заменяя в (46) 7 на его значение из (38), получаем

к (ХХп)-к/2 _

е (х,у; хо, 0) = —200с---Р-а + Ф(х,У; хо) • (47)

2. Интегральное представление решения и вытекающие из него свойства решений

Пусть функция и € Ор (0+) П 0$ является решением уравнения (1)

в области Б+ и Мо (хо,уо) € Б+. Рассмотрим окружность 0м0е с центром в точке Мо и радиуса е такого, что 0м0е С 0+. Обозначим через область,

ограниченную осями координат, кривой Г+ и окружностью 0м0£. Ясно,

что е (х,у; хо ,уо) € Ор (0+) П Оо (^0+^ является решением уравнения (1) в

области 0+ и в силу (5) удовлетворяет условию

де (х, у; хо, у о)

ду

= 0. (48)

y=0

Применяя к функциям u (x,y) и e (х,у; х0,у0) вторую формулу Грина в области D+, с учетом условия (48) получим

У (e (С, п; хо, Уо) A[u] - uA[e (С, п; хо, Уо)])Скdr+ = г+

= J (e (С,п; хо, Уо) a [u] - uA [e (С,п; хо ,Уо)]) Ck dÜMos = Iis - hs■ (49)

CMo

Ясно, что при e ^ 0 I\e ^ 0. Интеграл для I2e имеет такой же вид, что и интеграл (32). Аналогично доказательству, проведенному для этого интеграла доказывается, что

lim I2e = -u (Xo,yo). (50)

e^ü

Переходя к пределу при e ^ 0 в формуле (49), с учетом (50) получаем u (xü,yo) = j (e (С, П; хо,Уо) A[u] - uA[e (С, rj; Xü,yü)])CkdT+. (51)

Г+

Пусть теперь Mü (xü,yü) G Г0, yü > 0, и CM0s ~ полуокружность с центром в точке Mü (0,y0) и радиуса ö такого, что CM0s С D+ U Г0. Обозначим через D+ область, ограниченную кривой Г+, осями координат и полуокружностью

CMoS.

Рассмотрим также четное по х решение уравнения (1) в области D+,

удовлетворяющее условию du =0. Применяя к функциям u (x,y) и

У y=ü

e (x, y; 0, yü) вторую формулу Грина в области, с учетом формул (41) получим

У (e (С, п; 0, yü) A[u] - uA[e (С, п; 0, yo)])£kdr+ = г+

= j (e (C,n;0,yü) a [u] - uA [e (C,n;0,yü)}) Ck dCMoe = IiS - I2S ■ (52)

CMq£

Очевидно, что при ö 0 Iis 0. Вычислим предел при ö 0 интеграла

I2S = j uA[e(c,n;0,yü)\ckdC+0s■

C+

cM05

Заменяя здесь e на его значение из (40), получим

—т/4 „

I2S = J uA[p—k] Ск n—m/4dC+os + J2S ■

2Ck

+

CMo5

Также очевидно, что при 5 ^ 0 ,12$ ^ 0.

Теперь вычислим предел при 5 ^ 0 интеграла

—т/4„

JiS = ^ J uA[p—k] Ck n—m/‘dCM,oS ■ (53)

C+

CMo5

Вычисляя конормальную производную А [р к] и пользуясь формулой Лагранжа (35), приведем интеграл (53) к виду

*£ = — ^ / иК.п) *

с+

сЫ0$

птС2 + (Уо + д (у - yo))m/2 (п - Уо) пт/2 ,k -m/4dr+

О 2 / л/ \\m/ -s2lk/2+1 С п aCMo¿ ■

[С2 + (У0 + д (П - У0)) (П - У0) ]

Полагая здесь С = д cos ф, п = Уо + д sin ф, имеем

/Л п/2

ку~т/4 Í

Jis = - А Г и (5 cos ф,уо + 5 sin ф) х

2Ck д J

—п/2

(У0 + 5 sin ф)т д2 cos2 ф + (у0 + дд sin ф)т/2 д2 sin2 ф (у0 + 5 sin ф)т/2 [д2 cos2 ф + (y0 + д5 sin ф)т 52 sin 2ф]к/2+1 х5к cosk ф (y0 + д sin ф)-т/4 д(1ф■

Сокращая на дк+3, получаем

тп/2

ку-т/4

Jis =-2C— J и (д cos ф,У0 + д sin ф) х

-ж/2

(y0 + 5 sin ф)т cos2 ф + (уо + дд sin ф)т/2 sin2 ф (y0 + д sin ф)т/2

[cos2 ф + (y0 + дд sin ф)т sin 2ф\к/2+1

х cosk ф (y0 + д sin ф)-т/4 (1ф■

Переходя здесь к пределу при д ^ 0, имеем

ж/2 k ku (0, y0) Í у0т cosk ф(1ф

Ji = — ~

2Ck J [cos2 ф + У0т sin 2ф1^/2+

—п/2

ки (°,Ш) 7 ут/2Яяф = (ф) и (0уо) = - Пи (0,уо)

-------------------------------1 --------------------------------------------------------------- ----------------

2Ck J [1 + У^ф]^1 2CkГ (к/2) 2

—п/2

Отсюда и из (52) следует, что

и (0, уо) = П J (е (С, п; 0, Уо) A[u] - uA[e (С, п; 0, Уо)])^dF+. (54)

r+

X

X

Теорема 2. Если функция u (x,y) удовлетворяет условиям u (x,y) є Є CB (D+) П C1 (D+ U Гі); TB (u(x, y)) = 0, (x, y) Є D+, то lim u(x, y) = 0.

y^O

Доказательство. Пусть Mo (xo, 0) є Гі, xo > 0, и C+os — полуокружность с центром в точке Mo (xo, 0) и радиуса 5, такого, что С+оё С D+ U Гі. Обозначим через D+ область, ограниченную кривой Г+, осями координат и полуокружностью С+о$.

Применяя к функциям u (x,y) и є (x,y; x0, 0) вторую формулу Грина в области D+, с учетом формул (41) получим

У (є (£, п; xo, 0) A[u] - uA[e (£, п; xo, 0)])ÇkdT+ = г+

= j (є (І,п; xo, 0) A [u] - uA [є (£,п; xo, 0)]) £kйСш0є = Iis + hs■ (55)

CMqs

Также очевидно, что при 5 ^ 0 Iis ^ 0. Вычислим предел при 5 ^ 0 интеграла

hs = - J u (С,п) A [є (£,п; xo, 0)] CkdC+0s. (56)

C+

cMq5

Заменяя здесь є (£, п; x0, 0) на его значение из (47), получим

kx-k/2 rbvUf]

j и(i,n) A [р-а] e/2dC+nS + Jü

kx-k/2 I и(i,v) ik,2dC+oS + J*.

20а 7 Ра+1

сЫ0$

где р = ^(С — хо)2 + (т+_2)2 пт+2. Ясно, что при 5 ^ 0 .12& ^ 0. Вычислим предел при 5 ^ 0 интеграла

рк/2

т _ kx- / [ и (С, П) A [р\ Îk/2 dC+

JU _ 2Ca J ра+1 aCM°* ■

(57)

CM05

Сначала вычислим конормальную производную A [р]

A []t m ( t) др , ( ) др nm а- X0Ÿ + m+2 nm+2 f58)

A [р] + nm cos (n, О — + cos (n, rj)— _ ----------------------------- +=-■ (58)

di дп V« - xo)2+П2

0

Заменяя в (57) A [р] на его значение из (58), получаем

-k/2 , и (С п) \(С х )2 , 2 п21 пт

J1¿ =

kx—

и

2Ca5

С п) [(С - хо? + т+2 п2] птск/2 dCMо х 59)

р

а+2

yMoS ■

C+

Полагая в этом интеграле С = хо + д cos ф, п = д sin ф, получаем

J1S = -

кх— k/2 f и (хо + д cos ф,д sin ф) [д2 cos2 ф + т++2 д2 sin2 ф]

2С„д

д2 cos2 ф +

дт+2 sin т+2ф

(т+2)2

хдт sinm ф (хо + д cos ф)к/2 дdф■ Заменяя здесь а на его значение т++2, получаем

а/2+1

J1S = -

кх— k/2 f и (хо + д cos ф,д sin ф) [д2 cos2 ф + т++2 д2 sin2 ф]

2Стд

д2 cos2 ф +

;дт+2 sin т+2 ф

(т+2)2 '

хдт sinm ф (хо + д cos ф)к/2 дdф■

2(m + 2)

или

J1S = -

k/2 m(m+l) п / г г *\Г 2 2*2 1

кх— k/25 m+2 г и (хо + д cos ф, д sin ф [cos2 ф + т+ sin2 ф\

2С„

cos2 ф +

(т+2)

дт sin т+2ф

+ 4 2(m + 2)

х sinm ф (хо + д cos ф)к/2 dф■

(60)

Докажем существование предела при § ^ 0 интеграла из (60). Для этого в этом интеграле формально перейдем к пределу при § ^ 0

r ku (xo, 0) П {cos2 у + m+2 sin2 У) sinm У

h _ —---------- I --------------зт+4------------dy _

2Ст ки (хо, 0)

о

тп/2

cos m+2 ф

(cos2 ф + т+2 sin2 ф) sinm ф

3m+4

cos m+2 ф

+

2Cm

(cos2 ф + m++2 sin2 ф) sinm ф

dф+

n/2

ки (хо,0) 2Cm

cos m+2 ф

dф

= |tg ф = t\ =

i1+m+2 ñtmdt, í i1+m+2 ñtmdt

(1 + t2) m2+3m+4 ' I (1 + t2) m2+3m+

(1 + t ) 2(m+2) (1 + t ) 2(m+2)

+

m2+3m+4

0.

(61)

о

X

4

X

4

X

4

ж

Отсюда следует, что

lim Ju = 0. (62)

6^0

Переходя теперь в (55) к пределу при 5 ^ 0, с учетом предельного соотношения (62) получаем

I (e (С, п; X, 0) A[u] — uA[e (С, п; x, 0)])£kdr+ = 0. (63)

г+

Пусть M (x,y) — внутренняя точка области D+. Тогда в силу (51) решение уравнения (1) в этой точке может быть представлено в виде

u (x, y) = j (е (С, п; X, y) A[u] — uA[e (С, п; х, уШкdr+ (64)

г+

и в силу (63)

lim u (x,y) = I (е (С,п; х, 0) A[u] — uA[e (С,п; х, 0)])£kdr+ = 0. (65)

уJ г+

Теорема 3 (о принципе экстремума). Если функция u(x,y) класса

CB (D+) П Cl (D+ U Г1) П C (^D+^ удовлетворяет уравнению (1) в

области D+ и условию u(x, 0) = 0, то она достигает своих наибольшего

положительного и наименьшего отрицательного значений на границе Г+.

Доказательство. Пусть u(x,y) имеет наибольшее положительное значение во внутренней точке Mo (xo,yo) области, т.е. существует 5-окрестность точки Mo, где u(M) < u(M0) = u0 при M = M0 и u(M) > 0. Полагая в формуле (51) Г+ = Cm06 = дКм0б, получаем

У (е (С, п; xo,yo) A[u]CkdCMo6 — j uA[e (С, п; xo,yo)]CkdCM06 =

CMo 5 CMq5

= J6 + J5- (66)

На Cm06 e (С, п; xo,yo) > 0, A [u] < 0, u> 0, uA [e (С, п; xo,yo)} < 0. Поэтому J5 < 0, J5 > 0. Ясно, что при 5 ^ 0 J6 возрастая, стремится к нулю, а J5 возрастая, стремится к u0 и, следовательно, J5 < 0, J'j < u0. Отсюда и из (60) следует, что u0 < J5 < u0.

Полученное неравенство показывает, что функция u(x, y) не может иметь положительного наименьшего значения во внутренней точке Mo области D+.

Пусть теперь функция u(x, y) достигает положительного наибольшего значения в точке Mo (0,yo) £ D+, yo > 0. Это означает, что существует полукруг Км0б с центром в точке Mo и радиуса 5 такого, что K+06 £ D+,

где и(М) < и(М0) = и0 при М = М0 и и(М) > 0. Полагая в формуле (54) Г+ = °м05 , полУчаем

ио = у-т/А У (е (Ь п; ° Уо) А[и]£кйС+о& - у-т/4 х

СЫ05

х I иА[е (£,п;0,уо)]е йС+о, = 1'5 + 1%. (67)

с+

сЫо5

Как выше, на С+0$ е ((, п; 0, Уо) > 0, А [и] < 0, и > 0, иА [е (£, п; 0, у0)] < 0. Поэтому 3^ < 0, 3" > 0. Также при 5 ^ 0 3^ возрастая стремится к нулю,

а 3" возрастая стремится к и0. Поэтому 3^ < 0 и 3" < и0.

Отсюда и из (67) следует, что и0 < 3" < и0.

Полученное противоречие доказывает, что функция и(х, у) не может достигать наибольшего положительного значения и в точках границы Го.

По условию теоремы и(х, у) не может достигать наибольшего положительного значения и в точках границы Гь

Утверждение о положительном наибольшем значении доказано. Утверждение об отрицательном наименьшем значении доказывается переходом от и(х, у) к -и(х, у). При этом отрицательное наименьшее значение переходит в положительное наибольшее значение и, наоборот, положительное наибольшее значение переходит в отрицательное наименьшее значение.

Теорема 4. Существует решение уравнения, удовлетворяющее

условию: _______

и (х,у) = О (в~Ро) при Г = \/X2 + у2 ^ <Х),

где р0 = х + (^+2)2 ут+2'

Доказательство. Доказательство следует из свойства (27) фундаментального решения и интегрального представления решения (51).

Список литературы

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

Галяутдинова Лилия Фаритовна ([email protected]), аспирант, кафедра математического анализа, Татарский государственный гуманитарнопедагогический университет, Казань.

Мухлисов Фоат Габдуллович, д.ф.-м.н., профессор, кафедра

математического анализа, Татарский государственный гуманитарнопедагогический университет, Казань.

Integrated representation of the decision of one degenerating В-elliptic equation with negative parameter

L.F. Galyautdinova, F.G. Muhlisov

Abstract. The fundamental decision for the degenerating B-elliptic equation with negative parameter is under construction. Integrated representation of the decision of the equation is given.

Keywords : Bessel operator, McDonald’s function, fundamental decision.

Galyautdinova Liliya ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tatar State Pedagogical University of Humanities and Education, Kazan.

Muhlisov Foat, doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tatar State Pedagogical University of Humanities and Education, Kazan.

Поступила 12.02.2011