Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 40-49

= Математика :

УДК 517.956

Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом

потенциалов

А. М. Нигмедзянова

Аннотация. Доказывается существование и единственность решения основных краевых задач для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом потенциалов.

Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое уравнение первого рода с отрицательным параметром, фундаментальное решение, основные краевые задачи, потенциалы первого и второго рода, метод потенциалов.

Введение

Пусть Е+ — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х',хр),х' = (х1, Х2,хр-1), О — конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г.

Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение с отрицательным параметром вида:

Р-1 г)2тт я2тт

т(и) = хт £ ^ ^ - А'Ч-и = 0, (1)

.7 = 1 3 Р

где т> 0, р ^ 3, Л € М.

Фундаментальные решения, интегральные представления, а также решения основных краевых задач (внутренняя и внешняя задачи Дирихле,

Неймана и N для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений

были рассмотрены автором ранее [1]—[5].

Фундаментальное решение и интегральное представление решения исследуемого уравнения (1) были рассмотрены автором в работе [6]. Данная статья посвящена исследованию основных краевых задач (задач Дирихле и Неймана (внутренних и внешних)) для уравнения (1), то есть является продолжением исследований, начатых в работе [6].

Вопрос о решении основных краевых задач многомерных эллиптических уравнений с отрицательным параметром до последнего времени оставался открытым.

1. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы

единственности

Внутренняя задача Дирихле (Задача ^). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

Теорема 1. Внутренняя краевая задача Дирихле (2) — (5) не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из теоремы о принципе максимума, приведенной в статье [6].

Внешняя задача Дирихле (Задача Бе). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

и (ж) Є С 2(Б) П С (Б), Т[и(ж)] =0, ж Є Б,

(2)

(3)

(4)

и

г

f (ж), f (ж) Є С (Г).

(5)

и (ж) Є С 2(Бе) П С (Бе), Т[и(ж)] =0, ж Є Бе,

(6)

при Хр ^ 0,

при Г

Ф

Х2 + ... + Хр ^ го,

(9)

и

г

/ (х), / (х) Є С (Г).

(10)

Теорема 2. Внешняя краевая задача Дирихле (6) — (10) не может иметь более одного решения.

Доказательство следует из теоремы о принципе максимума, приведенной в [6].

Внутренняя задача Неймана (Задача Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

Теорема 3. Внутренняя краевая задача Неймана (11) — (14) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть иі(х) и и2(х) - два предполагаемых решения внутренней задачи Неймана. Тогда их разность ш(х) = и2(х) — и1(х) будет удовлетворять условиям (11) — (13) и граничному условию

Полагая в первой формуле Грина из [6], и = и и V = и, с учетом условий (11)-(13) и (14о), получаем:

Отсюда следует, что и = 0, или и = и2 .

Внешняя задача Неймана (Задача N). Требуется найти функцию и (ж), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х) Є С2р) п сО(б),

Т[и(х)] = 0, х Є Б,

и(х) = О (х-т“(р_2)^) при хр ^ 0, А[и(х)] г = /(х) є Co1(Г),

(11)

(12)

(13)

(14)

конормальная производная.

А[ш] = 0.

г

(14о)

х>2^х = 0.

и(х) Є с2(Бє) п сКдо, Т[и(х)] =0, х Є Бе,

(15)

(16)

и(х) = О(жр ™ (р 2)при Хр ^ 0, (17)

и = О (р-(р-2)) при г = у/х, + ... + хр ^ го, (18)

А[и(х)] г = ^(х), ^(х) € С01(г). (19)

Теорема 4. Внешняя краевая задача Неймана (15) — (19) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть и1(х) и и2(х) — два предполагаемых решения внешней задачи Неймана. Тогда их разность и(х) = и2(х) — и1(х) удовлетворяет условиям (15) — (18) и граничному условию

А[и (х)]|г = 0. (190)

Область Д — ограниченная, поэтому существует Я такой, что Д С —

полушар радиуса Я. Обозначим верхнюю границу полушара через 5+ и

Дея = ^+\Д.

Применяя к функциям и = и и V = и первую формулу Грина [6] в

области Дед и учитывая условия (15)—(17) и (19о), получаем

/ (< Т, щ- щ- + Iй; |р) *+/ иА[и]л«г+л2 /

А* 4 -=1 ' 5+ АеД

(20)

Переходя в формуле (20) к пределу при Я ^ го с учетом условия (18), получаем

( ( трг^ ди 9^ г

*•£ + ЛМ x>2dx = 0,

j \ p r-f dxj dx W J p

D£r j= ' DeR

откуда

dw n • 1— +

—— =0, i = 1,p и, следовательно, w = const = c.

dxi

Учитывая, что непрерывная функция w на бесконечности стремится к нулю, получаем, что с = 0 и U = 0 в De, а значит, Ui = U2.

2. Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства

С помощью фундаментального решения E(£, х) уравнения (1), найденного в работе [6],

Г(р-24 г(р4 m

E(х,хо) = 7—2 р /р-1 ч (хРхРо)-m pX-p + E*(х;xo), (21)

(р - 2) 2п2 Г(р^)

где Е*(ж,Жо) - регулярная функция в Е+, образуем поверхностные потенциалы простого и двойного слоя:

V(ж) = / ^(Є)Е(£,ж) -Г, (22)

г

Ж(х)= / V(Є)А[Е(£,ж)] -Г,

Р— 1

где А[и ] = х^ Е 0О8(п,ж-) +ео8(п,Жр) дХ-, а ^({), V (£) € С (Г).

-=1 -

Очевидно, что потенциалы V(ж) и Ш(ж) есть регулярные решения уравнения (1) в любой области, лежащей в полупространстве Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью хр = 0, причем

/ — т — (Р—2) т+2 \

V(х) = О \ Хр 4 2 ) при хр ^ 0,

V(х) = О (р—0(р—2)) при г = у/ж2 + ... + ж2 ^ го,

/ — т —1—(Р—2) т+2 \

Ш(ж) = О (хр 4 № ; 2 ) при хр ^ 0.

Лемма 1. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то

I |А [Е(£, ж)] | ^Г < В, г

где В — постоянная.

Лемма 2 (Геллерстедт). Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то

/( I(ж) — 1, если ж € Д;

А [Е(£, ж)] ^Г = < I(ж) — 2, если ж € Г;

г [ I(ж), если ж € Е+\Д = Де,

где " дЕ(£',х)

I (х) = -/ ^*

г0

Теорема 5. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда при V € С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:

Шг(хо) = — у + Ш(хо),

Же(жо) = V0 + И^(жо),

где Шг(х0) и Ше(х0) означают предельные значения потенциала двойного слоя Ш(ж) в точке ж0 € Г при ж ^ ж0 соответственно изнутри и извне

границы Г, а Ш(х0) — прямое значение потенциала двойного слоя Ш(ж) в точке ж0 € Г.

Здесь ж0 € Г — фиксированная точка границы Г, ^ = V(ж0).

Доказательство теоремы 5 следует из лемм 1 и 2.

Из представления (21) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке ж0 имеет степенную особенность вида р2—р, т.е. такую же особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (22) на границе Г ведет себя также, как и гармонический потенциал простого слоя ([7],с.262), т.е. имеют место следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда, если плотность ц € С (Г), то потенциал простого слоя V (ж) непрерывен в Е+.

Теорема 7. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол. Тогда при ц € С (Г) имеют место следующие предельные соотношения:

где Ахо [V (ж0)]г и Ахо [V (ж0)]е — предельные значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке ж0 Є Г соответственно

изнутри и извне границы Г, ^0 = т(ж0), а Ахо[°(ж0)] — прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя.

3. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Решение задачи Д будем искать в виде потенциала двойного слоя

Очевидно, что функция и (ж) удовлетворяет условиям (2) - (4) внутренней задачи Дирихле. Плотность V(£) - пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (23) удовлетворяла граничному условию (5) задачи Д.

ІІШ Ахо [V(ж)] = Ахо [V(ж0)]і = — + Ах°(ж0)],

х——хо 2

ііш Ахо [V(ж)] = Ахо [V(ж0)]е = - тт + Ах0 [V(ж0)],

х—хо 2

(23)

г

С этой целью подставим и (ж) в граничное условие (5) и, учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя (теорема 5), получим

- ^ + / У(С)А [Е(С,ж)] ЙГ = /(ж)‘ г

Таким образом, задача Д свелась к следующему интегральному уравнению:

V(ж) - 2 У V(С)А [Е(С, ж)] ^Г = -2 /(ж). (24)

г

Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам Д=, N и Же. Они имеют вид

V (ж)+2 У V (С )А [Е (С, ж)] ^Г = 2 / (ж), (25)

г

Мж) + 2 I МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = 2 <р(ж), (26)

г

^(ж) - 2 J МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = -2 <р(ж). (27)

г

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (24), (25), (26) и (27):

1) Из формулы (21) следует, что эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.

2) Ядра А [Е(С, ж)] и -Ах [Е(С, ж)] получаются друг из друга перестановкой точек С и ж. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что уравнения (24) и (27), (25) и (26) — попарно сопряженные интегральные уравнения.

Исследование двух попарно сопряженных интегральных уравнений.

Докажем, что интегральные уравнения (24) и (27), соответствующие задачам Д и Же, разрешимы единственным образом при любых непрерывных на Г функциях <^(ж),/(ж). С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение задачи N

^(ж) - 2 у МС)АЖ [Е(С, ж)] ^Г = 0. (28)

г

Пусть ^(С) - ненулевое решение этого уравнения. Тогда функция

щж) = У мё)Е (С,ж)Ск ^Г

г

удовлетворяет условиям (15) - (18) внешней задачи Неймана и граничному

условию _____

ди (ж)

0,

т.е.

ди (ж)е _ Мж)+| ш ^ = 0. (29)

дпх 2 ] дпх

г

По теореме 4 о единственности для внешней задачи N

и (ж) = 0, ж € Де.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полупространстве (теорема 6), то

и (ж) = 0, ж Є Г. (30)

Рассмотрим теперь потенциал и (ж) в области Д. В этой области функция

и (ж) удовлетворяет уравнению (1) и в силу (30) обращается в нуль на границе Г. По теореме 1 о единственности задачи Д^

и (ж) = 0, ж Є Д.

Тогда _____

А*[йМЬ _ ^ + /ЖМ* [Е(£, ж)] ^Г = 0. (31)

г

Вычитая из равенства (31) равенство (29), получаем

^(С) = 0, ж € Д.

Таким образом, однородное интегральное уравнение (28) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (27) задачи N однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции <^(ж).

Таким образом, значение параметра Л = 2 — правильное для ядра Ах [Е(С, ж)], по известной теореме Фредгольма оно является правильным и для сопряженного ядра А [Е(С, ж)].

Отсюда следует, что интегральное уравнение (24) задачи Д^ однозначно разрешимо для любой непрерывной функции / (ж) € С (Г).

Из разрешимости интегральных уравнений задач Д^ и N следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 8. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью жр = 0 прямой угол, то задача Д^ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

г

Теорема 9. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача Ne для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

В силу рассуждений, аналогичных рассуждениям в исследовании первой пары сопряженных уравнений (24) и (27), для второй пары сопряженных уравнений (25) и (26) имеют место следующие теоремы:

Теорема 10. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача De для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 11. Если Г — поверхность Ляпунова и образует с

гиперплоскостью xp = 0 прямой угол, то задача N для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Список литературы

1. Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 2007.

2. Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Второй Всерос. науч. конф., СамГТУ. Самара: СамГТУ, 2005. Ч.3. С. 180-182.

3. Нигмедзянова А.М. Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2007. № 1 (536). С. 34-44.

4. Нигмедзянова А.М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С. 72-82.

5. Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач N для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом интегральных уравнений // Изв. Смоленского государственного университета. 2012. Вып. 4. С. 363-374.

6. Нигмедзянова А.М. Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 28-42.

7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 432 с.

Нигмедзянова Айгуль Махмутовна (aigmani@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования,

Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Solution of basic boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with a negative parameter by the potential method

A. M. Nigmedzianova

Abstract. The existence and uniqueness of a solution of basic boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with a negative parameter is proved by the potential method.

Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with negative parameter, fundamental solution, basic boundary value problems, potentials of the first and second kind, the method of potentials.

Nigmedzianova Aigul (aigmani@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics and mathematical design, Lobachevsky Institute of mathematic and mechanic, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 17.05.2013