О потенциалах для одного вырождающегося b - эллиптического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956

Ф. Г. Мухлисов, А. Ш. Хисматуллин

О ПОТЕНЦИАЛАХ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В - ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Строятся фундаментальные решения и потенциалы типа простого и двойного слоев для вырождающегося В - эллиптического уравнения второго порядка. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

1. Формулы Грина. Пусть Е2+ - первый квадрат координатной плоскости Оху, Б - симметричная относительно координатных осей конечная область, Г - её граница, Б+ = Е2+ п Б,

Г+ = Е2+п Г , Б+ = Е2+ \ Б + .

В области Б+ рассмотрим вырождающееся В - эллиптическое уравнение вида

д2и

Eb (и ) = ymBxu + — = 0,

cy

(1)

2k д

где Вхи = ^—~ +—— = х 2к — I х/к — \ - оператор Бесселя, т > 0. Множество функций и(х,у) из

dx x dx

dx

2 k

dx

С (Б+) (из С1 ( Б+) ), удовлетворяющих граничному условию и|у=0 = 0

ди

ду

=0

y=0

обозначим

через Со (Б+) (С (Б+)) .

Пусть и,Vє С2 (Б+)пС1 (Б +)п С0 (Б +)иС (Б+)^ . Непосредственным вычислением

можно доказать, что имеет место тождество

(

vEB (и )x2k +

y

dv ди + dv ди dx dx dy dy

\

x2k =

du

, ymx2kv ,

dx I dx J dy

д f 2k du ^ x 2kv

dy

Интегрируя обе части этого тождества по области Б+ и пользуясь формулой Остроградского, получаем

ЦvEB (и~)x2kdxdy + ЦI y'

dv ди + dv ди ^ dx dx dy dy

x2kdxdy = [ vA\u]x2kdr ,

(2)

ди du

где A\u] = ym cos(n,x)— + cos(n,y)— - конормальная производная, n - внешняя нормаль к

кривой Г + . Меняя в формуле (2) местами и и V, получаем

dv du dv Си ^

ЦuEB (v) x2kdxdy + Ц l y”

dx dx dy dy

x2kdxdy = [ uA\v]x2kdГ .

(3)

Вычитая из (2) формулу (3), получаем

Ц \уЕВ (и )- иЕВ (V) х2кёхёу = | (vA [и ]- иА [V]) х2кёГ. (4)

Б+ Г+

Формулы (2) и (4) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Ев .

Если и и V суть чётные по х решения уравнения (1) в области Б + , то из формулы (4) имеем

Если u = V и u(x,y) - чётное по x решение уравнения (1) в области Б+ , то формула (2) принимает вид

я\>

у

ди У ( ди ^

ду

ykdxdy = | иА[и]ykdГ .

Наконец, из формулы (2), полагая V = 1, будем иметь

| А[и]x2kdГ = 0,

(6)

(7)

т.е. интеграл от конормальной производной решения уравнения (1) по границе Г+ равен нулю.

2. Фундаментальные решения уравнения (1). Будем искать решения уравнения (1) в виде:

2\-( k+р)

где ст = — р =

т

2(т + 2)'

( 2 к+ р) / \

и = 1 гх ) а (ст )

4

(8)

( т + 2)'

(т+2 т+2 \2 ,

У 2 -У02 ) , Г1

2 2 2 = x ■

( т + 2)

4 / т+2 т+2 \2

(У 2 + Уо2 ) •

Подставляя функцию (8) в уравнение (1), получаем

ст (1- ст)ю" + [1 + k - (1 + k + 2р^)ст~^ а' - р( k + р^)а = 0. (9)

Известно [1], что в окрестности ст = 1 уравнение (9) имеет два линейно-независимых решения

®1 (^у; У0 ) = Р(Р^ + Р,2Р;1-ст), (10)

а

'2 ( x, у; У0 ) = (1-ст)1-2р Е (1-р,1 + k - р,2-2р;1-ст).

Подставляя (10) и (11) в (8), получаем решения уравнения (1):

ч (^ у; У0) = а (Г12){к+р Е (р,к+р,2р;1-ст),

( x, у; у0 ) = а2 ( г,2)"(k +Р)(1-ст)1"2Р Е (1-р,1 + k - р,2-2р;1-ст):

(11)

(12)

(13)

где а и а2 - некоторые постоянные, Е(а, Ь, с; т) - гипергеометрическая функция. Эти решения могут быть представлены в виде

ч (x, у; у0 )=а1 ( Г12)

(к+р)

Г( 2р)Г(к )

_-к

г(Р)г(р - к) г(2р)Г(к )

Е ( р, к + р, к +1; ст) +

Г( Р)Г( к + р)

Е(Р,Р - к,1- к;ст)

(14)

/ \ ! 2\-(к +Р) (л \ 1-2р

Ч (^ у; у0 ) = а2 (Г1 ) (1-ст)

Г( 2-2р)Г( -к )

+ст~'

Г(1-Р)Г(1 + к - р) Г(2-2р)Г(к)

Е (1-р,1 + к - р,к +1;ст) +

Г(1-р)Г(1 + к - р)

Е(1-р,1-к - р,1-к;ст)

(15)

Отсюда следует, что решения (12) и (13) при г ® 0 имеют степенную особенность вида г~2к и, следовательно, являются фундаментальными решениями уравнения (1) с особенностью в точке (0, у0). Для получения фундаментального решения уравнения (1) с особенностью в точке ^0, у0),

применим к функциям (x, у; у0) (}=1,2) оператор обобщённого сдвига TXX0 :

^у;xо,у0) = TxXo(x,у;^у0), 7 = I,2- (16)

Известно [2], что при р = (x - x0 )2 +

( т + 2)'

(т+2 т+2 \2

у 2 -у02 ) ® 0, функция (14) допускает

оценку

е] (x,у;Xо,у0) = 0(1пр), 7 = 1,2. (17)

Поэтому фундаментальные решения е}- (x, у; x0, у0) ( 7 = 1,2) могут быть представлены в виде

2

= 0; е2 (х, у; х0, у0 )| у=0 = 0 (20)

у=0

(х,у;Х0,У0) = Л} 1пР + у (х,у;х0,У0), j = 1,2, (18)

где AJ - нормирующие постоянные, функции уj (х, у; х0, у0), j = 1,2 при с ® 0 имеют оценку

Уj (х,у;х0,у0) = О(1пр), j = 1,2. (19)

Нетрудно проверить, что

( х у; х0, у0)

5у

для всех х>0.

Пусть функция и е С2 (В+ ) п С1 (В+ ) п С0 (В+ ) и С (В+ )] является четным по х решением уравнения (1) в области В+ и М0 (х0, у0) е В+. Рассмотрим овал СМг с В+ , определяемый

уравнением р2 = г2. Обозначим через В^ область, ограниченную отрезками ОЛ и ОВ соответственно осей Ох и Оу, кривой Г+ и овалом См^г

В области Вг функции гj (х, у; х0, у0) (j = 1,2) являются четными по х решениями уравнения (1) и согласно (20) и (5) имеют место формулы

| (г; (х у; х0, у0)Л[и ]- иЛ \_г} (х у; х0,у0 )]) х2кЛГ =

Г+

= | (иЛ \_г] (х у; Х0, у0 )] - г] (х у; x0, у0 )Л[и ]) х 2kdCM0г, j = 1,2. (21)

См0г

Переходя в этих формулах к пределу при г ® 0, получаем:

и (х у )= I (гj (x, у; xo, у0 ) Л[и ]- иЛ \_г} (x, у; у0 )])^2к^Г.

Г+

3. Потенциалы для уравнения (1). Полагая в формуле (21) при ]'=1 Л[и ] = т(Х,г), -и (Х,г) = и (Х,г), а при j=2 Л[и ] = т (Х,г), -и (Х,г) = и (Х,г) и заменяя в обеих формулах (х0, у0) на (х, у), получаем:

и ( х, у )= I т, (%я)г} (Х,п; х, у)лк^Г + | и] (Х,п) Л [г; (Х,п; х, y)~\hkdГ = у{ 1)( х, у ) + w( 1}( х, у ), j = 1,2.

Г+ Г+

Интегральные операторы у(1) (х,у) и w(1) (х,у) будем называть N - потенциалами типа

простого и двойного слоев соответственно, а интегральные операторы V 2)( х, у) и w(' 2)( х, у) -

В-потенциалами типа простого и двойного слоев соответственно.

Из свойств фундаментальных решений следует, что фундаментальные решения уравнения (1) имеют такие же особенности, что и фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому

для потенциалов V(1) (х,у) и w('1) (х,у), j = 1,2, так же, как для их аналогов для уравнения Лапласа, имеют место следующие теоремы:

Т е о р е м а 1. Пусть Г - кривая Ляпунова и (Х,г), j = 1,2, - четные по Х, непрерывные

на Г функции, такие, что при г ® 0 и1 = о (г), и и2 = О (г) . Тогда для В и N - потенциалов типа двойного слоя, справедливы следующие предельные соотношения:

и(^у0) м/ ч и(xo,у0)

^ (^у0 ) = -^-у--------+ ^ (xo,у0 ), ^ (xo,у0 ) = ^“у--------+ ^ (xo,у0 ) j =1,2,

где w( 1)( х0, у0) и w^e 1)( х0, у0) означают предельные значения потенциалов в точке (х0, у0 )еГ при (х, у)®(х0, у0) соответственно изнутри и извне Г+ , а w^)(x0, у0), j = 1,2, прямые значения потенциалов w('1) (х,у), j = 1,2, на Г+ .

Т е о р е м а 2. Пусть Г - кривая Ляпунова и т (Х,г), j = 1,2, - четные по Х, непрерывные функции на Г+ такие, что при г ® 0 т = о (г), и т = О (г) . Тогда В и N - потенциалы типа простого слоя - непрерывные функции в Е+ .

Т е о р е м а 3. Пусть Г - кривая Ляпунова и т (Х,г), j = 1,2, - четные по Х, непрерывные

функции на Г+ такие, что при г ® 0 т = о (г) и т = О (г) . Тогда для В и N - потенциалов типа простого слоя - справедливы следующие предельные соотношения:

т ( ^ у0 )

где А

'(хо> Л )

А и А

Vй' (х0,Уо)

(^ Уо) )(х0, Уо )

Ъ ( хо, Уо)

Vй' (Хо, Уо)

, І = 1,2,

(Хо, Уо )

(22)

(23)

означают предельные значения конормальной производной Б и N-потенциалов типа простого слоя в точке (х0, у0 )еГ+ при (х, у)®(х0, у0) соответственно изнутри и извне Г+ , а Л у^)(х0,у0) , j = 1,2, прямые значения конормальной производной этих потенциалов на Г+ .

4. Постановка краевых задач для уравнения (1).

Внутренняя задача типа Дирихле (задача В[). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+ , непрерывное в В+ и удовлетворяющее граничным условиям

ІУ=о

= о; и\г+ = ф2 (£,ц),(Х,п)еГ+ .

(24)

Внешняя задача типа Дирихле (задача Бе). Найти четное по х решение уравнения (1) в области Б+ , непрерывное в Б+ , обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям

и1У=о = °; и1 г+=у (°,;з), (о,з )є Г+-

Внутренняя задача типа Неймана (задача N ). Найти четное по х решение уравнения (1) в области Б+ , непрерывно дифференцируемое в Б+ и удовлетворяющее граничным условиям

ди

ду

=о; А[и ]г+ = ф (х,п)-

У=о

Внешняя задача типа Неймана (задача Ыг). Найти четное по х решение уравнения (1) в области , непрерывно дифференцируемое в , обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям

ди

дУ

=о; А[и ]г+ =У (х,п), (х,п)ег+.

У=о

Внутренняя смешанная задача типа Дирихле-Неймана (задача Вг- - N ). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+, непрерывно дифференцируемое в В + и Г(0) и удовлетворяющее г

ди

дУ

аничным условиям

= о; и|г+ = & (х,п), (х,п)ег+,

У=о

где Г(0) = ОЛ - отрезок с концами в точках О(0,0) и Л(а,0).

Внешняя смешанная задача типа Дирихле-Неймана (задача Ве - N,,0. Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+е , непрерывно дифференцируемое в

В, и Г,0), обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям

ди

Су

= о; и| г+ = У1 (х,п) •

У=о

Внутренняя смешанная задача типа Неймана-Дирихле (задача N1 - Вг-). Найти четное по х решение уравнения (1) в области В+, непрерывное в В+, непрерывно дифференцируемое в В+ иГ+ и удовлетворяющее граничным условиям

1у=о

=о; А[и ]г+= &2 (х,п), (х,п)^г+.

Внешняя смешанная задача типа Неймана-Дирихле (задача Ne - De). Найти четное по x решение уравнения (1) в области D+, непрерывное в D+ , непрерывно дифференцируемое в De и Г+, обращающееся в ноль на бесконечности и удовлетворяющее граничным условиям:

и\у=0 = 0 AiU ]Г+ = f2 (X,h) , (%Я)еГ+ .

Во всех задачах <р}- (X,h), Wj (X,h), gj (X,h), fj (X,h) " непрерывные на Г+ функции и при

h ® 0 j =Wi = gi = f = O (h) , j =W2 = g2 = f2 = O (h) .

5. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Решение задачи Dt ищем в виде D-потенциала типа двойного слоя

и ( x, y ) = w{2)( x, y )= J U2 (x,h) A [S2 (x,h; x, y )\%2kdr. (25)

Г+

Ясно, что функция (25) является решением уравнения (1) и удовлетворяет первому граничному условию (24). Неизвестную плотность и2 найдём из требования, чтобы эта функция и (x,у)

удовлетворяла второму граничному условию (24). С этой целью подставим её в это граничное условие. В результате, с учётом формулы скачка (22), при j=2 получим

U2 (x0, у0) . (2) / \ (К \

---—------- + w ЧX0, У0 ) = Ф2 (X,h)

или

(Di) u2(x,У)-2 Ju2(x,h)Ax \_si(x,h;x,У)]x2kdr = ~2j2(xy). (26)

Г+

Это есть интегральное уравнение, соответствующее задаче Dj. Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам De, Nt, Ne, Dt - Nt, De - Ne, Nt - Dt и Ne - De. Они имеют вид:

(De) u2(xy) + 2 Ju2(x,h)Ax \_s2 (x,h;x,y)]X2kdr = 2y2 (xy), (27)

Г+

(Ni) m(x y)+2 Jm(x,h) Ax [si (x,h; x y )]X2kd r = 2j(x, y), (28)

Г

(Ne) m(x y)-2 Jm(x,h) Ax _ei (x,h;x, y)] x2kdr = -2Wi (x y), (29)

Г

(Di- N,) u (x, y)-2 Ju (x,h) Ax _ei (x,h; x,y)]^2kdr = -2gi (x, y), (30)

Г

(De-Ne) u(x,y)+2Ju(x,h)Ax _ei(x,h;x,y)]t2kdr = 2f (x,y), (3i)

Г

(Ni- D,) m( x y)+2 Jm(x,h) Ax _e2 (x,h;x, y)] X2kdr = g2 (x, y), (32)

Г

(Ne- De) m(x, y)-2 Jm(x,h) Ax _e2 (x,h; x y)] х2^Г = -2Л (x y). (33)

Г

Здесь Ax - конормальная производная к границе Г+ в точке (£^)еГ+, а Ax - конормальная производная к границе Г+ в точке (x, y) е Г+ . Отметим некоторые свойства интегральных уравнений (26) - (33).

1) Формулы (i8) и (i9) показывают, что уравнения (26) - (33) суть интегральные уравнения со слабой особенностью.

2) Ядра Ax _ej (X,h;x,y)\ и Ax [еу (X,h;x,y)] получаются одно из другого подстановкой точек (x,y) и (X,h). Так как эти ядра являются вещественными, то они сопряженные. Отсюда

следует, что уравнения (26) и (33), (27) и (32), (28) и (3i), (29) и (30) - попарно сопряженные.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука, i957. 680 с.

2. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory //Bull. Amer. Math. Soc. i953. V.59. №i. P. 20-38.

Поступила 10.03.2004 г.