CC BY
24
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 1 Физико-математические науки
2015
УДК 517.95
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
Р.М. Асхатов, Р.Н. Абайдуллин
Аннотация
Найдены фундаментальные решения вырождающегося эллиптического уравнения. С помощью фундаментальных решений построены потенциалы типа двойного и простого слоев. Основные краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения сведены к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказана их разрешимость.
Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, метод потенциалов, потенциал двойного слоя, потенциал простого слоя, уравнение Фредгольма, оператор обобщенного сдвига.
К числу первых работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям второго рода относится работа М.В. Келдыша [1], где указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяется условием ограниченности решений. По этой тематике были опубликованы статьи А.В. Бицадзе, С.А. Терсенева, О.А. Олейник, М.М. Смирнова и др. [2-6]. В настоящей работе построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения, когда вырождение имеет логарифмический характер, методом потенциалов. Отметим, что в [7] методом потенциалов были получены решения для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода со степенной особенностью.
Пусть E+ - полуплоскость у > 0 евклидовой плоскости E2, D - конечная область, симметричная относительно оси Ox и ограниченная кривой Г. Обозначим через D+ часть области D в E+, ограниченную отрезком Г(0) = [a, b] оси Ox и кривой Г+; D + = D+ U Г+, D + = D + U Г(0), D+ = E2+ \ D +, через Г^ -отрезок прямой у = 5, заключенный внутри области D+, а через D+ - область, ограниченную кривой Г+ и отрезком Г^° ; Г+ - часть кривой Г+ , расположенная выше прямой у = 5. Ясно, что D+ ^ D+, а Г+ ^ Г+ при 5 ^ 0.
Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение
та2 (и)
д2и
дх2
д2и
ду2
2 2 д и о
+ а у -—7 + а у —
ди
ду
0, 0 < а < 1.
(1)
С помощью замены независимых переменных по формулам
С = x, П
-ln у
а
5
6
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
уравнение (1) приводится к уравнению вида
д2и д 2п о ди
аё + ап + <° -о)д.
0.
Ищем решение уравнения (2) в виде
и = e(a-a2)(v-Vo)/2v,
где v - новая неизвестная функция.
После подстановки этого представления в (2), получаем
д2и д2и дС2 + дц2
(о — о2)
22
v = 0.
Известно [8], что общее решение уравнения (3), зависящее от
Р = V(c — Со)2 + (П — По)2,
4
(2)
(3)
имеет вид
, . АТ (о — о2 \ л (о — о? \
Ар) = Aiol —2— р ) + вко[ —2— р )
где A, B - произвольные постоянные, Io, Ко - функции Бесселя мнимого аргумента и Макдональда соответственно [8]. Функция Макдональда определяется с помощью функции Ханкеля мнимого аргумента
ко
о — а2
Р
niH (1)
о — а2
Р
Функция Макдональда экспоненциально убывает при стремлении аргумента к бесконечности. Известно также [8, 9], что при С = Со, П = По данная функция имеет логарифмическую особенность
ко
о — о2
Р
ln —+ • • • .
Р
Полагая B = 0, а затем A = 0, получим решения уравнения (3). Подставляя в (2), находим
по = Ae(“-“2)(v-vo)/2iJ о — о
ui = Вв(«-«2)(п-п°)/2Ко(о—о- А .
Р
Переходя к старым переменным х, у, имеем
«о = Ау<оа-1»\(1-°У21о( р^
wi = Вуоа-1)/2у(1-а)/2Ко^о 2о (4)
где r = \J(x — хо)2 + 1/о2 1п2(у/уо). Функция wi, определенная формулой (4), является фундаментальным решением уравнения (1), так как имеет логарифмическую особенность. Если фундаментальное решение уравнения ограничено, то оно при стремлении у к нулю убывает экспоненциально. Аналогичное требование можем накладывать и на регулярное решение уравнения (1).
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 7
Определение 1. Регулярное решение и уравнения (1) в области D+, обращающееся в нуль при у ^ 0, называется Ti2 -гармонической функцией в этой области.
Множество всех Т( -гармонических в D+ и непрерывных в D функций обозначим через Ta\D +).
Пусть и, v е C(2) (D+) р C(1)(D +). Тогда
vT(2(u)
д I ди дх \ дх
2
+ а у
2- а
д
ду
vy
ди
ду
ди дv 22 ди дv дх дх + У ду ду
Интегрируя обе части последнего тождества по области D+, предварительно умножив на весовую функцию, получим
хрыг- ^лу = JJ (д. („ dp + °у-« ILL» |уУ) уа-2 лхЛу-
D+
( ди dv
дх дх
D+
----- 2 2 ди dv\ 2
— — + а у -к--к- у Лхв,у,
ду ду
откуда в силу формулы Остроградского
..а-2
jf -2 ,Ы„ + JJ (^хдх + а2у2 ду дуУ-2 <Шу =
+ D+
D
ди 2 2 ди 2
J vl ео8(х, v) д---+ а у 81п(х, v) — Jy ds+
-у • 6
ди 2 2 ди 2
+ J vl cos^, v) д—+ а у в1п(х, v) — \у ds.
Так как cos (х, v) = 0, sin (х, v) = 1 на Г^ , то
JJ vT^yyа 2 ахау + JJ
ди dv дх дх
D+
где
D+
i0) >то
22 ди dv'
а2у2 ду ду
=/
Г+
уа 2 хау =
2
2 ди «
Г(0)
ду
ди 2 2 ди
Л|и| = cos(x, v) — + а у slп(x, v) ,
дх ду
v - единичный вектор внешней нормали к dD+ в точке P(х, у). Аналогично,
!!uT(-' (v)r - ахау+Ц (ё ё+а‘у ду дуУ- ахЛу=
+ D+
D
= j иЛ[и\уа 2 ds + j ио? ду— уа ds. (6)
г(0)
6
г
6
6
6
6
8
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Вычитая (6) из (5), приходим к соотношению
(vT^iu) — uT02){v))ya 2 dxdy
D+
J (vA[u] — uA[v])ya 2 ds + j a2 (^v dy-u~Q~^jya ds,
Г + r(0)
откуда при S ^ 0 получаем JJ vT02 (u)ya-2 dxdy+
D+
+// (ixdX+aV ^ |У-2 dxdy=IvA[u]y”-2 ds (7)
D+ v 7 Г+
JJ Jt02')(u) — uT02')(vJ ya-2 dxdy =J ^vA[u] — uA[vJ ya-2 ds. (8)
D+ Г+
Формулы (7) и (8) представляют собой соответственно первую и вторую формулы Грина для оператора T(2.
Пусть Mo € D+. Рассмотрим контур Cm0e с центром в точке Mo и радиусом е такой, что Cm0e С D+. Обозначим через De часть области D+, заключенную между контуром См0£ и границей 3D+.
(2)
Применим вторую формулу Грина для оператора Ta 7 к функциям wi и u в области De:
JJ (wi(r)T0\u) — uT^ (wi(r))) ya 2 dxdy = j (wi(r)A[u] — uA[wi])ya 2 ds+
d£ Г+
+ J (wi(r)A[u] — uA[wi])ya~2 ds. (9)
Так как T°\u) =0 в D+, T°f) (wi(r)) =0 в De, то равенство (9) принимает вид
У2)
L а.
J (wi(r)A[u] — uA[wi])ya 2 ds + J (wi(r)A[u] — uA[wi])ya 2 ds = 0. (10)
Г+
Имеем
лг i , N dwi 22 dwi
A[wi] = cos(x, v) —---+ a y sm(x, v) ——.
d x d y
(11)
На контуре Cm0e справедливы следующие соотношения:
a2y(x — xo)
cos(x, v) = —p
\Ja4y2(x — xo)2 + ln2(y/yo)
Отсюда и из формулы (11) следует, что
sin(x, v) =
ln(y/yo)
a4y2(x — xo)2 + ln2(y/yo)
—a2By0a-i)/2y(3-a)/2
A[wi] = + <b(x, y; xo, yo).
\J a4y2 (x — xo)2 + ln2(y/yo)
CM0E
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 9
Теперь в формуле (10) перейдем к пределу при е ^ 0. Первый интеграл не зависит от е. Представим второй интеграл в виде
j wi(r)A[u]ya-2 ds + j u(-A[wi\)ya-2 ds = Ii + 12.
CMq£ CMq£
Ясно, что Ii ^ 0 при е ^ 0. Интеграл I2 представим в виде
ton I, = lim b ( ( , ‘-yA^y^2,.
cM„A AVI* - xo)2 +ln2 (y/yo)
+ Ф(х, y; xo,yo) )ya 2 ds =
lim B
£—► 0
2 (.a-V)/2 y(3-a)/2.
MQE
^Ja4y2(x - xo)2 +ln2(y/yo)
+ Ф(х, y; xo, yo) ya 2 ds+
2y0a-1)/2y(3-a)/2
a yo
u
+ lim B . , __________________________
^ ' \/a4y2(x - xo)2 + ln2(y/yo)
Xo+£
C
MQE
= a2Bya 1 u lim
e^o> J \Je2 — (x — xo)2
+ ^(x,y; xo, yo) )ya 2 ds =
dx = a2nBya Vu(Mo), (12)
1
где C'm и C'M0e - верхняя и нижняя части Cm0e . Находим нормирующую константу
B
1-а
Vo__
2па
(2)
Из (10) с учетом (12) получаем интегральное представление Та ) -гармонической функции u(x,y)
u(Mo) = J (wi(r)A[u] — uA[wi])ya-2 ds. (13)
r+
Теорема 1. Если u(x, y) G T(2^ (D +) и тождественно не равна нулю, то функция u принимает наибольшее положительное и наименьшее отрицательное значения на границе Г+ .
Доказательство. Обозначим через M наибольшее положительное значение функции в D +, а через N наибольшее положительное значение функции u на границе области.
Предположим, что M > N, и функция достигает положительного наибольшего значения во внутренней точке Mo(xo,yo) области D+ .
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
v
u +
MN
4l2
T X0yyo (x2 + y2),
где l - наибольшее расстояние между двумя точками границы области D+, T Х°уУ0 - оператор обобщенного сдвига [10].
Ясно, что v(Mo) = M. Оценим значение v на границе:
v < N +
M - N
4
M + 3N
4
<
M + 3M
~4
M.
10
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Значит, v принимает наибольшее положительное значение во внутренней точке D+.
Пусть - та точка области D+, где v принимает наибольшее поло-
жительное значение. Тогда
Та2 (и)
Mi
д 2и дх2
д2и
ду2
2 2 д и о
+ а у -—г + а у —
ди
ду
< 0.
Mi
С другой стороны, подставляя v в уравнение (1), получаем
д2и 2 2 д2и 3 ди
трт + а у ттм + а у ~х~ дх2 ду2 ду
> 0.
Mi
Полученное противоречие доказывает, что функция и не может принимать наибольшее положительное значение во внутренних точках области D+. Поэтому по теореме Вейерштрасса она достигает наибольшего положительного значения на границе. Второе утверждение доказывается аналогично. □
Рассматриваются следующие краевые задачи.
(2)
Внутренняя задача (Ei). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую в области D+, непрерывную в D + и удовлетворяющую граничному условию
и1г+ = ¥(Р), Р е г+,
где р(Р) - непрерывная функция.
(2)
Внешняя задача (Ee). Требуется найти функцию и(х,у), Т( ) -гармоническую
в области D+, непрерывную в De , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию
и1г+ = <f(P), Р е г+,
где р(Р) - непрерывная функция.
(2)
Внутренняя задача (Ki). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в D + и удовлетворяющую граничному условию
А[и]\г+ = ф(Р), Р е Г+,
где ф(Р) - непрерывная функция.
(2)
Внешняя задача (Ke). Требуется найти функцию и(х,у), Та -гармоническую
в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в De , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию
А[и]\г+ = ф(Р), Р е Г+,
где ф(Р) - непрерывная функция.
Имеют место следующие теоремы единственности.
Теорема 2. Задачи Ei, Ee, Ki, Ke не могут иметь более одного решения.
Доказательство. Справедливость утверждений теоремы устанавливается по аналогии с техникой, предложенной при доказательстве соответствующих теорем в [11]. Например, приведем доказательство единственности задачи Ki.
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 11
Пусть п\ и U2 - два решения задачи Ki. Тогда их разность и = u\ — и удовлетворяет условию A[u] =0 на Г+, Tja2 -гармонична в области D+ и непрерывно дифференцируема в D +. Согласно первой формуле Грина при v = и, Т() = 0 получаем
ди \ 2 2
+ “V
ди
ду
2
уа-2dxdy
0.
D+
Отсюда находим
ди
дх
ди
°’ дУ
0,
а значит, и = C. Согласно граничным условиям задачи имеем, что C вательно, и = 0, то есть ui = и2 .
0 , следо-□
Координаты переменной точки на кривой Г+ будем обозначать через P = = P(X п). Считаем, что Г является кривой Ляпунова.
С помощью фундаментального решения wi строим потенциалы типа двойного и простого слоев. Они имеют соответственно вид
W(M) = J a(P)A[w1] пк-2 dsP = 0, V(M) = J p(P)w1 цк-2 dsP = 0,
г+ г+
где a(P) и ц(Р) - плотности этих потенциалов.
Рассмотрим потенциал типа двойного слоя
W(o)(M) = у A[wi] пк-2 dsp = 0, г+
плотность которого равна единице. Справедлива
Теорема 3. Если Г - кривая Ляпунова, то значения интеграла типа Гаусса для фундаментального решения wi уравнения (1) определяются формулой
(—1, M е D+,
W(0)(M) = [0, M е D +,
[—1/2, M е Г+.
Доказательство теоремы проводится аналогично схеме, предложенной при доказательстве соответствующей теоремы в [11].
Потенциалы типа двойного и простого слоев на границе ведут себя так же, как и их аналоги для уравнения Лапласа.
Теорема 4. Если Г - кривая Ляпунова и а(Р) - непрерывная функция на Г+, то для потенциала типа двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения
Wi(Po) = — ^ + ЩЩ,
We(Po) = W(Po), (14)
где Wi(Po) и We(Po) означают соответствующие предельные значения потенциала типа двойного слоя в точке Po е Г+, когда P ^ Po изнутри и извне Г+, а W(Po) - прямое значение потенциала типа двойного слоя.
12
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
Доказательство. Потенциал типа двойного слоя можем записать следующим образом:
W (M ) = Wi(M)+ a(Po)W (0)(M), (15)
где W(0)(M) - интеграл типа Гаусса, а
Wi(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi}Vk-2 dsp.
г+
Из точки Po как из центра опишем круг радиуса Ri, тем самым кривая разобьется на две части: Г+ = Г^| Г", из которых Г' лежит внутри круга, а Г" - вне ее. Тогда потенциал также разобьется на
W1 (M) = Wl (M) + W['(M), где
Wl(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi]Vk-2 dsp,
Г
W”(M) = J[a(P) - a(Po)]A[wi]Vk-2 dsp.
Г"
Нетрудно доказать, что
\Wi(P) - Wi(Po)\ <£.
Отсюда следует существование и равенство значений Wu(Po) = Wie(Po) = Wi(Po). Предельные значения интеграла типа Гаусса существуют и равны W(0\Po) = -1, W(0)(Po) = 0, W (o)(Po) = -1/2. Находя из (15) пределы Wi(Po), We (Po), W(Po) и исключая из полученных соотношений равные значения Wii(Po), Wie(Po), Wi(Po), приходим к (14). □
Теорема 5. Пусть Г - кривая Ляпунова и p(P) - непрерывная функция на Г+ . Потенциал типа простого слоя имеет конормальную производную как изнутри, так и извне Г+ . Тогда предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя выражаются формулами
A(V (Po))i = ^+ A(V (Po)),
A(V(Po))e = - A(V(Po)), (16)
где A(V(Po))i и A(V(Po))e означают соответствующие предельные значения потенциала типа простого слоя в точке Po G Г+, когда P ^ Po изнутри и извне Г+, а A(V(Po)) - прямое значение потенциа,ла типа простого слоя.
Доказательство этих теорем проводится по схеме, предложенной при доказательстве соответствующих теорем, например, в [12].
Решение задачи (Ej/) ищем в виде потенциала двойного слоя
u(M) = J a(P)A[wi]nk-2 dsp.
г+
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ 13
Неизвестную плотность а найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию u|r+ = ф(Р). С этой целью подставим ее в это граничное условие. В результате имеем
Jim u(M) = -+ J а(Р)A[w1}Vk-2 dsp = v(P0).
г+
Отсюда получим эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для неизвестной функции а
а(Ро) - 2 J а(Р)A[w1}Vk-2 dsp = -2^(Ро), Р0 е Г+.
г+
Используя формулы (14) и (16) для предельных значений, а также граничные условия основных краевых задач, получим эквивалентные интегральные уравнения для трех остальных задач. Таким образом, имеем
(Ei) : а(Ро) - 2 j а(Р)A[w1}Vk-2 dsp = -2р(Ро), (17)
г+
(Ee) : а(Ро) + 2 j а(Р)A[wi}Vk-2 dsp = 2<^(Ро), (18)
г+
(Ki) : ц(.Ро) + 2 J а(Р)A[wi}Vk-2 dsp = 2ф(Ро), (19)
г+
(Ke) : и(Ро) - 2 J а(Р)A[wi}r/k-2 dsp = -2ф(Ро). (20)
г+
В уравнениях (17)—(20) точка Ро принадлежит границе Г+.
Уравнения (17)—(20) - интегральные уравнения со слабой особенностью, причем уравнения (17), (20) и (18), (19) являются попарно сопряженными. Для этих интегральных уравнений, как и в случае уравнения Лапласа, справедливы теоремы Фредгольма.
Исследование первой и второй пары сопряженных уравнений проводится по схеме, предложенной, например, в [12].
Summary
R.M. Askhatov, R.N. Abaydullin. Solution of the Basic Boundary Value Problems for a Degenerate Elliptic Equation by the Method of Potentials.
Fundamental solutions to a degenerate elliptic equation are found. Using these fundamental solutions, simple and double layer potentials are built. The basic boundary value problems for a degenerate elliptic equation are reduced to the equivalent Fredholm integral equations of the second kind. Their solvability is proved.
Keywords: degenerate elliptic equation, method of potentials, double layer potential, simple layer potential, Fredholm equation, generalized translation operator.
Литература
1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2. - С. 181-183.
14
Р.М. АСХАТОВ, Р.Н. АБАЙДУЛЛИН
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.
3. Олейник О.А. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе // Докл. АН СССР. -1966. - Т. 169, № 3. - С. 525-528.
4. Олейник О.А. О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся внутри области и на ее границе // Усп. матем. наук. - 1969. - Т. 24, № 2. - С .229230.
5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. - 292 с.
6. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. матем. журн. - 1965. - Т. 6, № 5. - С. 1120-1143.
7. Мухлисов Ф.Г., Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Матем. -2009. - № 8. - С. 57-70.
8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 736 с.
9. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высш. шк., 1962. - 248 с.
10. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-матем. наук. - Казань, 1993. - 324 с.
11. Асхатов Р.М. Решение основных краевых задач для одного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2013. - Т. 155, кн. 4. - С. 5-15.
12. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 576 с.
Поступила в редакцию 15.12.14
Асхатов Радик Мухаметгалеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Radik.Ashatov@kpfu.ru
Абайдуллин Равиль Нуралиевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системного анализа и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Ravil.Abaydullin@kpfu.ru
