Решение краевых задач для $b$-полигармонического уравнения методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 51-63

Математика

УДК 517.953

Решение краевых задач для В-полигармонического уравнения методом потенциалов

Н. А. Ибрагимова

Аннотация. В работе рассматриваются основные краевые задачи для В-полигармонического уравнения. Они исследуются приведением к краевым задачам для В-эллиптической системы уравнений. Вводятся потенциалы простого и двойного слоев. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к системам интегральных уравнений Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

Ключевые слова: В-полигармоническое уравнение, В -

эллиптическая система уравнений, фундаментальная матрица решений, метод потенциалов.

Пусть Е+р — полупространство хр > 0 р-мерного евклидова пространства точек х = (х',хр), X = (хі,х2,... ,хр-1), Б — конечная область в Е+р, ограниченная открытой частью Го гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г, Бе = Е+р \ Б. Обозначим через С^Б) (С в (Г)) множество функций, 2т раз непрерывно дифференцируемых в Б (непрерывных на Г) и четных по хр (т.е. удовлетворяющих условию ди(х', 0) о)

дхр .

Рассмотрим в Е+р В-полигармоническое уравнение

рт(Дв )и = °, (Рт)

р-1 д2

где Рт(Ав) — полином т-й степени от Дв, Дв = Дх' + Вх, Дх> = V —2

і=і дх2

д2 к д

— лапласиан, ВХр = +-—— — оператор Бесселя, к > 0 — заданное

р ҐІ'Г‘2 /у» /-)/у»

іу иир иир ^ иир

постоянное.

1. Сведение уравнения (Рт) к В-эллиптической системе

уравнений

Уравнение (Рт) может быть записано в виде

(Дв + Ат_1)(Дв + Хт-2)•.. (Дв + А1)(Дв + Хо)и = 0, (!)

где А^ (у = 0, т — 1) — корни характеристического уравнения Рт(—А) = 0.

Предполагается, что корни А^ (у = 0,т — 1), характеристического

уравнения различные, положительные и вещественные числа.

Уравнение (1) также может быть записано в виде системы уравнений. Для этого сделаем замену

и(х) = и0(х), (Дв + А0)и0(х) = и1(х), (2)

(Дв + А1)и1(х) = и2 (х), •••, (Дв + Ат_2)ит_2(х) = ит_1(х). (3)

В результате получим систему уравнений

Ыв [и] = Дви + Qй = 0, (4)

где

/Ао -10 ... 0 0 \

Я =

ио

и =

0 0 0 • • • Ат_2 —1

\ 0 0 0 ... 0 Ат_1/ \ит_1;

Приведем матрицу Я к диагональному виду. Для этого найдем

собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

Ясно, что корнями характеристического уравнения \Я — ¡лЕ\ = 0 являются числа ^ = А^, і = 0, т — 1. Все эти корни являются собственными значениями матрицы Я.

Чтобы найти собственные векторы матрицы Я рассмотрим систему уравнений

((Ао — — 6 = 0

<

(Ат_2 1^)£,т_1 £,т = 0

ч (Ат_1 ^)Ст = 0.

Полагая в этой системе ^ = А^, у = 0,т — 1, находим собственные векторы матрицы Q, соответствующие собственным значениям А^, у =

= 0,т — 1. С помощью собственных векторов-столбцов образуем матрицу

(Со

0

Т = ...

0 0

Известно [1], что

Сі

Ао_Аі

С1

0

0

т _1ят =

___________Ст_ 1__________

(А0_Ат — і). . . (Ат_2_Ат —і)

___________Ст — 1_________

(А1—Ат —1)- • • (Ат — 2—Ат —1)

Ао

0

Ст — 1____

Ат—2 Ат—1

Ст

Ат_1/

(5)

(6)

2. Фундаментальная матрица В-эллиптической системы уравнений (4) и потенциалы простого, двойного слоев

Определение 1. Матрица К(х) называется фундаментальной матрицей решений системы (4) с особенностью в начале координат, если

ІЕ+

К(х)Мв[(£>(х)]хк йх = Ер(0)

<Ро(х)

для любой вектор-функции ^(х) = I • • • I, компоненты которой суть

V фт-1 (х) /

_ /11 ••• 1

гладкие функции с компактным носителем в Е+, где Е = I 0 1 • • • 1

V'0 'о ••• '1

Решение системы (4) ищем в виде

К (х) = У (г). (7)

Подставляя (7) в систему (4), получаем

^ + QY(т)=0. (8)

ат2 т ат

Займемся решением системы (8). Для этого в этой системе положим

У (т) = ТП(т). (9)

Подставляя (9) в систему (8) и умножая на матрицу Т-1 слева, с учетом (6) получаем

й2 0,(т) + р + к — 1 йО,(т) +

йт2

т йт

&(т) = 0,

0 Ат

или

й2ш3^ (т) р + к — 1 йш3^ (т)

йт2 т йт

+ Аі (т) = 0

(10)

0

где (т) элементы матрицы О-(т), в, у = 0,т — 1.

Известно [2], что общие решения уравнений (10) имеют вид

(т) = т_нР(уКз т) + вззТ_Н(2\^\3 т),

(11)

где нЦ:\л/\з т) (I = 1, 2) суть Ханкелевы функции, ^ и в] — произвольные постоянные, в, ] = 0,т — 1, V = (р + к — 2)/2.

Полагая в (11) = 0, имеем

(аоот_ н(1) (VАо т)

£}(т) =

0

ат_ 1 т_1т Н()( /~Хт_ 1 т) !

(12)

Подставляя (12) в (9) с учетом (5), получаем

У (т) =

аоог ”Н( ,(\/Ло г) ао1Г о ацг

о

а0т — 1г Ни а1т — 1г

Н(1)^^/Лт-1 г)

ат—1т — 1г *Н^(\/Хт-1 г),

(13)

где

/з_1 __________

5] ]^[ А — Аз), еслив = ], а.ц = 5], 5] = С](1ц, (в, у =0,т — 1)

/ 1=в

Докажем, что матрица (13) при определенных значениях произвольных постоянных а3] (в, у = 0,т — 1) является фундаментальной матрицей

решений системы (4) с особенностью в начале координат.

В самом деле, применяя вторую формулу Грина для оператора Ыв к матрице У(т) и вектор-функции р(х) в полушаровом слое Q+R = Q+ \ Q+£ и переходя к пределу при £ — 0 и К — Ж, с учетом финитности ^(х) в Е+р получаем

т+р

1Г( ) У (т)Ыв [р(х)]хк ах = 2

/ аооЛ- 1'/2ро(о)+^ • • +аот-1Лт—2рт-1(о) \

р—3

2_и_1п_ 2

ацЛ- 1'/2ф1(о)+^ • • +а1т-1Лгт-/^^т-1(о)

V

г — 1т — 1Лт — 1 ^гп — 1 (о)

/

Отсюда имеем, что если для всех в, ] = 0,т — 1

= А32 /({2и+1 п(р_3)/2Г((к + 1)/2)) ,

а

(14)

0

о

а

то У (г) есть фундаментальная матрица решений системы (4) и ее можно представить в виде

Y (r) =

(vrn(r) yoi(r) ... yom-i(r) \

0 Vll(r) ... yim-l(r)

V o

0

ym

-lm-l(r)J

где у^(г) = \)/2г-иг) /(12и+1п(р-3)/2Т((к + 1)/2)), в] = 0,т - 1.

Используя представление Ханкелевой функции в виде ряда, получаем, что элементы фундаментальной матрицы решений У (г) на нуле имеют такую же особенность, что и фундаментальное решение уравнения Ави = 0. Так что матрица У (г) суть фундаментальная матрица решений системы (4) с особенностью в начале координат. Чтобы получить фундаментальную матрицу решений с особенностью в произвольной точке х = Хо нужно применить к У (г) оператор обобщенного сдвига Т£°. Обозначим полученную матрицу через Z(х,х0):

Z(x, x0) =

/zoo(x,xo) 0

zol(x,xo)

Zll(x,xo)

z0m-l(x,x0) \

zlm-1 (xj x0)

(15)

V

0

0

zm- lm-1 (x,xo)J

Элементы матрицы (15) имеют вид

ГП

Zsj(x, xo) = TI0ysj(r) = Ckasj p-vPv) sin

Jo

pdp,

где Ck = r((k + 1)/2)/^/Лr(k/2), pv = (\x' — x'0\2+x2p+x2p0-2xpxp0 cos p)1/2, v = (p + k - 2)/2, asj = öj/üd (At — Aj)^c™ s = j, ajj = Sj -нормирующие постоянные, Sj = Cjdjj, s,j = 0,m — 1.

Обозначим через CB (E+p) множество четных по xp, бесконечно непрерывно дифференцируемых и финитных в E+p вектор-функций.

Определение 2. Матрица Z (x,x0) называется фундаментальной матрицей решений системы (4) с особенностью в точке xo Е E+, если она удовлетворяет условиям:

1) для любой вектор-функции p(x) = ( xj У p(x) Е C0fB(E+) такой,

V фm-1 ) / ’

что x0 Е supp p(x) имеет место равенство

)E+

Z(x, x0)NB[p(x)]xk dx = Ep(x0),

2) Z(х,Хо) является решением системы (4) во всех точках Е+, за исключением точки Хо Е Е+.

Лемма 1. В окрестности точки х = х0 нормальная производная матрицы (15) может быть представлена в виде

= ^(х,хо) + Z *(х,хо), (16)

где /¿(х,х0), Z*(х,х0) — верхние треугольные матрицы порядка т,

элементы которых имеют вид

*4 (х,хо) = ,Ск'ап ^ ^) ъ( 2, р) (хр,хр„ )-к/2рХ-Р ^ соэ(х( ,Рх,0 )сое(х1,п),

\f2-vn V2'2. ,= 1

р

г*п(х,хо) = 0(р-Хр-2')), Р2ХХ0 = ^(х1 — х1о)2, в,] = 0,т — 1-

1=1

Лемма доказывается по схеме, предложенной в [3] .

С помощью этой леммы легко можно доказать, что если нормирующие

постоянные а3з(в,] = 0,т — 1) имеют вид (14), то Z(х,хо) является

фундаментальной матрицей решений системы (4) с особенностью в точке хо.

Нетрудно проверить, что при фиксированном хо и г = |х| —^ элементы

фундаментальной матрицы решений (15) удовлетворяют следующим условиям

(х,хо) = О (г-(1-1)/2^ , дгзздг х°') — (х,хо) = О (г-(1+1)/2^ ,

________ г (17)

где 7 = р + к, в,] = 0,т — 1. Они называются условиями излучения.

Используя представление функции Ханкеля через ряды, по схеме предложенной в [3] легко доказать, что Z(х, х0) допускает при х — х0 оценку

Z(х,х0) = О (1х — х012-р) . (18)

С помощью фундаментальной матрицы решений Z(£,х) системы (4)

введем в рассмотрение следующие интегралы

V(х) = Г Z(£,х) ц(0$ ¿Г, (19)

Ш(х) = Г "(№¿Г, (20)

которые соответственно назовем потенциалами простого и двойного слоя для системы (4).

Очевидно, что потенциалы V (х) и Ш (х) являются регулярными решениями системы (4) в любой области, лежащей в полупространстве Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью

хр = 0.

Введем в рассмотрение аналог интеграла Гаусса

Wo(x) =

,;г дп

Лемма 2. Если Г — поверхность гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то /Г постоянная.

Лемма 3. Если Г — поверхность гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то

Е

Ляпунова и образует с Ск ¿Г < С, где С —

д2(£,х)

дп

Ляпунова и образует с

Wo(x) =

дг((,х) ,к

дп

о,

если х Е В, если х Е Г, если х Е Ве = Е+ \ В,

где Е

определена ранее, 0 — нулевая матрица.

Теорема 1. Пусть Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при V Е С в (Г) имеют место следующие предельные соотношения:

1

Шг(хо) ^ -ЕУо + W(хо),

1

We (хо) = - ^Е щ + W (хо)

где Ш^хо) и Ше(хо) означают предельные значения потенциала двойного слоя Ш(х) в точке х0 Е Г при х — х0 соответственно изнутри и извне границы Г, а Ш(х0) — прямое значение потенциала двойного слоя Ш(х) в точке х0 Е Г. Здесь точка х0 Е Г — фиксированная точка границы Г, ио = V (х0) — вектор-столбец.

Доказательство теоремы 1 следует из лемм 2 и 3.

Рассмотрим теперь потенциал простого слоя (19). Из оценки (18) следует, что фундаментальная матрица решений системы (4) с особенностью в точке хо имеет такую же особенность вида р2-р, что и фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциал (19) на границе Г ведет себя подобно гармоническому потенциалу простого слоя [4] , т.е имеют место следующие теоремы, в которых Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Теорема 2. Если плотность ц Е Св (Г), то потенциал простого слоя V(х) непрерывен в Е+.

Теорема 3. При ц Е Св (Г) имеют место предельные соотношения дV(хо)'

дп

хо

= 1Е,, + дУ (хо) = - 2Е ио +

х0

дУ (хо)

дп

х0

= 1Е и + ду (Хо)

х0

Є

где

дУ (хо) дПхп

дУ (хо) дПхп

— предельные значения нормальной производной

потенциала простого слоя в точке хо Є Г соответственно изнутри и извне границы Г, ду(хо) — прямое значение нормальной производной потенциала

дпхо

простого слоя, цо = и(хо) — вектор-столбец. Индекс у нормали означает что она проведена в точке хо.

Потенциалы (19), (20) соответственно имеют вид

( Ігіо1 *01 (е,х) н ткр ЛГ \

У (х) =

/гЕ^Ті1 *11 ((>х) Н (()(* ЛГ

, W (х) =

г *т-1т-1

(Є,Х) нш-іШк лг)

( І г 111x11 тїлг \ іг і1 81x1 і тлг

\1г—1т-^ "т-^МЫг/

поэтому из (17) следует, что они при Я — ж удовлетворяют условиям излучения

т—1 д„Л 2

/ , — - ЪЧЛ3 '^8 хк

1 Ь'+я

[ И2 хкр ЛБи = 0(1),

¿З+Я

I К\2 хк ЛБК = 0(1),

¿Я+п

ІЯ+

Е

3=8 т— 1

Е

3=8

хк ЛБи = о(1),

2

хк ЛБи = о(1),

где для всех в = 0, т—1

т— 1

V8 = У ^

3=8 “" 3=8

т— 1 ^ т— 1

т—1 р т—1

*83 (& х) из

ш

Е

ш

88

3=8

3

Е '3х1 ^з (()$лг.

Г 3 = 8

дп

и

3. Краевые задачи для уравнения (Рт)

Первая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рв) в области В, удовлетворяющую условиям

и(х) е СВт(в) п С2т-2(В), и\г = мо, дви\г = мо, ■,

Ав-1и\г = Фт-1(0, Уз (С) Е Св (Г), з = 0,т - I.

С помощью замены (3) получаем внутреннюю задачу Дирихле для В— эллиптической системы уравнений относительно векторной функции и(х).

Постановка внутренней задачи Дирихле для В—эллиптической системы уравнений (4). Найти векторную функцию и(х), являющуюся

решением системы (4) в области В, компоненты которой удовлетворяют условиям

и3 (х) Е С2в{т-Л(В) п С2в{т-Л-2(В), ио\Г = ¡о(С), Щ\Г = ¡1(0, ...,

ит-1\г = ¡в-1(С), ¡з (С) Е Св (Г), ¡о(С) = Уо (С), 11(С) = УЛС) + Аох ХУо(С), ... , ¡в-1(С) = <Рв-1(С) + Т1<Рв-2(С) + Т2<Рв-з(С) + ... + Тт-1<Ро(С),

в-2 в-2

Т1 = ^2 Аг, Т2 = ^ , ... ,Тв-1 = АоАь .. \rn-2, 3 = 0,т - 1.

г=0 г,д=0

г=з

Теорема 4. Внутренняя краевая задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Первая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рв) в области Ве, удовлетворяющую условиям

и(х) Е Свв(Ве) П СвТ-2(Ве), и\г = уо(С), Дви\г = У1(С), ... ,

ДВ-1и\г = Ув-ЛС), Уз (С) Е Св (Г), 3 = 0,т - 1,

и при Я — ж условиям излучения.

С помощью замены (3) получаем внешнюю задачу Дирихле для В — эллиптической системы уравнений относительно векторной функции и(х).

Постановка внешней задачи Дирихле для В—эллиптической системы уравнений (4). Найти векторную функцию и(х), являющуюся решением системы (4) в области Ве, компоненты которой удовлетворяют условиям

и3 (х) Е С2в{т-Л(Ве) п С2в{т-Л-2(Ве), ио\г = ¡о(С), и1\г = ¡1(С), ...,

ит-1\г = ¡m-1(С), ¡з (С) Е Св(Г), ¡0(С) = У0(С), ¡1(С) = У1(С) + А0 X хУо(С), ..., ¡в-1(С) = Ув-1(С) + Т1Ув-2(С) + Т2Ув-з(С) + ... + Тв-1У0(С),

в-2 в-2

Т1 = ^2 Аг, Т2 =^2 АгАз, . . . ,Тв-1 = А0А1. . . Ат-2, 3 = 0,т - 1,

г=0 г,з=0

г=з

и при Я — ж условиям излучения.

Теорема 5. Внешняя краевая задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Вторая внутренняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рв) в области В, удовлетворяющую условиям

__ ди

и(х) Є ЄІт(В) П С2вт—1(В), —

д Ав и = —

дА

т— 1

В

и

дп

= фт—1(С), фз(С) Є Св(Г), і = 0,т - 1.

С помощью замены (3) получаем внутреннюю задачу Неймана для В— эллиптической системы уравнений относительно векторной функции и(х).

Постановка внутренней задачи Неймана для В—эллиптической системы уравнений (4). Найти векторную функцию и(х), являющуюся решением системы (4) в области О, компоненты которой удовлетворяют

условиям

и

і(х) Є сВт—з)(О) П сВт—з)—1(О),

ди1

= 9о(С)- дп

= 91(0,

г

дит—1

дп

= 9т—1(0, 9з(0 Є св(Г), 9о(0 = Фо(0, 91(С) = ФЛО + ^ох

г

хфо(С), . . .,9т—1(0 = Фт—1(С) + Пфт—2 (О + Т2фт—з(0 + ■■■ + Тт—1фо(0,

т— т—

Т1 = ^2 Т2 =^2 ^3, • • • ,Тт—1 = АоАь . . Хт—2, І = 0,т - 1.

і=0

і,3=0

і=3

Теорема 6. Внутренняя краевая задача Неймана не может иметь более одного решения.

Вторая внешняя краевая задача. Найти функцию и(х), являющуюся решением уравнения (Рт) в области Ое, удовлетворяющую условиям

и(х) є свтт п свт—1т, ^

—„ ди дп

= фо(0,

г

д АВ и дп

= фl(0,

г

д Ат—1и дп

= фт—1(0,Фі (С) Є с В (Г), і = 0,т - 1,

и при Я ^ ж условиям излучения.

С помощью замены (3) получаем внешнюю задачу Неймана для В — эллиптической системы уравнений относительно векторной функции й(х).

Постановка внешней задачи Неймана для В—эллиптической системы уравнений (4). Найти векторную функцию й(х), являющуюся решением системы (4) в области Д=, компоненты которой удовлетворяют условиям

и

і (х) Є сВ{т—з)(Ое) П С2в{т—з)—1(Ое), дп

г

ди1

=9о(С)' дп

= 9l(С),

дит—1

дп

= 9т—1(0, 9з(С) Є СВ(Г), 9о(С) = фо(С), 91(С) = ф1(С) + ^ох

хфо(С), . . . ,9т—1 (С) = фт—1 (С) + Т1фт—2 (С) + Т2фт—з(С) + ... + Тт—1 фо(С),

т— 2 т— 2

Т1 = ^2 Аі, Т2 = ^2 ^і^і, . . . ,Тт—1 = АоАь . . Ат—2, І = 0,т - 1.

і=0 і,3=0

і=3

и при Я ^ ж условиям излучения.

Теорема 7. Внешняя краевая задача Неймана не может иметь более одного решения.

Из теорем 4-7 следует единственность первой внутренней и внешней, второй внутренней и внешней краевых задач, соответственно.

4. Системы интегральных уравнений задач Дирихле

и Неймана

Таким же способом, предложенным в работе [5], внутренняя и внешняя задачи Дирихле, внутренняя и внешняя задачи Неймана сводятся, соответственно, к следующим системам

ЕV(х) + 2 Г V(С)Ск¿Г = 2/(х), (21)

ЕV(х) - 2 Г д^пх V(С)Скр ¿Г = -2/(х), (22)

Еф) - 2 Г Ц(пх »(С)Ск¿Г = -29(х), (23)

Ец,(х) + 2 Г Ц(пх »(С)Ск¿Г = 29(х), (24)

где / (х) = ( ™ ) ), 9(х) = ( 9°{Х) ) ).

V їт — 1 )х) / V 9т —1 )х) /

Отметим следующие свойства систем (21)—(24):

1. Из формул (16), (18) следует, что эти системы являются системами интегральных уравнений со слабой особенностью.

о сг дЕ)£,х) д%)£,х)

2. Ядра-матрицы —и ^ ' получаются одно из другого перестановкой точек х и С. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что системы (21) и (24), (22) и (23) — попарно сопряженные системы интегральных уравнений. Следовательно, для них справедливы все теоремы Фредгольма.

Аналогично [5] легко доказать, что системы интегральных уравнений (21)—(24), соответствующие краевым задачам Дирихле и Неймана, разрешимы единственным образом при любых /(х),9(х) Є Св(Г). Из разрешимости интегральных систем следует, что разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим утверждениям, в которых Г — поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол.

Теорема 8. Внутренняя и внешняя задачи Дирихле разрешимы при любых граничных данных из Св(Г) и решение каждого можно представить в виде потенциала двойного слоя.

Теорема 9. Внутренняя и внешняя задачи Неймана разрешимы при любых граничных данных из Св (Г) и решение каждого можно представить в виде потенциала простого слоя.

Из последних утверждений следует, что решения первой и второй краевых задач (и внутренней и внешней) можно представить, соответственно, в виде

/т—1 я (t ) г т-1

z°Qn,x v(^^pdr u(x) = 2zoj&x)vj(^dr-

1 j=0 Jr j=0

Список литературы

1. Апатенок Р.Ф. Элементы линейной алгебры. Минск: Высш. школа, 1977. 256 с.

2. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1993. 260 с.

3. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Trans. Of the Amer. Math. Soc. 1948. V.63, №2. P.342-354.

4. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977. 432 с.

5. Ибрагимова Н.А., Мухлисов Ф.Г. Исследование краевых задач для одной В-эллиптической системы уравнений методом потенциалов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.3. С.31-41.

Ибрагимова Наиля Анасовна ([email protected]), аспирант, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

The solution of boundary value problems for B-polyharmonic equation by the method of potentials

N.A. Ibragimova

Abstract. In this paper we study basic boundary value problems for В-polyharmonic equation. We reduce these problems to the boundary value problems for the elliptic system of the equations. We introduce potentials of single and double layers. With the help of these potentials we reduce the boundary

value problems to the systems of the integral Fredholm equations of the second kind and prove their unique solvability.

Keywords: 5-polyharmonic equation, ^-elliptic system of the equations, fundamental matrix of solutions, method of potentials.

Ibragimova Nailya ([email protected]), postgraduate student, department of higher mathematics and mathematical modelling, Kazan (Volga Region) Federal University.

Поступила 13.04.2012