Решение краевых задач для многомерного вырождающегося B-эллиптического уравнения первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5i7.95

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

© Э.В.Чеботарева

В данной работе строятся фундаментальное решение и потенциалы типа простого и двойного слоев для одного вырождающегося В-эллиптического уравнения первого рода. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается единственность их решения.

Пусть E+P+ - четверть xp > 0 , xp-i > 0 p -мерного евклидова пространства точек

( x xo ) = BCk

Г(І-в) Г|2-в

*(xpxpo) 4(xp-ixp-i0) 2 Pxx°P P

P R( x, x0) = X * (x, x0) P R( x, x0), где R(x, x0) - регулярная функция в точке x0 B - некоторая

л f mP 2

постоянная,

i

Pxx;

x - x0 P

(m P 2)

xp 2 - x 2

J

Фундаментальное решение уравнения (i) обладает следующими свойствами:

х = ( х ’, Xp_l, Xp ) = ( x", Xp ), x' = (, (2,..., Хр_2 ),

x" = (x', xp_1), О - конечная область в E+p+ , ограниченная гиперповерхностью Г и частями Г0 и Г1 гиперплоскостей Хр-1 = 0 и хр = 0 соответственно, Ое = Ер+ \ (О и Г) .

Рассмотрим в Е+р+ вырождающееся В-эллиптическое уравнение

Ь[(х)] = х; (А( р ВХр1 и) + -) = 0, (1)

А р_2 д2 д2 к д

где Х' 5 ^ ’ Хр-1 дхР_1 + хр_1 дхр_1

оператор Бесселя, т > 0, к > 0 - постоянные, р > 3.

1. Фундаментальное решение и интегральное представление фундаментального решения

Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид:

lim X(І, x) = lim X(І, x) = 0 , xp ip ^°

lim= lim dXix> = °,

<5fp

дХ (i, x)

dxP

dxp дХ (i, x)

dip

X (x, x°) = O

O(i) при xp ^ 0, = O(i) при ip ^ °:

f

(3)

(4)

(5)

Y-2 mP4 1

~T 2(mP2)

V

при |x|

f

(б)

(7)

( у_2 тр 4 ^

А[х(х,Х0)] = О р )1“+^)

V )

при |х| .

Обозначим через СВ (О и Г0) множество четных по Хр-1, один раз непрерывно дифференцируемых в О и Г0 функций. Пусть и, V е С2 (О)П С1 (О) п СВ ( и Г0). В работе [1] были получены следующие формулы

(2) 1 vL(u) xp -i dx P|

' ' о о

dv ды dv ды

xm У---------------------P-------------

p dxJ dxJ dx dx

xPdx =

= | vA[u ]#pk:id rP| v(i,0)

P

(S)

1 (vL(u) - uL(v)) xkp-idx = J(vA[u] - uA[v])ikp_ldГ -

1

(

v(i ,0)ЇІ) -u(i,°) ду(І',0)

A

iVi,

(9)

І І ,

где A = iУ cos(n,i)-^P cos(n,ip)-І -j=i °Ь] 0iP

конормальная производная, n - внешняя нормаль к границе Г . Формулы (S) и (9) называют-

ся, соответственно, первой и второй формулами Грина для оператора Ь .

Пусть функция

и(х) є С2 (О) п С1 (П) п С ( и г0) является

решением уравнения (1) в области П и х0 єП. В [1] показано, что если при этом выполняется условие ііш и(х) = 0, то интегральное представ-

хр

ление для и (х) имеет вид и( хо) = |(х (4, хо)^[и ] - иА[Х (4, хо)])^^1^Г. (10)

г

Из интегрального представления (10) вытекает следующее свойство решения уравнения (1) Теорема 1. (Принцип максимума). Если

и(х) є С2 (п)п с1 (п)п СВ ( и Г0) - решение

уравнения (1), удовлетворяющее условию Ііш и(х) = 0, то функция и(х) достигает сво-

хр

его положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она не равна 0.

Доказательство. Предположим, что функция

и(х) є С2 (п)п с1 (п)п СВ ( и Г0) удовле-

творяет уравнению (1) и достигает своего положительного наибольшего значения в некоторой внутренней точке М0 (х0) области П. Тогда существует 5 - окрестность точки х0, в которой и(х) < и(х0) при х Ф х0 и и(х) > 0. Пусть 5 -

сфера с центром в точке х0 и радиусом 5 . Полагая в интегральном представлении решения и (х) Г = 5, получим

и(х0) = | Х(4, х0)А[и

x°S

x°S

J u(x)A[X(i Xoo)]iP,-idSx°S = Ii P 12 .

(ii)

Так как и (х) > 0 и X(х, х0) > 0, а конормаль А является внешней по отношению к сфере 8 , то А[и(х)]< 0 и А[Х(£,х0)]< 0, а значит, 11 и 12 имеют разные знаки. Если 11 < 0 и 12 > 0, то при 8 ^ 0 11, возрастая, стремится к нулю, а 12, возрастая, стремится к и(х0). Таким образом, 11 < 0 и 12 < и(х0) . Учитывая это, и заменяя в (11) и(х) на и(х0), получим бессмысленное неравенство и(х0) < 12 <и(х0) . Следовательно, функция и (х) может достигнуть своего положительного наибольшего значения лишь на границе Г.

Аналогичным образом можно доказать, что функция u(х) достигает своего отрицательного наименьшего значения также на границе Г.

Следствие. Если функция

и (х) е С2 (П)П с1 (n) n CB ( и Г0) является решением уравнения (1), то \и(х)| < max\и(£)|. В

I I ^ег I I

частности, u(x) = 0.

если

то

3. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности Внутренняя задача Дирихле (Задача Ц).

Требуется найти четную по хр-1 функцию и (х),

удовлетворяющую условиям

и(х) є С2 (п)п С1 (п),

Ь [и (х)] = 0, х єП,

Ііш и(х) = 0,

(І2)

(13)

(14)

(15)

и| г=^(#), 4єГ, №) є С (Г).

Теорема 2. Задача Ц не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из принципа максимума.

Внешняя задача Дирихле (Задача А).

Требуется найти четную по хр-1 функцию и (х), удовлетворяющую условиям

и(х) є С2 (п. )п С1 (п),

Ь [и (х)] = 0, х єП., и(х) = о(1), при |х| ^ да Ііш и(х) = 0,

~=рР£), І єГ, р(І) є C (Г).

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Теорема 3. Задача Бе не может иметь более одного решения.

Доказательство также следует из принципа максимума.

Внутренняя задача Неймана (Задача N.).

Требуется найти четную по хр-1 функцию и(х) , удовлетворяющую условиям

и(х) є С2 (п)п С1 (п), (21)

Ь [и (х) ] = 0, х єП, (22)

и(х) = о(1), при |х| ^ да (23)

А[и ]|г=^(#), #єГ, у,(4) є С (Г). (24)

Xp =°

S

Теорема 4. Задача Иі не может иметь более одного решения.

Доказательство проводится с помощью первой формулы Грина.

Внешняя задача Неймана (Задача N.). Требуется найти четную по хр1 функцию и(х), удовлетворяющую условиям

и(х) є С2 (П. )п С1 (П, ),

Ь [и (х) ] = 0, х єП.,

lim ^ = o,

xP ^° dxp

(25)

(26)

(27)

u(x) = o(1), при |X ^ да A[u ]г=^(І), i єГ, ¥(І) є C (Г).

(2S)

(29)

ется четной по x

(25)-(28) и граничному условию А^]|г = 0 .

Полагая в первой формуле Грина (8)

и = V = w, для области ПгК получим

-1 ^

дw

і Х\-ЛУ S- dx = і wAMiVSR .

OeR J=P V J У SR Переходя к пределу при R ^да, будем иметь

OeR

dw

і xp-iXPу

OeR J=P

dx.

V J

откуда ----------= 0, i = i, p . Таким образом,

dx,-

J

Лемма 1. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и хр = 0

прямые углы, то

Ц А[Х (4, х)]|£_1^ Г^С,

Г

где С - постоянная.

Доказательство леммы проводится аналогично доказательству, приведенному в [2].

Лемма 2. (Геллерстедт). Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и хр = 0 прямые углы, то

I (х) _ 1, х е О;

і A[(i, X)]ipV Г:

I(x)--2, xєГ;

I(x), x єОе,

Теорема 5. Задача N. не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача N. имеет два решения и1 (х) и и2 (х) . Рассмотрим функцию w(х) = и1 (х) - и2 (х) , которая явля-

где I(x) —іЄі-X)ir_ldi.

Гр diP

удовлетворяет условиям

w(x) = u1 (x) — u2 (x) = const. Учитывая, что на бесконечности w(х) ^ 0, получаем u1(х) = и2(х) .

4. Потенциалы типа простого и двойного слоев

С помощью фундаментального решения X(4, х) образуем потенциал типа двойного слоя

W(х) = {v(4)A[X(4,х)]^Г .

Г

Потенциал W (х) является регулярным решением уравнения (1) в любой области из E++, не

имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостями хр—1 = 0 и хр = 0 . В

силу (4) W(х) = o(1) при хр ^ 0 .

Доказательство. Рассмотрим 3 случая. Положим сначала, что точка лежит вне области О, т.е. х еОе. Тогда X(4, х) есть регулярное решение уравнения (1) внутри области О с непрерывными конормальными производными всех порядков вплоть до границы Г . Положим в (8) V = 1, и = X(4, х), тогда

IА[Х(4, х)]^Г = _ ^4' х) #-1^' = I(х).

Г Г1 д'р

Пусть теперь х е О. Полагая в интегральном представлении и = 1, получим

I А[х (4, х)]4р_1^Г = | дХд(4,; х) 4^4 _ 1 =1 (х) -1.

Г Г дЬр

Рассмотрим случай, когда х еГ. Опишем около точки х шар Qxs радиуса е . Обозначим

«+е = п О, «„ = ^ \ «х+е, Ге=Г \ ^. Тогда в

силу двух предыдущих случаев имеем

I А[Х(4, х)]4рк_1^Г = I А[Х(4, х)4р р

Геи Ге

р| А[Х(4, х)]4р_1^Яхе= I(х) _ 1 ,

I А[Х(4, х)]4р_!^Г = I А[Х(4, х)4р р

Ге

+ ! А[Х(4, х)]ер_^хе= I(х) .

«ре

Складывая полученные равенства, и переходя к пределу при е —— 0, будем иметь

2! А[Х (4, х)]4р_^ Г = 2I (х) _ 1,

Г

откуда

^U sx

I А[Х (4, х)]4кр_хйГ=I (х) _ 2.

Г 2

Лемма 2 доказана.

Теорема 6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и

хр = 0 прямые углы. Тогда при V е С (Г) имеют

место следующие предельные соотношения

ЖК) = _V-рЩх~), Же(х0) = V-р^(х'),

где Ж(х0) и Же(х0) означают предельные значения потенциала Ж(х) в точке х0 еГ при х — х0 соответственно изнутри и извне границы Г, а Ж(х0) - прямое значение потенциала Ж(х) в точке х0 еГ, х0 еГ - фиксированная точка границы Г, ^ = v(х0).

Доказательство следует из лемм 1 и 2.

С помощью фундаментального решения Х (4, х) уравнения (1) образуем поверхностный потенциал типа простого слоя

V (х) = I н(4)Х (4, х)4р_1^Г,

Г

где н(х) - непрерывная функция на Г.

Очевидно, что потенциал V(х) - регулярное решение уравнения (1) в любой области, лежащей в Ерр, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостями хр_1 = 0 и хр = 0.

Из формул (3) и (6) следует, что потенциал V(х) обладает следующими свойствами

V (х) = о(1), при хр — 0,

( (у_2 тр4 ^ ^

(Р)

1т, А [V(х)] = А [ V(х;,)] = ^ Р А,0 [V(г,)],

х—х- 2

V (х) = О

2 2(т+2)

при х|

* го.

Фундаментальное решение уравнения (1) имеет такую же особенность, что и уравнение Лапласа, поэтому потенциал V(х) на границе Г ведет себя также, как и гармонический потенциал простого слоя, т.е. имеют место следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр_1 = 0 и

хр = 0 прямые углы. Тогда, если /не С (Г), то потенциал типа простого слоя V(х) непрерывен в Ер+.

Теорема 8. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и

хр = 0 прямые углы. Тогда при /не С (Г) имеют

место следующие предельные соотношения:

где Ах0 [У(х0)],. и Ах0 [У(х0)]е - предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке х0 еГ соответственно изнутри и извне границы Г, н0 = н(х0), а Ач [V(х0)] - прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

5. Сведение задач Дирихле и Неймана

к интегральным уравнениям

Решение задачи Di будем искать в виде потенциала типа двойного слоя

и (х) = Ж (х) = I у(4) А [е(4, х) ]4р_10Т.

Г

Очевидно, что функция и (х) удовлетворяет условиям (12)-( 14) внутренней задачи Дирихле. После подстановки и(х) в граничное условие (15) с учетом формулы предельного значения потенциала типа двойного слоя задача Di сводится к следующему интегральному уравнению

Vх) _ 2|к(4)А[Х(4,х)4_1^Г = -2<р(х). (30)

Г

Интегральное уравнение (30) соответствует внутренней задаче Дирихле.

Таким же образом задачи De, и Ые сводятся, соответственно, к следующим уравнениям

Vх) р 2| к(4)А[Х(4, х)4_1<я,Г = 2<р(х), (31)

Г

Н(х) р 2|н(4)Ах [Х(4, х)]4_1^Г = 2^(х), (32)

Г

Н(х) _ 2^(4)Ах [Х(4,х)4р,_^Г = _2^(х). (33)

Г

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (30), (31), (32), (33).

1. Данные уравнения являются уравнениями со слабой особенностью.

2. Ядра А[Х(4,х)] и Ах [Х(4, х)] получаются друг из друга перестановкой местами точек 4 их. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные, а значит уравнения (30) и (33), (31) и (32) - попарно сопряженные интегральные уравнения.

6. Сведение краевых задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Рассмотрим однородное интегральное уравнение, соответствующее задаче N.

Н(х) _ 2|н(4)Ах [Х(4, х)]_1^Г = 0 . (34)

Если /н(4) - ненулевое решение этого уравнения, то функция и(х) = |^(4)Х(4, х)4кр-1^Г

г

удовлетворяет условиям (25)-(28) внешней задачи Неймана и граничному условию

= 0, т.е.

А

и( х)

:[и(х)]

М( х)

+

+\М(4)Ах [X (4, х)4р_хй Г = 0.

(35)

По теореме единственности для задачи N. и (х) = 0, х еО.. Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция в Е++, то

и (х) = 0, х єГ.

В области О функция и(х) удовлетворяет уравнению (1) и обращается в нуль на границе Г. По теореме единственности для задачи Di

и (х) = 0, х єП. Следовательно,

Ах [и (х) ]|.

+\М(4)Ах [X (4, х)4р_хй Г = 0.

(36)

Вычитая из равенства (36) равенство (35), получим н(4) = 0, хеО. Т.е. однородное интегральное уравнение (34) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (33) задачи N. однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции ц/(х).

Таким образом, значение параметра Л = 2 -правильное для ядра Ах [Х(4, х)] , по известной теореме Фредгольма, оно является правильным и для сопряженного ядра А [Х (4, х) ].

Отсюда следует, что интегральное уравнение (30) задачи Di однозначно разрешимо для любой непрерывной функции р(х) е С (Г) .

Из разрешимости интегральных уравнений задач Ц и N. следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 9. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и хр-1 = 0

прямые углы, то задача Оі для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слом.

Теорема 10. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр-1 = 0 и

хр1 = 0 прямые углы, то задача N. для этой

поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

Аналогичным образом доказывается, что интегральные уравнения (31) и (32), соответствующие задачам Б. и Ni разрешимы единственным образом при любых функциях р( х), ц/( х) є С (Г). Из разрешимости интегральных уравнений задач Б. и Ni следует, что разрешимы и сами задачи.

Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 11. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и

хр = 0 прямые углы, то задача Б. для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 12. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостями хр1 = 0 и

хр = 0 прямые углы, то задача Ni для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

1. Чеботарева Э.В. Интегральное представление решения одного вырождающегося В-эллиптического уравнения первого рода. // Труды 2-го Международного форума молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки". Самара, 2006. С. 107-111.

2. Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 2007. С.71-75.

2

THE SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEMS FOR MULTIDIMENSIONAL CONFLUENT B-ELLIPTICAL EQUATION OF THE FIRST KIND

E.V.Tchebotaryova

Fundamental solution and potential of simple fiber and double layer types of one confluent B-elliptical equation of first kind are built in the given research work. With the aid of mentioned potentials boundary problems are reduced to Fredholm integral equations of the second kind and the uniqueness of solution is proved in the given work.