Интегральное представление решения B-эллиптического уравнения с сильным характеристическим вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2008. №4(15)

УДК 517.9

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ B-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

© Э.В.Чеботарева

В данной работе строятся фундаментальное решение и интегральное представление фундаментального решения для одного многомерного B -эллиптического уравнения с сильным характеристическим вырождением.

Ключевые слова: B -эллиптическое уравнение, характеристическое вырождение, формула Грина

Пусть Е+

четверть x > 0 , x , > 0 p -

Пусть функции u, v є C2B (О) П С1а (о) . Непо-

мерного евклидова пространства точек средственными вычислениями можно проверить,

x =

(x",xp), x' = (,x2,...,xp_2), x" = (x',xp-1), Q

что

- x

- конечная область в E++ , ограниченная гипер- ^ \и ]xk + V

„ „ р-1 j-í дхі дxi р дхр дхр

поверхностью Г и частями і 0 и і 1 гиперпло- 4 11 р р;

p-і

du dv

du dv

\

xk і = p-1

скостей хр-1 = 0 и хр = 0 соответственно, О. = Е+ \ (О и Г).

Рассмотрим в Е+р+ вырождающееся В -эллиптическое уравнение

Ta[u( x)] = Axu + B u + xp

dx„

du

\

. p dx .

\ p

p-2 d2

где A*’=Z xj

Bx =X- + k

= 0, (1)

d

дх2 Хр-1 дх2 х дх

і =іихз ихр-1 хр-1их р-1

оператор Бесселя, а > 1, к > 0 - постоянные, р > 3.

1. Формулы Грина

В характеристических координатах

£ = *,і =1,р-^ £ =^~

1 -а

уравнение (1) приводится уравнению

д 2и д2и к ди д2и 0

d2u k

- + -

d£2 d^-1 ' £p-i d^p-i ' d^

(2)

p-1 д

= Y —

j=1 dxj

(

\

k du x ,v—

p-1 dx.

\ j

(

dx

du

\

(3)

x , x v—

p-1 p dx

\ p.

Умножая обе части тождества (3) на хра, интегрируя по области О и пользуясь формулой Остроградского, получим

[и 1 хк , х-а<3х +

J vTa[u ] xp-1

+J|s

p-1 du dv

du dv

n\ .=1 dxj dxj p dxp dxp .

x p-1 x-adx = (4)

J vAa[u ]xp-1d Г,

Г

p-1

где Aa[ ] = x-“Z C0S (' xj)

j=1

d / \ d

----+ xp cos(n,xp)------

dx. p v p} cxp

конормальная производная, п - внешняя нормаль к границе Г.

Поменяв в формуле (4) и и V местами, получим

к , —а „

J uTa[v] xp -1x-adx +

а область О переходит в бесконечную область.

Обозначим через С% (о) множество функций /(х), т раз непрерывно дифференцируемых в О и удовлетворяющих условию

/(х) = О(хра-1)^-2)) при хр ^ 0 (здесь

у = р + к), а через СВ (О) множество четных по хр-1 дважды непрерывно дифференцируемых функций.

+JÍÍ

du dv

du dv

Q\ j =1 dxj dxj p dxp dxp

xp-1 x-adx =

= | ЧДфр-^Г.

Г

Вычитая данное равенство из (4), будем иметь

\\уТа \и ]- иТа \V]] хр-1 =

О (5)

= \\уАа\и ]- иАа\]\ хр-1а Г.

1-а

Формулы (4) и (5) называются соответственно первой и второй формулами Грина для оператора Та •

Если функции и и v являются решениями уравнения (1), то из формулы (5) имеем

\\_vAa [u] - uAa [v]] XUdГ = 0 •

Полагая v = 1, получим

j Aa[u ]xkp _xd Г = 0,

(6)

(7)

>2-У.

0

где Po =

1

1-а

\2 P

-2 xp-1 xp-i,oCOS^ +

Г

где Ck =-

k +1

4Пг

f x1~a - X--a V

P_________po_

1 -a

v y

,Y = P + k.

„2-У

(8)

sin

Рассмотрим подинтегральную функцию

|xi - x' I + x2 + x2

І A0| т лр-1 т лр-1,0

-2 xp-1 xp-1,0cosP +

f YUa - YUa V Xp Xp0

1 -a

2-у

2

lx' - x0 Г + x2p-1 + xP-1,o - 2xp-1 xp-1,0 +

2-у

т.е. интеграл от конормальной производной решения уравнения (1) по границе области равен нулю.

2. Фундаментальное решение

Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в начале координат имеет вид

к (£) = А £Г,

где А - нормирующая константа.

Переходя к старым переменным, имеем

Ш (х ) = Вр2

+2xp-1 xp-1,o (1 - COSÿ) +

( xl~a - xl~a ^ xp xp 0

1 -a

v y

р\ + 4 xp -1 xp -1,0sin2 Pp

2-у

2 I f f\2

где Pxx0 = x - x0

Ґ „1

,1-a \

xp - xp 0

1 -a

v y

Это означает, что

j[|x'- x0 Г + xP-1 + x2-1,0 - 2xp-1 xp-1,0COS P +

(1 -а)

Определение: Функция E(x, x0) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке x0 е Е++ , если она удовлетворяет условиям:

1) для любой функции ср(х)е C“(Ер+) такой, что х0 е Supp р(х) имеет место равенство

j E(x,хо )т«[р(х)]xp-ixPadx — р(хо);

Е++

2) E (х, х0) является решением уравнения (1) во всех точках Е++, за исключением точки

хо е е++ .

Применим к W(х) оператор обобщенного сдвига T*0 :

П

E (x, хо)=вск j [|х'- х012 + хр-1 + хр-1,о-

f y1~a - rl-a Ÿ Xp Xp0

1 -a

v y

2-у

2

sink 1 pdp =

j

Pp + 4 xp-1 xp-1,0sin2T

2-У

2

2-y n

:(4xp-1 xp-1,0 ) 2 j

sin cpdp =

2-у

2 *2 P

о + sin —

2

sink 1 pdp,

2 Px

где со = -

4 xp-1 xp-1,0

Разность между данным интегралом и интегралом

2-у

dp

(4хр-1 хр-1,0 ) 2 \фк-0

является регулярной функцией от (х', хр ) даже в точке (х', хр0), когда со = 0. Обозначим ее через Ф( х, х0 ) . Таким образом,

л

j

2-У

P2x, + 4 xp-1 xp-1,0sin2 pp

sink 1 pdp =

:(4xp-1 xp-1,0) 2 jpk-1

2-у

о

d p + Ф(х ,x0 ).

Введя в последнем равенстве новую переменную р = 2ю% , получим

и

1-у

PP + 4xp-1 Vi,osin2 р

sink 1 рр =

2-у

П

2a

2-у

Так как в 0++ Та [£ (х, х0)] = 0, то последнее равенство можно представить следующим образом

| £(хх0)т„[р(х)]хкр-1хра<^х =

= (4xp-ixp-i,o)2 a2 J ^ [1 + ^2] 2 d^ + ф(x,xo) =

QsR

= J [-£ (x, xo )Aa[p(X )]+P(x )4[£ X0 )]]XUdSx0s =

P

2- p

2-y

2- P 2

(4 (-1 Xp-1,o)

П

2a

xJfk-1 [1 + £2 ] T с# + ф(х, Xo)

(4xp-1 xp-1,o ) 2 2k x = -J[£ (x xo )A«[p(x )^-^(X)A«t£ (x xo ^К-^є =

(1o)

2-Y

п

2a

2-Y

(9)

= J + /'+ I’,

Є Є Є 5

= (хр-1 хр-1,0 )2 р2-р |#к-1 [1 + #2 ] 2 ^ +

0

-к

+Ф( х0 ) = (хр-1хр-1,0 ) 2 Р2х! + Д ( х0 ) , где Д (х, х0 ) - регулярная в точке (х, х0 ) функция.

Таким образом, (8) может быть представлено в виде

£ ( х0 ) = ВСк (хр-1 хр-1,0 ) 2 Р2х* +

+£* (х, х0 ) = £ (х, х0) + £ * (х, х0), где £* (х, х0) - регулярная в точке (х, х0) функция.

Покажем, что £ (х, х0) является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке х0 . Ясно, что условие 2) определения выполняется для £ (х, х0) . Проверим выпол- где нимость первого условия.

Пусть функция

где Аа - внешняя конормаль к сфере Sxє,

J =- J [£* (x; xo HWx )]-

Sx є xo є

-p(x) Aa [£* (x; xo )]] XP-1CSxo є,

1 s =-J £ (X Xo ) Aa [P(X)]XP-1CSxo є ,

Sx _ xo є

1 l = J P(x) Aa [£ (^ Xo )^XP-1dSxo є •

Ясно, что

lim Jє = o , limIS = o •

(11)

Рассмотрим

i;= J p(x)Aa[£(x,Xo)]xp_1dSv

BCk J P(x) Aa (xp-1xp-1,o )2 P

= JS + J

2- P

xk CS =

P-1 Xo є

є є

p(x)є Co“(E++) , Supp p(x) - фиксированная точка, SXoi; - сфе-

-k

|T

xp^

ра с центром в точке xo и радиуса є , такого, что

Sx0є с E++ , SR ={x є E+++ : Iх = R,Xp-1 > 0, xp > o} - четверть сферы с центром в начале координат, такая что Supp р с Q++, где Q++ - четверть шара, ограниченного S++. Через Q+R обозначим область, ограниченную SR+, Sx є частью гиперплоскостей хp-1 = o и xp = o . Применяя к функциям £ (х, xo)

и рРх) вторую формулу Грина в области Q++ , получаем

J [£(x,xo)ra[p(x)]-p(x)ra[£(x,xo)]]x;p-1 xpadx =

Q+R

= J [£ (X, xo )A«[p(X)]-P(x)A«[£ (X, xo )]]xP-1CSxo є , где Aa - внутренняя конормаль к сфере S є.

J = BCk J P(x)P2x!Aa (Xp-1 Xp-1,o )

Sx є _

xo є

J”= BCk J P( x) (Xp -1 Xp-1,o )2 K\_Pp! ] XP-1dSXo є •

Ясно, что

lim J' = o •

є^

Рассмотрим

j”=BCk j p( x) (xp-1 xp-1,o )2 Aaapp ] xp-1dSxo

Sxo є

-k k

= -(P - 2)BCkXp2-1,o J P(x)Xp2-1Pp,Aa [pxx0 ] S

Sx є xo є

-k k

= -(P - 2)BCkXp2-1,o J P(x)Xp2-1P^0P x

xo є

X-aV cos (и, X,.) PXXo + xa cos

p ¿—І V ’ J) p

,=1 ах,

(n, xp )P

dx„

dSv.

Так как поверхность S є определяется урав-

нением

71

xo є

S

xo є

S

S

xo є

то

r = Х,. - X ) = є,

1=1

/ ч Ör X - ^ , —

cos (и, Xi ) = —=------------------ , 1 = 1, p ,

dr¿ r

dp = X- - X- о

Sx,.

Prc

, j = I p -1,

P = X^- X1-

dxp (1 _a)xpPxxo '

Отсюда следует, что

i -k

j p(x) xP-1

1 —

J'J = -(p -2)BCk - Xp2 є

p p X

~ ДХ,

Ё ( - Xо )2 + X“ ( - Xpo)

j=1

і _k

= -(p -2)BCk-Xp2-1,o

xl~a - x1_a

^p Xp o

(1 -а)

k

j P(r)X2_1

■as =

p Хоє

p -1

Kx- xio )2+xa (- xp o)

-=1

1-а - 1-а

Ap Ap o

(1 -а)

Ц (Xi - Xio )2

j=1

-x“°dS .

p p v

f r1-“ - ^ V T 2

Xp xpo

1 -“

Z (Xi - Xio )2 j=1

Sro

4“

■V +e(Xp -Xpo)

-r-“dSr

p p Xoє

2

получаем

1 -k

j;=-( p-2) BCk~r

k Лп -1,o

є

27T Л Л

X j dq\ j sin ^2d^2 — j sin p~3 Pp_2dtyp_2 X

o o o

П

xj^(ri0 sin ^2...sin фр-2 sin^p-1,—, Xp o +ЄCOS^p-l )>

o

k

X(Xp-1o + gC0SPp-2 sin Pp-1 )2 (Xpo + gC0SPp-1 ) “ X

є2 sin2 Pp-1 +

"p-2 sin Pp

f Xp o +ЄС0Р-1 V XP o +6>gC0sPp-1 J

2 2 є cos Ф

pp

, 2 Í \-2а

sin Pp-1 + (Xpo + дє cos Pp-1) є

Xgp-1 sinp-2 Pp_xdpp-v

2 Cos2 Pp-1

rP-1 тP-

Сократив на sp+1 и переходя к пределу при s ^ 0, имеем

•/I'=-(P -2)bQp(хо)Х-Г х

2п п п

х j dpjsin^2d^2 .sinP-3 Pp-2dPp-2 х

0

п í-

o o

n

X o

sin p_2 Pp_1dPp_1

В последнем равенстве, используя формулу Лагранжа

/ ( х)-/( х0 ) = /'( х0 + в( х - х0 ))( х - х0 ) , (12) где 0 < в < 1, получаем

1 -к к

г: = ~(р -2)ВСк - хр-1,0 |р(х)хр- X

' ( Pp-1 где J" = lim Jє".

є ——o

Учитывая, что

Pp_J

p ’ 2

L П П П

j dp jsinp2dp2...jsinp-3 pp-2dpt

p-1 2n 2

p2 V p -1

имеем

^( -x¡o)2 +( +^(xp -xp0)) )xp -xp0

j=1

Переходя к обобщенной сферической системе координат

x1 = x10 + r sin q\ sin (p2 „. sin q> 2 sin pp-1,

x2 = x2 0 + r cosp sinp2 .sin pp_2 sin pp-1,

x3 = x3,0 + r COs P2 . sin Pp_2 sin Pp_1,

J”=-(p -2)BCkP(Xo )XX

p-1 -2

2n 2 П sinp Pp-1dPp-1

(14)

( Pp-1 + X-“ cos2 p)

Преобразуем интеграл в (14):

П

i=j

sin p-2 Pp_ldPp_l

(sin2 Pp_1 + X_2o“ cos2 Pp-1)

:2j

2 sin p_2 Pp _1dPp _1

xp-1 = xp-1,0 + r C0s Pp-2 sin Pp-1,

^ xP = xp ,0 + r cosPp -1,

(0<r <<x>,0<p <2п,0<pv <n,v = 2,.,p-1) и учитывая, что элемент поверхности сферы представляется в виде

dSxss = sp-1 sin p2. „sinp-2 Pp-dp . „ dpp-!,

o (sin2 Pp_1 + X_2o“ cos2 Pp_1 )2 d (cí^Pp_1) =

П

"2

= -2j

í1 + X_2o“^g 2Pp-1)

X

S

o

X

П

= -2 xa

d (x(CtgPp-1)

o (1 + (( tgPp-1 )2)2

Отсюда после замены

х-а сї£Фр -1 =І

срр-1 = 0, і ^

п

Т

получаем

1=-2 х;, I------р =2 ха, I

Pp-1 = -, f = 0,

(1+f2)2 o (1+12)

Учитывая, что

7 x—-1 1

(\n+1 .. „„n+1

( + qxv) vp

— Г| — Irf n +1 - —

Г(п +1)

o < —< n +1,

имеем

I = 2 x

po

Подставив полученное выражение в (24), будем иметь

р_

2п2

г;=-(р-2)вСк т -р(х0). гГ р

Потребуем, чтобы

B = -

r|p

(15)

Г

£ (x, xo ) = -

j(xp-1 xp-1,o) 2 P (p - 2)2п2

+£* (x, xo) = £ (x, xo) + £ * (x, xo),

является фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в произвольной точке х0 .

3. Интегральное представление

Пусть функция и (х) е СВ (О) П С1а (о) является решением уравнения (1) в области О и точка М0 (х0) е О . Рассмотрим сферу Sx е с центром

в точке М0 и радиуса е , такого, что. Sx е сА. Обозначим через 0е область, ограниченную координатными гиперплоскостями х р-1 = 0 ,

хр — 0, гиперповерхностью Г и сферой Sxде (0е—0 \ SXfj£). Ясно, что фундаментальное решение £ ( х, х0 ) принадлежит классу и (х)е СВ (0е) П Са (Ое) . Применяя к функциям £ (х, х0 ) и и (х) вторую формулу Грина в области Ае, учитывая, что Та [£ (х, хд)] — 0 и Та [и (х)] — 0 в 0^, получаем

|[£ (^ х0 ) 4[и( х)]- £ ( x, х0 )Аа[и (х )]}} } =

Г

= | [£ (x, х0 )АЛи( х)]- £ (x, х0 )Аа[и (х)]]хр-1<Й0 =

Soе

= 4 +1е

Ясно, что

є^0

Согласно формуле (16) lim 1= - lim

є^0 2є є^0

lim І1є = o,

J u(x) Aa [£ (X, xo )]xP-^x^ =U (x0 ) •

(р - 2)2п2Ск Таким образом, имеет место следующее предельное соотношение

Й0 I Р(р)А“[£ (х х0 =-рх0 ). (16)

е

°х0^

Переходя к пределу в (10) с учетом (15), (16) получим

I £(х х0 )Та\рх)] хр-1 храЖх = -р(х0 ).

К+

Таким образом, функция

Следовательно,

|[£ (^ х0 ) Аа [и(х)] - £ (x, х0 ) Аа [и (х)]]}-}Г =

Г

= и (х0 ).

Таким образом, для всякого решения и (х)е СВ (О) П С1а (о) уравнения (1) и для любой точки х0 е О справедливо следующее интегральное представление

и (х0 ) = |[£ (^ х0 ) Аа [и( х)]-

Г (17)

-£ (x, х0 )АЛ [и (х)]] хк-АГ.

Из интегрального представления (17) вытекают следующие свойства решений уравнения (1):

1. Существуют решения и (х) уравнения (1) в области О , удовлетворяющие условию

и (х) — О (х(а-1)(г-2)) при хр ^ 0. (18)

V

2. Существуют решения и(х) уравнения (1) в области 0е — Е++ \ О, удовлетворяющие условию

и (х) — О (ро^р-2)) при

=7?

(19)

где р02 = 1x1

(1 -а)

. + x

_x ^

2Х Р

4. Принцип максимума

Теорема (принцип максимума). Если

и (х) є СВ (О) П С1а (о) - решение уравнения (1), то функция и(х) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного наименьшего значений на границе Г, если она не равна нулю. Доказательство: Предположим, что функция

и (х) є СВ (О) П С1а (о) удовлетворяет уравнению

(1) и достигает своего положительного наибольшего значения и(х0) в некоторой внутренней

точке М0 (х0) области О. Тогда существует 5-окрестность точки х0, в которой и(х) < и(х0), при х Ф х0, и и (х) > 0 . Пусть 5 - сфера с центром в точке х0 и радиусом 5. Полагая в интегральном представлении (17) решения и (х) Г = 5, получим

и (х0) = I £ ( ^ х0 ) Аа\_и (х)\ хр-1жех05-

Єщ5

(20)

- ] и(х)Аа \£(X, х0 )] х^-1ЖЄх05 = 11 + 12.

Т.к. и(х) > 0 и E(x,x0) > 0, а конормаль Аа[ ] является внешней по отношению к сфере 5 , то

Аа [U(Х)]< 0 и Аа [E(£ Х0)] < 0, и, следовательно, / < 0 и /2 > 0 . При 5 ^ 0 / возрастая стремится к нулю, а /2 возрастая стремится к и (х0) . Таким образом, / < 0 и /2 < и(х0) . Учитывая это, и заменяя в (20) и(х) на и(х0), получим бессмысленное неравенство

и(х0) </2 < и(х0). (21)

Следовательно, функция и (х) может достигнуть своего положительного наибольшего значения лишь на границе Г.

С помощью перехода от и к —и доказывается второе утверждение теоремы. При этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное.

Следствие: Если функция

и(х)е Св (Q) n са (q) является решением уравнения (1), то |и(х)| <max|и(£)|, хeQ. В частности, если и (х )|Г = 0, то и( х) = 0 в Q.

1. Киприянов И.А, Кононенко В.И. Фундаментальные решения B -эллиптических уравнений.// Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т.3. -№1. - С.114-129.

°x„S

THE INTEGRAL REPRESETATION OF THE SOLUTION OF THE B -ELLIPTICAL EQUATION WINT STRONG CHARACTERISTIC DEGENERATION

E.V.Chebotareva

Fundamental solution and integral representation for one multidimensional B-elliptical equation with strong characteristic degeneration are built in the given research work.

Key words: B -elliptical equation, character degeneration, Green's formula

Чеботарева Эльвира Валерьевна - аспирант кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета

E-mail: mf@tggpu.ru