Фундаментальное решение вырождающегося В-эллиптического уравнения с отрицательным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №1(23)

УДК 517.946

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ

© Ф.Г.Мухлисов, Л.Ф.Галяутдинова

В работе строится фундаментальное решение вырождающегося В-эллиптического уравнения с отрицательным параметром и изучаются его элементарные свойства.

Ключевые слова: математическая физика, дифференциальное уравнение, краевая задача, фундаментальное решение.

Пусть D+ - конечная область в первой четверти E2+ координатной плоскости Oxy, ограниченная кривой Г+ с концами в точках A (1,0) и B (0,1) и отрезками Г1 =[OA] и Г0 =[OB] осей координат соответственно Ox и 0у,

Б+ = E++ \ D+ , Dl+o = D+ и Г и Го.

Рассмотрим вырождающееся В-эллиптичес-кое уравнение с параметром вида:

TB (и) = упВхи + д2u/ду2 -Я2упи = 0, (1)

где Вх = д2 / дх2 + к / х •д / дх - оператор Бесселя, п > 0, к > 0, Я - заданные действительные числа.

Множество четных по х бесконечно непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем в Е+ обозначим через Ю+. Функции из множества Ю+ будем называть основными.

Определение 1. Функция е(х, у; х0,у0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке М0 (х0,у 0) е Е2+ , если она является решением уравнения (1) во всех точках Е2+ \ М0 (х0, у0) и удовлетворяет для любой основной функции р(х, у)е©£ , такой, что <р(х0, У0 ) 0, равенству

|+£(ху;xo,У0 )тв (У)х^Ыу = -р(У0), (2)

Е+

или в терминах обобщенных функций уравнению Тв ( (х, у; х0, У0 )) = — (х0 - х, У0 - у).

Пусть а = п / (п + 2) . С помощью замены переменных по формулам

# = х,п = (1 -а) У/(1~а) (3)

уравнение (1) приводится к В-эллиптическому уравнению с параметром

В?и + д2ы / дц1 + а/ц^ди / дц-Я2и = 0. (4)

Ясно, что 0 < а < 1 при п > 0 . Пусть

/ 2 2\1/2

г = \Е +п ) . Ищем решение уравнения (4) в

виде

и(%л) = и(г) . (5)

Подставляя функцию (5) в уравнение (4), получаем

и" + (к + а +1)/г •и'-Я2и = 0. (6)

Умножая это уравнение на г2, имеем г2и"+ (к + а +1)ги'- Я2г2и = 0. (7)

С помощью замены переменных по формулам

и = (/Л)-(к+а)/2Ж, г = г/Я (8)

уравнение (7) приводится к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента

г 2Ж" + Ж'-(г2 + у2 )ж = 0, (9)

где у = (к + а)/2. Известно [1], что частными

решениями этого уравнения являются функции Бесселя от чисто мнимого аргумента !у (г), !_у (г) и функция Макдональда

К (г) = п/2-( 1У (г)- 1-г ())^пп. (10)

Возвращаясь в (10) к переменной г, с учетом формул (8), получим частное решение уравнения (6)

и(г) = гг УКу (Яг), (11)

где у - нормирующая постоянная.

Известно [1], что при г ^<х> имеет место следующая асимптотическая формула

и(г) = 0(е-г) . (12)

Из разложения функций !у (х) и I у (х) в

степенной ряд следует, что решение (11) может быть представлено в виде

°(г ) = у+1 г(1 -у) г~2у+г(г), (13)

где у/(г) - функция, имеющая в начале координат степенную особенность вида г ~2в, где в < V .

Функция (13) является решением уравнения (4) и имеет в начале координат степенную особенность вида г.

Для получения решения уравнения (4) с особенностью в точке (0,п ) Е2 применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига Т^ :

g (,п;0,По ) = ^ х

х|(( +г]2 +ЦІ -2гщ0со$ф) рйр + (14)

о

+^*(#,п;по),

где ^*(^,п;По) - регулярная функция в точке Ро (0,По ),

С~а _ 18Іп“-1 рхір _ П/2Г (а /2) / Г ((а +1) /2) .

о

Докажем, что интеграл в (14) имеет степенную особенность в точке Ро (о,по / . Для этого интеграл запишем в виде

3 = 1 (гРРо + 4ппо8Іп2 (р/2)/ ” х

(15)

же можно записать в виде

-к ґ \-а/2

Разлагая подынтегральную функцию в (18) в степенной ряд, получим

= Т

-(к+а)/2

1 -((+а/2-т2+

(1 + 1/т2)

(к + а/2(( к + а/2 +1) 21

т 4 -

( + а)/2((( + а)/2 +1)((( + а)/2 + 2)

3!

т-6 + •

_т ^к+1) -(к + а)/2-і ( + а)/2((^ + а)/2 + 1) 21 '

-(к+3)

++

-(+5.

( + а)/2((^ + а)/2 + 1( + а)/2 + 2)

3!

т-<к+7)+^

х 8та-1 рс1р+у (пп).

Ясно, что разность Ф(^,п;п0) между интегралом (15) и интегралом

П

| Ра-1 (гРР0 + ппр2 У Лф (16)

0

является регулярной функцией от £, п даже в точке Р0 (0,п0) (т.е. для гРРо = 0). Так что интеграл 3 можно представить в виде

П

3 = КгРр, +пп0р2 У ра^р+ф(,п;п0).

0

Производя в этом интеграле замену переменной по формуле р = гРР (пп0) 12 т, получаем

3 = гр1 (пп)а/2 х

П(пп0 )1/2/ гРЩ ^ (17)

х | (1+ Т) та-1^т + Ф(^,п;п0).

0

При малых значениях ^ этот интеграл так-

3 = гРкР0 (пп)/2 х

П(п% )1/2/гРР0 ^ (18)

х I (1 + т2) "та-1^т + ф1 (пп).

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; да) . Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

3 _(пп )-“/2/ к • грР0 +ф 2 (2,п;по/, (19)

/ 2\ш где гРр _К2 + (-По) ) - расстояние между

точками Р(2,п) и Ро (о,По), Ф2 (2,П;По) - регулярная в точке Ро (о,по) функция. Отсюда и из (16) следует, что решение g (2,п;о,по) уравнения (4) в Е2* в точках координатной оси 2 _ о может быть представлено в виде

/ \—(Х/'2 ^

(2 П Ч П(ППо) Са -к ,

g(2'П;о'П")_/ к2"Т(1 -V) рро + (2о)

+ф3 (пп).

Возвращаясь в (2о) к переменным х и у, с учетом формул (3) и значений к_(к + а)/2,

а

_ т / ( т + 2) имеем

I \-т/4 „

I П Ч П( УУо) Са -к +

:(х, у;о.уо) _ у-------------------—р +

V ,у, г к2-+1 Г(1 -V) (21)

+ф4 (^ у; У0),

где Р = (х2 + 4/(п + 2)2 •(у(п+2)2 -у0п+2)/2) ) .

Отсюда следует, что решение (21) уравнения (1) имеет в точках координатной оси х = 0 степенную особенность вида р~к, такую же особенность, что и фундаментальное решение вырождающегося В-эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными [2]. Для получения решения уравнения (1) с особенностью в произвольной точке

(х0, y0 )е E+ применим к функции (21) оператор обобщенного сдвига T**0:

( ) ПУУ0 )-m/4 CaCk

g У *0-У )= k2~iF(1-,) Х

xjtx2 + ( -2x*0cos^+(y^”^2)/2 -.У0т2)/21 ) х ()

0

xsink-1 pdp+Ф^ ( y; *0, Уо),

где Ф4 (*, y; *0, у0) - регулярная в точке

M0 ( *0, У0 ) функция,

N-1 = Jsink-1 pdp = П/2Г(к/2)/r((k +1)/2).

0

Докажем, что интеграл в (22) в точке M0 (*0, y0) е E+ имеет логарифмическую особенность. Для этого этот интеграл, как раньше, запишем в виде

J = J (*2 + *0 - 2**0 + 2xx0 (1 - cos p) +

f4I(m + 2)2(

(m+ 2|/2 (m+2|I2

)2 ) kl2

y - yo • і x

x sln k -1 pdp =

(2З)

л

-1(pMm0 + 4xxosln2 (p/2)) sln)-1 PdP,

+ф(x, у; xo, У0).

Также последний интеграл можно представить в виде

J = (xx0)- 2 | (l + т2) тk1dт +

(25)

+^(x, у; У0),

где <//( х, у; х0, у0) - регулярная в Е2+ функция.

Разлагая подынтегральную функцию в (25) в степенной ряд, получим

тк -1 (1 + т2 )/2 = Т (1 + 1/т2 )/2 = к/2(к/2 +1

=т

1 - к I2 ■т2 +

2!

т 4 -

кI2(kI2 + 1)(кI2 + 2) _6 +

З!

= т 1 - к/2т з +

к I2(k I2 +1)

2!

т 5 -

0

где

рМм0 =(х - х0 )2 + 4/(п + 2)2 (у(+2)/2 - у0п+ 2)/2) .

Как раньше, разность ^(х, у; х0,у0) между интегралом (23) и интегралом

Г к-1/2 2 \~к/2

|р (р^ + хх0р ) )р является регулярной

0

функцией в Е+ . Отсюда следует, что интеграл 3 можно представить в виде

Г

К 2 - к/2 к-1

Рмм° + хх0р ) р-р 0 0 ' (24)

+ф(x, у; xo, У0).

С помощью замены переменной по формуле

р = (хх0) 1/2 рММо т интеграл (24) приводится к

п(хх0) / рмм0

виду 3 = (хх0) к/2 | (1 + т2) тклйт +

к/2(/2 +1)(/2 + 2) т 7 +

3 т +

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; да) . Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

3 = (хх0) 21п(1/Рмм0 ) + ^2 (x,У;^У0).

Отсюда и из (22) следует, что

/ \-к/2 / \-п/4

I Ч Г(хх0) (УУ0) СаСк

у;xo,У0) = ^ к -Т+1Г(/ 1/)----------х

к 2 Г(1 -у) (26)

х 1п (1/Рмм0)+Я ( у; xo, У0)

где Я (х, х0; у, у0) - регулярная функция в Е+ .

Из формулы (12) следует, что при рМШо ^<х> имеет место асимптотическая формула

£( у; xo, У0 ) = 0 (е~РМм° ). (27)

Докажем, что при определенном значении постоянной у функция (26) удовлетворяет равенству (2) и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке М0 (х0, у0) е Е+ . Для этого введем формулы Грина для оператора Тв. Обозначим через СВ (D+ ) множество четных по х, п раз

непрерывно дифференцируемых функций в D+ , а через С1 (В+)(с'0 (г+ )) - множество функций, удовлетворяющих условию

ди / ду|У=0 = 0(др/дп|п=0 = °). Пусть

и, и е СВ (D + ) п С° (D + ) . Непосредственным вычислением можно доказать, что

vTB (u) xk + (ymdu/dx •du / dx + du/dy •du / dy) xk =

= 3/ dx(xkymvdu / dx) + 3/ cy(xkvdu / 5y) -22 *kymuu Интегрируя обе части этого тождества по области D+ и пользуясь формулой Остоградского, получаем

JK (u )xkdxdy +

D+

+JJ(ymdu/dx •du / dx + 5u/ dy •du / dy '}xkdxdy = (28)

D+

= J u4[u]#kdr-22 JJgk t]muudgdt],

Г+ D+

где A[ ] = Пcos(n,g)d/Sg + cos(n,n)d/dn -конормальная производная, n - единичный вектор внешней нормали к границе Г+ .

Заменяя в формуле (28) местами u и и , получим

JJuTB ( и) xkdxdy +

D+

+JJ (ym du / dx • (и/dx + 5u / dy • Зи/dy ^)xkdxdy = (29)

D+

= J u^[u]^kdr-22 JJgknmuudgdn

Г+ D+

Вычитая из (28) формулу (29), получаем

JJ [UB (u) - uTB (^)]xk dxdy =

D+ r k (30)

= J (U[u] - u4[t>])^kdr+.

r+

Формулы (28) и (30) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора TB .

Пусть M0 (x0, y0 )е E+ и p(x, y)eDB+ такая, что p(x0, y0 ) 0. Рассмотрим окружность CM^s с центром в точке М0 и радиуса s и четверть круга KR с E2+ с центром в начале координат и радиуса R . Предполагается, что

CMs s с KR с Suppp. Четверть круга KR ограничена четвертью окружности CR+ и отрезками [0 R] и [R,0] осей координат x = 0 и y = 0. Обозначим через G++R область, ограниченную окружностью CMss и границей четверти круга

KR . Применяя к функциям u = s(x,y;x0,y0) и u (x, y ) = p(x, y) вторую формулу Грина (30) в области G++R , с учетом того, что TB (s(x,y;х0,y0)) = 0 в G++r и p(x,у) = 0 вне области G++r , получим

II е{х, У; х°, Уо ) {р)хкскф =

а+Е

=-1 (^(п;xo,у°)А[р]-

СМ°е

-рА[^(#,п; xo, у° )^)^^Г= (31)

= | р(,п)А[е(£п;xo,у°)]#к^Г-

СМ°е

- I x0,Уо)А[р]#к^Г = 4-!■+е

СМ°е

Нетрудно доказать, что при е — 0 12е — 0 . Вычислим предел при е —— 0 интеграла

4= | р(£п)А[е(£пxo,у°)]^г. (32)

СМ°е

Заменяя в (32) е(^,п; х0, у0) на его значение из (26), получим

I1s =Y

пуТ !4CaCk

к 2"+1 Г(1 -у) х | р(#,п)А [1п (1/ Рм°р )]х

СМ°е

П ПП^к^См+е + Ле. Также нетрудно доказать, что

11П0 32е = °.

е—0

Вычислим предел интеграла

П к/2 Уо- т/4СаСк

(33)

(34)

J1s=Y-

k 2v+1 Г(1 -v) x J p(Z,V)A[in(1/pMoP)]nm/2gk,2dCMos

при s —— 0 .

Вычисляя конормальную производную A in (1/ Pm0p )] = -A[in Pm0p ] и пользуясь формулой Лагранжа

/(x)- f (x0 ) = f'(x0 + e(x - x0))(x - x0),

0 < e < 1,

приведем этот интеграл к виду

_ -k/2 -m/4/-» /-»

. nx0 ■y0 CaCk ..

(35)

J1s=-Y-

J p(#n)

k 2v+1r(1 -v)s

nm ( - x0 )2 + (У0 ( e( - У0))'"/2 ( - У0 )2 nm/2 x ( - x0 )2 + (У0 ( e ( - У0))'” (n - У0 )2 x^k/2 П-m ndCU0s.

Полагая в этом интеграле g = x0 + s cos p, П = y0 + s sin p получим

C

M0s

nx~k/2 y~m/*C C 2 Js = -7 k22v+1 r'(1 J р( + sospУ0 +-sinpx

(y0 +ssinp)ms2 cos2 p + (y0 + essinp)m/2 s2 sin2p(y0 +ssinp)m/2 s2 cos2 P + (y0 + es sin Ppm s2 sin 2p

/ \k/2 / . \-m/4 ,

x( +scosp) у +ssinp) sdp

Сокращая на s3, получаем

_x~k/2 y-m/4C C 2я

J1s = Y k"2v+1y0:^1^-V')—k" Jp +sospУ0 +ssinp) X

(0 +ssinp)m cos2 p+(y, +e^sinp)m/2sin2 p( +ssinp)m/2 (36)

cos2p+(y0 +essmpm sin 2p x( +£cosp)2 (У0 +ssinp) m/4 dp

Переходя в (36) к пределу при s — 0, имеем

Пk"у-ml4CaCkP(X0, У0 )

Jl =-с-

к 2—+1 Г(1 -v)

x2f Уо” cos2 p + Уо” 12 sin2 py”12 */2 y_m/4dp

j 2 m • 2 0 *^0 ^,

Jo cos p + У0 sin p

(З7)

или

r nCCCkPpX1,Уо Г

J1 = C ^v+lW, . Л j

’о” 2dp

k 2v+1 Г (1 - — "cos2 p + y0” sln 2p

= -2C

ПІ2

+ J

пNаNkPrX1,Уо I

к 2v+1 Г(1 - —

’o"'2dp ~

0 sln2 p + y” cos2 p

j

<2rfp

= -2C

cos p + y0” sln p

пNаNkPУX1>, Уо A

к 2v+1 Г (1 - —

1+(l2tgp) о1+( l2ctgp)

-2y nN'a'’^r—pkx0 , У1 jdt | (1 +t 2 ) ,-2nr CaCtpkx0 , yo) . )2— Г(1 -v) J0 V ' )2— Г(1 -v)

Требуя, чтобы 2nY

CcC-

C =

)2v+1 Г(1 -v) )2—+1 Г(1 -v)

2^-

= 1 имеем

(3S)

Заменяя в (21) у на его значение из (38), получаем фундаментальное решение уравнения с особенностью в точке М0 (0, у0)

• ( y;0, Уо) = (’Уо)-”14'2C- ■ pp +

(4o)

Переходя к пределу в (31) при е — 0 и Я — да, с учетом (38), предельных соотношений (34), (37) и финитности функции р(х,у), получаем (2).

Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке М0 (х0, у0) при малых значениях рММ может быть пред-

+Ф4 (( у; У0).

Также нетрудно доказать, что для фундаментального решения s( x, y;g,n) имеют место следующие асимптотические формулы: да /ду = о(1) при у — 0 , да/дц = о(1) при rj — 0. (41)

Теперь исследуем поведение фундаментального решения в точках координатной оси Ox

(у = 0) . Для этого применим к функции (13) оператор обобщенного сдвига Т(

q yЛ(o,0 )= 2v+n-v)x xJ (2 + П + (02 - 2((0 cos p) sink-1 pdp+ (42)

0

+^Xr,n(>),

где y/(g,n;g0) - регулярная функция в точке ((,0), Ck = п1/2Г(k/2)/r((k +1)/2). Как раньше, интеграл из (42) запишем в виде

J = J(гРр0 + (0sin" (P/2)) " x

0 ' (43)

x sin k-1 pdp + ^((,n;#0).

Разность Ф((,п;(0) между этим интегралом

и интегралом Jpk-1 (( + (p2 ) dp является

0

регулярной функцией от (,п, в точке Р0 ((0,0) (т.е. для rPP^ = 0). Так что интеграл J можно представить в виде

J = J(rPp, +(p У pk_dP+ФУ,rl;Q.

0

Производя в этом интеграле замену перемен-

ной по

формуле p= rpp (( ) 1/2 т , получим

п(##о I 1П

(З9)

ставлено в виде

є(x, у; x0, Уо) = (xx01-k 12 (’Уо I-"14/2 x

x ln k1' pmm 0)+R (x, y; xo, Уо T

где R (x, y; x0, y0) - регулярная функция в точке мо ( ^ Уо) .

3 = гРа (^о)-к/2 I (1 + т2yтk-1dт + Ф(,п;#о).

0

Этот интеграл при малых значениях гРР^ также можно представить в виде

П(йо )1/2/ грр° ___

3 = гррО (##°)/2 I (1 + т2) ТЫт + ф!,^

1

Разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд, получим

тк+1 (1 + т2)-' _ т-а1) - (к + а/ /2 • т-а+3) +

+ (к + а)/2((к + а)/2 + 1) т_{к+5) -2! т Нетрудно проверить, что этот ряд сходится равномерно в [1, да/ . Интегрируя его почленно, имеем

*(22о )1/2/ грр,

3 _гр (22о)-"/2 1 (а+1) -( + а//2-т-(“+3) + •••'^сСт

о

+Ф(2,п;2о/_ 1/а-грро (22 /-к/2 +Ф(2,п;2о/.

В результате имеем

3 _ (22о /-к/2 /а гр + Ф(2,п;2о/, (44)

/ 2 \ 1/2 где гРРо _ I ( - 2о / + П ) - расстояние между

точками Р(2,п) и Ро(2о,о/, ф(2,П;#о/ - регулярная в точке Ро (2о,о) функция. Отсюда и из (42) следует, что решение д(2,п;2о,о/ уравнения (4) в Е+ в точках координатной оси п _ о может быть представлено в виде

# .# 0)= п(##о)-) 12C

,(#,n;#o, 1 са2—+1Г(1 —

+ф—,п;#о).

- -.„-a

(45)

Возвращаясь в (45) к переменным х и у, с учетом формул (3), получаем фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точках координатной оси у = 0

, . n(xx1) -12 Ck -

• (x, у; x0,0 ) = с— -------т p

К а2 Г(1 -—)

(46)

+ф(х, у; х° ).

Отсюда следует, что фундаментальное решение (46) уравнения (1) имеет в точках координатной оси у = 0 степенную особенность вида

р~а . Заменяя в (46) у на его значение из (38),

получаем

£(х,у;х°,0) = к(хх°)-к 12 /2аСа ■ р- +

+ф(х, у; х° ).

(47)

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. - М.: Иностран. лит., 1949. - Ч.1. - 798 с.

2. Киприянов И.А. О краевых задача для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя. - Докл. АН СССР, 1964. -158. - №2. - С.275-278.

THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF THE DEGENERATING THE B-ELLIPTIC EQUATION WITH NEGATIVE PARAMETER

F.G.Muhlisov, L.F.Galyautdinova

In this work the fundamental solution of the degenerating the B-eiiiptic equation with negative parameter is under construction, and its elementary properties are studied.

Key words: mathematical physics, differential equation, boundary-value problem, fundamental decision.

Мухлисов Фоат Габдуллович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: [email protected]

Галяутдинова Лилия Фаритовна - аспирант кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 24.01.2011