Решение краевых задач для одного многомерного сингулярного вырождающегося B-эллиптического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3

УДК 517.956.2 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-24-33

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2018 г. А.М. Нигмедзянова1, Э.В. Чеботарева1

1Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия

THE SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A MULTIDIMENSIONAL SINGULAR DEGENERATE B-ELLIPTIC EQUATION

A.M. Nigmedzyanova1, E.V. Chebotareva1

1Kazan (Volga region) Federal University, Kazan, Russia

Нигмедзянова Айгуль Махмутовна - кандидат физико-математических наук, доцент, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, г. Казань, 420008, Россия, e-mail: [email protected]

Чеботарева Эльвира Валерьевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, г. Казань, 420008, Россия, e-mail: [email protected]

Aigul M. Nigmedzyanova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Kazan (Volga region) Federal University, Kremlevskaya St., 18, Kazan, 420008, Russia, email: [email protected]

Elvira V. Chebotareva - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Kazan (Volga region) Federal University, Kremlevskaya St., 18, Kazan, 420008, Russia, e-mail: chebotareva. elv@gmail. com

Рассматривается многомерное вырождающееся сингулярное В-эллиптическое уравнение LB [и] = :

( р n-1 Q2и ^ д2" я2

Z Вхи + Z —2

i=1 1 i=р+1 dxj

+ д—и - п2хЩи = 0, m >0, где Вх = ——+ к—— - оператор Бесселя; m >0, ki >0 дх2 i дх2 X dxi

постоянные числа. Уравнение задано в конечной области QeRn , ограниченной открытыми частями Гг0

гиперплоскостей xi =0, i = 1, p, частью Г гиперплоскости xn =0 и гиперповерхностью Г, здесь RП -

подпространство xi >0, i = 1, p , p < n — 1 n -мерного евклидова пространства точек x = (xi, X2,..., xn) . Целью работы является исследование основных краевых задач для данного уравнения.

С помощью оператора обобщенного сдвига получено выражение для структуры фундаментального решения данного уравнения с особенностью в произвольной точке. Для оператора LB [и] построены первая и вторая

формулы Грина. С помощью фундаментального решения получено интегральное представление решения уравнения. Указаны вытекающие из интегрального представления свойства решений, в частности сформулирован принцип максимума. Для уравнения LB [и] = 0 даны постановки внутренней и внешней задач Дирихле и Неймана. Доказаны теоремы единственности решения этих задач. Исследование разрешимости поставленных задач проводится с помощью потенциалов простого и двойного слоев. Решения внутренней и внешней задач Дирихле ищутся в виде потенциалов двойного слоя, решения внутренней и внешней задач Неймана ищутся в виде потенциалов простого слоя. Поставленные краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма, доказывается разрешимость полученных интегральных уравнений.

Ключевые слова: сингулярный В-эллиптический оператор, параболическое вырождение, многомерный оператор Бесселя, уравнение Гельмгольца, внутренняя задача Дирихле, внешняя задача Дирихле, внутренняя задача Неймана, внешняя задача Неймана, метод потенциалов.

In this paper we consider a multidimensional degenerate singular B-elliptic equation

LB [и] = -

(

р

n-1 д2и )

zВхи + z _2

i=1 ' i=р+1 дх\

i У

д2и 2 m к к , п д2 к д . , _ , „

+---п хпи = 0, m >0, where Вх =--1—'---- is the Bessel operator, m >0 ,

дх2 i дх2 x- дХ

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

kj >0 - constant numbers. The equation is given in the finite domain Qe Rn bounded by the open parts r^ of hyperplanes

Xj =0 , i = 1, p , part Tj of the hyperplane xn =0 and hypersurface T , here R^ - subspace xi >0 , i = 1, p , p < n — 1 of n-dimensional Euclidean space of points x = (xj, X2,..., xn) . The aim of this paper is to study the main boundary value problems for equation LB [w] = 0.

With the help of the generalized shift operator, an expression for the structure of the fundamental solution of this equation with a singularity at an arbitrary point was obtained. The first and second Green's formulas for the operator Lb [w] are constructed. With the help of the fundamental solution the integral representation of the solution of the equation is obtained, and the properties of solutions arising from the integral representation are specified, in particular, the maximum principle is formulated. Interior and exterior Dirichlet and Neumann problems for the equation Lb [w] = 0 are formulated. Theorems of uniqueness of the solution of these problems are proved. Solutions of interior and exterior Dirichlet and Neumann problems are sought in the form of potentials of simple and double layers. The boundary value problems are reduced to Fredholm integral equations and the solvability of the obtained integral equations is proved.

Keywords: singular B-elliptic operator, parabolic degeneracy, multidimensional Bessel operator, Helmholtz equation, Dirichlet interior problem, Dirichlet exterior problem, Neumann interior problem, Neumann exterior problem, potential method.

Введение

Целью данной работы является исследование основных краевых задач для дифференциального уравнения с вырождающимся В-эллиптическим оператором типа Гельмгольца

Lr — x„

( f ? p з2

д

2

V

Z

i=1

.д_

дх2

Л

2 x дх

V---i i i у

n-1 д2

+ Z —г

i—p+1 дxi

(1)

Bx =

д'

k д , „ - +--, k > 0 .

2 x дх

дх

Среди работ, посвященных вырождающимся В-эллиптическим уравнениям и близких по тематике к данной статье, отметим [2-8].

Пусть К+ - подпространство хх >0 , I = 1, р , п -мерного евклидова пространства точек х = (х', х"),

х' = ( xb..., xp);

= (xp+1;...,xn). Прежде чем

переходить к отысканию решения уравнения с оператором (1), рассмотрим в К+ многомерное В-

эллиптическое уравнение

д 2u

z bx u + z -c2u = 0f

i=1

д

=p+1 дxi k д

(2)

%i дx2 xi дx.

известные постоянные.

С помощью замены

u(x) = vir),

где r =1 Z xj2 , уравнение (2) сводится к уравнению

i=1

V"+^ V'- c2V — 0,

(3)

+__с 2 хт

+ с хп ■

дх дхп

Термин «В-эллиптический» был введен И.А. Киприяновым [1] и означает дифференциальный оператор эллиптического типа, в котором по одной или нескольким переменным действует оператор Бесселя

Здесь v = ; Iv (x) - функция Инфельда; Kv (x) -

где ц = п -1 + £ ^ .

I=1

Общее решение уравнения (3) имеет вид

V(г) = С1Г^ (сг) + С2Г-уК (сг)

Ц-1.

1 V (х) фу хжкцгжя И ^1фел Аьда; Ку (

функция Макдональда; С1, С2 - произвольные константы.

Поскольку частное решение г ^^{сг) неограниченно возрастает на бесконечности и не имеет физического смысла, рассмотрим частное решение

Vir) — ar vKvicr),

(4)

где Bx =—- + —--- оператор Бесселя, kj >0 -

где а - постоянная. В этом случае при г ^ да

V (г ) = о(е-г ).

Из разложения функции ^ (/) в степенной ряд следует, что решение (4) может быть представлено в виде [9]

^ л а2^Г(у +1) ^ ^ , л

V (г) =-V-г + у(г),

vс

где у(г) - функция, имеющая в начале координат

особенность вида г ф < V).

Таким образом, решение уравнения (2) может быть представлено в виде

a2v 1Г(1 - v) 2v , ,, |л u(x) =-| x | +y(j x |).

n

r

+

x

n

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

Функция (5) является решением уравнения (2) и имеет в начале координат степенную особенность вида г_2у .

Для получения решения уравнения (2) с особенностью в точке £,о применим к функции (5)

оператор обобщенного сдвига к'Тх'0 [10]

ЧХг0 f (*)=

Г

ki +1 2

Г'Т )Г( 2

*J

0

f f I x

I 2 2

-1,Vxi + xo - 2XjXjo cosФг-,Xj+1,

k-l.

x sin"' 1 tyjdtyj (6)

по переменным xp и оператор обычного

:„. При этом

сдвига по переменным получим

a2v-1r(v +1) n^k

Ek(x; xo) = -

i=1

vc

f f XJ...J

0 0

2 |x2 + x2o - 2x¿xio cosфг-)+ |x"- x0 i=1

P Ir — 1

x П sin "i 1фidф р+1..^фп-1 +v *(x; xo), i=1

гг "1+11

где C" = —-z—N y , y (x;xo) - регулярная в

точке ^o функция.

Проведя в (7) тождественные преобразования, получим окончательное выражение для структуры фундаментального решения уравнения (3) с особенностью в произвольной точке: 2V-2

E"(x; xo) = a—— Гх

i )+| x"-x0|

(7)

2

)i=1 i i=1

к,

- 2 lifo. in г' ^ ]fi (x,x,0 )-T p2- n +

i=1

(8)

2 _ " ( 2 2 ) pxx0 = A x - xi0) .

i=1

Из (6) следует, что при р ^от имеет место асимптотическая формула

Ek (x; x0 ) = Offxx01.

Фундаментальное решение уравнения Ьв [м] = 0

Пусть КП - подпространство хх >0, I = 1, р , р < п -1 п -мерного евклидова пространства точек

X (X , Хп ) , X (Х1, • •., х р, х ), х (хр , • • •, Хп_1) .

В

R+

рассмотрим многомерное B-

эллиптическое уравнение

LB [u] = x'm

+ -

d 2u

{ о Л

Р n-1 д 2u

A Bx.u + 1—2

i=1 1 i=p+1 dxi )

(9)

dx,

- c2x'u = 0,m >0,

где m >0 , "i >0 - постоянные числа.

С помощью замены переменных по формулам

m+2

- 2 —~—

^i = xi, i = 1,n — 1, ? n Z"xn

m + 2

(9) приводится к B-эллиптическому уравнению

m

XB§. u + A

" д 2u

- + -

du 2 _n

■ - c u = 0.

(10)

=1 i=p+1 a^2 m + 2 d^n

Используя (8), получим фундаментальное решение уравнения (10):

Efe ^) = a

v-2

c v Vf

¥ M! H mm+2.

p k¡ fen^n0 ) 2(m + 2)

i=1 ss0

Ц- 1

(11)

где v =

, ц = n +1+A kr 2 i=1

; p| 0 = A (^2-^20); m + 2 i=1

**

Е (£;^о) - регулярная в точке ^о функция. Возвращаясь к переменным х, получим фундаментальное решение уравнения (9):

E( x; x0) =

a2

v-2

'-Jñ

хГ

n - 2 2

p p Г| Ь- Irf Ii |х, х n Ckt n I 2 I ( m + 2 i=1 i i=1

2

m+2

2(m+2)

(12)

m p k¡ ^

: (xnxn0 )- 4" n(liIi0 )-TP~" + E (x; x0).

i=1

Здесь

+E"( x; xoX

где E"*(x; x0) - регулярная в точке x0 функция

n-1t \2 A (xi - xi0) +

' m+2 2 _

i=1

(m + 2)2

m+2 ^

xn0

Е *(х; хо) - регулярная в точке х о функция.

При рхх^ ^от имеет место асимптотическая

формула

Е(х; хо ) = о( еР х

х

+

x

x

n

х

х

-v

х

х

х

c

m

c

х

2

4

Р

xx

n

0

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Из представления (12) следует, что

дБfc х) ,Л р n dEfc х) (л —±—'- = o(i) при ^ — о, ; / = o(i)

дхп д^п

при хп — 0 .

NATURAL SCIENCE. p k

2018. No. 3

J(uLb[v] - vLb[u])nxt'dx —

D

i—1

p

(13) — Jiu^[v]- vA[u\)U^k'dr-K J Г i—1

(16)

Формулы Грина

f

+ J

Г1

p d|p

p k i —1

Обозначим через О конечную область в К+ ,

ограниченную открытыми частями Ц-0 Грина для оператора . гиперплоскостей х1 =0 , I = 1, р , частью Ц гиперплоскости хп =0 и гиперповерхностью Г;

Формула (16) называется второй формулой

CB () - множество функций из класса C (),

удовлетворяющих условию

ди

Интегральное представление решения уравнения LB [u] = 0 и вытекающие

— — о{1), xi ^ 0, i — 1, p.

дxi

из него свойства

2 1 —

Пусть и,v е CB(D) n C (D). Непосредственным

Пусть функция и(х) е С2(о)п С1(о) является решением уравнения (9) в области О .

Выберем в этой области произвольную точку вычислением можно убедиться, что имеет место х0 и рассмотрим сферу Е с центром в точке х0

радиуса е, такого что Е с О. Обозначим через

Ое область, ограниченную координатными

гиперплоскостями, гиперповерхностью Г и сферой .

тождество

vlb [u] П xk + i—1

n-1 д i=1Sx,

( mn-1 дu дv дv дu Л p k-

xm Z —+--П xp =

V i=1 дxi дxi дxn дxn J,—1

Л

mZ k, дu xn П

V i—1 dxi у

(

öx„

p k du

v П xki — i —1

(14)

n )

Фундаментальное решение Е( х; х0) (12) уравнения (9) принадлежит классу С^ (Ое) п С1 (ое ) и является решением уравнения (9) в области Ое .

Интегрируя обе части тождества (14) по области Применив к функциям Е(х;х0) и и(х) еторую В и пользуясь формулой Остроградского, получим формулу Грина в области Ое и учитывая, что

2 m p ki

-c xn Пxiiuv. i—1 i

J vLb [u] П xji dx +

D

i—1

r( mn-1 du dv dv du Л p k. ,

+ J xm Z--+--Пxkidx =

J n S-S S-S S-S S-S J- J- i

dV i = 1 Sx, Sx, Sxn Sxn Ji—1

— J VA[U ]П ^k' dr + J v^^f^

p i—1

LB [e(x; x0 )] =0, LB [uix)] = 0, получим

p Ь-

J (e^;x0 )A[u] - uA[Ei^; x0 )])n^ dS s —

i—1

(15)

p

— J iEfe x0 )A[u] - uA[Efe x0 Ш&сГ-

i—1

Г i—1

Г1

(

- c 2 J x^uv nxkidx,

D i—1

n-1

+ J

Г1

Efi/,0; x0 ufe^M^

p p

p k i —1

du

du

где A[u] = Z cos(n,) — + cos(n,xn)——

i=1

si,

8x„

Перейдем в последней формуле к пределу при s —у 0 . Тогда

■ pk i=Г

n

2v-2n2

конормальная производная; n - единичный p

вектор внешней нормали к границе Г . Формула J(e(|;хо)A[u]-uA[E(|;хо)])п^г'^Г = a--х

(15) называется первой формулой Грина для оператора LB .

Меняя местами и и v в формуле (15) и вычитая полученное равенство из (15), получим

т

*ПчПГ(f-)Г(rn+iIM )-^u(x0).

i=1 i=1 V 2 ) V m + 2 )V m + 2 )

S

Г

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. Полагая в этой формуле 2

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

a = -

m + 2

2(m+2)

n

т р

m +1

удовлетворяющие условию хр ^ 0.

2. Существуют решения м(х) в области Ое = Е^ \ О, удовлетворяющие условию

и(х) = O

(р-20 ),l X

2 n 1 \2 где Рхх0 = Z(x- - x-0 ) +

4

У =

i=1

р

n + z ki - 2 1

(m + 2)

m+2 2 Xn '

m + 4

хр ^ 0,

2я 2 ПС, П Г|

г=1 гг=1 I 2 ) ^ т + 2, получаем интегральное представление решения уравнения (9).

Для всякой функции м(х), удовлетворяющей условиям:

а) м(х) е СВ (о)п С1(о) ;

б) м(х) = о(1) при хп ^ о ;

в) Ьв [м(х)] = о, х еО;

и для любой точки хо е О справедливо интегральное представление

р 1

м(хо) = /(Е(£хо)Л[и] _мЛ[е(^;хо)])Щ,гаГ. (17)

Г г=1

Из (17) вытекают следующие свойства решения уравнения (9):

1. Существуют решения м(х) в области О,

м(х) = 0(1)

(18)

(19)

(20)

при

2 2(т + 2) '

3. Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления (17), сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1 (принцип максимума). Если

и (х) е СВ (о)п С (о) - решение уравнения (3), такое что м(х) = 0(1) при хр ^ о, то функция м(х)

достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она тождественно не равна нулю.

Постановка краевых задач Дирихле и Неймана и теоремы единственности

Внутренняя задача Дирихле (задача Di). Требуется найти функцию м(х), удовлетворяющую условиям:

м( х) е СВ (О)п С (о) Ьв [м( х)] = о, х е О, м(х) = 0(1) при м 1г = Ф©, ^ е Г, ф© е С(Г) Теорема 2. Задача Д не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача Бг имеет два различных решения м^х) и м2(х). Рассмотрим разность ^(х) = м^х) _ ^(х). Функция w(x) удовлетворяет условиям (18). При этом ^(х)| г =о, а значит, согласно следствию к принципу максимума ^(х) = о. Таким образом, м1 (х) = м2 (х). Полученное противоречие показывает, что задача не может иметь более одного решения.

Внешняя задача Дирихле (задача De). Требуется найти функцию м(х), удовлетворяющую условиям:

м(х) е С2В (Ое)п С(Ое)

ЬВ [м(х)] = о, х е Ое, (21)

при хр ^ о,

м(х) = о(р-хо),|х| ^ от, (22)

м Г = фф, ^еГ, ф(^) е С(Г) (23)

Теорема 3. Задача Бе не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть м^х) и м2(х) - два различных решения задачи Бе. Рассмотрим разность ^(х) = м^х) _ м2(х) . Функция ^(х) удовлетворяет условиям (21), (22), а также граничному условию w(х)| г = о .

Так как О - конечная область, то существует шар Qк, такой что ОсQR . Обозначим через ОеК область, ограниченную поверхностью Г , частью сферы Б к и гиперплоскостями хг = о, г = 1, р, хп = о . Согласно (22) Уе > о ЗКо такое, что при

К > Ко на БК | w |< е. Таким образом, на границе БК+ и Г | w |< е . В силу принципа максимума о < < е в Оек . Устремляя е к нулю, получим ^ о, откуда w(x) = щ (х) _ м2 (х) = о, или м^х) = м2(х). Это означает, что если решение задачи Бе существует, то оно единственно.

Внутренняя задача Неймана (задача N1). Требуется найти функцию м(х), удовлетворяющую условиям:

c

IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. 1/

ISSN 0321-3005

u(x) £ Cß(q)n C1(fíur)n C(q) Lß [u( x)] =0, x £ Q, u(x) = o(l) при Xp ^ 0, A[u]|r = у®, |еГ, у© £ C(r).

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

(24)

(25)

D

n dW

m v dw n ^

V

i = 1

vrXi у

+

dw

VrXn у

+ с 2 x>2

Hx^'dx = 0. i=1

u(x) £ Cß(Qe)nC1 (Qe ur)nCQ) Lß [u(x)] =0, x £ Qe,

u(x) = 0(1) при xp ^ 0,

(26)

Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства

Теорема 4. Задача N1 не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача N имеет два различных решения щ(х) и и2(х). Тогда функция ^(х) = щ (х) — и2 (х) является четной по Xj, (' = 1, р), удовлетворяет условиям (24) и граничному условию А | г =0.

Полагая в первой формуле Грина (15) и = V = w, получим

С . ^ , ч2 А

Тогда w = 0, а значит, и^х) = и2(х), т.е. два предполагаемых решения не могут отличаться друг от друга, что и требовалось доказать.

Внешняя задача Неймана (задача Ne). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

и(х) = °(р—^),|х ^ (27)

А[и]|г = V®,|еГ, у© е С(г) (28)

Теорема 5. Задача N0 не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача N имеет два различных решения щ(х) и и2(х). Рассмотрим функцию w(x) = м^х) — и2(х), которая, очевидно, является четной по х^, (' = 1, р), удовлетворяет условиям (26), (27) и граничному условию А^]|т = 0 .

Полагая в первой формуле Грина (15) и = V = w, для области Оек и переходя к пределу при Л ^ да, с учетом (27), получим

w(x) = и (х) — и2 (х) = 0, или и^ х) = и2(х), что и требовалось доказать.

С помощью фундаментального решения E(£,; x) образуем потенциал двойного слоя

W (x) = jv© A[e© x)]ff ¡^'Ж Г i=1

n-1 Я Я

где A [] = ^ Z cos(n,^)—+ cos(n,^)— -

i=1 ct,n

конормальная производная, v(|) e С(г).

Потенциал W(x) является регулярным

решением уравнения (9) в любой области из R-П , не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г , ни с гиперплоскостями xi = 0, i = 1, p и xn =0. В силу (13) W(x) = 0(1) при xn ^ 0 .

Лемма 1. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями xi = 0, i = 1, p и xn = 0 прямые углы, то

Л A [Efe x)]|n&dr< C, Г i=1

где C - постоянная.

Лемма 2 (Геллерстедта). Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями xi =0, i = 1, p и xn =0 прямые углы, то

j A[E© x)]n ^dr = Г i=1

I (x) -1, x £ Q;

I(x)--, x £ Г;

2

I(x), x £ Qe,

где

I (x) = -j ^Ax)

Г

,=1

Теорема 6. Пусть Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями х1 = 0,' = 1, р и хп =0 прямые углы. Тогда при V е С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

W (x0) = + W (x0),

We (x0) = ^ + W (x0),

где ^ (х^) и We (х^) означают предельные значения потенциала Ж(х) в точке х0 е Г при х ^ х0 соответственно изнутри и извне границы

Г ; W (Х0) - прямое значение потенциала W(x)

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

в точке хо е Г. Здесь хо е Г - фиксированная точка границы Г, Уо = у(хо).

Доказательство теоремы следует из лемм 1 и 2.

С помощью фундаментального решения уравнения (9) образуем поверхностный потенциал простого слоя

р к / ч

V(х) = }ц©Е© х) П^г СГ, ц© е С(Г). (29)

Г г=1

Потенциал V(x) является регулярным решением уравнения (9) в любой области, лежащей в К+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостями хг = о, г = 1, р и хп = о.

Из свойств фундаментального решения следует, что потенциал V(x) обладает следующими свойствами:

V(х) = о(1), хп ^ о ,

V (х)=о (р_!о ),1 х ^от.

Фундаментальное решение уравнения (9) имеет степенную особенность, поэтому потенциал (29) на границе Г ведет себя как гармонический потенциал простого слоя.

Теорема 7. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями хг = о, г = 1, р и хп = о прямые углы, а ц е С(Г), то потенциал

простого слоя V(x) непрерывен в К+ .

Теорема 8. Пусть Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями хг = о, г = 1, р и хп = о прямые углы. Тогда при ц е С(Г) имеют место следующие предельные соотношения:

Л^ [V(хо)]г = + Лхо [V(хо)],

Ахп [V(хь)]е = + л, [V(х0)],

\ [V(х0)] - пРямое

NATURAL SCIENCE.

I р „к.

2018. No. 3

м(х) = Ж(х) = }у©Л[е©х)]и^г г СГ. (30)

Г г=1

Функция м(х) удовлетворяет условиям (18), (19) задачи Б,. Плотность V© найдем из требования, чтобы функция (30) удовлетворяла граничному условию (20) задачи Б,. Подставив м(х) в граничное условие (20) и учитывая формулы предельного значения потенциала двойного слоя, получим

_Ух) + МОЛ[Е©х)]п¡^ СГ = Ф(х).

2 г г=1

Таким образом, задача Б, свелась к интегральному уравнению

У(х) _ 2|у©Л [Е© х)]П ^ СГ = _2ф(х). (31)

г=1

Решение внешней задачи Дирихле (задачи Бе) также будем искать в виде потенциала двойного слоя

м(х) = Ж(х) = }у©л[е©х)]п& СГ. (32)

Г г=1

Функция м(х) удовлетворяет условиям (21), (22) задачи Бе. Плотность V© найдем из требования, чтобы функция (32) удовлетворяла граничному условию (23) задачи Бе.

Подставим м(х) в граничное условие (23) и учитывая формулу предельного значения потенциала двойного слоя извне, получим

У(х)+МО Л [Е© х)]ГГ £ СГ = ф( х).

2 г=1

Таким образом, задача интегральному уравнению

\р , к;

De

свелась к

ь ^ ^ ^ \е ^ хо 1

где Лх0 [V(хо)] и Лхо [V(хо)]е - предельные

значения конормальной производной потенциала простого слоя в точке хо е Г соответственно изнутри и извне границы Г, цо = ц(хо);

У(х) + 2]У© Л[Е© х)]п^ г СГ = 2ф(х). (33)

г=1

Решение внутренней задачи Неймана (задачи N1) будем искать в виде потенциала простого слоя

р „к

(34)

значение конормальной

производной потенциала простого слоя.

Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям и их исследование

Будем искать решение внутренней задачи Дирихле (задачи Б,) в виде потенциала двойного слоя

м(х) = V (х)= }ц©Е© х) П^'СГ.

Г г=1

Функция (34) удовлетворяет условиям (24) внутренней задачи Неймана. Плотность ц© найдем из требования, чтобы функция (34) удовлетворяла граничному условию (25) задачи N Подставим м(х) в граничное условие (25) и, учитывая формулу предельного значения конормальной производной потенциала простого слоя, получим

цх* + \№ЛХ[Е© х)]ГГ£ СГ = у(х).

г=1

Таким образом, задача интегральному уравнению

Ni

свелась

к

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

г т р к

ц(х) + 2М0Ах [Е© х)]п^Ж = 2у(х). (35) '=1

Решение внешней задачи Неймана (задачи Ые) также будем искать в виде потенциала простого слоя

р .Л-

(36)

и(х) = V (х) = }ц©Е© х) П^-' ¿Г.

Г -=1

Функция (36) удовлетворяет условиям (26), (27) внешней задачи Неймана. Плотность ц© найдем из требования, чтобы функция (36) удовлетворяла граничному условию (28) задачи Ые. Подставив и(х) в граничное условие (28) и учитывая формулы предельного значения конормальной производной потенциала простого слоя, получим

- ^ + М^Мх [Е© х)]П£ ¿Г = у(х).

2 -=1

Таким образом, задача N свелась к интегральному уравнению

ц(х) - 2|ц©Ах[Е© х)]П£ ¿Г = -2у(х). (37) '=1

Из формулы (11) следует, что (31), (33), (35), (37) являются интегральными уравнениями со слабой особенностью. Ядра А[Е© х)] и Ах [Е© х)] получаются друг из друга перестановкой местами точек | их. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные, а значит, (31) и (37), (33) и (35) -попарно сопряженные интегральные уравнения.

Рассмотрим сопряженные интегральные уравнения (31) и (37), соответствующие задачам В{ и Ые. Докажем, что данные уравнения разрешимы единственным образом при любых непрерывных на Г функциях ф© , у©.

Рассмотрим однородное интегральное уравнение, соответствующее задаче N,

M(x) - 2J^© Ax [E© x)]n ^ dГ = 0.

i=1

(38)

Допустим, что функция ц(^) является ненулевым решением этого уравнения. Тогда функция

Щ(х) = }Ц©Е© х) П ^'¿г

Г '=1

удовлетворяет условиям (26), (27) внешней задачи Неймана и граничному условию

Ах Н|г =0,

т.е.

. р , к.

Отсюда, с учетом теоремы о единственности решения задачи Ые, имеем и(х) = 0, х е Ое.

По теореме 7 потенциал простого слоя непрерывен в К+ , поэтому

их) = 0, х е Г. (39)

В области О функция и(х) удовлетворяет уравнению (9) и в силу (39) обращается в нуль на границе Г. Согласно теореме о единственности решения задачи В[, и(х) = 0, х е О. Тогда

АхЩм]| = +/Ц(|)Ах[Е©х)]П = 0. (40)

" 2 Г ]=1

Вычитание (39) из (40) приводит к равенству

Ц© = 0, х е О.

Это означает, что однородное уравнение (38) не имеет отличных от нуля решений. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (37) задачи N однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции у© .

Таким образом, согласно известной теореме Фредгольма, значение параметра X = 2 является правильным как для ядра Ах [Е© х)], так и для сопряженного ядра А [Е© х)]. Следовательно, интегральное уравнение (31), соответствующее задаче Д-, однозначно разрешимо для любой непрерывной на границе Г функции ф©.

Так как интегральные уравнения, соответствующие задачам В{ и N, разрешимы, то разрешимы и сами задачи В{ и Ые.

Теорема 9. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями х' =0,' = 1, р и хп =0 прямые углы, то задача В[ для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 10. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями х' = 0, ' = 1, р и хп = 0 прямые углы, то задача N для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Рассмотрим интегральные уравнения (33) и (35), соответствующие задачам Ве и N Интегральному уравнению задачи N соответствует однородное уравнение

Ax \u

[u( x)]|

Ц( x)- + J^©Ax [e© x)]ПlkгdГ, 0.

2

i=1

M(x) + 2J^)Ax [E© x)]ri ^ df = 0.

i=1

(41)

Г

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

Докажем, что уравнение (41) не имеет нетривиальных решений.

Предположим, что ц© - ненулевое решение

этого уравнения. Тогда функция

йсх)= 1ц©Е© х) п ^'СГ

Г г=1

удовлетворяет условиям (24) внутренней задачи

Неймана и граничному условию л[м(х)] i = о, т.е.

Лх [и(х)]| = ^ + J [£© x)]fl£ dT = 0. (42) ч 2 T

ff ïfc

i=1

По теореме о единственности решения задачи N м(х) = о, х е О.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция в К+ , то

й(х) = о, х е Г. (43)

В области Ое функция м (х) удовлетворяет

условиям (21) задачи Бе и в силу (43) обращается в нуль на границе Г . По теореме о единственности решения задачи Бе

м(х) = о, х е Ое.

Тогда

b^ll - Кх) , гТТГ^,

c[u(. х)]|

Л \и(х) п = + J ц©Лх E©x)]jf ^ dT = 0. (44)

T i=1

2

Вычитая из равенства (42) равенство (44), получим ц© = о, х е О.

То есть однородное интегральное уравнение (41) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (35) задачи N однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции у(х). Таким образом, значение параметра X = _2 - правильное для ядра Лх [Е© х)]. По известной теореме Фредгольма оно является правильным и для сопряженного ядра Л [Е© х)].

Отсюда следует, что интегральное уравнение (33) задачи Бе однозначно разрешимо для любой непрерывной на Г функции ф©. Из разрешимости интегральных уравнений задач Бе и N следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 11. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями хг = о, г = 1, р и хп = о прямые углы, то задача Бе для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 12. Если Г - поверхность Ляпунова, образующая с гиперплоскостями xi = 0, i = 1, p и xn =0 прямые углы, то задача Ni для этой поверхности разрешима при любых непрерывных граничных данных и решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

Литература

1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Физматлит, 1997. 208 с.

2. Мухлисов Ф.Г. О существовании и единственности решения одной сингулярной задачи математической теории дифракции // Диф. уравнения. 1989. Т. 25, № 12. C. 2154-2164.

3. Мухлисов Ф.Г., Хисматуллин А.Ш. О потенциалах для одного вырождающегося B-эллиптического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. 2004. № 27. С. 5-9.

4. Нигмедзянова А.М.Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2007. № 1. C. 34-44.

5. Мухлисов Ф.Г., Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Математика. 2009. № 8. С. 57-70.

6. Нигмедзянова А.М. Решение краевых задач для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом интегральных уравнений // Изв. Смоленского гос. унта. 2012. Вып. 4. С. 363-374.

7. Нигмедзянова А.М. Решение основных краевых задач одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с отрицательным параметром методом потенциалов // Изв. Тульского гос. ун-та. Естеств. науки. 2013. Вып. 2, ч. 1. C. 40-49.

8. Чеботарева Э.В. Решение краевых задач для вырождающегося B-эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. 2008. № 2 (17). C. 38-48.

9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Книга по требованию, 2012. 796 с.

10. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.

References

1. Kipriyanov I.A. Singulyarnye ellipticheskie kraevye zadachi [Singular elliptic boundary value problems]. Moscow: Fizmatlit, 1997, 208 p.

2. Mukhlisov F.G. O sushchestvovanii i edinstvennosti resheniya odnoi singulyarnoi zadachi matematicheskoi teorii difraktsii [On existence and uniqueness of solution for a singular problem of

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 3

mathematical theory of diffraction]. Dif. uravneniya. 1989, vol. 25, No. 12, pp. 2154-2164.

3. Mukhlisov F.G., Khismatullin A.Sh. O potentsialakh dlya odnogo vyrozhdayushchegosya B-ellipticheskogo uravneniya [About the potentials for one degenerate B-elliptic equations]. Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Fiz.-mat. nauki. 2004, No. 27, pp. 5-9.

4. Nigmedzyanova A.M. Issledovanie osnovnykh kraevykh zadach dlya odnogo vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya metodom potentsialov [The study of basic boundary value problems for one degenerate elliptic equation by the method of potentials]. Izv. vuzov. Matematika. 2007, No. 1, pp. 34-44.

5. Mukhlisov F.G., Nigmedzyanova A.M. Reshenie kraevykh zadach dlya vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya vtorogo roda metodom potentsialov [Solution of boundary value problems for degenerate elliptic equation of the second kind by the method of potentials]. Izv. vuzov. Matematika. 2009, No. 8, pp. 57-70.

6. Nigmedzyanova A.M. Reshenie kraevykh zadach dlya odnogo mnogomernogo vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya vtorogo roda metodom integral'nykh uravnenii [Solution of boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic

equation of the second kind by the method of integral equations]. Izv. Smolenskogo gos. un-ta. 2012, iss. 4, pp. 363-374.

7. Nigmedzyanova A.M. Reshenie osnovnykh kraevykh zadach odnogo mnogomernogo vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya pervogo roda s otritsatel'nym parametrom metodom potentsialov [Solution of the basic boundary value problems for one multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind with a negative parameter by the method of potentials]. Izv. Tul'skogo gos. un-ta. Estestv. nauki. 2013, iss. 2, ch. 1, pp. 40-49.

8. Chebotareva E.V. Reshenie kraevykh zadach dlya vyrozhdayushchegosya B-ellipticheskogo uravneniya vtorogo roda metodom potentsialov [Solution of boundary value problems for a degenerate B-elliptic equation of the second kind by the method of potentials]. Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Fiz.-mat. nauki. 2008, No. 2 (17), pp. 38-48.

9. Vatson G.N. Teoriya besselevykh funktsii [Theory of Bessel functions]. Moscow: Kniga po trebovaniyu, 2012, 796 p.

10. Levitan B.M. Teoriya operatorov obobshchennogo sdviga [The theory of generalized shift operators]. Moscow: Nauka, 1973, 312 p.

Поступила в редакцию /Received

19 апреля 2018 г. /April 19, 2018