CC BY
27
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 28-42
= Математика
УДК 517.956
Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром
А. М. Нигмедзянова
Аннотация. Строится фундаментальное решение для многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром. Дается интегральное представление решения уравнения.
Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода с отрицательным параметром, фундаментальное решение.
Введение
Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х ,хр),х = (х\,х2, ...,хр-1), О — конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г.
Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение с отрицательным параметром вида:
Р-1 д2П В2 и
Т и)=*тИ ^-2 + %■! - Л2хти=о «
3 = 1 1 р
где т> 0, р ^ 3, Л € М.
Фундаментальные решения, интегральные представления, а также решения основных краевых задач (внутренняя и внешняя задачи Дирихле, Неймана и N для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений
тр— д2 и д 2и п
хт \--------1_____= 0
х ^ дх12 + дх% ’
3 = 1 р
р— д— + _д_ ( а—\
1=1 дхз2 дхр \р дхр )
р4 д2и т д2и п
\________+ хт____= о
^ дх,2 + Хр дх2 ’
з=1 р
были рассмотрены автором ранее в [1-5].
Вопрос об изучении многомерных эллиптических уравнений с отрицательным параметром до последнего времени оставался открытым.
1. Фундаментальное решение
Обозначим через С°° (Е+) множество всех бесконечно непрерывно дифференцируемых и финитных в Е+ функций.
Определение. Функция Е(х,х0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке хо € Е+, если она удовлетворяет условиям:
1) для любой ф(х) € С°(Е+) такой, что х0 € впрр ф(х) имеет место равенство
/ Е(х,хо) Т[ф(х)]^х = -ф(хо);
2) она является решением уравнения (1) во всех точках Е+, за исключением точки хо € Е+.
С помощью замены переменных по формулам
2 то+2
т + 2
Сз = хз, 3 = 1,Р - 1, Ср = —Г7Гхр 2 (2)
уравнение (1) приводится к эллиптическому уравнению с отрицательным параметром
д2и д2и т 1 ди ,2тт
^ Щ + Щ + т+2 с, дер- хи = 0. (3)
Ясно, что 0 < т+2 < 1 при т > 0.
Решение уравнения (3) будем искать в виде
и (С) = V (г), (4)
где г = у Е &
Подставляя функцию (4) в уравнение (3), получаем
V,, + р - 1 + в V' - X2 V = о, (5)
г
где в = (т+2). Ясно, что 0 < в < 1 при т > 0.
ЕР
Умножая уравнение на г2, получаем
т2У" + (р - 1 + в) гУ - Л2г2У = 0. (6)
С помощью замены переменных по формулам
. —Р—2+в .
У (г) = ( Л) 2 W (г), г = д (7)
уравнение (6) сводится к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента
+ tWl - (г2 + и2) W = 0,
где V = р-2+. Известно [6], что частными решениями этого уравнения являются функции Бесселя от чисто мнимого аргумента 1и(г), 1-и(г):
•^\^+2т
1и(г) = (и) = ,
т=0
и функция Макдональда
п Ш- 1-„(). (8)
2 81П ип
Возвращаясь в (8) к переменной г, с учетом формул (7), получим частное решение уравнения (5):
У (г) = аг-К„ (Лг), (9)
где а — нормирующая постоянная.
Известно [6], что при г ^ то имеет место следующая асимптотическая формула: ( )
У (г) = О (е-г) . (10)
Из разложения функций 1и(г) и 1-и(г) в степенной ряд следует, что
решение (9) может быть представлено в виде
У (г) = 21+„ га(1 - и) г-2и + ^(г). (11)
где 'ф(г') — функция, имеющая в начале координат особенность вида г-2в (в < V).
Функция (11) является решением уравнения (5) и имеет в начале координат степенную особенность вида г-2и.
Для получения решения уравнения (3) с особенностью в точке £о применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига Т^°:
П
Я(С; Со) = 2+^г(1в-~V) / (С - ^012 + СР + - 2Ср£р°СОй ф) х
0
х 81пв-1 ф(1ф + ф*(£; Со), (12)
где С-1 = / 8ІПв 1 фйф = л/^Г ^ 2 ) Г 1 ^ , ^(С) Со) - регулярная в точке
у 1 — Г С1Пв 1 тгЬп — . ГПГ ( р\ г-1 .
022 С0 функция.
Докажем, что интеграл (12) имеет степенную особенность в точке Со. Для этого рассмотрим в (12) подынтегральную функцию
(|С' — СО|2 + СР + Ср0 - 2СрСро сое ^ ^ - Є0І2 + СР + Ср0 - 2СрСро +
+2СрСро(1 - сой ф)- = (^2?0 + 4СРСР0 8Ш2 |) ,
гДе г2^ = Е (С3 - 3)2-
3 = 1
Тогда интеграл в (12) запишем в виде
П
3 = У (|С - С0|2 + С2 + СРо - 2СРСР0 сОЙф) 8Іпв_1 фйф =
О
П
У (г2?о+4срсро йіп2 вшв—1 = (13)
“<2* -I- Ч-ГРГР- N111 2
0
П
(СрСро)~и J (^2 +4 8ІП2 8ІПв_1 фйф,
где ш2 = ^“ТТ2- • Разность между интегралом (13) и интегралом
— I ,пв~1 Л.,2 + ф^
(СР СР0) "І фв 1 (,2 + ф2) ” йф
0
является регулярной функцией от С даже в точке Со, когда г^0 = 0, т.е. ш = 0. Обозначим ее через Ф(С,Со). Тогда интеграл 3 можно представить в виде
П
3 = (СрСроГ" f фв-1 (,2 + ф2)-1' йф + ф(С,Со) о
Проводя в этом интеграле замену переменной по формуле ф = шц, получим
П
и
3 = (срсро)-У ,2-Р J пв-1 (1 + п2)-и + ф(С,Со) =
2—р и
г г
= (СРСР0)—------€€° 2—р пв-1 (1 + п2)-- Лп + ф(С,Со)
(СрСро )— о
п
и
= (срср°)-2 г?-°Р / Пв-1 (1 + П2)-и Лп + ф(С. Со)-о
Преобразуем последний интеграл:
п
и
3 = (СРСР0)- 2 г1-0Р J пв-1 (1 + П2Г Лп + Ф(С, Со) = о
сю
(СРСР0)-2 г1-0Р У пв-1 (1 + п2)-и Лп-
- (СРСР°) 2 г|-Р I пв 1 (1 + п2) - Лп + Ф(С. Со) = 31 -32 + Ф(С, Со).
С помощью известной формулы [7]
СЮ а
[ х^-1йх 1 /р\ * Г (Г (и + 1 - ^
, 0 < — < и + 1,
У (р + дхи)п+1 ирп+1 \ д / Г(п + 1) ’ и
о
интеграл 3 запишется в виде
в °г - в 1 г (2) г (Р^)
3 = (срср°) 2 г2-РIпв 1 (1 + п2) иЛп = (срср°) 2 г2-Р2--------------------•
о
Разлагая подынтегральную функцию интеграла 32 в степенной ряд, получим
пв-1 (1 + п2— = пв-1п-2" (1 + П2) = п1-Р (1 + ^ =
= п1-Р
22 п2 п2
1 _ ип-2 + 2 (2 + 1) п-4 _ 2 (2 +1) (2 +2) п-б +
2 1 2! 1 3! I •••
= п1-Р - ип-(Р+1) + 2 (2 + 1 п-(р+3) _ 2 (2 +0(2 + 2) п-(р+5) +
I 2 ' +2! ' 3! ' +
и
Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [П ; го), поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем
Г (2) Г (у - в) в
3 = ----- (СрСро)-2 г*- + Ф1(С, Со),
где Ф1(С, Со) — регулярная в точке Со функция. Отсюда и из (12) следует, что
Г (г (у______
6(С; Со) = 21+?(?- V) -----2 2Г (У)---~ (СРСР0)-2 г2-Р + Ф2(С; Со) (14)
Возвращаясь в (14) к переменной х, с учетом формул (2) и значений у = Р-+в , в = (РР+2) ,имеем
, апСр(т + 2)т Г(в) Г (Р2 ) т 2
Е(х; хо) = —22+и+ т— Г(1 - у)Г(у) (хрхро) 4 РххО + Е (х; хо) = (15)
= Е(х,хо) + Е *(х,хо),
1р— 1 2 2 2 ( т + 2 т+2^2
где Рхх° = д / £ (х^ - х7°) + ((^р 2 - Хр°^ , Е*(х, хо) — регуляр-
ная функция в Е+.
Из формул (10) следует, что при рхх° то имеет место асимптотическая
формула ( )
Е(х; хо) = О (е-Рхх°) .
Докажем, что при определенном значении постоянной а функция (15) удовлетворяет равенству (1) и, следовательно, является фундаментальном решением уравнения (Т) с особенностью в точке хо € Е+. Для этого введем формулы Грина для оператора Т.
Обозначим через Сп(В) множество и раз непрерывно дифференцируемых функций в В.
Пусть функции и € С2(В) П С 1(В), У € С2(В) П С1 (В) .
Непосредственным вычислением можно убедиться, что имеет место тождество
ут и ] + (х^т + д^ди) =
V Р 3=1 дхз дхз дхР дхР !
д ( ттг ди \ д ( ди \ 2 Рггт,
= Е дх~ \хР ¥дх~і) + дТр \ дх~р) - ХхР иУ
Интегрируя обе части этого тождества по области В и пользуясь формулой Остроградского, получаем
хр}'.^— ТГ—+ тт- тг— ) Лх =
т^гт, [ ( т2- ди дУ дУ ди\
[и 1<1х + У (хр 3=1 дї~ дх~з + дхр дГр)
= [утр - л2/ (ВД
о
р-1
где А[и] = х'р Е сов(п, х^-) ди + сов(п, хР) дди конормальная производная,
^=1 р
и — единичный вектор внешней нормали к границе. Формула (16) называется первой формулой Грина для оператора Т.
Меняя местами и и У в формуле (16), имеем
т- дУ ди ,
х^ у -— -------+ -— -— | Лх =
_ГтЛ1 [ ( трт1 дУ ди ди дУ\
ит[У]Лх + у (ір 3=1 дх;дхз + дхрвір]
= /иА[у]йГ - л2/хртиуйх
г о
Вычитая это равенство из (16), получаем
У [УТ[и] - ит[У]]йх = у [УА[и] - иА[У]] йГ (17)
о г
Формула (17) называется второй формулой Грина для оператора Т.
Пусть ф(х) Є Со”(Е+), хо Є Бирр ф(х) — фиксированная точка, БХ0є — сфера с центром в точке хо и радиуса є такого, что БХ0Є С Е+, Б+ = {х Є Е+ : х = К,хр > 0} — полусфера в Е+ с центром в начале координат такая, что Бирр ф С Q+, где Q+ — полушар в Е+ с центром в начале координат и радиуса Я. Через Q+R обозначим область, ограниченную полусферой Б+, сферой БХ0Є и частью гиперплоскости хр = 0.
Применяя к функциям (15) и ф(х) вторую формулу Грина в области Q+R, получаем
/ [Е(х,хо)Т[ф(х)] - ф(х)Т[Е(х,хо)]]йх =
= У [Е(х,хо)А[ф(х)] - ф(х)А[Е(х,хо)]]йБхоє,
^'х0£
где А — внутренняя конормаль к сфере БХ0Є.
Так как в Я+и Т[Е(х, хо)] = 0, то последняя формула может быть записана следующим образом:
У Е(х,хо)Т[ф(х)]^х = J [-Е(х,хо)А[ф(х)] + ф(х)А[Е(х,хо)]}йБх°£ =
^ (18) У Е(х, хо)А[ф(х)]<Л£х°е + У ф(х)А[Е(х, хо)]ЛБх°£ = I в + I" в,
&Х°£ &Х°£
где А — внешняя конормаль к сфере £х°В.
Вычислим пределы при е 0 двух интегралов в правой части последней
формулы. Ясно, что 11т I1 £ = 0. Вычислим предел при е ^ 0 интеграла £——о
I” В = [ ф(х)А[Е(х,хо)]й£х°£ = -(р - 2) апСв— + 22 х
2*2+^+
4
г ( 2) г( —
г(1 - V)г (и) К"Р0' I 'Г^"'хх°
(19)
2/ \2/ т / 1 т
(хР° )-т Ф(х)Рх-°РА[Р хх° ]хр ЛБх°В + ] В
Также нетрудно доказать, что
11т Г £ = 0. (20)
£— о
Вычислим предел интеграла
, апСр — + 2) т г ( §) г (Р"2“) т
] £ = -(р - 2) 22+^+ т г(1 - V)г (V) (хр°) 4 х
_ т
Ф(х)Рх-0РА[Р хх° ]хр ЛБх°£
при е ^ 0. Вычисляя конормальную производную А[рхх°] и пользуясь формулой Лагранжа / (х) - /(хо) = /(хо + 9(х - хо))(х - хо), где 0 < 9 < 1, получаем
V = _(р_2)апСв— + 2) 4 г(в)г(V) (хр°) ] £ (р ) 22+^+ т г(1 - V)г (V) е
р-1
хт е (хз- хз°)2+(хр°+9(хр - хр° )) 2 хр2 (хр - хр° )2 3=1 - —
ф(х)-----------------------------------------------— хр 4 ЛБх°£•
(Р-1 \ 2
^ Цх3 - х3°)2 + (хР° + 9(хР - хР°))т(хР - хР°)2^
X
^Х°£
Эхп£
Эхп£
Переходя в этих интегралах к обобщенной сферической системе координат ' х1 = х1о + Г вІП ф1 вІП ф2^ • • вІП фр-2 вІП фр-1, х2 = х2о + г сов ф1 вІП ф2^ • • вІП фР-2 вІП фР-1,
хз = хз0 + Г сов ф2^^ вІП фр-2 вІП фр-1,
xp— 1 — xp— lo + r Co) ф;— 2 )ln ф;— 1,
^ X; = Xp0 + r Co) фр-1,
( 0 ^ г < то, 0 ^ ф1 < 2п; 0 ^ фи ^ п; V = 2,... ,р - 1) и учитывая то, что элемент поверхности сферы представляется в виде йБх°£ = еР-1 в1пф2...
... в1пР-2 фР-1Лф1... ЛфР-1, имеем
г(в ) г(-)
Т = _(p_ 2) anCe(m + 2) 4 Ч 2 У 1 I 2 > (x;o) 4
J е (p 2) 22+^+ т Г(1 — v)r (v) є X
2п
х J dpi J sin ф2 dp2... J sinp 3 pp-2dpp-2x 0 0 0
П
X j ф(х1о + £ sin ф1. . . sin фр-1,...,Хр0 + £ cos фр-1)х
0
„ (XP0 + e cos ^p-i)ms2 sin2 фр-1 + (XP0 + e cos фр-l) ^ (XP0 + cos фр-i)42 e2 cos2 фр-1 x 2 p
(e2 sin фр-i + (Xp0 + 6e cos фр-i)me2 cos2 фр-i)2
х(хр0 + £ cos фр-1)- T £p-i sinp-2 pp-idpp-i.
Сокращая на £p+i и переходя к пределу при £ ^ 0, получаем
, anCe (m + 2) ? г(|) г (р—) m
J' = -(p-2) 2tv +V r(1 - v)r(v) (xpo)TФ(Х0)X
2п п n
f j [ . p-3 rl f sinp-2 <pp-id<fip-i
х dpi... sinp фр-2 dpp-2 -------------------------
()ln2 фр-1+xmo co)2 фр-l)2
где J1 = llm J1 e.
е^0
Jn П П p—1
Учитывая, что f dpl f )ln ф2dф2 ...f )lnp-3 фр-2 dфp-2 = ГП—)
oo о 1 ( 2 )
([В],стр.б2), имеем
Г (^ Wp—2'
anCe (m + 2) ™ Г( 2) Г(
2
J' = —(p — 2) 2l+v+?— г(і — v)г(v) (x;o>2 ^Xo)x
П
П
x
р—1 п 2
гТ^
з1пР 2 фр-1Лфр-1
(V) о (зп
= -(р - 2)
>з1п^ фр-1 + хт° соз2 фр-1)
апСв — + 2)22 г( I) п 2
21+^+ х г(1 - V)г (V)
Г з1пР-2 фр-1йфр-1
I Р
о (з1п2 фр-1 + соз2 фр-1)2
(хР°) 2 ф(хо)х
(21)
Преобразуем последний интеграл в (21):
з1пР 2 фр-1йфр-1
тт/2
о (й1п2 фр-1 + х]^° С°52 фр-1)
7т/2
=2
81пР 2 фр-1(1фр-1
'фр-1)'
=2
tgp 2 фр- 1^(1е фр^1) (tg2 фр-1 + х^°) р
= 2 хР°2
о фр-1 + х^;;° соз2
7Г/2 _т _т
[ (х-°2 tgфр-^-2^^2 tgфр-1)
((х-°2 ^ фр-1)2 + 1)
Используя замену
хр°2 tg фр-1 = г, фр-1 = 0, г = 0,
п
фР-1 — 2 , г — то,
получаем
I = 2хр°2
гр-2лг (1 + г2)р
С помощью известной формулы
о
имеем
Г(V) г (и +1 - V)
(р + дх")п+1 vpn+1 \ д ) Г(и + 1)
- ч 1 г (-)г (2)
0 < - <и + 1,
V
I = 2х
Р°
2
г (!:
Подставляя полученное выражение в (21), имеем
р—1
21+" + т г(1 - v)Г (V)
ж
X
р
X
ж
1
х(хР0) 2 ф(Жо) 2хР02 -
2 1 Г(^) Г( 1)
2 Г (2)
Р+2 Г ( в ^ Г I Р-1
= -(р- 2)аСв(т +2) 4 п 2 Ч2)11 2 - ф(х ) (22)
(Р ) 21+^+т Г(1 - ^)Г (V)Г (Р) ф( о)‘ ( )
Находим нормирующую константу:
1 _ тЛГ (,/) г ( _
,2
а =
21+^+ тГ(1 - V)Г (V)Г(2)
(р - 2)п^(т + 2)"гГ (|) Г (Р-1)
21+^+ тг(1 - v)Г(v)Г (Р)
(р - 2)п *+г (т + 2) т Г ( в++1) Г (Р-1) ’
Следовательно, имеет место следующее предельное соотношение
(23)
Нш / ф(х)А[8(х,хо)]йБХое = -ф(хо). (24)
£^0 у
^'х0£
Переходя к пределу в (18) при £ ^ 0 и К ^ то, с учетом (23), предельных соотношений (20), (22) и финитности функции ф(х), получаем (1).
Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке хо представляется в виде
Г (Р~2) Г (Р) т
8(х,хо) = ------ 2 р 2 1) (хрхро)-^ р1-р + 8*(х; хо),
(р - 2) 2П 2 Г( 2|_)
где 8*(х, хо) — регулярная функция в Е+.
Нетрудно доказать, что для фундаментального решения 8(х,хо) имеют место следующие асимптотические формулы:
( _т_(Р_2) т+2 )
8(«,х) = О (хР 4 2 ) при хР ^ 0,
д8хх)= О (х-?-1-(р-2) т+3 ) при % ^ 0, (25)
д8(М= О (х- 4 -(р-1) т+2 ) при «р ^ 0,
8(х,хо)= О (р-о(р-2)) , А[8(х,хо)]= О (р-р) при г = ^х\ + ... + хр ^ то, р-1 2
где рХо = Е х| + (т+|) хт+2.
3 = 1
2. Интегральное представление решения уравнения (1) и вытекающие из него свойства
Пусть функция и(х) € С2(Б) П С^(Б) — решение уравнения (1) в области
Б.
Зададим в области Б произвольную точку хо. Вырежем эту точку шаром QXoе. Радиус £ возьмем столь малым, чтобы шар Qx0е целиком находился внутри области Б. В области Бе = Б \ QXoе фундаментальное решение 8(х,хо) уравнения (1) принадлежит классу С2(Бе) П Со(Бе) и в силу (25) удовлетворяет условию
д8(х, хо)
дхР
Хр=о
0. (26)
Применяя к функциям и(х) и 8(х,хо) вторую формулу Грина для оператора Т в области Бе, с учетом условия (26) получим
У[8(х,хо)А[и(х)] - и(х)А[8(х,хо)]]^Г =
Г Г (27)
= [8(х,хо)А[и(х)] - и(х)А[8(х,хо)]]йБХ0е = Не - Ье-
^'х0£
Ясно, что Иш 11е = 0. Интеграл 12е имеет такой же вид, что и интеграл е^о
(19). Аналогично доказательству, проведенному для этого интеграла, доказывается, что
Нш 12е = -и (хо). (28)
е^о
Переходя к пределу при £ ^ 0 в формуле (27), с учетом (28), получаем [[8(х,хо)А[и(х)] - и(х)А[8(x,x0)]]dГ = и(хо). (29)
Из интегрального представления (29) вытекают следующие свойства решений уравнения (1):
1о. Существуют решения и(х) уравнения (1) в области Б, удовлетворяющие условию
( _т_(Р_ 2) т+2 )
и(х) = О (хР 4 2 ) при хР ^ 0. (30)
2о. Существуют решения и(х) уравнения (1) в области Бе = Е+\Б, удовлетворяющие условию
и(х) = О (р-о(Р-2)) при г = у/х2 + ... + хр ^ то,
р-1
/у2
30. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления (29), сформулируем в виде теоремы:
Теорема (принцип максимума). Пусть и Є С 2(Б) П С (Б) — реше-
стигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г7 если она тождественно не равна нулю.
Доказательство. Пусть функция и € С2(Б) П С (Б) удовлетворяет уравнению (1) и условию (30), достигает своего наибольшего положительного значения и в некоторой внутренней точке Мо(хо) области Б, т.е. существует 8 - окрестность Qx0s точки хо (шар), где
Полагая в интегральном представлении (29) Г = БХ0$, где БХ0$ — сфера с центром в точке х0 радиуса 8, получаем
Здесь конормаль А — внешняя по отношению к сфере БХ0$, Е(х, х0) > 0 и и(х) > 0 в силу (31), поэтому А[и(х)] < 0, А[Е(х,х0)] < 0 и, следовательно,
1ц < 0 и 126 > 0.
В силу (24)
Значит, при 8 ^ 0 1\$, возрастая, стремится к нулю, а 12$, возрастая, стремится к ио. Отсюда следует, что
Заменяя в правой части формулы (32) во втором интеграле и(х) на ио и учитывая оценки (33), получаем и0 < 12$ < и0,т.е. и0 = и0.
Полученное противоречие доказывает справедливость первого утверждения теоремы. Второе утверждение доказывается переходом от и к —и. При
ние уравнения (1), удовлетворяющее условию (30). Тогда функция и(х) до-
и(х) < и(х0) = и0 х = х0 , и(х) > 0. (*)
(31)
(32)
ііш Тхб = ііш / Е(х,х0)А[и(х)]йБХ0б = 0,
ііш І23 = ііш / и(х)А[Е(х, х0)]й^х0й = и(х0) = и0.
11ё < 0, 12ё < и0.
(33)
этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное значение.
Следствие. Если функция U € C2(D) П C(D) — решение уравнения (1),
удовлетворяющее условию (30), то \U(x)\ ^ max\U(x0)\, x € D. В частно-
жо€Г
сти, если U (x) = 0, то U (x) = 0 в D.
Список литературы
1. Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 2007.
2. Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Второй Всероссийской науч. конф. Ч.3. СамГТУ. Самара: СамГТУ, 2005. С.180-182.
3. Нигмедзянова А.М. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2007. №1 (536). С.34-44.
4. Нигмедзянова А.М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.72-82.
5. Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач N для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом интегральных уравнений // Изв. Смоленского государственного университета. 2012. Вып.4. С.363-374.
6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949.
7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
8. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1966. 207 с.
Нигмедзянова Айгуль Махмутовна ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Integrated representation of the solution of one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind
with negative parameter
A. M. Nigmedzianova
Abstract. The fundamental solution for the multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with negative parameter is under construction. Integrated representation of the solution of the equation is given.
Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with negative parameter, fundamental solution.
Nigmedzianova Aigul ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associated professor, department of higher mathematics and mathematical modeling, Lobachevsky Institute of mathematic and mechanic, Kazan (Volga Region) Federal University.
Поступила 15.01.2013
