Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с положительным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 19-33 = Математика

УДК 517.956

Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с положительным параметром

А. М. Нигмедзианова

Аннотация. Строится фундаментальное решение для многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с положительным параметром. Дается интегральное представление решения уравнения.

Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода с положительным параметром, фундаментальное решение.

1. Введение

Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х',хр),х' = (х1,х2, ■■■,хр-1), ^-конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г.

Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение с положительным параметром вида:

Р-1 В2П В2П

Т(и) = хГЕ д. + ^ + = 0, (1

.7 = 1 3 Р

где т > 0, р ^ 3, Л € М.

Фундаментальные решения, интегральные представления, а также решения основных краевых задач (внутренняя и внешняя задачи Дирихле,

Неймана и N для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений:

хту ди + ди=0

р дх32 дхр ' "=1 р

V — + (х« ди) = 0

дху2 дхр \ р дхр ' '

Р— д2и т д 2и п

\__+ хт_ = 0

^ дх2 р дхр ' "=1 р

были рассмотрены автором ранее [1]-[4].

Вопрос об изучении многомерных эллиптических уравнений с отрицательным параметром

т Р—1 С)2и С)2и 2 ттт п

хр дж"2 + дх2 - ри =0

3 = 1 3 р

был также рассмотрен автором ранее [5].

Вопрос об изучении многомерных эллиптических уравнений с положительным параметром до последнего времени оставался открытым.

2. Фундаментальное решение

Обозначим через Со°(Е+) множество всех бесконечно дифференцируемых и финитных в Е+ функций.

Определение. Функция Е(х, хо) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке хо € Е+, если она удовлетворяет условиям:

1) для любой <^(х) € Со°(Е+), такой, что х0 € supp^>(х), имеет место равенство

/ Е(х,хо) Т[<^(х)]^х = -^(хо);

2) она является решением уравнения (1) во всех точках Е+ за исключением точки хо € Е+.

С помощью замены переменных по формулам

2 т + 2

С" =х", з = 1>р-1> Ср = хр2 (2)

ЕР

уравнение (1) приводится к эллиптическому уравнению с отрицательным параметром

д2и д2и т 1 ди ,2гт

£ а«2 + а!2 + тг^аср + = 0 (3)

Ясно, что 0 < тт+2 < 1 при т > 0. Решение уравнения (3) будем искать в виде

и («) = V (г), (4)

ГДе г = 4/Е Сг2.

>г г=1

Подставляя функцию (4) в уравнение (3), получаем

V,, + р - 1 + в V' + Л2 V = 0, (5)

г

где в = (т+2). Ясно, что 0 < в < 1 при т > 0. Умножая уравнение на г2, получаем

г^" + (р - 1 + в) г^ + Л2г2V = 0. (6)

С помощью замены переменных по формулам

V (г) = ( ^ 2 Ж (¿), г = Л (7)

уравнение (6) сводится к уравнению Бесселя

+ ¿Ж' + (¿2 - V2) Ж = 0,

где V = Р_2+в. Известно [6], что общее решение уравнения (8) имеет вид

Ж (¿) = (¿) + СЖ (¿), (8)

где ^(¿) и У,(¿) - функции Бесселя первого и второго родов соответственно, С1 и С2 - произвольные постоянные.

Возвращаясь в (8) к переменной г, с учетом формул (7) получим частное решение уравнения (5):

V(г) = аг_" (С1Л(Лг) + СЪУ,(Лг)), (9)

где а - нормирующая постоянная.

Известно [6], что при г ^ то имеет место следующая асимптотическая формула:

V(г) = о(г_^_ П . (10)

Из разложения функций Jv (t) и (t) в степенной ряд следует, что решение (9) может быть представлено в виде

V(r) = а r(v) + (ii)

п

где ^(r) - функция, имеющая в начале координат особенность вида r-27 (Y< v).

Функция (11) является решением уравнения (5) и имеет в начале координат степенную особенность вида r-2v.

Для получения решения уравнения (3) с особенностью в точке Со применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига т|°:

п

g (е;&) =а (V - ео I2+ер+ер° - 2еРеР° cos ^-v sine-1

Со), (12)

где С-1 = J sine-1 pdp = VnT ( §) Г-1 ( ^J1), Со) - регулярная в точке С0 функция.

Докажем, что интеграл (12) имеет степенную особенность в точке Со. Для этого рассмотрим в (12) подынтегральную функцию

|21 ер+ер° - 2еРеР° cos ^-v = (V - ео I2+ер+ер°-^

(|е' - еоI2+ер+ер° - 2еРСР° cos^ " = (V - еоI2+ер+ер° - 2ерСр°+

- p

+2ерСр°(1 - cos= (r2?°+4Срер° sin21) ", где 4° = £ (е, - е,)2 .

j=1

Тогда интеграл в (12) запишем в виде

п

j = J (V - ео I2+ер+ер° - 2ерСр° cos ^ " sine-1 ^

Р

о

п

У (r2?° + 4ерСр° sin2 %ine-1 ^ = (13)

п

= (ерСр°)-V / (w2 + 4 sin2 " sine-1 ^

Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 23 г2

где ш2 = ^ . Разность между интегралом (13) и интегралом

п

(«Р г/ (ш2 + # 0

является регулярной функцией от «, даже в точке «о, когда = 0, т.е. ш = 0. Обозначим ее через Ф({,{о). Тогда интеграл 3 можно представить в виде

п

3 = (СрСро )_" / (ш2 + # + Ф(С, Со).

0

Проводя в этом интеграле замену переменной по формуле ^ = шп, получим

П

и

3 = (СрСро )_" ш2_Р/ пв_1 (1 + п2) ¿п + Ф(С, Со) = 0

П

2_Р и

г С

= (СрСроГ-^ пв_1 (1 + п2)¿п + Ф(С, Со) =

П

и

= (еРеР°)_ 2 г- / пв_1 (1 + п2Г ¿п + Ф(С, Со).

о

Преобразуем последний интеграл:

П

и

3 = (СрСро )_ 2 47 I пв_1 (1 + п2Г ¿п + Ф(С, Со) =

о

те

= (еРеР°)_2 47/ пв_1 (1 + п2Г ¿п-

о

те

- (еРеР°)_2 47 у пв_1 (1 + п2) ¿п+ф(с, Со) = - 32 + ф(с, Со).

С помощью известной формулы [7]

те и

[ = 1 /А V г( V) Г (п + 1 - V) 0 <^<п + 1

У (р + дж*)га+1 vpn+1 V ^ Г(п + 1) , V ,

о

и

интеграл Л запишется в виде Л = (СрСро) — в г2—]Р1 пв-1 (1 + П2)"^ ¿П = (СрСрО)—2 ор2

Разлагая подынтегральную функцию интеграла в степенной ряд, получим

пв-1 (1+п2г=п3-1^ (1+п*) =п1-р ( 1+П2)""

= п1-р

1 -^п-2 + п-4- 2 (8 + 1) <8 + 2п-6 +

2 2! 3!

= п1-Р _ ^п-(Р+1) + 2(2 + ^ п"(р+3) _ 2(2 + ^ (2 +2) п-(р+5) +

/ ^ 2! 3! 1

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [п/ш, то), поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

Г (2) Г - в) в

Л = 2ГИ (СрСро)-2 г2-0Р + ф1(С, Со),

где Ф1 (С, Со) - регулярная в точке Со функция. Отсюда и из (12) следует, что

С(С;Со) = (СрСро)-в р + Ф2(С;Со). (14)

Возвращаясь в (14) к переменной х, с учетом формул (2) и значений

V = р-, в = (т+), имеем

д 2и-1-вСв(т + 2)^ ( в \ (р - 2 Ч т 2-р ^ РЧ ,

Е (х; хо) = -п-г ( 2 ] Г ) (хрхро ) 4 РххО + Е (х; хо) =

= <?(х,хо) + Е *(х,хо),

(15)

/р-1 2 2 2 / т + 2 т + 2 \ 2

где Рххо = ]1 = (х" - х"0) + (т+2) (хр 2 - хро^ , Е*(х, хо) - регулярная функция в Е+.

Из формул (10) следует, что при рХХ0 ^ то имеет место асимптотическая формула

Е(х; хо)= о(р-0-1/2) .

Докажем, что при определенном значении постоянной а функция (15) удовлетворяет равенству (1) и, следовательно, является фундаментальным

решением уравнения (Т) с особенностью в точке хо € Е+. Для этого введем формулы Грина для оператора Т.

Обозначим через СП(Д) множество п раз непрерывно дифференцируемых функций в Д.

Пусть функции и € С2(Д) П С 1(0), V € С2(Д) П С^Д) . Непосредственным вычислением можно убедиться, что имеет место тождество

VT [и ] + (^у дидК + дКА ^ =

у р 4=1 дх4- дх4- дхр дхр у

= у1 А —^ + А (V—^ + Л2хтик.

4=1 дх^ \ р дх4- / дхр \ дхр у р

Интегрируя обе части этого тождества по области Д и пользуясь формулой Остроградского, получаем

Г ггл, ^ тди дК дКди\,

ГТ[и|Йх +У (х4 + вж;aжp)dx =

= У КА[и]^Г + Л2 J х^ик^х, (16)

Г Д

р-1

(

"р

где А[и] = хт £ еов(п, х4-) + еов(п, хр) дрхг- - конормальная производная,

4=1

п - единичный вектор внешней нормали к границе. Формула (16) называется первой формулой Грина для оператора Т.

Меняя местами и и V в формуле (16), имеем

Г гтл, Г/ дК ди ди ,

Уит[^х+У №дх4 + вх;дхр)Йх =

Д Д 4 4 = 1 7

= У иА[К]^Г + Л2 У х^ик^х.

Г Д

Вычитая это равенство из (16), получаем

У [КТ[и] - ит[крх = у [КА[и] - иА[К]] ¿Г. (17)

Д Г

Формула (17) называется второй формулой Грина для оператора Т.

Пусть <^(х) € С0ю(Е+), х0 € 8ирр<^(х) — фиксированная точка, 5жое — сфера с центром в точке х0 и радиуса е такого, что £жое С Е+, = {х € Е+ : |х| = Е, хр > 0} — полусфера в Е+ с центром в начале координат, такая,

что 8ирр ^ С где Q+ — полушар в Е+ с центром в начале координат и радиуса Е. Через Q+R обозначим область, ограниченную полусферой £+, сферой £Хо£ и частью гиперплоскости хр = 0.

Применяя к функциям (15) и ^>(х) вторую формулу Грина в области Q£lд, получаем

У [Е(х,хо)Т[р(х)] - <^(х)Т[Е(х,хо)]]^х =

= [Е(х,хо)А[^(х)] - ^>(х)А[Е(х,хо)]]^5Жо£,

где А — внутренняя конормаль к сфере £Жо£.

Так как в Q+R Т[Е(х, хо)] = 0, то последняя формула может быть записана следующим образом:

У Е(х, хо)Т[^(х)]^х = J [-Е(х, хо)А[^(х)] + ^(х)А[Е(х, хо)р£Жое =

9+й , ^ (18) Е(х, хо)А[^(х)]^5Жов ^ У ^(х)А[Е(х, хо)]^^ = А +

где A — внешняя конормаль к сфере SXo£.

Вычислим пределы при е ^ 0 двух интегралов в правой части последней

формулы. Ясно, что lim /'£ = 0. Вычислим предел при е ^ 0 интеграла £—>0

П = (x,xo)]dSxo£ = -(p - 2)

a

2 v-1-e Ce (m + 2)e

n

X П 2 ) Г( (Xpo)-f / ^(x)pX-oPA[pxxa^ dSxo£ + J"£.

Также нетрудно доказать, что

(19)

lim JW£ = 0. (20)

£— 0

Вычислим предел интеграла

J£ = -(p - 2)a 2V-1-eCe(m + 2)er (ä) г () (xpoГ t x

n - V 2 Г V 2 ' v po;

f 1 _mm

x / ]xP 4 dSxo£

SXn£

и

Sx0£

Sx0£

X

SXn£

o

при е ^ 0. Вычисляя конормальную производную А[рХХо] и пользуясь формулой Лагранжа /(х) — /(х0) = /'(х0 + в(х — х0))(х — х0), где 0 < в < 1, получаем

a 2V—1—eCe(m + 2)e (P\r(p — 2\ (xPo)-т

Л = — (p - 2)-f-^г

mP"1 2 m т. 2

X/ (xj — xjo) + (xpo + $(xp — xP0)) 2 xp2 (xp — xP0)

x ((x)-

p xp dSxo£ • /p— 1 \ 2

E (x -

- xjo) + (xpo + $(xp xpo

))m(xp — Xpo )2

j=1

Переходя в этих интегралах к обобщенной сферической системе координат ' x1 = x1o + r sin ф1 sin ф2. • • sin 0p—2 sin 0p—1, x2 = x2o + r cos ф1 sin ф2. • • sin 0p—2 sin 0p—1, Хз = X3o + r cos 02 - • • sin 0p—2 sin 0p—1,

Xp—1 = Xp—1o + r cos 0p—2 sin 0p—1, Xp = Xpo + r COs 0p—1,

(0 ^ r < то, 0 ^ < 2n; 0 ^ ^ n; v = 2, — 1) и учитывая, что

элемент поверхности сферы представляется в виде dSXQ£ = £p-1 sin ... ... sinp-2 .. d^p-1, имеем

a 2V—1—e Ce (m + 2)^ (^(p — 2\ (xpo) — ^

> . . КЛ) ¿d W /4 \ I I (/ ¿d I / < / \

Л = —(p — 2)-f-^ W2)r

2п n

0 n

X J sin (£>2^2 У sinp 3 ^p—2 d^p—2X

0 0 0

xj ((x1o + £ sin (ь^ sin (p—;!,•••, Xpo + £ COs (p—1)x 0

(Xpo + £ COs (p—1)m£2 sin2 (p—1 x p +

(£2 sin2 (p—1 + (Xpo + 0£ COs (p—1)m£2 COs2 (p—^ 2

, \ m / ^ ч m 22

(Xpo + £ COs (p—1) 2 (Xpo + COs (p—1) 2 £2 COs2 (p—1 + p x

(£2 sin2 (p—1 + (Xpo + 0£ COs (p—1)m£2 COs2 (p—^ 2

x(xpo + £ cos (p—1) 4 £p 1 sinp 2 (p—1d(p—

X

£

n

Сократив на ер+1 и переходя к пределу при е ^ 0, получаем

J' = - (p - 2)-

2 v-1-e Ce (m + 2)^ fP\rfp - 2

2n

П

H^lr

(жР0) 2 <^(xq) / d^i.

П П

f ■ p-3 A i sinp_2 ^p-ld^p-1 . . sinP ^p-2 d^p_2 / -—2---—

q q (sin2 1+xmcos2 ^p-1 j

где J' = lim J'£.

£—>Q

2п n _

Учитывая, что f d<^1 / sin • • / sinp-3 ^>p_2 d^>p_2 = ^ПуЛ) ([8],

Q Q Q г ( 2 )

с. 62), имеем

J' = -(p - 2)a 2v_eCe(m + 2)eГ(в/2)п(xpo) ^ <^(xq)x

sinp 2 <£p_1d<£p_1

(sin2 ^p_1 + xm0 COs2 ^p_1

Преобразуем последний интеграл в (21):

sinp 2 ^p_1d^p_1

п/2

(sin2 ^p_1 + xm cos2 2

=2

sinp 2 ^p_1d^p_1

(21)

(sin2 ^p_1 + xm cos2 2

n/2

=2

tgp 2 ^p_1d(tg ^p_1)

p

(tg2 ^p_1+xm)2

= 2 XP0 2

n/2 m m

f (xP02 tg ^P_1)P_2d((xP02 tg ^p_1)

Используя замену

(xP02 tg ^p_1)2 + 1

получаем

Xp0 2 tg ^p_1 = t, ^p_1 = 0, t = 0, П

^p_1 = 2, t = то,

1 — 2xP0 2

tp_2dt (1 + t2)p

p

2

П

x

p

П

С помощью известной формулы

Е

°° ж^-Чж 1 (p\v Г( V) Г (n + 1 - V)

J (p + )n+1 vp^1 \ q / Г(п + 1) v

0

имеем

r — 2 - т 1 Г ( ) Г (1)

1 — 2жро -

, 0 < - < n + 1,

2 г( i;

Подставляя полученное выражение в (21), имеем

_ Г ( 2 ) Wр-А)

j' — -(p - 2)а 2v-ece(m + 2)вп^ V 2Г (g) 2 ^(жо). (22)

Г V 2/

Находим нормирующую константу:

г(§:

(23)

(p - 2)2^-впЕ_г (m + 2)вГ (2+1) Г (ЩЦ)

Следовательно, имеет место следующее предельное соотношение:

lim / ^>(ж)А[Е(x,xo)]dSxo£ — -^(жо). (24)

е^0 у

Переходя к пределу в (18) при е ^ 0 и R ^ то, с учетом (23), предельных соотношений (20), (22) и финитности функции <^(ж), получаем (1).

Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке жо представляется в виде

г () г (i;

(p - 2) 2п 2 Г (2-1)

E(ж,ж0) - p (2-i ) (жржро) 4 Ржжр + E (ж; ж0),

где Е*(х, х0) - регулярная функция в Е+.

Нетрудно доказать, что для фундаментального решения Е(х, х0) имеют место следующие асимптотические формулы:

/ - Т- (р-2) Т+2\

E(С, ж) — O ( Жр 4 № J 2 J при Жр ^ 0,

^^l-X)— O (жр-Т-1-(2-2)^) при Жр ^ 0, (25)

dE (С, ж) - т-(р-1) тъ^

/ - Т-(р-1) т+2 \

джр — о(ж2 4 > 2 ) при ip ^0,

E(ж, ж0) — O (р-0(р-2)) , A[E(ж, ж0)] — O (р-0) , r — ^ж" + ... + ж" ^ то,

где

2 Р-1 2 ( 2 V m 2

px0 = X/ ж2 + ( m + 2 ) жт + ' j=i

3. Интегральное представление решения уравнения (1) и вытекающие из него свойства

Пусть функция и (ж) € С 2 (О) П СО (О) — решение уравнения (1) в области О.

Зададим в области О произвольную точку жо. Вырежем эту точку шаром Радиус е возьмем столь малым, чтобы шар £ целиком находился внутри области О. В области О£ = О \ фундаментальное решение Е(ж,ж0) уравнения (1) принадлежит классу С2(Ое) П С0(О£) и в силу (25) удовлетворяет условию

дЕ (ж, ж0)

джр

= О. (26)

Хр=0

Применяя к функциям U(ж) и Е(x, ж0) вторую формулу Грина для оператора T в области D£, с учетом условия (26) получим

У[Е(ж,жо)А[и(ж)] - U(ж)А[Е(ж,жо)]]^Т =

Г (27)

= [E(ж, жо)А[и(ж)] - U(ж)А[Е(ж, жо)]]^5Жо£ = Де - ^.

Ясно, что lim /i£ = 0. Интеграл /2£ имеет такой же вид, что и интеграл £—>0

(19). Аналогично доказательству, проведенному для этого интеграла,

lim /2£ = -UЫ' (28)

£— 0

Переходя к пределу при е ^ 0 в формуле (27), с учетом (28) получаем [[Е(ж, ж0)А[и(ж)] - U(ж)А[Е(ж, ж0)рГ = U(ж0). (29)

Из интегрального представления (29) вытекают следующие свойства решений уравнения (1):

10. Существуют решения и (ж) уравнения (1) в области О, удовлетворяющие условию

/ _ т _(р_2) т+2 \

и (ж) = О (жр 4 ; 2 ) при жр ^ 0. (30)

20. Существуют решения и (ж) уравнения (1) в области Д= = Е+\Д, удовлетворяющие условию

и (ж) = О при г = у/ж? + ... + ж2 ^ то,

где

p-i

рХо = ^^ +

2 + 4 xm+2

5 (т + 2)2 р • 2=1

30. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления (29), сформулируем в виде теоремы:

Теорема (принцип максимума). Пусть и € С2(Д) П С(Д) — 'решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (30), тогда функция и (ж) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю.

Доказательство. Пусть функция и € С2(Д) П С(Д) удовлетворяет уравнению (1), условию (30) и достигает своего наибольшего положительного значения и в некоторой внутренней точке Мо(жо) области Д, т.е. существует ¿-окрестность фХ0§ точки ж0 (шар), где

и (ж) < и (ж0) = и ж = ж0 , и (ж) > 0. (31)

Полагая в интегральном представлении (29) Г = £Ж0§, где £Ж0§ — сфера с центром в точке ж0 радиуса получаем

и(ж0) = У Е(ж,ж0)А[и(ж)]^£Ж0г - J и(ж)А[Е(ж,ж0)]^£Ж0г = Лг + 125.

Sxо 5 Sxо 5

(32)

Здесь конормаль А — внешняя по отношению к сфере Sx0<, Е(ж, ж0) > 0 и U(ж) > 0 в силу (31), поэтому A[U(ж)] < 0, А[Е(ж,ж0)] < 0 и, следовательно, Iii < 0 и /2Й > 0. В силу (24)

lim = lim / Е(ж, ж0)А[и(ж)]^£Жог = 0, 5—>0 5—0 J

Sxo5

lim I2< = lim / U(ж)А[Е(ж,ж0)]dSX0< = U(ж0) = U0. < — 0 < — 0

Sxo5

Значит, при 5 ^ 0 Ii< возрастая стремится к нулю, а /25 возрастая стремится к U0. Отсюда следует, что

/i< < 0, /25 < U0. (33)

Заменяя в правой части формулы (32) во втором интеграле U(ж) на Uo и учитывая оценки (33), получаем U0 < /2<s < U0, т.е. U0 = U0.

Полученное противоречие доказывает справедливость первого утверждения теоремы. Второе утверждение доказывается переходом от U к —U. При этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное значение.

Следствие. Если функция U € C2(D) П C(D) — решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (30), то

|U(ж)| < max|U(ж0)|, ж € D. В частности, если U(ж) = 0, то U(ж) = 0 в D.

Список литературы

1. Нигмедзянова А. М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 2007.

2. Нигмедзянова А. М. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2007. №1 (536). С.34-44.

3. Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.72-82.

4. Нигмедзянова А. М. Решение краевых задач N для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом интегральных уравнений // Изв. Смоленского государственного университета. 2012. Вып.4. С.363-374.

5. Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.1. С.28-42.

6. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949.

7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

8. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1966.

Нигмедзянова Айгуль Махмутовна (aigmani@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Integrated representation of the solution of one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind

with positive parameter

A. M. Nigmedzianova

Abstract. The fundamental solution for the multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with positive parameter is under construction. Integrated representation of the solution of the equation is given.

Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with positive parameter, fundamental solution.

Nigmedzianova Aigul (aigmani@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, department of higher mathematics and mathematical design, Institute of mathematic and mechanic after N.I. Lobachevsky, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 01.08.2014