CC BY
23
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 155, кн. 4 Физико-математические науки
2013
УДК 517.95
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ
Р.М. Асхатов
Аннотация
Найдены фундаментальные решения сингулярного эллиптического уравнения, выраженные через гипергеометрические функции. С помощью фундаментальных решений построены потенциалы типа двойного и простого слоев. Основные краевые задачи для одного сингулярного эллиптического уравнения сведены к эквивалентным интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их разрешимость.
Ключевые слова: фундаментальные решения, потенциалы типа двойного и простого слоев, краевые задачи, интегральные уравнения Фредгольма, оператор обобщенного сдвига.
К числу первых работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям второго рода относится работа [1], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменяться условием ограниченности решения. Позднее А.В. Бицадзе [2] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
В работах [3, 4] построены явные формулы решений ряда задач для уравнения
д2и д2и ди
дх2 + У ду2 + ду
0, а < 1
для произвольных а в случае нормальной кривой. В [5] построена теория потенциала для указанного уравнения. Некоторые результаты для более общего сингулярного эллиптического уравнения были получены, например, в [6]. В настоящей работе построены и применены потенциалы типа двойного и простого слоев к исследованию краевых задач для одного сингулярного эллиптического уравнения.
Пусть E+ - полуплоскость у > 0 евклидовой плоскости E2, D - конечная область, симметричная относительно оси Ox и ограниченная кривой Г. Обозначим через D+ часть области D в E+, ограниченную отрезком Г(0) = [a, b] оси Ox и кривой Г+ ; D + = D+ U Г+ , D + = D + U Г(0), D+ = E+ \ D + .
Рассмотрим сингулярное эллиптическое уравнение
T(2)(u)
д2и 2 (д2и k ди
дх2 + \ду2 + у ду
0, 0 < k < 1, а > 0.
(1)
С помощью замены независимых переменных по формулам
С = x, П
1
у
1-k
а V 1 — k
5
6
Р.М. АСХАТОВ
уравнение (1) приводится к вырождающемуся эллиптическому уравнению первого рода
mд2п д2п
пт----1----
д£2 дщ2
0, m
2k
1 - к'
Известно [7], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в точке (Со, По) имеют вид
wi(C,п; Со, по) = ai(pi) к/2щ^2,,к, к;1 - о),
w2(c,n;Со,по) = a2(p2) к/2(1 - о)1 кF^ - 2>1 - 2,2 - к;1 - 0j>
где F(■) - гипергеометрическая функция, Ai, - некоторые постоянные,
р2 = (С - Со)2 + (1 - к)2(п1/1-к - пТ-к)2,
Pi
1 = (С - Со)2 + (1 - к)2(п1/1 к + п10/1 к) , о = р2 ■
р21
Известно также [7], что фундаментальные решения обладают следующими свойствами.
1. W1 и W2 могут быть представлены соответственно в виде
W1 = AMf^F^k, k ,k;1 - oj = В1Ф1 ln P + *1, где B1 - нормирующая константа,
ф1 = (р2Гк/2( it 4 О +:),
*1 = A1 (р2) к/2
2 T(k)f к2
(^ + у О + ■■■^ lnP1+
Г2(к/2) V 4
Г(к) ^Г2(к/2 +1)
+
Е:
Г4(к/2) = (l!)2
2Г/(1 + l) Г'(к/2 + l)
Г(1 + l) Г(к/2 + l)
W2
A*M) к/2(1 - о)1-кf(2 - 2, 1 - 2, 2 - к; 1 - oj = В2Ф2 ln 1 + *2,
где В2 - нормирующая константа,
Ф2 = (р2)-к/2(1 - о)1-М 1 + ^Ц^ о +
*2 = A^(p2) к/2(1 - о)1-к
2 Г(2 - к) Г, (2 - к)2
V 7 ' 1 + -------о + ■■■ 1 lnр1 +
Г2(1 - к/2)
+ Г(2 - к) ^ Г2(1 - к/2 + l)
Г4(1 - к/2)
1=о
(l!)2
2Г/(1 + l) 2Г/(1 - к/2 + l)
_ Г(1 + l) Г(1 - к/2 + l)_
о
и
о
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...
7
Очевидно, что ф и Ф2 - непрерывные функции. Они сами и их первые частные производные интегрируемы по любой конечной кривой, расположенной в верхней полуплоскости;
2. wi и W2 удовлетворяют соответственно предельным соотношениям
dwi
iim —— =0, и iim w2 = 0.
п^о дп п^о
Возвращаясь к переменным х, у от переменных £, п, получаем для уравнения (1) фундаментальные решения с особенностью в точке (хо ,уо) вида
где
wx = В1Ф1 In —+ Фх, r
Ф1 = (rl) [ 1 + Y т + ■
9ч-к/2 Л , к2
(2)
Ф1
^i(r2)
к/2
2 Г(к) Г2(к/2)
к2
1 + т
т + ■ ■ ■
In ri +
Г(к) ^ Г2(к/2 + l)
+ Г4(к/2) 1=0 Щ2
2Г (1 + l) 2Г^ (к/2 + l) Г(1 + l) Г(к/2 + l)
и
где
w2
В2Ф2 1n- + Ф2, r
Ф2
(r2) к/2(1 - т)1-к
1+
(2 - к)2 4
т + ■ ■ ■
(3)
Ф2
^2(r2)
к/2(1 - т)1-к
2 Г(2 - к) Г2(1 - к/2)
1+
(2 - к)2 4
т + ■ ■ ■
1n r1 +
+
Г(2 - к) ^ Г2(1 - к/2 + l)
Г4(1 - к/2) 1=0 Щ2
2Г/(1 + l) 2Г/(1 - к/2 + l) Г(1 + l) Г(1 - к/2 + l)
r2 = (х - хо)2 + о?/(к 1)(у - уо)2,
r2
r2 = (х - хо)2 + а2/(к-1)(у + уо)2, т = —.
r2
Функции w1 и w2, заданные с помощью (2) и (3), являются фундаментальными решениями уравнения (1), так как они имеют логарифмическую особенность. Кроме того, они удовлетворяют предельным соотношениям
dw
1im ук—.— = 0, 1im w2 = 0.
у^о ду у^о
Определение 1. Регулярное решение и уравнения (1) в области D+ называется т!2) -гармонической функцией в этой области.
8
Р.М. АСХАТОВ
Множество всех Та -гармонических в D+ и непрерывных в D функций обозначим через Та2 (D +).
Пусть u, v е C(2) (D+) р C(i)(D +). Тогда
та<Ыyk dx dy + JJ (^dL + „2dyt) y ,b ,iy = j „Tun y dr, (4)
D+ ' ' Г+
D+
vTa2')(u) - uTa2')(v)j yk dx dy = J (v^d— - ud— ) yk dT,
V / r+
du* du 2 du
— = cos(x, v) — + a cos(y, v) — ,
(5)
(6)
где v - единичный вектор внешней нормали к dD+ в точке P(x,y).
Формулы (4) и (5) представляют собой соответственно первую и вторую формулы Грина для оператора Та2.
Пусть Mo е D+. Рассмотрим окружность Cm0e с центром в точке Mo и радиусом £ такую, что См0е С D+. Обозначим De = D+ \ Км0е, где Км0е - круг
с центром в точке Mo и радиусом £.
(2)
Применим вторую формулу Грина для оператора Та ' к функциям wi и
(2)
u G Та ' в области De:
JJ (wl(r)Tа22 (u) - u^22 (wi(r))^ yk dx dy
DE
f f du * dw* \ k If du * dw* \ k
J [wi(r)d— - ud!) y dr+ J [wi(r)d— - ud1) y dCM'■ (7)
Г+ Cm0e
Так как Т^"2^) =0 в D+, Т(22(wi(r)) =0 в De, равенство (7) принимает вид du* dwi
г+
wi(r) д—- “т— Iyk dr+
du* dw*
+ I (wi(r)д—- udt *ykdCMo£
Г +
du* dw* \ k
wi(r)д— - ud,-1y dr+
+
°Mn
1 du* d(B^i ln (1/r))*
В1_Фi ln — --u
rdn
.du*
dn
y dCM0E +
Cmo
dm
+ /(** yk dCM0E = Ii + 12 + Is = °. (8)
Ясно, что Is ^ 0 при £ ^ 0. Интеграл I2 представим в виде
I2 = Bi j (*i ln 1 d—)vk dCMo e-
d'nWr) j yk dCM0E - Bi J fuln 1 d*j yk dCME (9)
C Mq £
- Bi
Cmo
uФ1
d—
Cmo
Cm0£
£
£
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...
9
Согласно формуле о среднем значении с учетом того, что и на окружности r = £, получим
ди
дп
< M при £ ^ 0
lim - B1(u^1yk) 2п£ = 21 knB1u(M0)ak/(1 k).
Находим нормирующую константу:
B1 =
1
21 к nak/(1 k)
(2)
Из (8) и (9) получаем интегральное представление Та ) -гармонической функции u(x,y):
Г / ЯЛ.* ял..*\
(10)
f ( ди* dwl \ к
‘(Mo) = J (вдМд- -и~дп) y dr
г+
Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид
w1 =
- Ф1 ln - + Ф1.
21 knak/(1 k) r
Теорема 1. Если u(x,y) G тОа2 ^D +) ’ то функция и принимает наибольшее и наименьшее значения на границе области.
Доказательство. Обозначим через M наибольшее значение функции u в D +, а через N наибольшее значение функции u на границе области.
Предположим, что M > N, функция достигает наибольшего значения во внутренней точке Mo(xo,yo) области D+.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
* = u + ^-2N ТХ0уУ0 (x2 + y2),
где l - наибольшее расстояние между двумя точками границы области D+, T'x°yу° (•) - оператор обобщенного сдвига [8].
Ясно, что v(Mo) = M. Оценим значение v на границе:
v < N +
M - N 4
M + 3N
4
<
M + 3M
4
M.
Значит, v принимает наибольшее значение во внутренней точке D+ .
Пусть M1(x1, y1) - та точка области D+ , где v принимает наибольшее значение. Тогда
т(2). . д2н 2(д2u k du\
n iu)M- = дЕ + а\Ц? + yuy)M< 0
y fyy M\
С другой стороны, подставляя v в уравнение (1), получаем
T02)(u)Mi
д2н 2(д2u k д'ы\ о
дx2 + a ^y2 + y д-y) m1 >
Полученное противоречие доказывает, что функция u не может достигать наибольшего значения во внутренних точках области D+ . Поэтому по теореме Вейер-штрасса она достигает наибольшего значения на границе. Предложение о наименьшем значении доказывается аналогично. □
10
Р.М. АСХАТОВ
Рассмотрим следующие краевые задачи.
Внутренняя задача Дирихле (D(0)). Требуется найти функцию u(x,y), TO"2 -гармоническую в области D+ , непрерывную в D + и удовлетворяющую граничным условиям
ulr+ = v(P), Р е г+,
u|r(0) = 0,
где р(Р) - непрерывная функция.
Внешняя задача Дирихле (Di°2). Требуется найти функцию u(x,y), Т(2-гармоническую в области D+, непрерывную в De , равную нулю на бесконечности и удовлетворяющую граничным условиям
u|r+ = ¥(Р), Р е г+,
u|r(0) = 0, г e
где р(Р) - непрерывная функция.
Внутренняя задача типа Неймана (Ki). Требуется найти функцию u(x,y), Т(22 -гармоническую в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в D +, непрерывную в D + и удовлетворяющую граничным условиям
du
дп
г+
f (Р),
Р е г+,
u|r(0) = 0j
где f (Р) - непрерывная функция.
(2)
Внешняя задача типа Неймана (Ke). Требуется найти функцию u(x,y), Та -гармоническую в области D+, один раз непрерывно дифференцируемую в D +, непрерывную в De и удовлетворяющую граничным условиям
du
дп
г+
f (Р),
Р е г+,
u|r(0) = 0,
г e
где f (Р) - непрерывная функция.
Имеют место следующие теоремы единственности.
Теорема 2. Внутренняя задача Дирихле D(0) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть ui и u2 - два предполагаемых решения задачи Дирихле. Тогда их разность u = ui — u будет Т(22 -гармонической в области D+, непрерывной в D + и удовлетворяющей граничным условиям
u|r+ = 0, u|r(0) = 0.
В силу теоремы Вейерштрасса функция достигает наибольшего и наименьшего значений в D +. Но согласно принципу максимума эти значения не могут достигаться во внутренних точках области D+ . Следовательно,
u = 0, ui = u".
□
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...
11
Теорема 3. Внешняя задача Дирихле D решения.
(0)
e
не может иметь более одного
Доказательство теоремы проводится аналогично схеме, предложенной при доказательстве соответствующей теоремы, например, в [9].
Теорема 4. Внутренняя задача типа Неймана Ki не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть п\ и и - два предполагаемых решения задачи типа Неймана. Тогда их разность u = u\ — и будет ТО2'1 -гармонической в области D+ , один раз непрерывно дифференцируемой в D + и удовлетворяющей граничным
(2)
условиям задачи Ki. Согласно первой формуле Грина при v = и, Т& =0 полу-
чаем
D+
ди
дХ) +а (ду
ди
у2 dx dy = 0.
2
2
Отсюда находим
ди ди
дх , ду
Согласно граничным условиям задачи имеем
и = 0.
C = 0 =ф и = 0.
□
Теорема 5. Внешняя задача типа Неймана Ke не может иметь более одного решения.
Доказательство теоремы проводится аналогично схеме, предложенной при доказательстве соответствующей теоремы, например, в [9].
Координаты переменной точки на кривой Г+ будем обозначать через P = = P(£1, £2). Считаем, что Г является кривой Ляпунова.
С помощью фундаментального решения wi строим потенциалы типа двойного и простого слоев. Они имеют соответственно вид
W(M) = j a(P) $ drp = 0,
г+
V(M) = J ДР) w1 drP = 0,
r+
где a(P) и ц(Р) - плотности этих потенциалов.
Потенциалы можно представить соответственно в виде
W(M) = J a(P)
д (В1Ф1 ln(1/r) + Ф1) drp
дп
r+
= B1J a(P)Ф1 д1ПдПп/Г) £2 drp + R*1,
r+
где
f 1 дФ-i , f д^1 i
Rt = B1 a(P) ln - —1 £2 dFp + a(P) —1 £k dYp
J r дп J дп
r+
r+
12
Р.М. АСХАТОВ
есть непрерывная функция и
V(M) = Bi J p(P)Ф1 ln 1 «J dTp + R**,
г+
где
R1* = J р(P)*i «J drp
г+
есть непрерывно дифференцируемая функция.
Рассмотрим потенциал типа двойного слоя, плотность которого равна единице,
w (0)(m ) = у дп «j dTp.
г+
Теорема 6. Если Г - кривая Ляпунова, то значения интеграла типа Гаусса для фундаментального решения wi уравнения (1) определяются по формуле
(-1, M е D+,
W(0)(M) = [о, м е D+,
[-1/2, м е Г+.
Доказательство. Пусть M е D+. Полагая и = 1 в формуле интегрального представления (10), получаем
! dn « drp=-1.
г+
Пусть Me D +. Полагая и =1 во второй формуле Грина (5), имеем
! % <* drp = 0.
г+
Пусть M е Г+. Опишем вокруг точки M круг Кме. Обозначим через D* =
= D+U Кые , D'e = D+ \ Кие , К*Ме = D+П Кме , КМе = Кме \ К*Ме , Ге =
= Г+ \ Кме . Тогда
/ int «2 dTp = 0,
dW1 Fk dГ = 1
~0П«2 ^p = -1.
(11)
(12)
Складывая (11) и (12), получаем 2
2 f dl «J d^ + Je = -1,
(13)
где
Je
£ « dTp -f <ГР.
K’
Kt
Г^К*М s
r^KMs
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...
13
Заметим, что Je ^ 0 при е ^ 0 .С учетом этого замечания (13) принимает вид
r-Sn й-г.
Г+
1
2'
Потенциалы типа двойного и простого слоев на границе ведут себя так же, как и их аналоги для уравнения Лапласа.
□
Теорема 7. Если Г - кривая Ляпунова и a(P) - непрерывная функция на Г+, то для потенциала типа двойного слоя справедливы следующие предельные соотношения
Wi(Po) _ —^р^рWP), we(Po) = ^рд+ WP0), (14)
где через Wi(Po) и We(Po) обозначены соответствующие предельные значения потенциала типа двойного слоя в точке Po € Г+, когда P ^ Po изнутри и извне Г+, а через W(Po) - прямое значение потенциала типа двойного слоя.
Теорема 8. Пусть Г - кривая Ляпунова и fi(P) - непрерывная функция на Г+ . Потенциал типа простого слоя имеет нормальную производную как изнутри, так и извне Г+ . Тогда предельные значения нормальной производной потенциала типа простого слоя выгра,жаются с помощью формул
dVi(Po) _ |(Po) + dV(Po) dVe(Po) _ |(Po) + dV(P0)
dn 2 dn ^ dn 2 dn
(15)
, dVi(Po) dVe(Po)
где —----- и —------- - соответствующие предельные значения потенциала
dn дп
типа простого слоя в точке Po € Г+, когда P ^ Po изнутри и извне
Г+,
dV (Po)
—------ - прямое значение потенциала типа простого слоя.
dn
Доказательство этих теорем проводится по схеме, предложенной при доказательстве соответствующих теорем, например, в [9].
Решение уравнения (1), зависящее от r = \Jx2 + a2/(k-1')y2, имеет вид
v _ C\r-k + C2,
где Ci, C2 - произвольные постоянные. Пусть Ci _ A\, C2 _ 0. Тогда v _ Air-k является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в начале координат.
Введем в рассмотрение функцию
Mx,0_ АЩЩx2 (r-k)'
Ясно, что эта функция является регулярным решением уравнения (1) в E+ . Имеют место также следующие предельные соотношения:
lim
y^o
d(wi - фф) dnp
0, lim (w1 — ф1) _ 0'
y^o
Решение задачи (D(o))
ищем в виде потенциала двойного слоя
u(M)
a(P)
d(wi — Ф1)
& -Гр '
r+
dn
14
Р.М. АСХАТОВ
Неизвестную плотность а найдем из требования, чтобы эта функция удовлетворяла граничному условию м|г+ = р(Р). С этой целью подставим ее в указанное граничное условие. В результате имеем
lim
M ^Ро
а(Ро)
2
+
г+
а(Р)
d(wi - -0i) dnp
$ dr p
V>(Po).
Отсюда получим эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для неизвестной функции а
а(Ро) - 2 I а(Р) dWld-p$ drp = -2р(Ро), Ро £ Г+.
г+
Используя формулы (14) и (15) для предельных значений, а также граничные условия основных краевых задач, получим эквивалентные интегральные уравнения для трех остальных задач. Для удобства выпишем все интегральные уравнения вместе:
(Д|0)) : а(Ро) - 2 J а(Р) ^ $ drp = -2р(Ро), (16)
г+
(D^) : а(Ро) + 2 J а(Р) Ф1) $ drp = 2р(Ро), (17)
г+
(Ki) : р(Ро) + 2 J а(Р) д(^- ^ £ drp = 2f (Ро), (18)
г+ 0
(Ke) : р(Ро) - 2 J а(Р) д(^- ^ £ drp = -2f (Ро). (19)
г+ 0
В уравнениях (16)—(19) точка Ро принадлежит границе Г+.
Уравнения (16)—(19) - интегральные уравнения со слабой особенностью, причем уравнения (16), (19) и (17), (18) являются попарно сопряженными. Для этих интегральных уравнений, как и в случае уравнения Лапласа, справедливы теоремы Фредгольма.
Исследование первой и второй пары сопряженных уравнений проводится по схеме, предложенной, например, в [9].
Summary
R.M. Askhatov. The Solution of the Basic Boundary Value Problems for a Singular Elliptic Equation by the Method of Potentials.
We have found fundamental solutions to a singular elliptic equation, expressed via hypergeometric functions. Using these fundamental solutions, we have built the simple and double layer potentials. We have reduced the basic boundary value problems for a singular elliptic equation to the equivalent Fredholm integral equations of the second kind and proved their solvability.
Keywords: fundamental solutions, simple and double layer potentials, boundary value problems, Fredholm integral equations, generalized shift operator.
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ...
15
Литература
1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2. - С. 181-183.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. - М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.
3. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сборник. - 1956. - Т. 38, № 3. - С. 261-282.
4. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. матем. журн. - 1965. - Т. 6, № 5. - С. 1120-1143.
5. Хайруллин Р.С. Теория потенциала для модельного уравнения второго рода // Изв. вузов. Матем. - 1992. - № 3. - С. 64-73.
6. Асхатов Р.М. Принцип экстремума и задача Дирихле для одного сингулярного эллиптического уравнения. - Казань, 1999. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.11.99, № 3289-В99.
7. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. - 292 с.
8. Мухлисов Ф.Г. Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-матем. наук. - Казань, 1993. - 324 с.
9. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 576 с.
Поступила в редакцию 15.10.13
Асхатов Радик Мухаметгалеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Radik.Ashatov@kpfu.ru
