CC BY
41
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — № 2(17). — С. 21—28
УДК 517.946
ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С ОПЕРАТОРОМ ТРИКОМИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
Ж.А. Балкизов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173
E-mail: eleev@yandex.ru
Доказывается существование и единственность решения локальной краевой задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Единственность решения задачи устанавливается методом интегралов энергии, а существование — методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью функции Грина.
Ключевые слова: локальная краевая задача, нелокальная краевая задача, уравнение смешанного типа, функция Грина, интегральное уравнение Фредгольма.
Рассматривается уравнение
2 dk u
и-хх - иу + ¿2 аи (ж, у) -к-рг, при у> 0, т
к=0 (1) уи-х + иуу, при у< 0
в области О, ограниченной при у > 0 отрезками ААо, Ао Во, Во В прямых ж = 0, у = Л, ж = 1 соответственно и двумя характеристиками
2 з 2 з
АС : ж — -(-у)2 =0 и ВС : ж + -(—у)2 = 1
3 3
уравнения (1) при у < 0, выходящими из точек А(0,0) и В(1,0) соответственно и пересекающимися в точке С( 1, — ; О = О П {у > 0}, О2 = = О П {у < 0}.
Определение. Регулярным решением уравнения (1) назовём всякую функцию и(ж, у) е С (О) п С :(о и ААо)п С2 (о)п с-3у1} (О1), обращающую уравнение (1) в тождество.
Задача 1. Требуется определить функцию и = и(ж,у), обладающую следующими свойствами:
1) и(ж,у) —регулярное решение уравнения (1) в области О;
2) и-(ж, у) е С (О1 и ААо);
3) и(ж, у) удовлетворяет краевым условиям
u(0,y) = <£i(y), u(1,y) = ^2(y), Ux(0,y) = (y), 0 < y < h; (2) u
= ^(ж), 0 < ж < 1. (3)
AC 2 v 7
Балкизов Жираслан Анатольевич — старший преподаватель кафедры теории функции и функционального анализа Кабардино-Балкарского государственного университета.
Задача 2. Требуется определить функцию u = обладающую сле-
дующими свойствами:
1) u(x,y) —регулярное решение уравнения (1) в области Q;
2) ux(x,y) € C(Q U BqB);
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
u(0, y) = ^i(y), u(i,y) = ^2(У), ux(0, y) - ux(1,y) = (y), 0 ^ y ^ h;
1
u
AC
= ^(ж), 0 ^ ж ^
2
(4)
(5)
Задача 3. Требуется определить функцию u = u(x,y), обладающую следующими свойствами:
1) u(x,y) — регулярное решение уравнения (1) в области Q;
2) ux (ж, y) € C (Q U BqB);
3) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям
u(0,y) = ^i(y), ux(1,y) = ^2(y), uxx(1,y) - в(y)u(1,y) = ^3(y), 0 ^ y ^ h;
u
AC
= ^(ж),
1
0 ^ ж ^ 2 •
(6) (7)
Задача 4. Требуется определить функцию и = и(ж,у), обладающую следующими свойствами:
1) и(ж,у) —регулярное решение уравнения (1) в области О при у = 0;
2) их (ж, у), ихх (ж, у) € С(^1);
3) и(ж, у) удовлетворяет краевым условиям
ak (y)
u
u
+ вк (y)^-fc
x=o джк
u
AC
x=i
= ^(ж),
= ^(y), 0 < y < h, k = 0,1, 2;
1
0 ^ ж ^ 2 •
(8) (9)
В задачах 1-4 предполагается, что ^>1 (у), ^>2(у), ^э(у), ^(ж) —известные функции, причём выполнены условия согласования.
Отметим, что исследование спектра локальных и нелокальных краевых задач для вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений второго порядка было выполнено в работах [1-4]. В работе [5] была подобным методом исследована нелокальная задача для уравнения смешанного пара-боло-гиперболического типа второго порядка.
Теорема 1. Если коэффициенты уравнения (1) обладают свойствами
а2(ж,у) € СХ(^1), а1(ж,у) € СХ(^), ао(ж,у) € С(О1), а2(ж,у) ^ 0, а'2(ж, 0) - а!(ж, 0)+2ао(ж, 0) < 0 У(ж,у) €
то существует единственное решение .задач 1-2.
Доказательство. Доказательство проведём для задачи 1. Сначала докажем единственность решения задачи (1)-(3). Обозначим и(ж, 0) = т(ж),
иу(ж, 0) = V(ж). В уравнении (1) в области О1 перейдём к пределу при у ^ 0+. С учётом граничных условий (2) получим функциональное соотношение между т(ж) и V(ж), принесённое из параболической части (у > 0) на прямую у = 0:
т'''(ж) + а2 (ж, 0)т'' (ж) + а1(ж, 0)т' (ж) + а0(ж, 0)т (ж) = V (ж), (10) т (0) = р! (0), т (1)= ^2(0), т' (0) = рз (0). (11)
Для того чтобы получить функциональное соотношение между т (ж) и V(ж), принесённое из гиперболической части (у < 0) на прямую у = 0, выпишем решение задачи Коши для уравнения (1) в области О2 [6]:
Г( 3 )
Г2( 6 )
/о
2
3
3
г 1
5 5
u(x,y) = ^7TR I тх + тт(-у) 2 (2t - 1) t-6 (1 - t)-6 dt+
Г( 3 )
2 3 1 1 1
x + -(-y)2 (2t - 1) t-6(1 - t)-6 dt. (12)
3
Приравнивая выражение (12) на характеристике АС к функции ^(ж) и применяя известную формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получим функциональное соотношение между т(ж) и V(ж), принесённое из гиперболической области О2 на линию у = 0, в виде:
v (х) = + YiDxT (х), (13)
где
DoxР(х) = dx^Г(1 - a)J0 (х - t)«J
— оператор дробного дифференцирования Римана—Лиувилля порядка a
(0 < a < 1); Yi = -^2%), ?(х) = -DOXf )•
Исключая из (10) и (13) неизвестную функцию v(x) и учитывая граничные условия (2), получим краевую задачу для обыкновенного интегро-диф-ференциального уравнения третьего порядка:
_ 2
т'''(х) + а2(х,0)т''(х) + а1(х,0)т'(х) + а0(х,0)т(х) = ^(х) + y1 DOfт(х), (14) т (0) = pi (0), т (1)= ^2(0), т' (0) = рэ (0), (15)
Пусть pi(y) = P2(y) = Рэ(y) = ^(х) = 0. Рассмотрим интеграл I* = = т(х)v(х) dx. В области Qi с учётом (10) имеем:
Jo
I* = т(x)v(х) dx = т(х)т'''(х) dx + / а2(х, 0)т(х)т''(х) dx+ Уо ./о ./о
+ / ai(x, 0)т(х)т'(x) dx + / ао(х, 0)т2(x) dx. (16) оо
i
Используя формулу интегрирования по частям и учитывая однородные краевые условия, из равенства (16) получим, что
1 * = -2 [т,(1)]2 + 1о
2 (а'2'(ж, 0) - а1(ж, 0)) + а0(ж, 0)
т2 (ж) ^ж-
- / а2(ж, 0) [т' (ж)] 2 ¿ж. (17) 0
Очевидно, что если выполнены условия теоремы, то, как следует из (17), будем иметь неравенство I* ^ 0.
Подставляя V(ж) из выражения (13) в интеграл I*, будем иметь:
I* = ^ т(ж^(ж) ^ж = 71 ^ т(ж)А03хт(ж) ^ж = 71 ^А03хт(ж), т(ж) ^.
Положительная определённость выражения ^А3хт(ж),т(ж)^ доказана в работе [7, с. 54], т.е. в области ^2 имеем неравенство I* ^ 0. Таким образом, I* = 0, а (А3,т(ж),т(ж)^ = 0 тогда и только тогда, когда т(ж) = 0. Это ясно и из того факта, что все слагаемые, стоящие справа в выражении (17), отрицательные, а потому т(ж) = 0. При этом из (10) и (13) получаем, что и V(ж) = 0.
Далее, предполагая существование регулярного решения, умножим уравнение (1) при у > 0 скалярно на функцию и(ж,у) и получим
(мхяя,м) + (й2(ж, у)ижж, и) + (а!(ж,у)«х, и) + («о(ж, у)и, и) - («у, и) = 0, (18)
где (и, V) = и(ж,у)-и(ж,у) ^ж, а (и, и) = ||и||2.
0
Считая краевые условия (2) однородными, отдельные слагаемые, входящие в равенство (18), можем записать так:
1 / 1 2 1 1 2
(иЖЖЖ,и) - иихх I иххих - их - 77их(1,у);
0 Jо 2 0 2
(а2(ж,у)их-г , и) = / а2(ж,у)(иих)х ^ж - / а2(ж,у)их ¿ж = ./о Уо
= 1 «2хх(ж,у)и2 ^ж - а2(ж,у)их ^ж; 2 Л) Jо
(а1 (ж,у)иг,и) = J а1(ж,у)^2= -2 J «1х(ж, у)и2 ¿ж
/о V2 / 2 ./ о
Г1 1 д г1 1 дИ„. „2
(иу, и) = иуи^ж = - — и ^ж = - — ||и|| . /о у 2 ду Уо 2 ду
С учётом последних равенств выражение (18) перепишется в виде д [1 [1
— ||и|2 + 2 / «2(ж, у)их ^ж + их(1,у) = («2хх - «1х +2ао)и2 ^ж. (19)
ду 7о Уо
Интегрируя равенство (19) по переменной y в пределах (0,y), получим
Г У / Г 1 \ ГУ
||u||2 +2 у (у a2(x,y)uX dxj dy + J uX (1, y) dy =
= J (^J (°2xx - aix +2ao)u2dx^ dy + ||т(х)||2. (20)
В силу условий, наложенных на коэффициенты ao(x,y), ai(x,y), a2(x,y), выражение |a2XX — aix + 2ao| будет ограничено некоторым числом Mi. Тогда из (20) имеем
Г У
||u||2 < Mi / ||u||2 dy + ||т(x)||2. o
Применяя к последнему неравенству лемму 1.1 из [8], окончательно получаем оценку
||u||2 < M||т(x)||2,
где M — некоторая известная постоянная, зависящая от Mi. Из полученной оценки, в частности, вытекает единственность решения поставленной задачи.
Перейдём к доказательству существования решения. Рассмотрим сначала случай, когда коэффициенты уравнения (14) являются постоянными действительными числами, т.е. a2(x, 0) = a2 = const; a1(x, 0) = a1 = const; a0(x, 0) = = ao = const. Задачу (14)—(15) будем решать методом функции Грина. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (14), можно записать в виде
k3 + a2k2 + (ai — 1)k + ao = 0. (21)
С помощью замены k = y — i a2 уравнение (21) приводится к виду
y3 + py + q = 0, (22)
где p = i a3 + ai — 1; q = 27 a3 + 3 a2(1 — ai).
В зависимости от знака дискриминанта D = 27q2 + 4p3 возможны три случая: D< 0, D = 0 и D> 0.
Рассмотрим первый случай, когда D < 0. В этом случае характеристическое уравнение (22) имеет три различных действительных корня [9]:
к = 2^—1 cos (^) , i = 0,1,2,
где cos ^ = — 2qr, sin ^ > 0, r = \f~§7' Тогда общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (14), можно записать в виде т(x) = = cieklX + c2ek2X + c3ek3X, где kj = y¿ — 3a2 (i = 0,1,2). Поэтому функцию Грина будем искать в виде
G(x t) = í aieklX + a2ek2x + a3ek3x, 0 ^ x < (23)
G(x,t) \ bieklX + b2ek2X + b3ek3X, t<x < 1, ( 3)
где aj, bj (j = 1, 2, 3) —пока неопределённые коэффициенты.
Пользуясь определением функции Грина, для вычисления значений коэффициентов Оу, ^ приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений:
(bi - ai)efclí + (b2 - a2)efc2« + (Ьз - aa)efc3« = 0, ki(bi - ai)efcl« + k2(b2 - «2)efc2« + кз(Ьз - аз)екз« = 0, k2(bi - «i)efc1« + fc|(b2 - fl2)efc2« + kf (Ьз - аз)efc3« = 1, а i + а2 + аз = 0, k i а i + k2 а2 + кзаз = 0, k biekl + b2ek2 + bзefcз = 0.
(24)
Решая систему (24), найдём значения неизвестных Оу, Ьу. Подставляя найденные значения Оу, Ьу в (23), найдём явный вид функции Грина:
g i (x,e ) =
Li (1,С)Li (x, 0) A i L i (1, 0) , Li(1,QL i(x, 0) - Li(x,QL i(1, 0) A i L i (1,0)
0 < x < С,
С < x < 1,
где Ь1 (х,£) = (Й2 - кз)ек1 + (кз - к 1 )ек2(х-«) + (к 1 - к2)екз(х-«); А 1 = = (к3 — к2)(кз — к 1 )(к2 — к 1) = 0, так как корни к 1, к2, к3 — различные.
Анализируя два оставшихся случая, аналогично строим соответствующие функции Грина. При О = 0 она имеет вид
G2(x,C ) =
L2(1,C)L2(x, 0) A2L2 (1, 0) ,
L2(1,C)L2(x, 0) - L2(x,C)L2(1, 0)
A2L2 (1, 0)
0 < x < С,
С < x < 1,
где L2(x, С) = efcl(x-«) + ((k2 - ki)(x - С) - 1) efc2(x-«\ A2 = (k2 - ki)2 = 0; а в случае D > 0 —
Gз(x,С ) =
Lз(1,С ^з (x, 0) AзLз(1,0) , Lз(1,С)Lз(x, 0) - Lз(x,С)Lз(1, 0) AзLз(1,0)
0 < x < С,
С < x < 1,
где Lз(x,С) = Yekl(x-i) - ^3ki sin 7^ + 7 cos 7(x - С)) e-kl(x-i)/2, Aз = 9y x x (k2 - Y2) = 0.
Итак, функции Грина построены для всевозможных расположений корней характеристического уравнения (21). Тогда решение задачи (14)—(15) эквивалентно редуцируется к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
т(x) = f1 L(x, С)т(С) ¿С + F(x),
J0
(25)
где
,1 2
>3
)= 71 j (ж,«)^Т(«)
^(ж) = / (ж) + /1 Сг(ж,р)/(О ^;
/(ж) = ^(ж) + (^2(0) - ^1(0) - Рз(0)) (2й2 + 2й1Ж + аож2) + + (а1 + ао Х^з(0) + ^1(0)ао.
В случае когда коэффициенты аДж, у) (г = 0,1, 2) не являются постоянными числами, после трёхкратного интегрирования уравнения (14) в пределах (0,ж), с учётом краевых условий (15), опять приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
Т (ж) = /1 К (ж, От (О ^ + (ж), (26)
Jо
где
К( р-ж2^(1,р), 0 < ж<р, К (ж,Р) \ N (ж, р) - ж2Ж (1,р), р < ж < 1;
^(ж) = д(ж) + ^2(0)ж2 - д(1)ж2;
N (ж, р) = а2(р, 0) + (ж - р) [а!(р, 0) - 2а2(р, 0)] +
+(ж - р)21 [а2'(р, 0) - а1(р, 0) + ао(р, 0)] + ^(ж - р)4;
ж2
д(ж) = (ж + а2(0,0) — (0) +
2 ж2
1 + а2(0,0) ж + (а(0,0) - а'2(0,0^ —
^1(0)
Безусловная разрешимость интегральных уравнений (25) и (26) следует из единственности решения задачи. По найденному значению т (ж) можно найти и V(ж) из формул (10) или (19). Тогда решение задачи (1)—(3) в области ^2 определяется по формуле (18) как решение задачи Коши, а в области приходим к задаче (1)—(2) и и(ж, 0) = т(ж), исследованной в работе [10]. Теорема 1 доказана. □
Аналогичным методом устанавливается справедливость следующих теорем.
Теорема 2. Если коэффициенты а^ (ж, у) (к = 0,1, 2) и в (у) таковы, что а2(ж,у) € ), а1(ж,у) € С^^), ао (ж, у) € С (^1), а1(0,у) ^ 0, а2(ж,у) ^ 0, аохх(ж,у) > 0, в2(у) + аох(1, у) ^ 0, 2ао(ж, у) + а1х(ж, у) ^ 0,
и при этом ^(у) € С2[0,1] (^ = 1, 2, 3), то существует единственное решение задачи 3.
Теорема 3. Если коэффициенты а^(ж, у), (у), (у) (к = 0,1, 2) таковы, что _
ао(ж,у), а1х(ж,у), а2ЖЖ(ж,у) € С(^);
а'2'(ж, 0) — а1 (ж, 0) + 2a0(ж, 0) ^ 0, a2(x,y) ^ 0, а0(у)а2(у) = во(у)в2(у), a2(y)ai(1,y) < во(y)ai(0,y), в2(у) < а2(у), ао(y)ai(у)в2(у) = 0,
и при этом (y) € C2[0,1] (j = 1, 2, 3), то .задача 4 имеет единственное
решение.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лернер, М. Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода [Текст] / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Дифференц. уравнения. - 1999. - T. 35, № 8. - C. 1087-1093.
2. Лернер, М. Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа [Текст] / М. Е. Лернер, О. А. Репин // Сиб. матем. журн. — 1999. — T. 40, № 6. — C. 1260-1275.
3. Сабитов, К. Б. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом [Текст] / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко / Тр. Международн. научн. конф. — Стерлитамак, 2003.—T. 1. — C. 213-219.
4. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения [Текст] / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко / Тр. Всерос. научн. конф. — Стерлитамак, 2004. — T. 1. —C. 80-86.
5. Рахманова, Л. Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области [Текст] / Л.Х. Рахманова // Изв. вузов. Матем. —2007. — 11. — C. 36-40.
6. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям с частными производными [Текст] / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ, 1957. —443 с.
7. Нахушев, А. М. Элементы дробного исчисления и их применение [Текст] / А. М. Наху-шев. — Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. —298 с.
8. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики [Текст] / О. А. Ладыженская. —М.: Наука, 1973. —498 с.
9. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре [Текст] / Д. К. Фаддеев. — СПб.: Лань, 2002 . — 416 с. — ISBN 5-8114-0447-6.
10. Иргашев, Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками [Текст] / Ю. Иргашев / В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. — Ташкент: Фан, 1976. — С. 17-27.
Поступила в редакцию 1/VII/2008; в окончательном варианте — 15/VII/2008.
MSC: 35M10, 65N99
LOCAL AND NONLOCAL VALUE BOUNDARY PROBLEMS FOR A THIRD-ORDER MIXED-TYPE EQUATION EQUIPPED WITH TRICOMI OPERATOR IN ITS HYPERBOLIC PART
Z. A. Balkizov
H. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University,
360004, Nal'chik, Chernyshevskogo str., 173
E-mail: eleev@yandex.ru
The existence and uniqueness of local and nonlocal value boundary problems for third-order mixed-type equations with multiple characteristics is proved,. Uniqueness of the problem solution is proved with energy-integral method. The existence of the solution is proved with equivalent reduction method to Fredholm integral equations of the second kind with the help of Green's function.
Key words: local value boundary problem, nonlocal value boundary problem, mixed-type equations, Green's function, Fredholm integral equation.
Original article submitted 1/VII/2008; revision submitted 15/VII/2008.
Balkizov Zhiraslan Anatolievich, Senior Lecturer, Dept. of the Theory of Functions and Functional Analysis of Kabardino-Balkarian State University.
