ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №4(15)
УДК 517.9
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ
© Э.В.Чеботарева
В данной работе строятся фундаментальное решение и интегральное представление фундаментального решения для одного многомерного B -эллиптического уравнения с сильным характеристическим вырождением.
Ключевые слова: B -эллиптическое уравнение, характеристическое вырождение, формула Грина
Пусть Е+
четверть x > 0 , x , > 0 p -
Пусть функции u, v є C2B (О) П С1а (о) . Непо-
мерного евклидова пространства точек средственными вычислениями можно проверить,
x =
(x",xp), x' = (,x2,...,xp_2), x" = (x',xp-1), Q
что
- x
- конечная область в E++ , ограниченная гипер- ^ \и ]xk + V
„ „ р-1 j-í дхі дxi р дхр дхр
поверхностью Г и частями і 0 и і 1 гиперпло- 4 11 р р;
p-і
du dv
du dv
\
xk і = p-1
скостей хр-1 = 0 и хр = 0 соответственно, О. = Е+ \ (О и Г).
Рассмотрим в Е+р+ вырождающееся В -эллиптическое уравнение
Ta[u( x)] = Axu + B u + xp
dx„
du
\
. p dx .
\ p
p-2 d2
где A*’=Z xj
Bx =X- + k
= 0, (1)
d
дх2 Хр-1 дх2 х дх
і =іихз ихр-1 хр-1их р-1
оператор Бесселя, а > 1, к > 0 - постоянные, р > 3.
1. Формулы Грина
В характеристических координатах
£ = *,і =1,р-^ £ =^~
1 -а
уравнение (1) приводится уравнению
д 2и д2и к ди д2и 0
d2u k
- + -
d£2 d^-1 ' £p-i d^p-i ' d^
(2)
p-1 д
= Y —
j=1 dxj
(
\
k du x ,v—
p-1 dx.
\ j
(
dx
du
\
(3)
x , x v—
p-1 p dx
\ p.
Умножая обе части тождества (3) на хра, интегрируя по области О и пользуясь формулой Остроградского, получим
[и 1 хк , х-а<3х +
J vTa[u ] xp-1
+J|s
p-1 du dv
du dv
n\ .=1 dxj dxj p dxp dxp .
x p-1 x-adx = (4)
J vAa[u ]xp-1d Г,
Г
p-1
где Aa[ ] = x-“Z C0S (' xj)
j=1
d / \ d
----+ xp cos(n,xp)------
dx. p v p} cxp
конормальная производная, п - внешняя нормаль к границе Г.
Поменяв в формуле (4) и и V местами, получим
к , —а „
J uTa[v] xp -1x-adx +
а область О переходит в бесконечную область.
Обозначим через С% (о) множество функций /(х), т раз непрерывно дифференцируемых в О и удовлетворяющих условию
/(х) = О(хра-1)^-2)) при хр ^ 0 (здесь
у = р + к), а через СВ (О) множество четных по хр-1 дважды непрерывно дифференцируемых функций.
+JÍÍ
du dv
du dv
Q\ j =1 dxj dxj p dxp dxp
xp-1 x-adx =
= | ЧДфр-^Г.
Г
Вычитая данное равенство из (4), будем иметь
\\уТа \и ]- иТа \V]] хр-1 =
О (5)
= \\уАа\и ]- иАа\]\ хр-1а Г.
1-а
Формулы (4) и (5) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Та •
Если функции и и v являются решениями уравнения (1), то из формулы (5) имеем
\\_vAa [u] - uAa [v]] XUdГ = 0 •
Полагая v = 1, получим
j Aa[u ]xkp _xd Г = 0,
(6)
(7)
>2-У.
0
где Po =
1
1-а
\2 P
-2 xp-1 xp-i,oCOS^ +
Г
где Ck =-
k +1
4Пг
f x1~a - X--a V
P_________po_
1 -a
v y
,Y = P + k.
„2-У
(8)
sin
Рассмотрим подинтегральную функцию
|xi - x' I + x2 + x2
І A0| т лр-1 т лр-1,0
-2 xp-1 xp-1,0cosP +
f YUa - YUa V Xp Xp0
1 -a
2-у
2
lx' - x0 Г + x2p-1 + xP-1,o - 2xp-1 xp-1,0 +
2-у
т.е. интеграл от конормальной производной решения уравнения (1) по границе области равен нулю.
2. Фундаментальное решение
Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в начале координат имеет вид
к (£) = А £Г,
где А - нормирующая константа.
Переходя к старым переменным, имеем
Ш (х ) = Вр2
+2xp-1 xp-1,o (1 - COSÿ) +
( xl~a - xl~a ^ xp xp 0
1 -a
v y
р\ + 4 xp -1 xp -1,0sin2 Pp
2-у
2 I f f\2
где Pxx0 = x - x0
Ґ „1
,1-a \
xp - xp 0
1 -a
v y
Это означает, что
j[|x'- x0 Г + xP-1 + x2-1,0 - 2xp-1 xp-1,0COS P +
(1 -а)
Определение: Функция E(x, x0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке x0 е Е++ , если она удовлетворяет условиям:
1) для любой функции ср(х)е C“(Ер+) такой, что х0 е Supp р(х) имеет место равенство
j E(x,хо )т«[р(х)]xp-ixPadx — р(хо);
Е++
2) E (х, х0) является решением уравнения (1) во всех точках Е++, за исключением точки
хо е е++ .
Применим к W(х) оператор обобщенного сдвига T*0 :
П
E (x, хо)=вск j [|х'- х012 + хр-1 + хр-1,о-
f y1~a - rl-a Ÿ Xp Xp0
1 -a
v y
2-у
2
sink 1 pdp =
j
Pp + 4 xp-1 xp-1,0sin2T
2-У
2
2-y n
:(4xp-1 xp-1,0 ) 2 j
sin cpdp =
2-у
2 *2 P
о + sin —
2
sink 1 pdp,
2 Px
где со = -
4 xp-1 xp-1,0
Разность между данным интегралом и интегралом
2-у
dp
(4хр-1 хр-1,0 ) 2 \фк-0
является регулярной функцией от (х', хр ) даже в точке (х', хр0), когда со = 0. Обозначим ее через Ф( х, х0 ) . Таким образом,
л
j
2-У
P2x, + 4 xp-1 xp-1,0sin2 pp
sink 1 pdp =
:(4xp-1 xp-1,0) 2 jpk-1
2-у
о
d p + Ф(х ,x0 ).
Введя в последнем равенстве новую переменную р = 2ю% , получим
и
1-у
PP + 4xp-1 Vi,osin2 р
sink 1 рр =
2-у
П
2a
2-у
Так как в 0++ Та [£ (х, х0)] = 0, то последнее равенство можно представить следующим образом
| £(хх0)т„[р(х)]хкр-1хра<^х =
= (4xp-ixp-i,o)2 a2 J ^ [1 + ^2] 2 d^ + ф(x,xo) =
QsR
= J [-£ (x, xo )Aa[p(X )]+P(x )4[£ X0 )]]XUdSx0s =
P
2- p
2-y
2- P 2
(4 (-1 Xp-1,o)
П
2a
xJfk-1 [1 + £2 ] T с# + ф(х, Xo)
(4xp-1 xp-1,o ) 2 2k x = -J[£ (x xo )A«[p(x )^-^(X)A«t£ (x xo ^К-^є =
(1o)
2-Y
п
2a
2-Y
(9)
= J + /'+ I’,
Є Є Є 5
= (хр-1 хр-1,0 )2 р2-р |#к-1 [1 + #2 ] 2 ^ +
0
-к
+Ф( х0 ) = (хр-1хр-1,0 ) 2 Р2х! + Д ( х0 ) , где Д (х, х0 ) - регулярная в точке (х, х0 ) функция.
Таким образом, (8) может быть представлено в виде
£ ( х0 ) = ВСк (хр-1 хр-1,0 ) 2 Р2х* +
+£* (х, х0 ) = £ (х, х0) + £ * (х, х0), где £* (х, х0) - регулярная в точке (х, х0) функция.
Покажем, что £ (х, х0) является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке х0 . Ясно, что условие 2) определения выполняется для £ (х, х0) . Проверим выпол- где нимость первого условия.
Пусть функция
где Аа - внешняя конормаль к сфере Sxє,
J =- J [£* (x; xo HWx )]-
Sx є xo є
-p(x) Aa [£* (x; xo )]] XP-1CSxo є,
1 s =-J £ (X Xo ) Aa [P(X)]XP-1CSxo є ,
Sx _ xo є
1 l = J P(x) Aa [£ (^ Xo )^XP-1dSxo є •
Ясно, что
lim Jє = o , limIS = o •
(11)
Рассмотрим
i;= J p(x)Aa[£(x,Xo)]xp_1dSv
BCk J P(x) Aa (xp-1xp-1,o )2 P
= JS + J
2- P
xk CS =
P-1 Xo є
є є
p(x)є Co“(E++) , Supp p(x) - фиксированная точка, SXoi; - сфе-
-k
|T
xp^
ра с центром в точке xo и радиуса є , такого, что
Sx0є с E++ , SR ={x є E+++ : Iх = R,Xp-1 > 0, xp > o} - четверть сферы с центром в начале координат, такая что Supp р с Q++, где Q++ - четверть шара, ограниченного S++. Через Q+R обозначим область, ограниченную SR+, Sx є частью гиперплоскостей хp-1 = o и xp = o . Применяя к функциям £ (х, xo)
и рРх) вторую формулу Грина в области Q++ , получаем
J [£(x,xo)ra[p(x)]-p(x)ra[£(x,xo)]]x;p-1 xpadx =
Q+R
= J [£ (X, xo )A«[p(X)]-P(x)A«[£ (X, xo )]]xP-1CSxo є , где Aa - внутренняя конормаль к сфере S є.
J = BCk J P(x)P2x!Aa (Xp-1 Xp-1,o )
Sx є _
xo є
J”= BCk J P( x) (Xp -1 Xp-1,o )2 K\_Pp! ] XP-1dSXo є •
Ясно, что
lim J' = o •
є^
Рассмотрим
j”=BCk j p( x) (xp-1 xp-1,o )2 Aaapp ] xp-1dSxo
Sxo є
-k k
= -(P - 2)BCkXp2-1,o J P(x)Xp2-1Pp,Aa [pxx0 ] S
Sx є xo є
-k k
= -(P - 2)BCkXp2-1,o J P(x)Xp2-1P^0P x
xo є
X-aV cos (и, X,.) PXXo + xa cos
p ¿—І V ’ J) p
,=1 ах,
(n, xp )P
dx„
dSv.
Так как поверхность S є определяется урав-
нением
71
xo є
S
xo є
S
S
xo є
то
r = Х,. - X ) = є,
1=1
/ ч Ör X - ^ , —
cos (и, Xi ) = —=------------------ , 1 = 1, p ,
dr¿ r
dp = X- - X- о
Sx,.
Prc
, j = I p -1,
P = X^- X1-
dxp (1 _a)xpPxxo '
Отсюда следует, что
i -k
j p(x) xP-1
1 —
J'J = -(p -2)BCk - Xp2 є
p p X
~ ДХ,
Ё ( - Xо )2 + X“ ( - Xpo)
j=1
і _k
= -(p -2)BCk-Xp2-1,o
xl~a - x1_a
^p Xp o
(1 -а)
k
j P(r)X2_1
■as =
p Хоє
p -1
Kx- xio )2+xa (- xp o)
-=1
1-а - 1-а
Ap Ap o
(1 -а)
Ц (Xi - Xio )2
j=1
-x“°dS .
p p v
f r1-“ - ^ V T 2
Xp xpo
1 -“
Z (Xi - Xio )2 j=1
Sro
4“
■V +e(Xp -Xpo)
-r-“dSr
p p Xoє
2
получаем
1 -k
j;=-( p-2) BCk~r
k Лп -1,o
є
27T Л Л
X j dq\ j sin ^2d^2 — j sin p~3 Pp_2dtyp_2 X
o o o
П
xj^(ri0 sin ^2...sin фр-2 sin^p-1,—, Xp o +ЄCOS^p-l )>
o
k
X(Xp-1o + gC0SPp-2 sin Pp-1 )2 (Xpo + gC0SPp-1 ) “ X
є2 sin2 Pp-1 +
"p-2 sin Pp
f Xp o +ЄС0Р-1 V XP o +6>gC0sPp-1 J
2 2 є cos Ф
pp
, 2 Í \-2а
sin Pp-1 + (Xpo + дє cos Pp-1) є
Xgp-1 sinp-2 Pp_xdpp-v
2 Cos2 Pp-1
rP-1 тP-
Сократив на sp+1 и переходя к пределу при s ^ 0, имеем
•/I'=-(P -2)bQp(хо)Х-Г х
2п п п
х j dpjsin^2d^2 .sinP-3 Pp-2dPp-2 х
0
п í-
o o
n
X o
sin p_2 Pp_1dPp_1
В последнем равенстве, используя формулу Лагранжа
/ ( х)-/( х0 ) = /'( х0 + в( х - х0 ))( х - х0 ) , (12) где 0 < в < 1, получаем
1 -к к
г: = ~(р -2)ВСк - хр-1,0 |р(х)хр- X
' ( Pp-1 где J" = lim Jє".
є ——o
Учитывая, что
Pp_J
p ’ 2
L П П П
j dp jsinp2dp2...jsinp-3 pp-2dpt
p-1 2n 2
p2 V p -1
имеем
^( -x¡o)2 +( +^(xp -xp0)) )xp -xp0
j=1
Переходя к обобщенной сферической системе координат
x1 = x10 + r sin q\ sin (p2 „. sin q> 2 sin pp-1,
x2 = x2 0 + r cosp sinp2 .sin pp_2 sin pp-1,
x3 = x3,0 + r COs P2 . sin Pp_2 sin Pp_1,
J”=-(p -2)BCkP(Xo )XX
p-1 -2
2n 2 П sinp Pp-1dPp-1
(14)
( Pp-1 + X-“ cos2 p)
Преобразуем интеграл в (14):
П
i=j
sin p-2 Pp_ldPp_l
(sin2 Pp_1 + X_2o“ cos2 Pp-1)
:2j
2 sin p_2 Pp _1dPp _1
xp-1 = xp-1,0 + r C0s Pp-2 sin Pp-1,
^ xP = xp ,0 + r cosPp -1,
(0<r <<x>,0<p <2п,0<pv <n,v = 2,.,p-1) и учитывая, что элемент поверхности сферы представляется в виде
dSxss = sp-1 sin p2. „sinp-2 Pp-dp . „ dpp-!,
o (sin2 Pp_1 + X_2o“ cos2 Pp_1 )2 d (cí^Pp_1) =
П
"2
= -2j
í1 + X_2o“^g 2Pp-1)
X
S
o
X
П
= -2 xa
d (x(CtgPp-1)
o (1 + (( tgPp-1 )2)2
Отсюда после замены
х-а сї£Фр -1 =І
срр-1 = 0, і ^
п
Т
получаем
1=-2 х;, I------р =2 ха, I
Pp-1 = -, f = 0,
(1+f2)2 o (1+12)
Учитывая, что
7 x—-1 1
(\n+1 .. „„n+1
( + qxv) vp
— Г| — Irf n +1 - —
Г(п +1)
o < —< n +1,
имеем
I = 2 x
po
Подставив полученное выражение в (24), будем иметь
р_
2п2
г;=-(р-2)вСк т -р(х0). гГ р
Потребуем, чтобы
B = -
r|p
(15)
Г
£ (x, xo ) = -
j(xp-1 xp-1,o) 2 P (p - 2)2п2
+£* (x, xo) = £ (x, xo) + £ * (x, xo),
является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в произвольной точке х0 .
3. Интегральное представление
Пусть функция и (х) е СВ (О) П С1а (о) является решением уравнения (1) в области О и точка М0 (х0) е О . Рассмотрим сферу Sx е с центром
в точке М0 и радиуса е , такого, что. Sx е сА. Обозначим через 0е область, ограниченную координатными гиперплоскостями х р-1 = 0 ,
хр — 0, гиперповерхностью Г и сферой Sxде (0е—0 \ SXfj£). Ясно, что фундаментальное решение £ ( х, х0 ) принадлежит классу и (х)е СВ (0е) П Са (Ое) . Применяя к функциям £ (х, х0 ) и и (х) вторую формулу Грина в области Ае, учитывая, что Та [£ (х, хд)] — 0 и Та [и (х)] — 0 в 0^, получаем
|[£ (^ х0 ) 4[и( х)]- £ ( x, х0 )Аа[и (х )]}} } =
Г
= | [£ (x, х0 )АЛи( х)]- £ (x, х0 )Аа[и (х)]]хр-1<Й0 =
Soе
= 4 +1е
Ясно, что
є^0
Согласно формуле (16) lim 1= - lim
є^0 2є є^0
lim І1є = o,
J u(x) Aa [£ (X, xo )]xP-^x^ =U (x0 ) •
(р - 2)2п2Ск Таким образом, имеет место следующее предельное соотношение
Й0 I Р(р)А“[£ (х х0 =-рх0 ). (16)
е
°х0^
Переходя к пределу в (10) с учетом (15), (16) получим
I £(х х0 )Та\рх)] хр-1 храЖх = -р(х0 ).
К+
Таким образом, функция
Следовательно,
|[£ (^ х0 ) Аа [и(х)] - £ (x, х0 ) Аа [и (х)]]}-}Г =
Г
= и (х0 ).
Таким образом, для всякого решения и (х)е СВ (О) П С1а (о) уравнения (1) и для любой точки х0 е О справедливо следующее интегральное представление
и (х0 ) = |[£ (^ х0 ) Аа [и( х)]-
Г (17)
-£ (x, х0 )АЛ [и (х)]] хк-АГ.
Из интегрального представления (17) вытекают следующие свойства решений уравнения (1):
1. Существуют решения и (х) уравнения (1) в области О , удовлетворяющие условию
и (х) — О (х(а-1)(г-2)) при хр ^ 0. (18)
V
2. Существуют решения и(х) уравнения (1) в области 0е — Е++ \ О, удовлетворяющие условию
и (х) — О (ро^р-2)) при
=7?
(19)
где р02 = 1x1
(1 -а)
. + x
_x ^
2Х Р
4. Принцип максимума
Теорема (принцип максимума). Если
и (х) є СВ (О) П С1а (о) - решение уравнения (1), то функция и(х) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она не равна нулю. Доказательство: Предположим, что функция
и (х) є СВ (О) П С1а (о) удовлетворяет уравнению
(1) и достигает своего положительного наибольшего значения и(х0) в некоторой внутренней
точке М0 (х0) области О. Тогда существует 5-окрестность точки х0, в которой и(х) < и(х0), при х Ф х0, и и (х) > 0 . Пусть 5 - сфера с центром в точке х0 и радиусом 5. Полагая в интегральном представлении (17) решения и (х) Г = 5, получим
и (х0) = I £ ( ^ х0 ) Аа\_и (х)\ хр-1жех05-
Єщ5
(20)
- ] и(х)Аа \£(X, х0 )] х^-1ЖЄх05 = 11 + 12.
Т.к. и(х) > 0 и E(x,x0) > 0, а конормаль Аа[ ] является внешней по отношению к сфере 5 , то
Аа [U(Х)]< 0 и Аа [E(£ Х0)] < 0, и, следовательно, / < 0 и /2 > 0 . При 5 ^ 0 / возрастая стремится к нулю, а /2 возрастая стремится к и (х0) . Таким образом, / < 0 и /2 < и(х0) . Учитывая это, и заменяя в (20) и(х) на и(х0), получим бессмысленное неравенство
и(х0) </2 < и(х0). (21)
Следовательно, функция и (х) может достигнуть своего положительного наибольшего значения лишь на границе Г.
С помощью перехода от и к —и доказывается второе утверждение теоремы. При этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное.
Следствие: Если функция
и(х)е Св (Q) n са (q) является решением уравнения (1), то |и(х)| <max|и(£)|, хeQ. В частности, если и (х )|Г = 0, то и( х) = 0 в Q.
1. Киприянов И.А, Кононенко В.И. Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений.// Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т.3. -№1. - С.114-129.
°x„S
THE INTEGRAL REPRESETATION OF THE SOLUTION OF THE B -ELLIPTICAL EQUATION WINT STRONG CHARACTERISTIC DEGENERATION
E.V.Chebotareva
Fundamental solution and integral representation for one multidimensional B-elliptical equation with strong characteristic degeneration are built in the given research work.
Key words: B -elliptical equation, character degeneration, Green's formula
Чеботарева Эльвира Валерьевна - аспирант кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета
E-mail: mf@tggpu.ru