CC BY
61
УДК 517.956.6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ МЕТОДОМ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Р. М. Сафина
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет,
420021, г. Казань, ул. Татарстан, 2.
E-mail: rimmaT7T05amail.ru
Доказывается существование и единственность решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с оператором Бесселя
д ( kди\ . д2и
с д ( kди\ . д2и
x ' ТТ x я" + S1gn У ТП = 0
дх \ дх ) ду2
в области Б, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, осью Оу и характеристиками ОС : х + у = 0 и ВС : х — у = 1, методом линейных интегральных уравнений.
Ключевые слова: уравнения смешанного типа, задача Трикоми, В-эллиптические уравнения, В-гиперболические уравнения, задача N, задача Коши.
Постановка задачи Трикоми и единственность её решения. Рассмотрим уравнение смешанного типа
д2и
'ду2
Eb (u) = Bxu + signydy2 = 0, (1)
где Вх = х к-дх {%кщ) —оператор Бесселя, 0 < к < 2 — постоянная.
При у > 0 уравнение (1) является В-эллиптическим, а при у < 0 — В-ги-перболическим; у = 0 — В-параболическая линия. Уравнение (1) при у < 0 имеет два различных семейства вещественных характеристик, которые определяются уравнениями х — у = С\, х + у = С2.
Пусть Г — спрямляемая жорданова кривая с концами в точках А(0,1) и В(1, 0), лежащая в первой четверти Е++ координатной плоскости. Обозначим через В область, ограниченную кривой Г, осью Оу и характеристиками ОС: х + у = 0 и ВС: х — у = 1.
Части области В, в которых у > 0 и у < 0, обозначим соответственно через В+ и В-. Поскольку уравнение (1) В-эллиптично в В+ и В-гиперболично в В-, то их будем называть соответственно В-эллиптической и В-гиперболи-ческой частями области В, а эту последнюю — смешанной областью.
Задача Трикоми. Найти чётную по х функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:
и(х, у) € С (В) П С *(В и О А и ОВ) П С 2(В+ и В-); (2)
Ев (и) = 0, (х, у) € (В+ и В-); (3)
Сафина Римма Марселевна — ассистент кафедры экономической информатики и математики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета; аспирантка.
U
OC
u г = (x,y) £ г; (4)
= u(x,y) = u(x, —x) = 0, 0 ^ x ^ 1, (5)
y=-x 2
где p — заданная достаточно гладкая чётная по x функция.
Из условия (2) следует, что
lim u (x, y) = lim u (x, y) , 0 ^ x ^ 1; (6)
y *0— y—0+
lim uy (x,y) = lim uy (x,y), 0 ^ x< 1. (7)
y—0— y—>0+
Условия (6) и (7) называются условиями склеивания, или сопряжения. Теорема 1. Задача Трикоми не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть u(x,y) и u2(x,y) —два предполагаемых решения задачи Трикоми. Тогда их разность u(x,y) = u(x,y) — u2(x,y) чётна по x, удовлетворяет уравнениям
Пвшs x-kdx (xkdx)— =0- (*.y) £ D-; (8)
"x-kdx (xkdx)+дУ2=0. <x.y)£ D+. (9)
условиям (2), (3), (6) и (7) задачи Трикоми и однородным граничным усло-
виям:
ш =0; (10)
ш
Положим
OC
= u(x,y) = u(x, —x) = 0. (11)
y=-x
ш(х, 0 — 0) = ш(х, 0 + 0)= ^(х); (12)
шу(х, 0 — 0) = шу(х, 0 + 0) = V(х). (13)
Из условия (2) задачи Трикоми следует, что
^(х) € С1 ([0,1]), V(х) € С([0,1)).
Предположим, что эти функции также удовлетворяют условию ^(х) = 0, V(х) = 0 при х > 1.
Сначала докажем, что
/ ^(х^(х)хй^х ^ 0. (14)
Рассмотрим функцию ш в области В+. Она в этой области является В-гар-монической функцией; в силу известного принципа экстремума для В-гармо-нических функций функция ш достигает наибольшего и наименьшего значений на границе Г и [0, В] области В+. Так как ш|г = 0, то при ш = 0
эти значения могут достигаться только во внутренних точках отрезка [0, В]. Причём наибольшее значение должно быть положительным, а наименьшее значение — отрицательным, поэтому ^(0) = ^(1) = 0. Также известно, что функция ш(х,у) не имеет локальных экстремумов во внутренних точках области В+. Пусть в точке х1 € (0, В) функция ш достигает наибольшего положительного значения. Тогда существует интервал («1,^1), содержащий точку х1, где ^(х) > 0 и V(х) ^ 0, так как когда точка (х, у) € В+ стремится к точке (х1, 0), функция ш(х,у), возрастая, стремится к ^(х). Поэтому в этих точках
^(х^(х) ^ 0. (15)
Если в точке х2 € (0, В) функция ш(х,у) достигает наименьшего отрицательного значения, то существует интервал (а, в2), где
^(х^(х) ^ 0. (16)
В точках хз, где ^(хз) = 0, выполняется
^(жз)^ (хз) = 0.
(17)
Из (15), (16) и (17) следует требуемое (14).
Теперь докажем, что ш = 0 в В.
Непосредственным вычислением можно проверить, что имеет место тождество
xkшАвw = J- (xkwd— ^ + тг ( xk) —
d_
dx J dy
dx) + V dy J
Так как А в w = 0 в D+, то
d ( k dw\ д ( k dw\
s—(x "в—) + s-Vx"s-J —
2 /0ш\
V dx J +\ dyj
xk 0.
(18)
к
x
2
= 0 получаем
Интегрируя это тождество по области D+, с учётом и
1
JJ (и>2 + и>2) xkdxdy + J и(ж, 0)uy(ж, 0)жкdx = 0. (19)
D+ 0
Отсюда и из (14) легко заключаем, что их =0 и иу = 0. Таким образом, и = C = const. Так как и|г = 0, то C = 0 и и = 0 в D+. Отсюда также имеем, что
и(ж, 0) = 0, uy(ж, 0) = 0. (20)
Теорема единственности будет доказана, если мы установим, что и = 0 в D-. Возьмём в D- произвольную точку Мо(жо,Уо). Через эту точку проведём характеристические линии Мо Во : ж — у = жо — Уо и МоАо : ж + у = жо + Уо до их пересечения с осью абсцисс. Обозначим через Dо область, ограниченную характеристическими линиями МоВо, МоАо и отрезком оси абсцисс.
Нетрудно проверить, что имеет место тождество
xk wy □b w =
1
2 dy\
&Л
dyj
+
dw
dx
2 і
d_
dx
,dw dw dy dx
Проинтегрируем это тождество по области ^о. Интеграл от левой части равен нулю, так как и является решением уравнения (8).
Пользуясь формулой Остроградского, с учётом (20) получаем
MqBq UMqAq
dw
2
і (—^
dy ) + V dx )
dw dw
cos (v, y) — 2 ———— cos (v, x) !>xkdS = 0. dy dx
Умножая обе части последнего равенства на постоянную = cos(v, у) и внося её под знак интеграла, получаем
MqBqUMqAq
dw dw
— cos(v, y) — — cos(v, x) dy dx
2
xk dS = 0.
Отсюда следует, что на линии Mo Bo выполняется условие
dw dw
—— cos(v, y) — —— cos(v, x) = 0 dy dx
и, следовательно, —= —г^т на линии Mo Bo. Это равенство означает,
cos cos( )
что на линии MoBo вектор grad w коллинеарен нормали v и, следовательно, ортогонален линии Mo Bo. Поэтому = Прг grad w = 0, где l = .
Отсюда следует, что w = const вдоль линии Mo Bo. В частности, значение w в точке Mo(xo,yo) совпадет со значением w в точке Bo. В этой точке в силу (20) w = 0. Поэтому w(xo,yo) = 0 и, так как точка Mo(xo,yo) была взята произвольно в D-, w = 0 в D-.
Таким образом, w = 0 в D и, следовательно, ui(x,y) = U2(x,y). Теорема доказана. □
Функциональные соотношения между д(ж) и v(ж). Задачу Трикоми будем решать методом интегральных уравнений. Нам потребуются соотношения между ^(x) и v(x) из обеих подобластей D- и D+. Для вывода этих соотношений рассмотрим вспомогательные задачи.
В B-гиперболической подобласти используем решение задачи Коши. Задача Коши. Найти чётную по x функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям:
u(x, y) Є C(D-) П Ci(D- U OC) n C2(D-); □bu(x,y) = 0, (x,y) Є D-;
u
= u
ob
Uy
ob
Uy
y=0
y=0
(21)
(22)
k
x
Известно [1], что задача Коши (21)—(23) имеет единственное решение и это решение может быть представлено в виде
( /*1 Г
и(ж,у)= Ак| J0 ^(¿) Т? J0 (¿С)С
¿к
г 1 Г /*Ж
+ V (і) ТІ 8Іп(Су)> (іС)С
Jо Jо
^^к-Ч
¿к (24)
где Ак = 1/2к-1 Г2(■к-21), ^(¿) = 2^Г(^ + 1)7^(¿)/^, ^(¿) —функция Бесселя, V = (к — 1)/2, Тх —оператор обобщённого сдвига.
Полагая здесь у = —ж, согласно условию (5) имеем
/*1 /*Ж
0 = ^(і) Ті С°з(Сж)>(іС)Ск¿С
.70 .7 0
/* 1 /*Ж
- V (і) ТХ (^С)С к-1
00
¿С
¿к
Это равенство запишем в виде
Г1 д
0 = уо ^ ТХ— у0 к—1 (^)ск-1 ^
- /1 V (¿)[тх [ 00
¿к гіі—
І? йіп(Сх)і к—1 (^ )С ^
/о 2
Вычислим значение внутренного интеграла
ГЖ
8Іп(Сж)І к—1 (¿С)С к-1^С-Уо 2
¿к (25)
(26)
Известно [2], что
/ пСх V
Яіп(Сх)^— ) 3 2 (Сх)
(27)
Заменяя в (26) jк—і (¿С) на его вышеуказанное значение и 8Іп(Сж) на зна-
чение из (27), получаем
,— к —2 /к + 1 \ 1 1 — к
I = УЛ2—П— у
\ 1 1—к /■Ж % ^ к
)х2 і 2 Jо 7і (жС)3 к—. (Сі) С2 ¿С-
(28)
Известно [3], что
31 (жС)3к—1 (Сі) С2 ¿С =
1
2
оо
где
(ж2 — ¿21
к
' 2 ______
0,
при 0 < ж < ¿,
(ж2 — ¿2) 2 , при 0 < £ < ж.
Отсюда и из (28) следует, что
^П2к-1Г (ВД . 2 2,-к
-----------(ж2 - ¿2) , 2
(29)
(30)
Заменяя внутренние интегралы в (25) на их значения из (30), получаем
0= /1
о
д , 2 — ‘
2\ --
2\ 2
(ж2 — *2)- 2
(31)
В силу (29) это равенство может быть записано в виде
0 = / М*)Т
А
дж
(ж2 — ¿21
(ж2 — ¿2)
или
(ж2 - ¿2)
к+2 ' 2
ж
(ж2 - ¿2)
(32)
Формула (32) даёт второе функциональное уравнение между ^(ж) и V(ж) которое определяется из того условия, что решение и(ж, у) уравнения (1) в области ^- должно принимать нулевое значение на характеристике ОС.
В В-эллиптической подобласти рассмотрим задачу N.
Задача N. Найти чётную по ж функцию и(ж,у), удовлетворяющую условиям: ___
и(ж, у) € С(£+) П С 1(^+ и ОВ и ОА) П С2Р+);
ДБи(ж,у) = 0, (ж, у) € ;
= (С,п) € г;
и
ди
ду
у=0
= V(ж), 0 < ж < 1.
(33)
(34)
(35)
(36)
Нетрудно доказать, что задача N (33)—(36) имеет единственное решение и оно может быть представлено в виде
и(ж,у) = — [ V(*) [ е(г, 0; £,п)^^(£,П; ж,у)£к^Г — е(£, 0; ж, у) ^£—
7о 7г дпр
— / ^) 9^С(£,п; ж,у)Ск^Г, (37)
где С(£, п; ж, у) — функция Грина.
34
1
о
о
о
X
о
Полагая здесь у = 0 и принимая во внимание (12), получаем -1 г д
/0 JГ дпР
где
^(ж) = — [ V(¿)^1 (£, ж)^^ — [ р({, п)т;— С({, п; ж,0)£й¿Г, (38)
Уо Уг дпр
Г д
^(¿, ж) = е(£, 0; £,п)о— С({,п; ж, 0)^^Г — е(£, 0; ж, 0). (39)
Уг дпр
Формула (38) даёт первое функциональное уравнение между ^(ж) и V(ж), которое определяется из того условия, что решение и(ж, у) уравнения (1) в области при у = 0 должно принимать значение ^(ж).
Существование решения задачи Трикоми.
Сведение задачи Трикоми к интегральному уравнению. Вопрос о существовании решения задачи Трикоми (2)—(7) эквивалентен вопросу о разрешимости уравнений (38) и (32) относительно ^(¿) и V(£).
В силу (14) равенство (32) имеет место только при условии
к + 2
„2 +2\----+-
(ж2 — ¿2)
+ V (¿)1?
(ж2 — ¿2)
2\ - -
0
■ к + 2 '
^ Н-І Ьн (ж2 — г2) 2 ж
тх -) 2 *+о 1 2 (ж
при 0 < г < ж и 0 <ж< 1, откуда
V (г) = К1(ж, ¿)^(і),
где
Кі(і, ж) = — к-
Заменяя в (38) функцию V(г) на её значение из (40), получаем
^(ж) = к / ^(¿)К(г, ж)^ + ^(ж),
0
К(г, ж) = К2(г, ж)^1 (г, ж),
^ (ж) = — Г р(е, п) дП- £(£, п; ж, о)ек ^г,
(40)
(41)
где
(42)
(43)
(44)
К2(£, ж) = К^ж)^.
Исследование интегрального уравнения (42). Сначала исследуем ядро
К(£, ж) = К2(£, ж)^1 (£, ж).
Из (39) видно, что функция ^(¿, ж) при £ = ж имеет интегрируемую особенность. Рассмотрим функцию
К2(г, ж) = —к-
жтх к+2 ~ (ж2 — *2) э
п^х -) 2 *+о 1 2 (ж
ж
^ ч ___к , ч _к + 2
Так как при 0 < t < x (x2 — t2) 2 > 0 и (ж2 — t2) 2 > 0, то в силу свой-
^ ч__к / ч__к+2
ства положительности оператора Tf Tf (x2 — t2) 2 > 0 и Tf (x2 — t2) 2 > 0.
Поэтому функцию K2 (t, x) можно записать в виде
і 1 _ k + 2
, 4 tkxTx |x2 —12| 2
K2 (t, x) = — k---------!--------Ц—,
Ttx |x2 — t2|-2
или
k-2 [п ,_k±2 k_1
xt 2 |t — 2x cos p| 2 sink 1 pdp
K2(t, x) = — k-
Ю
_k -k k-1 t 2 / |t — 2x cos p| 2 sink 1 pdp
откуда при t = x:
rn
x -1 / |1 — 2cos p|- 2 sink -1 pdp
K2 (x,x) = —k-------------------------k------------
x-k / |1 — 2cosp|-2 sink-1 pdp
xk 1 / |1 — 2cosp| "2" sink 1 pdp
=k
0
/*П k
|1 — 2cosp|-2 sink-1 pdp
0
Нетрудно проверить, что при 0 < к < 2 существует число М такое, что
ГЖ к + 2 , -і
|1 — 2 cos р| 2 sink 1 pdp
/о ----------------------------------------------- < M.
гп
|1 — 2 cos р| 2 sink 1 pdp
0
Поэтому функция К2(£, ж) при £ = ж также имеет интегрируемую особенность.
Таким образом, ядро интегрального уравнения (42) имеет слабую особенность, а функция ^(ж) непрерывна на отрезке [0; 1]. Поэтому для интегрального уравнения (42) применима теория интегральных уравнений Фредгольма со слабой особенностью.
При р(£, п) = 0 имеем однородное интегральное уравнение
^(ж) = к / ^(¿)К(£, ж)^£, (45)
Jo
соответствующее неоднородному интегральному уравнению (42), и задачу Трикоми с однородными граничными условиями
0
0
u = 0, u = u = 0.
Г OC y=-x
В силу теоремы единственности задача Трикоми имеет только нулевое решение. Поэтому
Таким образом, однородное интегральное уравнение (45) имеет только нулевое решение. В силу теоремы Фредгольма неоднородное интегральное уравнение (42) однозначно разрешимо, и вместе с ним однозначно разрешима задача Трикоми. Это приводит к следующей теореме.
Теорема 2. Пусть Г — кривая Ляпунова, образующая с координатными осями прямой угол. Тогда для этой кривой при р € С (Г) разрешима задача Трикоми, и решение может быть представлено в В-эллиптической области в виде (37) и в В-гиперболической области ^- в виде (24).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мухлисов, Ф. Г. Решение задачи Коши для одного В-гиперболического уравнения методом интеграла Фурье—Бесселя [Текст] / Ф. Г. Мухлисов, С. М. Гафурова // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы: Тр. Междунар. научн. конф. — Стерлитамак, 2003.—Т. 1.—С. 183-187.
2. Неддон, И. С. Преобразования Фурье—Бесселя [Текст] / И. С. Неддон. — М.: Иностр. лит., 1955. — 667 с.
3. Справочник по специальным функциям [Текст] / под ред. М. Абрамовица и И. Стига-на. — М.: Наука, 1955. — 829 с.
MSC: 35M10, 35E15
THE SOLUTION OF TRICOMI PROBLEM FOR THE MIXED TYPE EQUATION WITH BESSEL OPERATOR WITH THE METHOD OF THE THEORY OF THE INTEGRAL EQUATIONS
R. M. Safina
Tatar State University of Humanities and Education,
420021, Kazan, Tatarstan st., 2.
E-mail: rimmaTTT05amail.ru
In the given work existence and uniqueness of the solution of a problem of Tricomi for the equation Lavrentiev-Bizadze with the operator of Bessel:
in the area D, limited to the rectifiable curve r, axis Oy and characteristics OC: x + y = 0 and BC: x — y = 1, by a method of the integral equations is proved,.
Key words: the equation of mixed type, Tricomi problem, B-elliptic equation, B-hyperbolic equation, N problem, Cauchy problem.
Safina Rimma Marselevna, Postgraduate Student, Dept. of Economic Computer Science and Mathematics of Tatar State University of Humanities and Education.
u(x, 0) = ^(x) = 0, (x, 0) = V(x) = 0.
Поступила в редакцию 31/VII/2008; в окончательном варианте — 18/X/2008.
Original article submitted 31/VII/2008; revision submitted 18/X/2008.
