CC BY
45
УДК 517.956.226
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
Э. В. Чеботарева
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,
420021, г. Казань, ул. Татарстан, 2.
E-mail: elvchbSmail.ru
Строятся фундаментальное решение и потенциалы типа простого и двойного слоев для вырождающегося B-эллиптического уравнения второго рода. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Ключевые слова: вырождающееся В-эллиптическое уравнение второго рода, метод потенциалов, внешняя и внутренняя задачи Неймана, внешняя и внутренняя задачи Дирихле.
Пусть E++ —четверть xp > 0, xp-1 > 0 р-мерного евклидова пространства точек x = (x',xp), x' = (x'',xp-1), x'' = (x1,x2, .. . xp-2); Q — конечная область в E++, ограниченная гиперповерхностью Г и частями Го и Г1 гиперплоскостей xp-i = 0 и xp = 0 соответственно; Qe = E++\ (Q U Г).
Рассмотрим в E++ вырождающееся В-эллиптическое уравнение
E [u(x)] = Дж"u + и +
д
dxP
x
, ди dx„
(1)
где Дх" = Е
Р 2 d2 R
дх2 , ХР—1 j=1 j
дХР-1
д
xp-1 дхр-1
оператор Бесселя, 0 < а < 1,
к > 0 — постоянные, р ^ 3.
1. Фундаментальное решение. Будем искать решение уравнения (1) в виде
и
= Лп2^-(V +в)
(x) = (р?
w (а) ,
(2)
Y = р + k, р2 = |x'|2 +
(а-2)2
2-а
Р02 ) > р1 =
=|x'12 + la-w [xp 2 + xp°2
Подставляя функцию (2) в уравнение (1), имеем
а (1 - a) w'' + 2 - + 2^ aw' - в ^ 2 + f^j w = 0
(3)
Известно [1], что в окрестности точки а = 1 уравнение (3) имеет два
Чеботарева Эльвира Валерьевна — аспирант кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
0
2-а
4
2
линейно независимых решения. Одно из них имеет вид
(а) = (1 - а)1-2в Р (1 - в, 2 - в, 2 - 2в;1 - а) =
= а-^ (1 - а)1-2в Р (1 - в, 2 - 2 - в, 2 - 2в;1 - а) • (4) Подставляя (4) в (2), получаем решение уравнения (1):
9 (х;хи) = А (р2)-в (р2)-2-1 (1 - а)1-2в х
х ґ (1 - в, 2 - 2 - в, 2 - 20; 1 - <г), (5)
где А — некоторая постоянная, Р (а, Ь, с; г) — гипергеометрическая функция. Известно [2], что решение (5) может быть представлено в виде
9 (х; хро) = А (р?) (р2) " 2 (1 - а)1-2в х
Г (2 - 2в)г(2-2) , 7 7 х
х —----:—--------------гР 1 - в, 2 - 1 - в, 2 - 1; И +
Г(1 - в) Г (2 - в) V и’ 2 ^ 2 У
+ А (р2)-(а^+в) (1 - а)1-2в х
Г(2 - 2в)Г (-Х-т) / 7 7 х
х —-----------ч—Р (1 - в, 2 - в, 2; а). (6)
Г(1 - в) Г (2 - 2 - в) V 2 2 У
! помощью ряда Гаусса, а также разложения в степенной ряд функций
(2 \ —в
1+—(2-а) 2р \ при малых значениях р, решение (6) можно
16(жж0)~2~ )
записать в виде
Г (2 - 2в)г( 2-Л
о (х; ХР0) = А— --------- —х
’ Р0> Г(1 - в) Г (2 - в)
х (2 а) (Х„ХИ) 4 (р2)-^ + 9, (х; Хро) , (7)
где 9* (х; хР0) —регулярная в точке (0;, хР0) функция. Функция (7) по переменным Х1, Х2, •••, хр является решением уравнения (1), имеет степенную особенность и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке (0;, хР0).
Для получения фундаментального решения уравнения (1) с особенностью в произвольной точке хо € Е++ применим к функции (7) оператор обобщен-
ЛТЧХ0
ного сдвига 1х, :
£(х;х )= АГ(2 -2в)Г(1-2) (2 -а)2в(ХрХро)-а
( ; Ро) Г(1 - в) Г (2 - в) 24в
гп
x
JQ
|x77 - xQ7|2 + х^"? + Х2"1о-2x—"1Х—"1о cos
4 ( 2-а 2-а
_|_________________І /у» 2 _ /у» 2
+ (2 - а)2 Г— Х—о
2п Y-2
2
sink"? ^d^ + (x; xQ), (В)
/*п
где C"1 = sink"? ^d^ = ^ПГ (І) Г"1 (k^) ,а (x; xQ) — регулярная в точ-
Jq
ке (x; xQ) функция.
Аналогично доказательству, приведенному в [3], можно показать, что при малых значениях pXX[1 выполняется
|x77 - xQ7|2 + x—+ x—"1о - 2x—"1Х—"1о cos
- • k"1 j
sin ^d^ =
k c\
= (x—"1Х—"1о)_ 2 pX"— + R (x; xo),
2 f 2 — а 2 — а \ 2
где pXX0 = |x7 - xQ I + (2"4a)2 ( x—2 - x—о2 j . Отсюда следует, что фундамен-
тальное решение (В) может быть представлено в виде
г (x; Х0) = A Г(2 - 2в)Г(^) х
(Х; xo) AГ(1 - в)Г(2 - в) x
2в
х (2 ^ (хРхР0) 4 (хр-1хр-10) 2 рХхО + Е* (х; х0) , (9)
где Е* (х; хо) —регулярная часть фундаментального решения. Фундаментальное решение обладает следующими свойствами:
Е (С; х) = о (1) при хр ^ 0, (10)
( (^—2 . 4 —За А\ I
(рхх^ ^ 2 2(2—1при Г = V х1 + х2 + ••• + х2 (11)
2. Формулы Грина. Обозначим через С_В(П и Го) множество четных по хр-1 один раз непрерывно дифференцируемых в П и Го функций. Пусть и, V € С2 (П) П С1 (П) П СВ (П и Го).
Непосредственными вычислениями можно проверить, что
vE м xk + Ґ—Т —— + x«^uMxk =
[U] x—^ j=: дХ,- Хх, + Х— дХ— Хх—J Х—
—"1
e (^ді)+дХ— (xk"ixav^). (із)
Интегрируя обе части тождества (12) по области О и пользуясь формулой Остроградского, получим
k I I du dv a du dH fc
іx—-idx +Д dx; dx;+x—- dx- dx-)x—-?dx =
I vE [u] Х^_? dx + / I V ■
./п ./п У; = ?
= J vA [u]xk_? dF, (13)
—- 1
где A [ ] = cos (n, Х;) dX" + xa cos (n, x—) dx---конормальная производная,
;=i " p n — внешняя нормаль к границе Г. Меняя в формуле (13) u и v местами, имеем
іuE [v] xk_idx+x (—_ i- s-+xa dx—dx-) xk_idx=
= J uA [v]xk_? dP. (14)
Вычитая (14) из (13), получим
I [vE [u] — uE [v] ]xk_? dx = [vA [u] — uA [v]]x-_? dT. (15)
Уп ./г
Формулы (13) и (15) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора E.
3. Интегральное представление и принцип максимума. Пусть функция u Є C2 (П) n C1 (П) n CB (П U Г0) является решением уравнения (1) в области П и точка Mo (xo) Є П. Рассмотрим сферу SXoe с центром в точке Mo и радиуса є такого, что SXoe С П. Обозначим через Пе область, ограниченную координатными гиперплоскостями, гиперповерхностью Г и сферой SXoe (Пе = П\»С)Х0Є). Ясно, что фундаментальное решение E (x; xo) принадлежит классу C2 (П) П C1 (П) П CB (П U Г0). Применяя к функциям E (x; x0) и u(x) вторую формулу Грина для оператора E в области Пе, получаем
[E (x; x0) A [u (x)] — u (x) A [E (x; x0)]] x-_? dГ =
/ [E (x; xo) A [u (x)] — u (x) A [E (x; xo)]]x—_? dSxoe, (16)
'sXns
где А — внешняя конормаль к сфере £Хое.
Переходя в формуле (14) к пределу при е ^ 0 и выбирая значение
Г(1 — в)Г (2 — в)/ 4
4п І Г (2 — 20) \2 — а
2в
будем иметь
и(ж0)= / [Е(ж; ж0)А[и (ж)] — и (ж) А[Е(ж; жо)]] ж^-1 ЙГ+
+ / и(ж; 0)дЕ(ж'’ 0; жо) жк-1 ^ж'. ,УГ1 джк
Отсюда и из (10) следует, что существует решение и(ж) уравнения (1), удовлетворяющее условию и (ж) = о (1) при жр ^ 0. Для таких решений интегральное представление имеет вид
и(ж0) = J [Е(ж; ж0)А[и (ж)] — и (ж) А[Е(ж; ж0)]]жр-1 ЛГ, (18)
из которого вытекает следующее свойство решения уравнения (1).
Теорема (Принцип максимума). Если и(ж)€С2(О)ПС 1(П)ПСВ(О и Г0) — решение уравнения (1), удовлетворяющее условию и (ж) = о (1) при жр ^ 0, то функция и(ж) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она не равна нулю.
Доказательство. Предположим, что функция и(ж)€С2(О) ПС1 (Л) П П СВ (О и Г0) удовлетворяет уравнению (1) и достигает своего положительного наибольшего значения в некоторой внутренней точке М0(ж0) области О. Тогда существует ^-окрестность точки ж0, в которой и(ж) < и(ж0) при ж = ж0 и и(ж) > 0. Пусть £Х0г —сфера с центром в точке ж0 и радиусом 5. Полагая в интегральном представлении решения и(ж), что Г = £Х0г, получим
и(ж0)= / Е(ж; ж0)А [и(ж)] жр-1 ^5Х0г—
и(ж)А [Е(ж; ж0)] жР— ^£х0г = /1 + /2- (19)
Так как и(ж) > 0 и Е(ж; ж0) > 0, а конормаль А является внешней по отношению к сфере £Х0г, то А [и(ж)] < 0 и А [Е(ж; ж0)] < 0, а значит, /1 и /2 имеют разные знаки. Если /1 < 0, а /2 > 0, то при 5 ^ 0 /1, возрастая,
стремится к нулю, а /2, возрастая, стремится к и(ж0). Таким образом, /1 < 0 и /2 < и(ж0). Учитывая это и заменяя в (19) и(ж) на и(ж0), получим бессмысленное неравенство
и(ж0) < /2 < и(ж0).
Следовательно, функция и(ж) может достигнуть своего положительного наибольшего значения лишь на границе Г. Аналогичным образом можно доказать, что функция и(ж) достигает своего отрицательного наименьшего значения также на границе Г. □
Следствие. Если функция и(ж) € С2 (О) П С1 (Л) П СВ (О и Г0) является решением уравнения (1), то |и(ж)| ^ тах |и(£)|. В частности, если и|г = 0,
и| „ = 0, то и(ж) = 0 в О.
1хр=0 7 4 '
4. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности.
Внутренняя задача Дирихле (Задача Бі). Требуется найти четную по жр_1 функцию «(ж), удовлетворяющую условиям:
«(ж) Є С2 (П) П С1 (П) , (20)
Е [«(ж)] = 0, ж Є П, (21)
« (ж) = о (1) при жр ^ 0, (22)
«1г = ^(0, С Є Г, р(£) Є С (Г). (23)
Теорема 1. Задача Б не может иметь более одного решения. Доказательство теоремы 1 проводится с помощью принципа максимума. Внешняя задача Дирихле (Задача Бє). Требуется найти четную по жр_1 функцию «(ж), удовлетворяющую условиям:
u(x) Є C2 (Пе) n C1 (Пе) ,
E [u(x)] = О, x Є Пе, u (x) = o (1) при x— ^ О,
u
(x) = о ( (pxxo)
при r = д/x2 + x2 +
u|г = р(Є), е Є Г, ^) Є C (Г).
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Теорема 2. Задача Бе не может иметь более одного решения. Доказательство теоремы 2 также следует из принципа максимума. Внутренняя задача Неймана (Задача Жі). Требуется найти четную по жр_і функцию «(ж), удовлетворяющую условиям:
u(x) Є C2 (П) n C1 (П) ,
E [u(x)] = О, x Є П, u(x) = o(1) при x— ^ О,
A [u (Х)]|г = ^(е), е Є Г, ^>(е) Є C (Г).
(29)
(30)
(31)
(32)
Теорема 3. Задача Nj не может иметь более одного решения. Доказательство. Предположим, что задача Nj имеет два решения u?(x) и u2(x). Тогда функция w(x) = u?(x) — u2(x) является четной по x— _i, удовлетворяет условиям (29) — (ЗІ) и граничному условию A [w] |г = О. Полагая в (ІЗ) u = v = w, получим
I (e (It) +x? (|r)) 4-.dx = IwA [w] 4-. ^
Т. к. A [w] |г = О, то Hxf1 = О (i = 1, 2,... ,p), а значит, w(x) = u?(x) — u2(x) = = const. В силу (ЗІ) w(x) = u?(x) — u2(x) = О или u?(x) = u2(x). □
Внешняя задача Неймана (Задача Же). Требуется найти четную по жр_1 функцию и(ж), удовлетворяющую условиям:
Теорема 4. Задача N не может иметь более одного решения. Доказательство. Предположим, что задача N имеет два решения «1 (ж) и «2(ж). Рассмотрим функцию ш(ж) = «і(ж) — «2(ж), которая является чет ной по жр_і, удовлетворяет условиям (33)—(36) и граничному условию
Полагая в (13) u = v = w, для области Пед получим
Переходя к пределу при R ^ то, получим
откуда =0 (i = 1,2, ...,p), а значит, w(x) = ui(x) — u2 (ж) = const. Учитывая, что на бесконечности w(x) ^ 0, имеем ui(x) = и2(ж). □
5. Потенциалы типа простого и двойного слоев. С помощью фундаментального решения E(ж; жо) образуем потенциал типа двойного слоя:
где V (£) — непрерывная функция.
Потенциал Ш (ж) является регулярным решением уравнения (1) в любой области из Е++, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостями жр_1 = 0 и жр = 0. В силу (10) Ш(ж) = о(1) при ж ^ 0.
Лемма 1. Если Г —поверхность Ляпунова, которая образует с гиперплоскостями жр_1 =0 и жр = 0 прямые углы, то
(33)
(34)
(35)
E [u(x)] = О, x Є Пе, u (x) = о (І) при x— ^ О,
(36)
A [u (x)] Іг = ^(е), е Є Г, ^(е) Є C (Г).
(37)
A [w] |г = О.
где B — постоянная.
Лемма (Геллерстедт). Если Г — поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями жр_1 =0 и жр = 0 прямые углы, то
Доказательство следует из формул Грина для оператора Е и леммы 1. Теорема 5. Пусть Г —поверхность Ляпунова, которая образует с гиперплоскостями жр_1 =0 и Жр = 0 прямые углы, то при V Є С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:
где ШДжо) и Ше(жо) означают предельные значения потенциала Ш(ж) в точке Жо € Г при ж ^ Жо соответственно изнутри и извне границы Г, а Ш(жо) — прямое значение потенциала Ш(ж) в точке жо € Г.
Доказательство следует из лемм 1 и 2.
С помощью фундаментального решения Е(ж; жо) уравнения (1) образуем поверхностный потенциал типа простого слоя:
где ^(ж) —непрерывная функция на Г.
Очевидно, что потенциал V(ж) —регулярное решение уравнения (1) в любой области, лежащей в Е++, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостями жр_1 =0 и жр =0.
Из формул (10) и (11) следует, что потенциал V(ж) обладает следующими свойствами:
Фундаментальное решение уравнения (1) имеет такую же особенность, что и уравнение Лапласа, поэтому потенциал (40) на границе Г ведёт себя так же, как и гармонический потенциал простого слоя, т.е. имеют место следующие теоремы.
Теорема 6. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями жр_1 = 0 и жр = 0 прямые углы. Тогда если ^ € С (Г), то потенциал простого слоя V (ж) непрерывен в Е++.
Теорема 7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями жр_1 =0 и жр = 0 прямые углы. Тогда при ^ € С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:
-1,
0,
1
2 ,
Ж Є П, ж Є Г, ж Є Пе.
(39)
(40)
V(ж) = о(1) при жр ^ 0,
(41)
(42)
ІІП1 АХ0 ^(ж)] = Ахо ^(жо)]і = -Г- + Ахо ^(жо)]
х——хо Г
Иш Ахо [V(ж)] = Ахо [V(жо)]е = —— + Ахо [V(жо)],
х——хо 2
где Ахо [V(жо)]г и Ахо [V(жо)]е — предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке жо € Г соответственно изнутри и извне границы Г, ^о = ^(жо), а Ахо [V(жо)] — прямое значение конормальной производной потенциала типа простого слоя.
6. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям. Решение задачи ^ будем искать в виде потенциала типа двойного слоя
и(ж) = Ш (ж) = ^(£)А [Е (£,ж)] £р_1 ^Г- (43)
Очевидно, что функция и(ж) удовлетворяет условиям (20)—(22) внутренней задачи Дирихле. Плотность V(£) — пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (43) удовлетворяла граничному условию (23) задачи Е^. С этой целью подставим и(ж) в граничное условие (23) и, учитывая формулу предельного значения потенциала типа двойного слоя, получим
—^+/V (£)А [Е (£;ж)] ^Р_1ЙГ = ^(ж)'
Таким образом, задача Е свелась к следующему интегральному уравнению:
V (ж)—2 /V (£)А [Е (£;ж)] ^Р_1йГ=—2^(ж). (44)
Аналогичным образом задачи Ее, N и N сводятся соответственно к уравнениям:
V (ж)+2 /V (£)А [Е (£;ж)] ^р_1 ЙГ=2^(ж)’ (45)
^(ж) + 2 ! М£)Ах[Е (£;ж)] Ср_1 ^Г = —2^(ж), (46)
Мж) — 2^(С)Ах [Е (£;ж)] Ср_1 ^Г = —2^(ж). (47)
Отметим следующие свойства интегральных уравнений (44)—(47).
1. Из формулы (9) следует, что данные уравнения являются уравнениями со слабой особенностью.
2. Ядра А [Е (£; ж)] и Ах [Е (£; ж)] получаются друг из друга перестановкой местами точек £ и ж.Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные, а значит, уравнения (44) и (47), (45) и (46) —попарно сопряженные интегральные уравнения. Следовательно, для них справедливы теоремы Фредгольма.
7. Исследование интегральных уравнений. Рассмотрим однородное интегральное уравнение, соответствующее задаче N:
Мж) — 2 ! V (£) Ах [Е (£; ж)]£Р_1 ^Г = 0' (48)
Если V (£) — ненулевое решение этого уравнения, то функция
и(ж) = ! V(£) Е (£;ж) £Р_1 ^Г
удовлетворяет условиям (33)—(36) внешней задачи Неймана и граничному условию Ах [и(ж)] |г = 0, т. е.
Ах [и (ж)]е = -+ Іг д(£)Аж [Е (£; ж)] ер-1^г = 0. (49)
По теореме единственности для задачи N и (ж) =0, ж Є Пе. Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция в Е++, то и (ж) = 0, ж Є Г.
В области П функция и (ж) удовлетворяет уравнению (1) и обращается в нуль на границе Г. По теореме о единственности для задачи ^ и (ж) = 0, ж Є П. Следовательно,
Ах [и (ж)]і = ^ + Іг д(£)А* [Е (£; ж)] ^ ^Г = 0. (50)
Вычитая из равенства (50) равенство (49), получим ^(£) =0, ж Є П, т. е. однородное интегральное уравнение (48) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (47) задачи N однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции ф (ж) Є Г.
Таким образом, значение Л = 2 — правильное для ядра Ах [Е (£; ж)]; по известной теореме Фредгольма оно является правильным и для сопряженного ядра А [Е (£; ж)].
Отсюда следует, что интегральное уравнение (44) задачи ^ однозначно разрешимо для любой непрерывной функции р (ж) Є С (Г).
Из разрешимости интегральных уравнений задач ^ и N следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.
Теорема 8. Если Г —поверхность Ляпунова, которая образует с гиперплоскостями жр_і =0 и жр = 0 прямые углы, то задача ^ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.
Теорема 9. Если Г — поверхность Ляпунова, которая образует с гиперплоскостями жр_і =0 и жр = 0 прямые углы, то задача N для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.
Исследование второй пары интегральных уравнений (45) и (46), соответствующих задачам Д= и N1, приводит к следующим теоремам.
Теорема 10. Если Г — поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями жр_і =0 и жр = 0 прямые углы, и при этом выполняется условие
1г ф (£) £р_і = °,
то задача N для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.
Теорема 11. Если Г — поверхность Ляпунова, которая образует с гиперплоскостями жр_і =0 и жр = 0 прямые углы, то задача Д= для этой
поверхности однозначно разрешима при любых граничных данных и решение можно представить в виде
и (Х)= / V (О А [Е (£; х)] $-1^Г + ^ (О ^Г-
•'Г' —ххо -'г
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения [Текст] / М. М. Смирнов. — М.: Наука, 1966. — 292 с.
2. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. — М.: Наука, 1966. — 720 с.
3. Weinstein, A. Discontinuous integrals and generalized potential theory [Text] / A. Weinstein // Trans. Amer. Math. Soc, 1948. Vol. 63, № 2.— P. 342-354.
Поступила в редакцию 07/IV/2008; в окончательном варианте — 30/VI/2008.
MSC: 35J70, 35A07
BOUNDARY VALUE PROBLEM SOLUTION OF A SECOND TYPE CONFLUENT B-ELLIPTICAL EQUATION
E. V. Chebotareva
Tatar State University of Humanities and Education,
420021, Kazan’, Tatarstan str., 2.
E-mail: elvchbSmail.ru
Fundamental solution and potential of simple fiber and double layer types for confluent B-elliptical equation of the second kind are built in the given research work. With the help of above mentioned potentials boundary problems are converted into Fredholm integral equations of the second kind.
Keywords: confluent B-elliptical equation of second kind, method of potentials, external and internal problems of Neumann, external and internal problems of Dirihlet.
Original article submitted 07/IV/2008; revision submitted 30/VI/2008.
Chebotareva El’vira Valer’evna, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis of Tatar State University of Humanities and Education.
