CC BY
77
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)
УДК 517.956
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
© А.М.Нигмедзянова
В работе доказывается существование и единственность решения основных краевых задач для одного многомерного сингулярного эллиптического уравнения методом потенциалов.
Ключевые слова: основная краевая задача, многомерное сингулярное эллиптическое уравнение, метод потенциалов.
Введение
Пусть Ер - полупространство xp > 0 р -мерного евклидова пространства точек x = ( ,), x = (x1,x2xp_), D - конечная
область в E+p , ограниченная открытой частью Г0 гиперплоскости xp = 0 и гиперповерхностью Г.
В работе исследованы внутренние и внешние краевые задачи Дирихле и Неймана для многомерного сингулярного эллиптического уравнения вида
р-1 д2Г
T [Г(*>Ы -гг + ■
М °х]
где 0 < к < 1, р > 3.
дхр
дГ
= 0,
(1)
С помощью замены #, = х,, у = 1, р -1,
#р =
1 - к
д 2Г
£ д# д#Р
,^РА д2Г
#Р- I
= 0,
различные краевые задачи для которого исследованы Ф.Трикоми [3], Е.Хольмгреном [4], С.Гел-лерстедтом [5; 6], Ф.И.Франклем [7], П.Жерме-ном, Р.Бадером [8; 9] и др.
Ф.Трикоми в фундаментальной работе [3] рассмотрел задачу Дирихле. С.Геллерстедт [5; 6] показал, что задача Дирихле и задача N могут быть решены при помощи функции Грина, регулярная часть которой в случае произвольной области О ищется в виде потенциала двойного слоя с плотностью ¡и(ґ>. Для плотности ¡и(ґ> получается уравнение Фредгольма, причем предполагается, что концы кривой Г совпадают с дуга-
-ут+2 = к2
ми
нормальной кривой (х - х0 )2
(т+ 2)
сингулярное эллиптическое урав-
нение (1) сводится к вырождающемуся эллиптическому уравнению
которое имеет широкое применение в физике. Математическое моделирование физических процессов часто приводит к краевым задачам для вырождающихся эллиптических уравнений. Имеется значительное число работ, посвященных исследованию таких задач (например, обзор в книге [1]). Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упругости, механике сплошной среды и др. В частности, такие уравнения были исследованы Ф.Г.Мухлисовым [2].
Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида
т д2и д2и п ,
,, _+_=0 (т > °), (2)
(у > 0) . Ф.И.Франклю в статье [7] удалось избавиться от этого ограничения. Он сводит обе рассматриваемые краевые задачи к уравнениям Фредгольма, причем предполагается, что кривая Г подходит к оси абсцисс в точках А и В под прямым углом.
А.В.Бицадзе [10; 11] доказал существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения
т д2и д2и чди
У
дх2 ду2
дГ
,(х’у >-аТ
+Ьу)_ду"+ с(У)и = 0 (т > 0).
К.Е.Бабенко [12] исследовал задачу N как для уравнения (2), так и для более общего уравнения
т д2и д2и ( .
У 1гг+с (x, У )и = 0
дx ду
при предположении, что в окрестности точек А и В на кривой Г выполняется условие dx
< Су2 (я), где С - постоянная, а х = х(5),
у = у(5) - параметрические уравнения кривой Г.
И.Н.Векуа [13] получил явные формулы для решения задачи Дирихле в полуплоскости у > 0
для уравнения у
д2Г д2Г
+ -2- = 0 (к>-1).
дx ду
1. Фундаментальное решение
Будем искать решение уравнения (1) в виде
(3)
и кх) = (р12 Г2 + ^к^)’
2 р-1 і V
где а=Т[, Р2 =!(х/- м
I(х -хЛ)
р2 =
з =1
\2 ( \ 2
+ 4 хР + хР0 ) •
Сг(1 -СТ)®" +
к (Р -2 к\
1 ^ I® = 0.
(4)
(5)
Е(х,х0) = а(р2) 2^р2] 2 (1 -ст)
хстРгр I1 - * ,-Р - *, 2 - к;1 -ст 1 =
х
Р(а, Ь;с;г) =
Г(с)Г(с - а - Ь)
Г (с - а )Г(с - Ь ) хр (а,Ь;а + Ь - с +1;1- г) +
- г)с-а-Ь Г(с)Г(а + Ь - с) х
( ) Г(а )Г(Ь)
хр (с - а, с - Ь; с - а - Ь +1;1- г) решение (6) может быть представлено в виде
Е (х, х0 ) = ар12 ) 2(р2 ) 2 х
<(1 -ст)
Подставляя функцию (3) в уравнение (1), получаем:
ГР-I Р+кСТ 2 V 2
Г(2 - к)Г^-Р-2)
Г(1 - 2 )г( - к)
, , 2-2)(1 V-* Г(2 - к)Г(-^)
+ а[Р1 ) (1 -СТ) -'-“
(7)
21 2 2,
Известно ([1], С.40), ([14], гл.У, пп.100, 101), что в окрестности точки с = 1 одно из линейнонезависимых решений уравнения (4) имеет вид:
а(:х, ^ ) = (1 _а)1-*^ (1 _ 2, Р _ к,2 _ к ;1 _с)| =
_ Р_2 а \1_к „ (, к п р к ^ , , 1
=с 2 (1 _с Р[1 _2,2_у_2,2_м_с|
Подставляя (5) в (3), получаем решение уравнения (1)
Е ( ^ ) = ар ] 2 [р2 ] 2 (1 _с)_к х
Ал к ~ Р к ^ (6)
хР I 1_2 _ — _-, 2 _ к;1 _ с
У 2 2 2
где а - некоторая постоянная, Р (а,Ь,с; г) - ги-
пергеометрическая функция.
Учитывая [15:280], что при | г |< 1
Р(а,Ь;с;г) = (1 _г)с а _ Р(с_а,с_Ь;с;г),
последнее равенство можем записать в следующем виде
Г(1_* )Г(2--Р_ 2)
хР (1_ к, р_к,р ;с1-
У 2 2 2 2 )
Отсюда следует, что решение (7) имеет степенную особенность вида р2~р и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке x0.
С помощью ряда Гаусса, разложения функ-
(2 \_ 2
1 + 4^ х )) при малых значениях р в степенной ряд, фундаментальное решение (7) запишем в виде
Е ( x, Xo ) = Е (x, Xo) + Е *(x, Xo),
где
Е( . Г(2_к)Г(¥)(XpXpo ) , 2ГТ
Е (x, Xo ) = а——:тт:7р—^--—----[р 1
Г(1-к)Г(к-к ) 2>
Е*( х, х0) - регулярная часть фундаментального решения Е к х, х0) .
Нетрудно проверить, что Е (#, х ) = О к х1рк ) при хр ^ 0, дЕ (#х )
дх„
= О (1) при
= а
р)^-Р(4хрхР0 |1-*,-р-:2,2-к;1 -ст) = О(#^-к) при #р ^ 0.
В силу известной формулы [15: 280]:
Е (х, х0 ) = О ^(Р02) : ^
к+к
при
(8)
(9)
г =,
2 2 + ... + хр ^ да.
dn r = Jx*
p-1 1 x".
при
. + x
где рс2 = Е --1
1 =1
2. Формулы Грина
Пусть функции и,У е С2 (D)п С1 (D) . Непосредственным вычислением можно убедиться,
что имеет место тождество
VT [U] + X
(p- dU dV
\
Р-1 d
= Z —
7=1 dXj
“1 dxi dxi \
dV dU dxp dxp J
V
dU
dx,.
7 j
öx„
kV dU
xpV---------
p cx
p J
(11)
Умножая обе части тождества (11) на xkp, интегрируя обе части тождества по области D и пользуясь формулой Остроградского, получаем ]>Т [и ]xpdx +
f[ p-1 dU dV
"iiS
dV dU
\
dxp dxp
xpdx =
=1 dxj dx
г TrdU k r TrdU k , І V------xpdr + І V----------xpdx
J dn p J dn p
(12)
dn
V dU - U V
dn dn
V dU - u dV
dn dn
xpd Г +
xpdx'.
(13)
Формула (13) называется второй формулой Грина для оператора Т .
3. Интегральное представление
Пусть функция и(х) є С2(О) п С1(О) - решение уравнения (1) в области О, удовлетворяющее условию
Г(х) = О(х1рк) при хр ^0. (14)
Зададим в области О произвольную точку х0. Вырежем эту точку шаром QXє є. Радиус є
возьмем столь малым, чтобы шар QXoє целиком
находился внутри области О. В области Оє = О \ Q є фундаментальное решение
Е(х,х0) уравнения (1) (т.е. (7)) принадлежит классу С2(Оє> п С1(Оє) . Применяя к функциям и(х) и Е(х, х0) в области Оє вторую формулу Грина для оператора Т , получаем
| [Е(х,х0)Е[и(х)] - Г(х)Е[Е(х,х0)Х]хр£Йс =
i
dn
E (x, xo )^U^ - U (x)
dn dE (x, x0)
dn
+
- E (x, xo )dUd^ + U (x)
dn
dE (
xpd Г +
xpdx' -
)
dn
dn
xpdSv-
Переходя в последней формуле к пределу при є ^ 0, имеем
i
E (x, x0 )dUM - U (x )dE ( xo)
dn
dn
xpd Г =
a =
= a (p - 2) Г(2 - \u (x,) 2*
V 'г(1 - f)^ - f)2k V ’
Полагая в этой
2k г(1 - -2 )r( p - k)
r(p)'
формуле
получаем интегральное
Г Го
где п - внешняя нормаль к Г. Формула (12) называется первой формулой Грина для оператора Т .
Меняя местами и и У в формуле (12) и вычитая полученное равенство из (12) , имеем | [УТ [и ] _ иТ [У ]]xpdx =
4^т Г(2 _ к )
представление решения уравнения (1).
Таким образом, для всякой функции и(x), удовлетворяющей условиям:
a) и(x) е С 2(Б) п С1^),
b) Е[и(x)] = 0, x е D,
c) и(x) = О(д-}рк) при xp ^0
и для любой точки x0 е D справедливо следующее интегральное представление
U ( xo) = |
E ( x, x0) dU(x) - U ( x) ÖE ( x xo)
xpd Г.
(15)
dn dn
4. Свойства решений уравнения
Из интегрального представления (15) вытекают следующие свойства решения уравнения (1):
1°. Существуют решения U(х) уравнения (1) в области D, удовлетворяющие условию U(х) = O (х1рк ) при хр ^ 0.
2°. Существуют решения U (х) уравнения (1) в области De = Ep \D, удовлетворяющие усло-
вию
U (x) = O |(po2)
при
r =
■y/xi
2 2 + ■■■ + xp
i
S
Xoє
у
2 V"' 2
где Ро = I х .
1=1
3°. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления (15), сформулируем в виде теоремы:
Теорема 1 (принцип максимума). Если
и (х) є С 2(О) п С (О) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (14), то функция Г(х) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю.
Следствие. Если функция
Г (х) є С 2(О) п С (О) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (14), то Г (х)| < тах Г (х0)|, х є О. В частности, если х єГ
Г(х) Г = 0, то Г (х) = 0 в О .
4. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности
Внутренняя задача Дирихле (Задача Оі).
Требуется найти функцию Г(х), удовлетворяющую следующим условиям:
Г (х) є С2 (О) п С (О), (16)
Е[Г(х)] = 0, х є О, (17)
Г (х) = О ( хр-к )
при хр
0,
Г (х) є С 2(Ое) п С (О,), Е[Г (х)] = 0, х є Ое,
Г(х) = О(х1рк) при хр ^0,
Г (х) = О Ч(р02)
при
(20)
(21)
(22)
(23)
+ х
Г(х) = О(х1рк) при хр ^0, дГ (х) =^( х), / (х) є С (Г).
дп
Здесь
(27)
(28)
_д_
дп
внешняя нормаль.
Теорема 4. Внутренняя краевая задача Неймана (25)-(28) не может иметь более одного решения.
Внешняя задача Неймана (Задача N).
Требуется найти функцию Г(х), удовлетворяющую следующим условиям:
Г(х) є С2(О,) п С'(О,), (29)
Е[Г(х)] = 0, х є О,, (30)
Г(х) = О(х1рк) при хр ^0, (31)
Г (х) = О |(р02)
при
г = дГ (х)
дп
= р(х), <р(х) є С (Г).
(32)
(33)
д
(18)
ГГ = Дх), Дх) є С(Г). (19)
Теорема 2. Внутренняя краевая задача Дирихле (16)-(19) не может иметь более одного решения.
Внешняя задача Дирихле (Задача О,). Требуется найти функцию Г(х), удовлетворяющую следующим условиям:
Здесь-------нормаль, направленная во вне об-
дп
ласти О .
Теорема 5. Внешняя краевая задача Неймана
(29)-(33) не может иметь более одного решения.
5. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства С помощью фундаментального решения Е(#, х) уравнения (1) образуем поверхностный потенциал двойного слоя:
Ж(х) = {К#) дЕ# х) #к
дп
Г, где у(#) - непре-
ГГ = / (х), / (х) є С (Г). (24)
Теорема 3. Внешняя краевая задача Дирихле (20)-(24) не может иметь более одного решения.
Внутренняя задача Неймана (Задача N). Требуется найти функцию Г(х), удовлетворяющую следующим условиям:
Г(х) є С2 (О) п СЧО), (25)
Е[Г(х)] = 0, х є О, (26)
рывная функция на Г.
Очевидно, что потенциал Ж (x) есть регулярное решение уравнения (1) в любой области, лежащей в полупространстве Е+ , не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью xp = 0 . В силу (9)
Ж(x) = О () при xp ^ 0.
Лемма 1. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой угол,
дЕ(£, x)
то
дп
< В, где В - постоянная.
Лемма 2 (Геллерстедт). Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то
Г
Г
■т#Л # г =
дп р
-1
Г0
-1
Г0
-1
дЕ(#', х) # , т О
———-#Ка# -1, если х є О;
д#р р
дЕ(#', х) 1
д#р
# С#'-------, если х є Г;
р 2
дЕ(Л, x) ^ , -
——-----Л^Л , если x е Ep\D = De.
Теорема 6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой
угол. Тогда при уе С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:
угол. Тогда если плотность /и е С (Г), то потенциал простого слоя У(x) непрерывен в Е+ .
Теорема 8. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой
угол. Тогда при /не С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:
дУ(Xo)I■ =Но , дУ(*о) дУ(Xo)e = Но , ду(*о)
" 2
дп.
д дУ (х0)і где ----------— и
дп
А0
дУ ( х0),
дп.
дп.
Ж (х0) = -*
Ж( х0), Ж, (х0) = -* + Ж( х0), где
дп дп
0
предельные значения
Ж (x0) и Же (x0) означают предельные значения потенциала двойного слоя Ж(X) в точке x0 еГ при X ^ x0 соответственно изнутри и извне границы Г, а Ж(x0) - прямое значение потенциала двойного слоя Ж(X) в точке x0 еГ. Здесь x0 еГ - фиксированная точка границы Г,
V =К *о).
Доказательство теоремы 6 следует из лемм 1
и 2.
С помощью фундаментального решения Е(Л, X) уравнения (1) образуем поверхностный потенциал простого слоя:
У (X) = \н(4)Е (Л x)^kpd Г, (34)
нормальной производной потенциала простого слоя в точке x0 еГ соответственно изнутри и
дУ (Xo)
извне границы Г, и0 = и(х0), а
дп
прямое
значение нормальной производной потенциала простого слоя.
6. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала
Решение задачи Оі будем искать в виде потенциала двойного слоя
Г (х) = Ж (х) = ^(#)
ж#) #*с г.
дп р
(35)
где н(Л) - непрерывная функция на Г .
Очевидно, что потенциал У(X) - регулярное решение уравнения (1) в любой области, лежащей в Е+ , не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью xp = 0 .
Из формул (8) и (10) следует, что потенциал У(X) обладает следующими свойства- к(X) _ 2§у(Л)
ми: У(X) = О(xl_k) при xp ^0, Г
Очевидно, что функция и(X) удовлетворяет условиям (16)-(18) внутренней задачи Дирихле. Плотность у (Л) - пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (35) удовлетворяла граничному условию (19) задачи
А.
С этой целью подставим и(X) в граничное условие (19) и, учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя (теорема 6), получим
#РсГ = -2/(х). (36)
У (х) = О [кр,2)
при г =
2 +... + хр ^ да.
Из представления (7) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке x0 имеет степенную особенность вида
р2~p, т. е. такую же особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (34) на границе Г ведет себя также, как и гармонический потенциал простого слоя [16: 262], т.е. имеют место следующие теоремы: Теорема 7. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью xp = 0 прямой
Интегральное уравнение (36) соответствует внутренней задаче Дирихле.
Аналогично вводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам Д,, Ni и Ые. Они имеют вид
V х) + 21V#) дп
и( х) + 21 и(#)
Г
и(х) - 21 и(#)
дЕ # х) #рс Г = 2 / (х),
#крС Г = 2^( х),
дп
дЕ(#,х) Г = _2^( х).
дп
(37)
(38)
(39)
Отметим следующие свойства интегральных уравнений (36)-(39):
1) Из формулы (7) следует, что эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.
Я дЕ (#, х) дЕ (#, х )
2) Ядра ---------- и------------ получаются
дп дпх
друг из друга перестановкой точек # их. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что уравнения (36) и (39), (37) и (38) - попарно сопряженные интегральные уравнения.
Теорема 9. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол,
то задача Оі для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.
Теорема 10. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой
угол, то задача М, для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.
Теорема 11. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой
угол, то задача О, для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.
Теорема 12. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой
угол, то задача Мі для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.
1. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. -292 с.
2. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные опера-
тором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Казань, 1993. - 324 с.
3. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Пер. с ит. Ф.И.Франкля. - М.: ОГИЗ, 1947. - 192 с.
4. Hellmgren E. Sur un problème aux limates pour l’équation ymzxx + zy = 0 // Arkiv Mat., Astr., och
Fysik, 1926. - 19B, 14.
5. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une équation linéaire aux dérivées partielles du second orde de tipe mixte // Thèse, Uppsala, 1935.
6. Gellerstedt S. Sur un problème aus limites pour l’équation y2szxa + zyy = 0 // Arkiv Mat., Ast.och Fysik, 1953. - 25A, 10.
7. Франкль Ф.И. К теории уравнения yzxx + z^, = 0.
// Изв. АН СССР. Сер. "Матеем". - 1946. - Т.10. -Вып.2. - С.135-166.
8. Germain P., Bader R. Sur quelques problèms relatifs a l’équation du type mixte de Tricomi. // Publ. ONERA. - 1952. - 56.
9. Germain P., Bader R. Problèmes elliptiques et hyperboliques singuliers pour une équation du type mixte. // Publ. ONERA. - 1953. - 60.
10. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.
11. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1981.- 448 с.
12. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - М.: Мат. ин-т АН СССР, 1952.
13. Векуа И.Н. Об одном обобщении интеграла Пуассона для полуплоскости // ДАН СССР. - 1947. -Т.56. - С.229-231.
14. Смирнов М.М. Курс высшей математики. - М., 1957. - Т.3. - Ч.2.
15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - СПб.-М.-Краснодар: "Лань". - 2003. - 832 с.
16. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М. 1977. - 432 c.
INVESTIGATION BY THE METHOD OF POTENTIALS OF BASIC BOUNDARY PROBLEMS FOR ONE MULTIDIMENSIONAL SINGULAR ELLIPTIC EQUATION
A.M.Nigmedzianova
In this article the existence and uniqueness of the solution of basic boundary problems for one multidimensional singular elliptic equation is proved by the method of potentials.
Key words: main boundary volume problem, multidimensional singular elliptic equation, method of potentials.
Нигмедзянова Айгуль Махмутовна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.
E-mail: aigmani@rambler.ru
