Решение краевых задач для одного вырождающегося b эллиптического уравнения методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Ш.Хисматуллин

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ В - ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Пусть г ^ - первый квадрант координатной плоскости Оху, г ^ - область в Р ,* , ограниченная отрезками ОА и ОВ соответственно осей Ох и Оу и кривой , образующей в точках пересечения с осями координат прямой угол, ї~' = С'++'.' Г" ОЕ' .

В области !' рассмотрим вырождающееся В - эллиптическое уравнение вида:

Тв (и) =В„и+у!1 —

=0,

(0.1)

где с?3 к С

В^і = —-+---------------■

с& х дх

■■ X

да

х —

V ас/

- оператор Бесселя, ?>1, к>0.

В первом параграфе изучаются свойства решений уравнения (0.1) в области, принцип Экстремума для решения уравнения (0.1). Во втором параграфе дается постановка краевых задач для уравнения (0.1) и доказывается единственность их решения. В третьем параграфе строятся потенциалы и изучаются их свойства. В четвертом параграфе краевые задачи для уравнения (0.1) сводятся к интегральным уравнениям и доказывается существование их решения.

§1. Свойства решений уравнения

Известно [1], что уравнение (0.1) имеет фундаментальное решение с особенностью в точке (х ,у ), вида:

: (х,у,ха ,у0 )=А (к) С ^ ^ ха +х2 -2ххв соэ^+

(1.1)

где,.

7яГ(т)

И интегральное представление данного решения будет иметь вид:

и !:•-)= _[ ;::(”^::с,7с)А|и]-иА| ф.у.::с.^ ) ]]:;\ЧГ~ . (12)

г*

Теорема 1. Существует четное по х решение уравнения (0.1) в области Г| * , удовлетворяющее граничному условию:

■■ -

(1.3)

о—» со

удовлетворяющее при условию

(1.4)

Теорема 3. Если четная по х функция и удовлетворяет условиям:

2)11^1 = 0 3).

в ' 1 то она принимает наибольшее положительное и наименьшее отрицательное значение на границе Г ■, если она не равна нулю.

§2 . Краевые задачи и теоремы единственности

Внутренняя задача типа Дирихле. Найти функцию I , удовлетво-

ряющую условиям:

Ниш = 0 .

7-*

(2.1)

(2.2)

(2.3)

- , .1-7':^. (2.4)

Теорема 4. Внутренняя задача типа Дирихле для уравнения (0.1) с граничными условиями (2.1) и (2.4) не может иметь более одного решения.

Внешняя задача типа Дирихле. Найти функцию , удовлетворяю-

щую условиям:

■ ™(»; , - ",

Йти = 0 ,

и = о (і) при ■' ':' ,

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8) (2.9)

где

Теорема 5. Внешняя задача типа Дирихле для уравнения (0.1) с граничными условиями (2.5) и (2.9) не может иметь более одного решения.

Внутренняя задача типа Неймана. Найти четную по х функцию ' 1 ),

удовлетворяющую условиям:

; г-].-. С* ,

(2.10)

(2.11)

Ііти = 0.

(2.12)

(2.13)

Теорема 6. Внутренняя задача типа Неймана для уравнения (0.1) с граничными условиями (2.10) и (2.13) не может иметь более одного решения.

Внешняя задача типа Неймана. Найти четную по х функцию ^ ’ , ),

удовлетворяющую условиям:

и є С* (£^)г|С(1Г ^Г++)

Ііти = О г*«

=о (г , при ' > г',

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

Теорема 7. Внешняя задача типа Неймана для уравнения (0.1) с граничными условиями (2.14) и (2.18) не может иметь более одного решения.

§3. Потенциалы типа простого и двойного слоев

С помощью фундаментального образуем интегральные

операторы:

г*

»{х.7)ш\и{£. У,) А[*{е, *х,у)У'гаг*

(3.1)

(3.2)

где А[и]=с:05(п,д § + тГс:15 (п,-л) - - конормальная производная.

Интегральные операторы !' и ! ^ | - представляют собой

соответственно потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (0.1).

Интегралом Гаусса будем называть потенциалом типа двойного слоя, плотность которого тождественно равна единице, т. е. интеграл вида:

Г"

Лемма 1. (Геллерстедт)

(3.3)

и'о(*.7) = \ А[е{^,)г,х,у)'\^1г^аГ**=‘\-\12,еспи{х,у)^Г+*,

[ 0, если (дг,^) £ Р++.

Теорема 8. Если >■ V,и Ь-п и с, <т = и , Г“ - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для потенциала типа двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения

иф./) =-^(*о>7в) + и'Оо>л)

А -''с'1" и‘! 'о ’

(3.4)

(3.5)

где , | и означают предельные значения потенциала в точке

!• 1 при ! - соответственно изнутри и из вне , а

и г- у | прямое значение потенциала > в точке !.' >'. 1.

Теорема 9. Если плотность <= 1/1 и ли - кри-

вая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для конор-мальной производной потенциала типа простого слоя справедливы следующие предельные соотношения:

= ^/Фо,л) + Л*,И*,7)] ’ (3 6)

-4-, О! ''>■')! :: V а' • -'Ч 11;■■-•)]’ (3.7)

где 4*МХ’У)1 и АМ*’У)1 означают предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке при

(■*,/.) — ! X ..7, ) соответственно изнутри и из вне !"'■*, а 4^ !;Ч :..!1 прямое

значение конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке 1 .

§4. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям

Решение внутренней задачи типа Дирихле ищем в виде потенциала типа двойного слоя:

. (4.1)

Ясно, что функция (4.1) удовлетворяет условиям внутренней задачи типа Дирихле: (2.1) - (2.3).

Неизвестную плоскость найдем из требования, чтобы функция

(4.1) удовлетворяла граничному условию (2.4). Подставляя ее в это условие, с учетом формулы скачка (3.4) получаем

и ' X, у) - 2 \ и е, П) А, [И С, г, л-. И]ц-'V1:/: = -2^ ( 1.у) . (4.2)

г~

Решение внешней задачи типа Дирихле ищем в виде потенциала типа двойного слоя:

. (4.3)

Ясно, что функция (4.3) удовлетворяет условиям внешней задачи типа

Дирихле: (2.5) - (2.8).

Неизвестную плоскость ( ; ; . 7) найдем из требования, чтобы функция

(4.3) удовлетворяла граничному условию (2.9). Подставляя ее в это условие, с учетом формулы скачка (3.5) получаем

Ф 4 А* ^^)]~ 2^ [,./) . (4.4)

г~

Решение внутренней задачи типа Неймана ищем в виде потенциала типа простого слоя:

М’-У) = . (4.5)

Ясно, что функция (4.5) удовлетворяет условиям внутренней задачи типа Неймана: (2.10) - (2.12).

Неизвестную плоскость найдем из требования, чтобы функция

(4.5) удовлетворяла граничному условию (2.13). Подставляя ее в граничное условие (2.13), получаем

, . (4.6)

г*

Решение внешней задачи типа Неймана ищем в виде потенциала типа простого слоя:

мчп = 1-!м-. (4.7)

Ясно, что функция (4.7) удовлетворяет условиям внешней задачи типа

Неймана: (2.14) - (2.17).

Неизвестную плоскость 1 7.1 найдем из требования, чтобы функция

(4.7) удовлетворяла граничному условию (2.18). Подставляя ее в граничное условие (2.18), получаем

, :,71>..,Г1. (4.8)

т*

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (4.2), (4.4),

(4.6), (4.8):

1) Из формулы (1.1) следует, что эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.

2) Ядра 4 V--'"- ! и ^'..п получаются одно из другого

перестановкой точек ; ? ' и I. ! .

3) Так как эти ядра вещественны, то они сопряженные.

Отсюда следует, что уравнения (4.2) и (4.8), (4.4) и (4.6) - попарно сопряженные.

Докажем, что интегральные уравнения (4.2) и (4.8), соответствующие внутренней задаче типа Дирихле и внешней задаче типа Неймана, разрешимы единственным образом при любых непрерывных функциях ?! у ,? : и ф, л) .

С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана.

„I,.; -,\ и, 7. I . (4.9)

Тогда функция

Ц| (*,/)= /

Г~

удовлетворяет условиям (2.14) - (2.18), в том числе и граничному условию или:

Л, V,- ■ -^Км ' | -■ (4.10)

В силу теоремы единственности внешней задачи типа Неймана

', ’■/'■■гГ.

Так как потенциал типа простого слоя есть непрерывная функция, в

', то 1^+-. - о.

Рассмотрим теперь функцию

Ц] {Х>У)= \ г~

в области 1 . Она в этой области удовлетворяет условиям (3.1) - (3.4), в том

числе и Ч^-к- -11 .

В силу теоремы единственности внутренней задачи Дирихле Тогда

•} -с1: V ^.7.*>. ■■ '. (4Л1)

1 р..

Вычитая из (4.11) равенство (4.10), получаем: /л'ч;5} - С .

Таким образом, однородное интегральное уравнение (4.9) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы ,Фредгольма, интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана однозначно разрешимо для любой непрерывной функции р:(',;•) . По известной теореме Фредгольма значение

< - правильное для ядра ■А)Г]&{£,:жл0р)] ■ является правильным и для сопря-

женного ядра

Отсюда следует, что интегральное уравнение (4.2) внутренней задачи типа Дирихле однозначно разрешимо для непрерывной функции : .

Из разрешимости интегральных уравнений внутренней задачи типа Дирихле и внешней задачи типа Неймана следует, что разрешимы и сами задачи.

Это доказывает справедливость теоремы о разрешимости внутренней задачи типа Дирихле и внешней задачи типа Неймана:

Теорема 10. Если! " - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при I с(г-) разрешима внешняя задача типа Неймана и ее решение может быть представлено в виде потенциала типа простого слоя.

Теорема 11. Если! - кривая Ляпунова и образует с координатными

осями прямой угол, то для этой кривой при ,■_■■■ | , у - _ (г разрешима внутренняя задача типа Дирихле и это решение может быть представлено в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 12. Если! " - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, функция и удовлетворяет условию

(условие разрешимости интегрального уравнения), то

г**

разрешима внутренняя задача типа Неймана и ее решение может быть представлено в виде потенциала типа простого слоя.

Теорема 13. Если " - кривая Ляпунова и образует с координатными осями прямой угол, то для этой кривой при „ . .! ) „‘ Г* ' разрешима внеш-

няя задача типа Дирихле и это решение может быть представлено в виде.

и{х,у) + 2\ и[$,>?)Лг,[е{$,>7;х,у)']$*г}таГ++ + -^ / >?)?*>7Я‘1Г'++

г~ г Г*

Доказательство этих теорем проводится аналогично доказательству проведенному в [2].

Литература

[1] Хисматуллин А.Ш. Интегральное представление решения одного вырождающегося В-эллиптического уравнения// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды всероссийской научной конференции. Ч. 3. Самара. 2004.

[2] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М. 1977.