CC BY
41
Дифференциальные уравнения
УДК 517.956.6+517.968.23
ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
О. А. Репин1,2, С. К. Кумыкова3
1 Самарский государственный экономический университет,
443090, Россия, Самара, ул. Советской Армии, 141.
2 Самарский государственный технический университет,
443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова,
360004, Россия, Нальчик, ул. Чернышевского, 173
E-mails: matstat@mail. ru, bsk@rect .kbsu.ru
Исследована однозначная разрешимость внутреннекраевой задачи с операторами Сайго для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. При ограничениях неравенственного типа на известные функции и различных порядках операторов обобщённого дробного интегро-дифференцирования доказана теорема единственности. Существование решения задачи эквивалентно редуцировано к вопросу 'разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Ключевые слова: краевая задача, гипергеометрическая функция Гаусса, операторы дробного порядка, уравнение Фредгольма.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
где т = const > 0, в конечной области Q, ограниченной отрезками AAq, В Во, AqBq прямых х = 0, х = 1,у = 1 соответственно, и характеристиками
уравнения (1) при у < 0. Пусть = П П (у > 0), ^2 = & П (у < 0), ■] = АВ — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0. Задача. Найти функцию и(х, у) € С(П) ПС1(0) ПС1%^(П1) их € <С(Г21), являющуюся решением уравнения (1) при уф 0, удовлетворяющую условиям
и(0, у) = <pi(y), и(1, у) = <р2(у), их(0, у) = <р3(у), 0<2/<1, (2)
Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. математической статистики и эконометрики1; профессор, каф. прикладной математики и информатики2. Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теории функций и функционального анализа.
У > 0, У < 0,
(1)
а(х) \ І^Р1,т5(і)и[0о(і)]) (х) + Ъ(х) /?2’ тш(і)и [6*і(і)](ж) +
+ с(х)и(х, 0) + с1(х)иу(х, 0) = д(х) Ух Є Г, (3)
где оц, Рі, г)і (і = 1,2) —вещественные числа, во(х), в\(х) —точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (х, 0) Є ,1, с характеристиками АС, ВС соответственно; (рі(у) (і = 1,2,3), а(х), Ь(х), с(х), (1(х), д{х), 5(х), ш(х) —заданные функции, такие, что <рі(у) Є С(.І), а(х), Ь(х), с(х), сі(х), д(х) Є С1(7)ПС3(7), причём а(х), Ь(х), с(х), сі(х) одновременно в ноль не обращаются; 71(х) и (/“1/3’,?/)(ж) —операторы обобщен-
ного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса Е(а, /3; 7; х), введённые в [1] (см. также [2, с. 326-327], [3, с. 14]) и имеющие при действительных а, /3, г] и х > 0 вид
тщ- [ (і-і)" (« + А -т к 1-|) /(() Л,
№*’/)(*)={ л а>0;
Ш“ (X), а < 0, п = [-а] + 1,
/
(4)
= <
(1 г\а) Р У ^ 1і? (“ + I3’ _Г?; Т=|) ^
а > 0;
_ (-£)" (/“+'“’'3-'“’"-'7) (а:), а < о, „ = 1-а] + 1.
Для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в работах [4, 5] исследовались нелокальные задачи, в которых краевые условия содержали операторы дробного дифференцирования. Данная работа обобщает полученные ранее результаты и является продолжением этих исследований.
2. Единственность решения.
Теорема. В области О не может существовать более одного решения задачи (1)-(3), если
“(1) (■>)
Еі(1) Е\(0)
оі\ = а2 = ~(3, Рі = /32 = 0, т]г = г)2 = 2/3 - 1, 5(х) = ш(х) = 1, /3 = т/(2тп + 4)
(6)
и выполняются условия
Е\(х) = 7і(а(х) + Ъ(х)) + с(х) /0 Ух Є ,1, (7)
либо
е2(і) ’ е2(0)
аі = а2=іЗ-1, /Зі =/32 = 0, щ = щ = 1 - 2/3, <5(ж) = ж2/3_1, ш(х) = (1 — ж)2/3_1,
^2 (ж) = 72(й(ж) + Кх)) ~ ^(Х) фО Ух £ 3, (11)
а(х)( 1 — х)1 2/3 + Ъ(х)х1 2/3 + Г(2/3) (ж(1 — ж)) с£(ж) ф О \/ж € (12)
(Ц>)'« О'»0- ^ <«>
где
Г(2/3) 1/ 4 \ 2/3 Г(1 — 2(3)
71 = т^/дч ; 72 —
Г(/3) ’ " 2\т + 2/ Г(1 — /3) ‘
Доказательство. Пусть г (ж) = и(ж, 0), г/(ж) = иу( ж, 0).
Переходя в уравнении (1) к пределу при у —>■ +0, будем иметь функциональное соотношение между т(ж) и V(ж), принесённое на 7 из области 01:
г/(ж) = т”\ ж).
Рассмотрим интеграл
7* = / г(ж)г/(ж)с?ж = / т(х)т"'(х)(1х = / т(х)(1[т"(ж)).
Уо Уо л)
Интегрируя последнее с учётом однородных граничных условий (2), получим
27* = —(У(1))2 < 0. (14)
Покажем, что при при выполнении условий теоремы ,1* ^ 0. Действительно, решение задачи Коши в области имеет вид [7, с. 152]
ф,у) = £т{х + ^(-!/)(”'+2)/2(м - 1))*в_1(1 - *)8-1Л+
+ Г Ц1-йУ1о К* + ^(_!/)(”“+2)/2(2‘ “ 1))‘"'3(1 “ (15)
Используя (15) и (4), получим
«[00(ж)] =71(1о+’/3~1т^))(х) -72(/01+/3’2/3~1’/3~1г/^))(ж)’
и[01(ж)] =71(^31°’/3~1гС0)(ж) -72(Л1-/3’2/3~1’/3~1г/(^))(ж)-Пусть выполняются условия (5)—(8) теоремы.
Подставляя и[во (ж)] и г/.[^?1 (ж)] в условие (3) и опираясь на полугрупповые свойства обобщенных операторов [2, с. 327]
(х) = (|««.т,/)(1)( 7 > о,
после некоторых преобразований получим соотношение между т(х) и V (х), принесённое на ■] из гиперболической части 0,2 смешанной области П:
т(х) = аі(ж)(/д+2/3г/)(ж) + Ьі(ж)(/11_2/3г/)(ж) + с\(х)і'(х) + ді(х), (16)
При д(х) = 0, используя методику, восходящую к Ф. Трикоми [8, с. 385] и применённую в работах [5, 6], будем иметь
При выполнении условий (5)-(8) теоремы а'^х) ^ 0, Ь'^х) ^ 0, С\(х) ^ О, 01(1) + 61(0) ^ 0 и, следовательно, 7* ^ 0.
Пусть теперь выполняются условия (9)-(13) теоремы.
Покажем, что и в этом случае ,1* ^ 0.
Аналогичными вычислениями можно показать, что функциональное соотношение между т(х) и и(х), принесённое из области П2 на 3■, имеет вид
и(х) = а2(х) (£>д+2/3т) (х) + Ь2(х) (£>}_2/3т) (х) + с2(х)т(х) + д2(х), (18)
где (/д+2/3г/)(ж) и 2/3г/)(х) —дробные интегралы в смысле Римана—Ли-
увилля [2, с. 42],
+
•X
1/(0 сов^ +
1/(0 СОВ^ +
) + (/
+ \Уо
(ІХ+
(ІХ+
\
(17)
где
, . а(х) , , . Ъ(х) . . с(х) , , д(х)
а2{х)=ЪЩх)’ Ь2{х)=ЪЩх)’ С2ІХ) = Щх)’ 92{х) = Щх)
и 2/3-операторы дробного дифференцирования в смысле Римана—Лиувилля [2, с. 43].
Аналогично [6], в результате ряда преобразований получим
1 г°°
/о
1 [°° + 2 I
£2/3 J а2 + {^/ т1(0 ^ йх+
£2/3_1сЙ J Ь'2(х) + (^1 т2(0 ^ с?ж+
+ \а^1\!о ^2/3_1^ п(£)С08%<1^ + п(08Ш^^ ^ +
+ \Ь2^\1о ^/3~1^ ((У ЫОсов^с^ + ^ Г2(08Ш^^ У (19)
где
, . 8ш27г/3 й Р т(£)<Й , , вт27г/3 й ^ т(£)сЙ
п(ж) =----- --— / у-—т^ТЗоя, 7-2(ж) = —
7Г (1х Уо (ж—£)1-2/3 ’ 7Г (1х 7Ж (£ — ж)1-2/3 ’
При выполнении условий (9)—(13) теоремы 7* ^ 0. Отсюда с учётом (14) заключаем, что 7* = 0.
Поскольку слагаемые справа в соотношениях (17) и (19) неотрицательны, они также равны нулю. В частности,
/•оо / /-1 \ 2 «оо / /-1 \ 2
£2/3_1сй^у 1/(0 =о, у 1/(08=о.
Так как £2/3-1 ^ 0,
[ 1/(0 сое = 0, [ 1/(0 зт = 0
70 70
для всех £ € (0, оо), в частности при £ = 2ттк, к = 0,1, 2, .... При этих значениях £ функции и сов££ образуют полную ортогональную систему
функций в И,2. Следовательно, г/(0 = 0 почти всюду, а так как и(х) непрерывна по условию, и(х) = 0 всюду.
При #1 (ж) = 0 подставим в (16) г/(ж) = 0 и получим г (ж) = 0. Отсюда и(ж, у) = 0 в ^2 как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в О; — как решение однородной задачи (1), (2), и(ж, 0) = 0.
В случае соотношения (19) аргументация доказательства тождества и(ж, у) = 0 аналогична. □
3. Существование решения. Воспользуемся соотношением т'"(ж) = г/(ж), принесённым из области ^1 на линию АВ. Проинтегрируем его трижды от 0 до ж. Получим
т(ж) = у ^ К0<% + г"(0)у + т'(0)ж + т(0).
Из граничных условий (2) следует, что
т(0) = <£ч(0), т(1)=<р2(0), т'(0) = <р3(0).
Поэтому
Ф) = \ 1о (х~ - у 1о (! - 02К£Ж+
+ (р2(0)ж2 + (ж - ж2)(/?3(0) + (1 - ж2)<£ч(0). (20)
Пусть выполняются условия (5)—(8) теоремы. Исключим т(ж) из (16) и (20) После простых преобразований получим
а(х)и(х) + у = /1(ж)> (21)
где
+ 1Г(1-о (£-*) >
Г(1 — 2(3) 2
/1(ж) = -#1 (ж) + <£>2(0)ж2 + (ж - ж2)с£>3(0) + (1 - ж2)<£ч(0).
При С1(ж) ф 0 или, что то же самое, с£(ж) ф 0 уравнение (21) есть уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре, правая часть которого Д(ж) € С 1(.1) П С2(<1)-
Безусловная разрешимость уравнения (21) в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи.
Докажем теперь существование решения задачи (1)—(3) при выполнении условий (9)-(13) теоремы. Для этого исключим т(ж) из (18) и (20). После довольно громоздких вычислений имеем
г-1
где
ф) + [ К2{ж, £)г/(£)сЙ = /2(ж), (22)
■) о
К ( ,ч = Г К3(х, *), х > *,
^ ^ | ^4(Ж, £), Ж ^ £,
Кз(ж, г) = Ф(ж, 4) - (Г^2|Ж^) (ж - £)1+2/3 + ^С2(ж)(ж - Ь)2+
+
Ъ^Х) п _ ги+2/Зл_ _ Л , &2(ж)(1 -ж)2+2/3Л Г(2 + 2(3) ; 1 ; (1 + /5)г(1 + 2/3) У5
КА(ж, 4) = Ф(ж, 4) + 1; 3; у^;),
ФГг Л = Г й2(ж) - Ь2(ж)(1 + 2/3) _ .2/3-1,
; \Г(2 + 2/3) Г(2/3) 1 ;
г(2/?)(гжЛЛ и ' V (х-01~213
~ШИ (Ыо) ~ыо) ~ *т)(2+шо)+91(о))
Исследуем гладкость /2 (ж) правой части уравнения (22). Для этого заметим, что
(I ('Х (% 20-1 ^ [1 с1х
= X
2/3-1 ^ _ П „Л 2/3-1
(1х Уо (х — {)1-2/3 ’ Лх ({ —ж)1_2/3
I (а- - О1-2'* = (1 _ ЭД)В(2’ 2'3)-г'2'3’
(1х ({ —ж)1-2/3 2/3
(I гх с2 с1х
-1 л2
£ (х =(2+2'3)в(3- ад*1+2й.
Таким образом, правая часть уравнения (22)
/2(ж) = [ж(1 - ж)]2/3_1 /2*(ж),
где /2*(ж) €<С(7)ПС2(7).
Итак, уравнение (22) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром 1^2(ж, £) € С[0,1) П С1 (0,1), причём при ж = 1 оно может обращаться в бесконечность порядка 1 — 2/3.
Уравнение (22) безусловно разрешимо в требуемом классе функций на основании теоремы единственности.
Зная г/(ж), можно определить из (16), (20) т(ж) = и(х, 0).
Для определения решения и(ж, у) уравнения (1) при у > 0 решается задача (1), (2), и(ж, 0) = т(ж). Решение этой задачи даётся с помощью формулы [9, с. 133-135]
ГУ ГУ
тпи(ж, у) = / Ск(ж, у; 0, 77)^1(77)^77 - / С?(ж, у; 0, г))р3(г))с1г]-7о 7о
ГУ /•!
- / Ск(ж, у; 1, г?)<£>2(г?)йг? + / С(ж, у; С, 0)т(£)^£,
70 70
где
<2(ж, у; £, т?) = У(х, у; £, т?) - \У(ж, у; £, т?),
П*, ;</; {, ч) = { (9 - -’>Г1/3). У > ч,
и,.(а, „. ?,ч) = {(!/- ч)-1'3*^ -«)(» - ч)-1/3), у > ч.
т Зл/З Ы^) + '“1/3(з^г3/2)) ’
Ijy(z) — функции Бесселя, f(t), <p(t) —функции Эйри [10, с. 196; с. 264]. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Saigo М. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ., 1977/78. Vol. 11, no. 2. Pp. 135-143.
2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [Samko S. С., Kilbas A. A., Marichev О. I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.]
3. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Изд-во Саратов, ун-та, Самарский филиал, 1992. 164 с. [Repin О. А. Boundary value problems with shift for equations of hyperbolic and mixed type. Samara: Izd-vo Saratovskogo Universiteta, Samarskiy Filial, 1992. 164 pp.]
4. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2010. №5(37), Часть 2. С. 5-14. [Eleev V.A., Kumykova S. К. The inner boundary value problem for mixed-type equation of third order with multiple characteristics// Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN, 2010. no. 5(37), Part 2. Pp. 5-14].
5. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №4(25). С. 25-36. [Repin О. A., Kumykova S. К. Nonlocal problem for a equation of mixed type of third order with generalized operators of fractional integro-differentiation of arbitrary order// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 4(25). Pp. 25-36].
6. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференц. уравнения, 2012. Т. 48, №8. С. 1140-1149; англ. пер.: Repin О. A., Kumykova S. К. On a boundary value problem with shift for an equation of mixed type in an unbounded domain// Diff. Equ.. Vol. 48, no. 8. Pp. 1127-1136.
7. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с. [Smirnov М. М. Equations of mixed type. Moscow: Nauka, 1970. 295 pp.]
8. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностр. лит., 1957. 443 с. [Tricomi F. Lectures on partial differential equations. Moscow: Inostr. Lit., 1957. 443 pp.]
9. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 239 с. [Dzhuraev Т. D. Boundary value problems for equations of mixed and mixed-composite types. Tashkent: Fan, 1979. 239 pp.]
10. Справочник по специальным функциям / ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 831 с. [ Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables / eds. M. Abramowitz, I. Stegun. Moscow: Nauka, 1979. 831 pp.]
Поступила в редакцию 17/X/2012; в окончательном варианте — 16/XI/2012.
MSC: 35M12; 26A33, 33C05
PROBLEM WITH SHIFT FOR THE THIRD-ORDER EQUATION WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS
O.A. Repin12, S.K. Kumykova3,
1 Samara State Economic University,
141, Sovetskoy Armii St., Samara, 443090, Russia.
2 Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.
3 Kabardino-Balkarian State University,
173, Chernyshevskogo St., Nalchik, Russia, 360004.
E-mails: [email protected], [email protected]
The unique solvability of boundary value problem with Saigo operators for the third-order equation with multiple characteristics was investigated. The uniqueness theorem with constraints of inequality type on the known functions and different orders of generalized fractional integro-differentiation was proved,. The existence of solution is equivalently reduced to the solvability of Fredholm integral equation of the second kind.
Key words: boundary value problem, Gauss hypergeometric function, operators of fractional order, Fredholm equation.
Original article submitted 17/X/2012; revision submitted 16/XI/2012.
Oleg A. Repin (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept of Mathematical Statistics and Econometrics1; Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science2. Svetlana K. Kumykova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Functions Theory and Functional Analysis.
