Решение задачи Дирихле для вырождающегося $в$-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 43-55

= Математика =

УДК 517.946

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов

Л. Ф. Шакирова

Аннотация. С помощью метода потенциалов исследуется краевая задача Дирихле для вырождающегося 5-эллиптического уравнения второго рода с параметром

д‘2и

Ев (и) = Бхи + ут - А2и = 0,

где Бх = дх + Хдх = х~кШ {хк дх) — оператор Бесселя, т > 2, к > 0 и А — заданные действительные числа. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи.

Ключевые слова: оператор Бесселя, 5-эллиптическое уравнение, краевая задача, метод потенциалов.

Пусть 0+ — конечная область первой четверти Е+ координатной плоскости Оху, ограниченная кривой Г+ с концами в точках А(1, 0) и В(0,1) и отрезками Гі = [ОА] и Го = [ОВ] осей координат соответственно Ох и Оу, Б+ = Е+ \ Б+.

Рассмотрим вырождающееся В-эллиптическое уравнение с параметром вида:

В2и

Ев(и) = Вхи + ут ^ - Л2и = 0, (1)

где Вх = дх + Хдх = х-кШ (%кш) — оператор Бесселя, т> 2, к > 0 и Л — заданные действительные числа.

1. Фундаментальное решение

С помощью замены переменных по формулам

2 2 — т

С = х П =-----т;У 2 (2)

т2

уравнение (1) приводится к Б-эллиптическому уравнению с параметром

„ д2и а ди 2

Б5и +—7—2 +-----;=г“ — А и = 0, (3)

дп2 п дп

где а = тт2. Пусть г = (£2 + п2) 1. Ищем решение уравнения (3) в виде

и(£,п)= и (г). (4)

Подставляя функцию (4) в уравнение (3), получаем

// к + а + 1 , 2

и" +------------и' — А и = 0

или

г2ь" + (к + а + 1) ги' — А2т2и = 0. (5)

С помощью замены переменных по формулам

_ к + а

V = 1 И-]г = А (6)

уравнение (5) приводится к уравнению Бесселя от чисто мнимого аргумента

г2ш'' + гш' — (г2 + V 2)ш = 0, (7)

где V = Ща. Известно [1], что частными решениями этого уравнения являются функции Бесселя от чисто мнимого аргумента 1и(г), 1-и(г) и функция Макдональда

К (г) = 2 ^(г).— 1-(г). (8)

2 )1п vп

Возвращаясь в (8) к переменной г, с учетом формул (6) получим частное решение уравнения (5):

и (г) = аг-иКи (Аг), (9)

где а - нормирующая постоянная.

Известно [1], что при г ^ ж имеет место следующая асимптотическая формула:

и(г) = О (в-г) . (10)

Из разложения функций 1и(х) и 1-и(х) в степенной ряд следует, что решение (9) может быть представлено в виде

и(г) = —тт~г-------гг-2и + ф(г). (11)

V > 2^+1Г(1 — V) ^

Функция (11) является решениями уравнения (3) и имеет в начале координат степенную особенность вида г-2.

г

Для получения решения уравнения (3) с особенностью в точке (0, По) Є Є Е + применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига ТЩ0:

п

9((, п; 0 По) = у) / (С2 + П2 + По - 2 ппо сое ф)-^ вт“-1 фйф+

о

+^*(С,п; по), (12),

п

где ф*((, п; По) — регулярная функция в точке Р(0, по), С-1 = / віп"-1 фйф =

= П 2 Г( |) /Г (^) .

Докажем, что интеграл в (12) имеет степенную особенность в точке Ро(0,По). Для этого этот интеграл запишем в виде:

П

3 = У (г2рр0 + 4ппо )1п2 )1па-1 фйф, (13)

о

где грр0 = (С2 + (п — по)2)2.

Ясно, что разность Ф(£,п; по) между интегралом (13) и интегралом

П

I (гРРо + ппоф2— Фа-1йф (14)

о

является регулярной функцией от С, п даже в точке Ро(0,по) (то есть для грр0 = 0). Так что интеграл 3 можно представить в виде

П

3 = У (грро + ппоф2)-и фа-1(!ф + п; по).

о

Производя в этом интеграле замену переменной по формуле ф = грр0(ппо)-2т, получаем

ПУУУ0

гРРо

3 = грр0 (ппо) 2 I (1+ Т2) * та хАт + ф(С,п; по). (15)

о

При малых значениях грр0 этот интеграл также можно записать в виде

пУПП0

гРРо

J = грр0(ппо)-^ J (1+ т2)~- та-ійт + Фі(С,п; по)- (16)

Разлагая подынтегральную функцию в (16) в степенной ряд, получим

__ к + с

^а— 1 (1 + т2^—и = т—(к+1)( 1 + ^^

(1+т ти=т-(р+1^ 1+_2)

= т—(к+1)

1 к + а _—2 + ^ (к+а + 1) _—4

1 — — Т +---------------2!------_ —

к+а (+ 1)(+2) —6 +

3! _ +...

= _—(к+1) _ к + а _—(к+3) + Р+а ( Р+а + 1) _—(к+5) 2 2! к+а (к+а I -\\ {к+а _|_

2 V 2 +^1 2 + 2^ _—(к+7)

_—(к+7) +

3!

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1; ж). Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

з = 0тк^. —0 + Ф2(С,п; по), (17)

где Ф2(С,п; по) - регулярная в точке Ро(0,по) функция. Отсюда и из (12) следует, что решение д(С, п; 0, по) уравнения (3) с особенностью в точках координатной оси С = 0 может быть представлено в виде

д(С, п; °, по) = ^4™}^ + фз(С, п; по). (18)

Возвращаясь в (18) к переменным х и у, с учетом формул (2) и значений

_ к+а

2 > а = т-2

е (х,у;0,уо)= а(т-—2) V) рк + ф4(х,у; Уо), (19)

т т -

( 2—т 2-т \ 2) 2

где Р = Iх2 + (т——2)2 (У~ — Уо 2

Отсюда следует, что решение уравнения (1) имеет в точках координатной

оси Оу степенную особенность вида р .

Для получения решения уравнения (1) с особенностью в произвольной точке (хо,Уо) € Е+ применим к функции (19) оператор обобщенного сдвига

Тх0:

с, \ (т — 2\ т—2 пСаСк(ууо) 4

у; хо’уо)=Ч—; к2^+т(1—V)х

П Л к

[ ( 2 2 4 ( 2—т )2\ 2

^ I х + хо — 2ххосо)ф + (т — 2)2 [у 2 — уо ) I

о

х )1пк 1 фф + Ф^(х, у; хо,уо), (20)

г( I)

= / )1пк 1 фйф = п2 г( 1+2) о Г ( 2 )

где Ф4(х,у; хо,уо) — регулярная в точке Мо(хо,уо) функция, С- 1 =

П

-,к—1 )1Г

о

Докажем, что интеграл в (20) в точке Мо(хо,уо) € Е+ имеет логарифмическую особенность. Для этого этот интеграл, как и раньше, запишем в виде

П . о - I

4 ( 2 — т 2 — ™\ 2\ 2

I ( 2 2 ! \ 4 ( 2 — т 2 — т \2\

3 = у ^х + хо — 2ххо(1 — со)ф) + (т — 2)2 [у 2 — уо ) )

о

П

/( ^ I

[Рымо + 4ххо)1п2 2) 2 )1пк—1 фйф, (21)

о

2 ( 2 — т 2 — т \ 2

где Рмм0 = (х — хо) + (т——2)2 [у~ — уо 2 ) .

Как и раньше, разность ф(х,у; хо,уо) между интегралом (21) и интегралом

П

к

2)— 2 ,„к — 1,

J (РММ0 + ххоф2) 2 ф- 1йф

о

является регулярной функцией в Е+. Отсюда следует, что интеграл (21) можно представить в виде

П

з = J (Рмм0 + ххоф2)-2 фк—1йф + ф(х,у; хо,уо). (22)

С помощью замены переменной по формуле ф = (ххо) 2 Рмм0 _ интеграл (22) приводится к виду

п ^ухх0

РЫЫ0

3 = (ххо) 2 ! (1 + _2) 2 _к 1й_ + Ф(х,у; хо,уо).

о

Также последний интеграл можно представить в виде

п у/хх0

Р ММ0

3 = (ххо) 2 I (1 + _2) 2 _к 1й_ + ^1(х,у; хо, уо), (23)

1

где ф1(х,у; хо,уо) — регулярная в Е+ функция.

х

Разлагая подынтегральную функцию в (23) в степенной ряд, получим

к

тк-1 (1+ т2)-2 = т-1 (1 + Т2) 2 =

Т-1 кт-3 . р (2 + !) т— 5 2 ( р +!)( 2 +2) т— 7 .

= т - 2 +------2!--т---------------3!-------т + ■■■■

Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [1, то). Поэтому его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем

3 = (ххо)-2 1п ( —1— ) + ф2(х,у; хо,уо).

\ РММо /

Отсюда и из (20) следует, что

жСс

к2^+1Г(1 - V) рмм0

т к т

С, ч (т - 2\^ пСаСк(ххо)-2(ууо)т 1

Е(х, у; хо,уо) = а I 2 1 ----к2„+1Г(1---^----1п + Щх,у; хо,уо),

(24)

где К(х, у; хо, уо) — регулярная функция в Е+.

Аналогично доказательству, приведенному в [2], можно доказать, что при определенном значении постоянной а функция (24) является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке Мо(хо,уо) € Е+ и при малых значениях Рмм0 может быть представлена в виде

е(х, у; хо,уо) = (ххо) 2 ^ууо) 1п ( ) + К(х,у; хо, уо), (25)

2п \ Рмм0 )

где Я(х,у; хо,уо) - регулярная функция в точке Мо(хо,уо).

Нетрудно проверить, что фундаментальное решение Е(х,у; хо,уо) уравнения (1) удовлетворяет условиям

Е(х, у; С,п) = о (ут), дЕ(х,у С,п) = о(1) при у ^ 0;

Е(х, у; С,п)= о (пт), дЕ(хдуу С,п) = о(1) при п ^ 0. (26)

2. Интегральное представление

Обозначим через СВ 0+) множество четных по х, 2 раза непрерывно дифференцируемых функций в 0+. Пусть и, и € СВ 0+) П Ст (0+). Непосредственным вычислением можно доказать, что имеет место тождество

ьЕВ(и)хку—т + (у—т — — + —— ) хк = д (хку—ту — ) +

УЕВ (и)ху + ^у (хдх + дуду)х = дх\ху Удх) +

+ д (хк) — А2хку—тии. ду \ ду/

Интегрируя обе части этого тождества по области 0+ и пользуясь формулой Остроградского, получаем

Л иЕв (и)хк у—т(1х(1у + и (у—т + 'дуду') хк ^хЛу =

= У иА[и]СкЛГ+ — А2 Ц хку—тииЛхЛу, (27)

г+ э+

где А[ ] = со)(п,х)у—т дХ + со)(п, у) -¡у — конормальная производная, п — единичный вектор внешней нормали к границе Г+.

Заменяя в формуле (27) местами и и и, получаем

Л иЕв (и)хк у—т(1х(1у + и (у—т дх + дуду') хк ЛхЛу =

э+ э+

= j иА[и]С-ЛГ+ — А2 ^ хку—тииЛхЛу. (28)

г+ э+

Вычитая из (27) формулу (28), получим

^ [иЕВ(и) — иЕВ(и)] хку—тйхйу = J(иА[и] — иА[и])С-ЛГ+. (29)

д+ г+

Формулы (27) и (29) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Ев.

Обозначим через С} 0+) множество функций /(х,у), один раз непрерывно дифференцируемых в 0+ и удовлетворяющих условию

д/(х,у)

у

= о(1) при у ^ 0. (30)

Пусть функция и Є СВ (^+) П С/ (^+^ является решением уравнения

(1) в области Б+ и Мо(хо,уо) Є 0+. Рассмотрим окружность См0є с центром в точке Мо и радиуса є такого, что См0є С 0+. Обозначим через 0+ область, ограниченную осями координат, кривой Г+ и окружностью См0є. Ясно,

что Е(х,у; хо,уо) Є СВ (Д+) П С 1 (^+) является решением уравнения (1) в

области В+ и в силу (26) удовлетворяет условию

Ж(хдх°-у°> = „(1) при у ^ 0. (31)

Применяя к функциям и(х,у) и е(х,у; хо,уо) вторую формулу Грина в области 0+, с учетом условия (31) получим

У (е(С,п; хо,уо)А[и] — иА[Е(С,п; хо,уо)])СкЛГ+ = г+

= У (е(С,п; хо,уо)А[и] — иА[Е(С,п; хо,уо)])СкЛСм0е = (32)

СМ0£

= 11е — 32е.

Ясно, что при £ 0 11е 0. Аналогично доказательству, проведенному

в [2], доказывается, что

11т 12е = —и(хо,уо). (33)

е^о

Переходя к пределу при £ ^ 0 в формуле (32), с учетом (33), получаем

и(хо,уо) = У (е(С,п; хо,уо)А[и] — иА[е(С,п; хо,уо)]) СкЛГ+. (34)

г+

Пусть теперь Мо(0, уо) € Го , уо > 0, и С+0& — полуокружность с центром в точке Мо(0,уо) и радиуса 5 такого, что С+0& С 0+ и Го. Обозначим через

0+ область, ограниченную кривой Г+, осями координат и полуокружностью С+

См0 &.

Применяя к функциям и(х,у) и е(х,у;0,уо) вторую формулу Грина в области 0+, с учетом формул (31) получим

У (е (с,п;0,уо)А[и] — иА[е (С,п;0,уо)])Ск лг+ = г+

= [ (е(С,п;0,уо)А[и] — иА[е(С,п;0,уо)])склС+0&. (35)

С+ СМ0$

Аналогично доказательству, приведенному выше, приходим к выводу, что предел формулы при 5 ^ 0 имеет вид

и(0,уо) = У (е(С,п;0,уо)А[и] — иА[е(С, п; 0, уо)]) СкЛГ+. (36)

г+

Свойства решений уравнения (1)

Любое решение и(х, у) уравнения (1) в области Б+ из С2В (0+) П С1 (0+) с граничными данными из Ст (Г+) принадлежит к классу Ст (0+)

Это свойство следует из интегрального представления (34) и свойств (26) фундаментального решения.

Существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условию: и(х, у) = 0(е-Р0) при г = д/х2 + у2 ^ ж,

где Ро = х2 + ут+2.

Доказательство следует из свойства (10) фундаментального решения и интегрального представления решения (34).

Теорема 1 (о принципе экстремума). Если функция и(х,у) класса СВ (0+) и Ст (0+) удовлетворяет уравнению (1) в области 0+, то она достигает своих наибольшего положительного и наименьшего отрицательного значений на границе Г+.

Доказательство. Пусть и(х,у) имеет наибольшее положительное значение во внутренней точке Мо(хо,уо) области 0+, то есть существует £-окрестность Км0е точки Мо, где и(М) < и(Мо) = ио при М = Мо и и(М) > 0.

Полагая в формуле (34) Г+ = дКм0е = См0е, получаем

ио = J е (С,п; хо,уо)А[и]СкйСм0е — J иА [е (С,п; хо, уо)] С * ЛСм0е =

СМ0£ СМ0£

= К + I"- (37)

На См0е е (С,п; хо, уо) > 0, А [и] < 0, и> 0, и А [е (С,п; хо, уо)] < 0. Поэтому Ре < 0, I'/ > 0. Ясно, что при £ 0 Ре возрастая, стремится к нулю,

а Ре возрастая, стремится к ио и, следовательно, Ре < 0, Ре < ио. Отсюда и из (37) следует, что ио < I'I < ио. Полученные неравенства доказывают, что функция и(х, у) не может иметь наибольшего положительного значения во внутренней точке Мо области 0+. С помощью интегрального представления (36) аналогично доказывается, что и(х, у) не может достигать наибольшего положительного значения и во внутренних точках Го.

Утверждение о положительном наибольшем значении доказано. Утверждение об отрицательном наименьшем значении доказывается переходом от и(х,у) к —и(х,у). При этом отрицательное наименьшее значение переходит в положительное наибольшее значение.

3. Постановка задачи Дирихле. Теоремы единственности

Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) € СВ 0+) П Ст (0+) П С1 0+ и Го) ; (38)

Ев (и(х, у)) = 0, (х, у) € 0+; (39)

и = ф(С, п), Ф € Ст (Г+) . (40)

г+

Теорема 2. Задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из теоремы о принципе экстремума. Внешняя задача Дирихле. Требуется найти функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

(х, у) Є Є% (Б+) П Ст (Ъе+) П С1 (Б+ и Го и Г+) ; (41)

Ев (и(х,у)) =0, (х,у) Є Д+; (42)

и(х, у) = О (е-р0) при г ^ ж; (43)

= ф(і,п),Ф Є Ст (Г+) . (44)

г+

Теорема 3. Задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Доказательство также следует из теоремы о принципе экстремума.

4. Существование решения задачи Дирихле

С помощью фундаментального решения Е(£,ц; х,у) образуем потенциал двойного слоя

Щ(х,у)^У V(І,п)Ар [Е(І,п; х, у)] Ск¿Г+. (45)

г+

Из представления (24) следует, что фундаментальное решение уравнения (1), умноженное на (£х)к, имеет логарифмическую особенность. Поэтому потенциал (45) на границе Г+ ведет себя так же, как логарифмический потенциал, т.е. имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Пусть Г+ — кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол. Тогда, если V(£,ц) Є Ст (Г+), то для потенциала двойного слоя (45) справедливы следующие предельные соотношения:

Щ (хо,уо) = - 2 V (хо,уо) + Щ (хо,уо), (46)

Ше(хо,уо) = 2 V (хо,уо) + Ш (хо,уо), (47)

где Ш^хо,уо) и Ше(хо,уо) означают предельные значение потенциала Ш(х,у) в точке Мо(хо,уо) € Г+ при М(х,у) ^ Мо(хо,уо) соответственно изнутри и извне Г+, а Ш(хо,уо) — прямое значение потенциала Ш(х,у) в точке Мо(хо,уо).

Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде потенциала двойного слоя

и(х, у) = Ш(х,у). (48)

Функция (48) удовлетворяет условиям (38), (39) задачи ОЕ^. Неизвестную плотность V(£, п) находим из требования, чтобы функция (48) удовлетворяла граничному условию (40). Подставив ее в это граничное условие, с учетом формулы скачка (46) получим

1

-2V(х,у) + Ж(х,у) = ф(х,у), (х,у) Є Г+

или

v(x,y) - 2 ІV(£,п)Ар [Е(£,п; х,у)] £к^Г+ = -2ф(х,у). (49)

г+

К интегральному уравнению (49) применимы теоремы Фредгольма. Поэтому разрешимость задачи Дирихле будет доказана, если доказать, что однородное интегральное уравнение, соответствующее уравнению (49), имеет только нулевое решение.

Рассмотрим однородное интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле:

V(х, у) - 2 У V(£, п)Ар [Е(£, п; х, у)] £к^Г+ = 0. (50)

г+

Пусть vо(x,y) — ненулевое решение этого уравнения. Тогда функция

ио(х,у) = у vo(£,п)E(£,п; х,у)£к^Г+

г+

удовлетворяет условиям (38), (39) и граничному условию

ио

= 0.

г+

В силу теоремы единственности решения внутренней задачи Дирихле

ио(х,у) = 0, (х,у) е О+.

Тогда

Ам [иоЬ = 1 М.х, у) + У М£, п)Ам [Еа, п; х, у)] £к^Г+ = 0. (51)

г+

В области функция

ио(х,у)^У vо(£,п)E(£,п; х,у)£кdГ+

г+

удовлетворяет условиям (41)—(43) внешней задачи Дирихле и граничному условию

ио

= 0.

г+

В силу теоремы единственности внешней задачи Дирихле

u(x,y) = 0, (x,y) £ D+,

откуда

Am[u]e = -1 Мх,у) + У К,п)Аы [E(£,n; x,y)] £fcdr+ = 0. (52)

r+

Вычитая из равенства (51) равенство (52), получим ц(х,у) = 0. Это означает, что однородное интегральное уравнение (50) имеет только нулевое решение.

В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (49) внутренней задачи Дирихле однозначно разрешимо для любых функций ф(х, у) из Cm(Г+) и вместе с ним однозначно разрешима и сама внутренняя задача Дирихле. Это приводит к следующей теореме.

Теорема 5. Если Г+ — кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при ф(х, у) £ Ст(Г+) разрешима внутренняя задача Дирихле и это решение может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.

Список литературы

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: И.Л., 1949. 798 с.

2. Галяутдинова Л.Ф., Мухлисов Ф.Г. Интегральное представление решения одного вырождающегося В-эллиптического уравнения с отрицательным параметром // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.1. С.6-24.

Шакирова (Галяутдинова) Лилия Фаритовна (Lilochka.GF@yandex.ru), соискатель, кафедра высшей математики и математического моделирования, Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) Федеральный университет.

Research of Dirichlet problem for degenerating S-elliptical equation of the second king with parameter with method of

potentials

L. F. Shakirova

Abstract. In paper research of Dirichlet boundary problem with method of potentials for degenerating В-elliptical equation of the second king with parameter

r)2u

Eb(u) = Bxu + ym dy2 - = 0,

where Bx = dX? + XkdX = x kTX {xklk) — Bessel operator, m> 2, k > 0, A -are constants. The existence and uniqueness of solution of this problem is proved.

Keywords: Bessel operator, B-elliptical equation, boundary problem, method of potentials.

Shakirova (Galyautdinova) Liliya (Lilochka.GF@yandex.ru), competitor, department of higher mathematics and mathematical modeling, Lobachevsky Institute of Mathematics and Mechanics, Kazan (Volga region) Federal University.

Поступила 05.02.2013