Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.М.Нигмедзянова

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Пусть м/ - полупространство ж, > Э р - мерного евклидова простран-

ства точек л = (, л\,; , Б-конечная область в Е*, ограниченная откры-

В этой работе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения (1). В первом параграфе выводятся формулы Грина для оператора и вводится

понятие - гармонической функции. Во втором параграфе строится фундаментальное решение уравнения (1). В третьем параграфе дается интегральное представление решения данного уравнения. В четвертом параграфе изучаются некоторые свойства решений уравнения (1), в частности, доказывается принцип максимума. В пятом параграфе даются постановки основных краевых задач для уравнения (1) и доказывается единственность их решения. В шестом параграфе строятся потенциалы типа простого и двойного слоев и изучаются их свойства. В седьмом параграфе основные краевые задачи для уравнения (1) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

той частью і гиперплоскости ’ , -- и гиперповерхностью ‘ .

В ическое уравнение

(1)

§1. Формулы Грина

В К рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение

(1)

где а>\, а є Ъ .

Уравнение (1) в характеристических координатах

_ р

' 1-а

приводится к уравнению Лапласа

Аи= О,

а область Б переходит в бесконечную область О. Отсюда следует, что если ■ ( 4) = ‘Р'-.О - гармоническая функция в О, то функция

Щх) = <р

1-« \

* ,

1 -а

будет решением уравнения (1) в области Б. В силу известной теоремы о поведении гармонических функции на бесконечности, если при л — и

'-'■'Л = я 1; ,то . I : при • I , , ■■ : .

'? / * р

Методом разделения переменных можно показать, что любое ограниченное решение уравнения (1) при х — и стремится к нулю, если оно не постоянное.

Определение. Регулярное решение уравнения (1) в области &

назовем -гармонической функцией, если я(7:) = Я!1 при я, — .

Множество всех - гармонических в Б и непрерывных в Я1 = Яи_! Г функций обозначим через ЯЯ Г ) . Множество функций У(х), т раз непрерывно дифференциируемых в Я , таких, что при я, ^ г’(х) обозначим через я . Также через С, (Г1) обозначим множество функций Я".--, заданных на ; и удовлетворяющих условиям: 1) Яг€ ЯЯ ) ;

2) ^я-С(Я':) при £. - о.

Пусть функции - - Яг .

Непосредственным вычислением можно убедиться, что имеет место тождество

(3)

+^4:

ГУ™.

Умножая обе части тождества (3) на > ' ,интегрируя по области Б и

пользуясь формулой Остроградского, получаем

эи ЗУ

(4)

К

где

р-1

эи

эи

№ "V

конормальная производная.

Формула (4) называется первой формулой Грина для оператора Г .

Меняя местами и и V в формуле (4), имеем

ґ£*д¥дІІ ^дУдиЛ

-+х

х'Ъх = \ ил^у/лт

в о\М д*}3*} дх,дхр/

Вычитая это равенство из (4), получаем

\{:т: и-и-у)г = \^ ^ . (5)

в г

Формула (5) называется второй формулой Грина для оператора .

§2. Фундаментальное решение

Фундаментальное решение уравнения Лапласа (2) имеет вид

- V/ (6)

где ,, _ _ .г ,і „ +||. (д _ & у? , А - нормирующая постоянная.

(7)

Переходя к старым переменным, имеем

Е(Х,Х0) =

РхЬ

где :

Р». = ,К^'-х'о)2 +

Р_______Ра

1-а

, В - нормирующая постоянная.

Ч ' " /

Обозначим через множество всех бесконечно непрерывно

дифференциируемых и финитных в 4 функций.

Определение. Функция Е(х,х0~) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке - з Е+ , если она удовлетворяет условиям

1) для любой X) = СЕ1) такой, что имеет место

равенство

\ у л--, := -ги л-, ;

2) она является решением во всех точках^ , за исключением точки

Ясно, что функция (7) удовлетворяет второму условию определения фундаментального решения. Проверим выполнение первого условия.

Пусть ^л-) е ^ ^ > - фиксированная точка, : -

сфера в ‘ с центром в точке и радиуса ' такого, что ; ; с Е’,

С;. = і .Л- є -57 |л-| = Л. х, > С! - полусфера в ;7 с центром в начале координат и радиуса Я. Через +_ обозначим область, ограниченную полусферой , сферой и частью гиперплоскости :?-С.

Применяя к функциям (7) и и'? ) вторую формулу Грина в области / * , получаем

ей

= \ [ЯСх.ЛоЯїсрСх)]-^)^^,^)]]^,

4*

где . - внутренняя конормаль к границе .

Так как в _ 7 -7 , л> 1 == 1 , то последняя формула может быть запи-

сана следующим образом

\ -'■ • п :'Л'1 '■ ,[ ; ^ ^7 '■ ] т ■ : \ ! '7 , (8)

= - \ Дх,х1И[ф(х)]х;‘^+ \ Ф(хЯ[Дх,хр)]х;-^ = /'1+7”

где 1 - внешняя конормаль к сфере .

Вычислим пределы при * — 1 двух интегралов в правой части последней формулы. Ясно, что при г —■■■ —> 0 . Вычислим предел при

£ — I , т.е. интеграла

^ \ Л-7. 7 ^ ,

= В\ <р(х)

Р-1 д

£сО —

М 0хз

ї-2

V /

, 2« , . 3

+ 7: СО8(»,Х ) —

дх

Р*~2

^гхха у

где п - внешняя нормаль к сфере , І :■ г; ; : ! -

направляющие косинусы внешней нормали к поверхности сферы в точке

- -;.

Зг,

У2

V **0 /

Эх

р£2 Ч ^ /

Отсюда следует, что

= ~{Р~ 2)р

^-х1-

й>

?-1

0-2)2?

I <р(х) —----------------------

( т,і-« і-« 7

1р хп

1-а 1-а

3*0*

^*7^ =

? ЇГдГ

?-1

(/>-2)5

( „1-а ~1-“ \

Хр _ Х?а

1 -а \-а

/

Е^-^)2 + і-*-

{ті-« ,.1_“ '■

Хр ХРь

1 -а 1 -а

х-“с12х

Р *<?

В последнем равенстве, пользуясь формулой Лагранжа /0)-/0о) = У'(хо +9(х- х0))(х-х0), где У < 6' <, получаем

/■ ш-(Е=Шя

р-1

\ <?(*)

.7-1

хъ+в(.хр-хн)/

\ Рл

(х,-Хра)2

'р-1

Р X? Я*

Е (*/" ^)2 + (Хра + #(*, ~ Хр>)ҐЯ (*р ~ *А )2 Ч-М

Переходя в этих интегралах к обобщенной сферической системе координат, сократив на ; 1 и переходя к пределу при ь — У , получаем

•2)В<К*о)'~ " ’ ’

г

где ■ ■ . .

г->0

ЯП3 <р^х + х£ш сов1

Ы3

Откуда после элементарных преобразований, получаем

Полагая здесь

В =

(р- 2) 2?г2

1іт/ "г = Ііт ! <р(х)4,[Я(х, х0)]х~аЛ2 = — <р(дь)

г-»0

(9)

Таким образом, функция

Е(х,х0) =

(р-2)2^р%

удовлетворяет первому условию определения и, следовательно, является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке .

§3. Интегральное представление

Найдем теперь интегральное представление -гармонической функции. Пусть І' )-,-, (Г у- Г1 'О) . Зададим в области произвольную точку лп . Вырежем эту точку шаром . Радиус возьмем столь малым, чтобы шар ; целиком находился внутри области . Внутри области Г>_ = / 1 ! і ' _ фундаментальное решение уравнения (1) принадлежит классу

і О к-! 0'(3 ) . Поэтому к функциям £Дг) и ,5','хх-) в этой области можно применить вторую формулу Грина для оператора . Имеем

\ [Е(х,х0)ТлЩх)-Щх)ТлЕ(х.ъ)]х?<Ь =

А

= \[Е(х,ъ)4АЩх)] - 1/(х)Аа[Е(х, х,>)]]х;ЪГ+

+

I [-Е(х,х0)А[и(х)] + Щх)\[Е(х,х0)]]х-р^.

Учитывая то, что _ Еі л, л , == ', 7 у ' л ' в ' , получаем

где - внешняя конормаль к сфере . Вычислим пределы при = —- О

двух интегралов в правой части последней формулы. Ясно, что при —■1

—> L . Вычисление предела при i — 11 проводится аналогично выше-

приведенному вычислению - ". при — 1 . Так что имеет место следующее предельное соотношение

AU^-T- 7::;^ =Я ; .

r_>0

Таким образом, для всякой функции у , ^ ,77 , г i - С1 п; и для любой х0 € D справедливо следующее интегральное представление

§4. Свойства решений уравнения (1)

Функции из Я , i.D) обладают всеми основными свойствами

гармонических функций.

Теорема 1. Если функция _ , к, ч_ у , , _ , то

ЧеЭДХя!Г-с.

Теорема 2. (Принцип максимума). Пусть U{x) 6 Нт (D) , то функция

~'Cs) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значения на границе ^ , если она тождественно не равна нулю.

Следствие. Если функция U (*) g //г (£)) , то

7ч .т IJ 1 mр! л',-, |, л" с У . В частности, если ,7;Я |,.= :j , то И{к: ■ С в 7

§5. Постановка краевых задач типа Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

Внутренняя краевая задача типа Дирихле (Задача Di). Требуется найти функцию i/(x) , -гармоническую в i , непрерывную в и удовлетворяющую граничному условию

Теорема 3. Внутренняя краевая задача типа Дирихле (1), (10) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Дирихле (Задача Пе). Требуется найти

на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию (10).

Теорема 4. Внешняя краевая задача типа Дирихле (1), (10) не может иметь более одного решения.

Внутренняя краевая задача типа Немана (Задача Щ). Требуется

Здесь _ _ - внешняя конормаль.

Теорема 5. Внутренняя краевая задача типа Неймана (1), (11) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Неймана (Задача )■ Требуется найти

функцию 6"(х), -гармоническую в , один раз непрерывно дифференциируемую в і , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничному условию (11). Здесь - конормаль, направленная во вне области .

Теорема 6. Внешняя краевая задача типа Неймана (1), (11) не может иметь более одного решения.

С помощью фундаментального решения *(л\лп I уравнения (1) образуем поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев:

функцию '-'(л) , 7 -гармоническую в ' , непрерывную в , ' , равную нулю

найти функцию Щж) , -гармоническую в , один раз непрерывно диффе-

(11)

§6. Потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (1) и их свойства

2л2 г

(12)

2я2 г \-Р* -

(13)

Сначала рассмотрим интеграл типа Гаусса. Определение. Интеграл вида

назовем интегралом типа Гаусса. Здесь - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью х{ = 0 прямой угол.

Теорема 7. (Формула скачка). Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью л,, — прямой угол, то

1 =

Г

ы

2л-2 г

К

с;^г=

-1,х0 € А

~2’х°

0,хо еЕ\\Ь = Пе,

Теорема 8. Пусть ! - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью х„ = 0 прямой угол. Тогда при 1 *= '- Г имеют место следующие предельные соотношения

(т. л у ,

где А;*:) и А (я) означают предельные значения потенциала ■ > ! ‘ в

точке тг е Г при к —> ягс соответственно изнутри и извне границы - , а

: - прямое значение потенциала в точке д:Г| е Г . Здесь точка

л ё Г - фиксированная точка границы ^ ) .

Рассмотрим конормальную производную потенциала типа простого слоя (12) в точке !г, е Г :

/

'!)

2л-2 г

1

2 _

£Г<1Г

Теорема 9. Пусть ! - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью л = !| прямой угол. Тогда при и;Г; имеют место следующие пре-

дельные соотношения

А)

4». [^(*,)] = у+4* [?(*)] ’ 4*.[г.Ы]=-у+4* •

где 1 ;' и !"'(■. | означают предельные значения конормаль-

ной производной потенциала типа простого слоя потенциала 1 в точке л с Г при — , соответственно изнутри и извне границы - , а

_■■■! I ) ^ - прямое значение конормальной производной типа простого

слоя ' I в точке п -е Г . Здесь точка я,, еГ - фиксированная точка границы 1', д:, = ) .

§7. Сведение задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Задача . Решение задачи 7- будем искать в виде

(14)

2л2

А

-2

Ч

$Г<ІГ

является - гармонической функцией в области и непрерывна в 7 . Плотность 1 - пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (14) удовлетворяла граничному условию (10) задачи .

С этой целью подставим и{:\) в граничное условие (10) и, учитывая предельную формулу потенциала типа двойного слоя, получим

-т+ '

2л-2 г

Ри

£“ЛГ=/(£)

Таким образом, задача свелась к следующему интегральному уравнению

V,

--^/К£)А

Л

1

ру-2

ГМ

( ,)

С“^Г = -2/(4)

где Ц, = *'<4) .

Задача _' . Решение задачи _ будем искать в виде

г\Е.

(15)

гУ(х)=-Ц^К£>4

2л-2

1

-2

1^4 J

А

$Гаг

Щх) является Та - гармонической функцией в области £>е = В* \ Ъ , непрерывной в ~ и стремящейся к нулю на бесконечности. Плотность 1 -

пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (15) удовлетворяла граничному условию (10) задачи ' .

С этой целью подставим и \л) в граничное условие (10) и, учитывая предельную формулу потенциала типа двойного слоя, получим

2 )

2л2 г

\ К«4

1

РР~2

7 = /($,)

Таким образом, задача Е свелась к следующему интегральному уравнению

+-

1и

г_

Л2

\ К«4

1

Р

( ,)

СТГ=2/(^0)

(16)

где п = -(а,:.

Задача .Решение задачи будем искать в виде

(ч .

2 л2 г

о'(х) является ’ - гармонической функцией в области V и непрерывна в . Плотность /Д7) - пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (16) удовлетворяла граничному условию (11) задачи А1 . С этой целью подставим и{х) в граничное условие (11) и, учитывая

предельное значение конормальной производной потенциала типа простого слоя, получим

/аЮ4*.

2 )

2 л2

Р?~2

С“с1Г=<р(4о)

Таким образом, задача /7 свелась к следующему интегральному уравнению

ц>+-

№

ы

£

Л2

Ч»

1

р?-2

где & = .

Задача .Решение задачи А будем искать в виде

ад—

2я2 г ^

является - гармонической функцией в области " - "£ * І , непрерывной в и стремящейся к нулю на бесконечности. Плотность -

пока неопределенная функция. Ее найдем из требования, чтобы функция (17) удовлетворяла граничному условию (11) задачи ' .

С этой целью подставим и [ л) в граничное условие (11) и, учитывая

предельное значение конормальной производной потенциала типа простого слоя, получим

■\тк

2 я2

1

р?-2

.

СТГ=<р(^0)

Таким образом, задача свелась к следующему интегральному уравнению

я>—

№

Ы

я2

(•;)

ц»

і

А

-2 'М, J

СТГ=2 <р&)

где А = -А).

Интегральные уравнения (.),(.' , ),(.'V, ),( ) назовем интегральными

уравнениями Фредгольма теории - потенциалов. Эти уравнения обладают

следующими общими свойствами:

1). Эти интегральные уравнения с ядром со слабой особенностью.

2). Ядра

А

1

1

р?-2

получаются друг из друга заменой

точки 7, на точку - . Так как эти ядра вещественные, то ядра сопряженные.

Значит интегральные уравнения ( Е ) и ( ), ( Ч с ) и ( ) - взаимосопряжен-

ные интегральные уравнения. Следовательно, для них справедливы все теоремы Фредгольма.

1. Исследование первой пары сопряженных уравнений.

Докажем, что интегральные уравнения, соответствующие задачам л-' и

Л. , разрешимы единственным образом при любых функциях

и

, л I !1. С этой целью рассмотрим однородное интегральное

уравнение задачи

М)--

.2)

(18)

71

1

А

-2 Ы J

Пусть Щ ч) - ненулевое решение этого уравнения. Тогда функция Г имеет вид

г

Щх)=^

ч .

2 л-2 Г

(19)

Уравнение (18) означает, что предельное значение извне конормаль-ной производной потенциала (19) равно нулю, т.е.

. (20)

1 П

Р

2я2 г

с?'2

Г"<1Т= о

По теореме единственности для внешней задачи Л'(.т) = 0, _ Д,.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полупространстве, то

и(к)^а, ---г. (21)

Рассмотрим теперь потенциал и(х) в области О . В этой области функция Щж) гармонична и в силу (21) обращается в нуль на границе - . По теореме единственности задачи _ Г I ; = л же£:. Тогда

П-М - - . (22)

2я2 г

Вычитая из равенства (22) равенство (20), получаем ]Чэ/ ^ , г - . Таким образом, однородное интегральное уравнение (18) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение ( ,) задачи , однозначно разрешимо для любой функции

^ : . ^ . Таким образом, значение параметра г г - правильное

,.Й!

для ядра

Р*'2

, по известной теореме Фредгольма, оно является пра-

вильным и для сопряженного ядра

А

А

-2 Ы J

Отсюда следует, что

интегральное уравнение ( ' ,) задачи Iоднозначно разрешимо для функции "аО .

Из разрешимости интегральных уравнений задач . и , следует, что

разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 10. Пусть - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью = 1! прямой угол, то задача . для этой кривой разрешима при любых граничных данных ^ 1 ^ Г'1 , и решение можно предста-

вить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 11. Пусть - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью 1, = и прямой угол, то задача для этой кривой разрешима при любых граничных данных и решение можно

представить в виде потенциала типа простого слоя.

2. Исследование второй пары сопряженных уравнений.

Значение параметра -1 1 | , входящее в интегральные уравнения

( ) и (/V,)- характеристическое для каждого из ядер

. Следовательно, в силу рассуждений, аналогичных рассужде-

ниям классической теории потенциалов имеют место следующие теоремы.

Теорема 12. Пусть - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью , прямой угол и выполняется следующее условие

то задача Ц для этой кривой разрешима при любых граничных данных Сї и,- е С Г , и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

и

Теорема 13. Пусть - - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью ;; — 3 прямой угол, то задача х однозначно разрешима при любых гра-

ничныхданных / („г,, і £ С I ) , и решение можно представить в виде

где