Задача диффузии в трехслойной неоднородной неограниченной среде с мягкими границами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

С.Г. БЛАЖЕВСЬКИЙ

Чершвецький нацюнальний ушверситет iMeHi Юрiя Федьковича

ЗАДАЧА ДИФУЗП В ТРИШАРОВОМУ НЕОДНОР1ДОМУ НЕОБМЕЖЕНОМУ

СЕРЕДОВИЩ1 З М'ЯКИМИ МЕЖАМИ

Операцшним методом отримано iнтегральне зображення точного аналтичного розв 'язку задач1 про дифузшт процеси в тришарових необмежених середовищах з м'якими межами у випадку, коли моделювання дифузшних процеав здтснено за допомогою методу гiбридного диференщального оператора Ейлера-Ейлера-Фур 'е.

Ключовi слова:ттегральне перетворення Лапласа, рiвняння дифузп, крайова задача.

С.Г. БЛАЖЕВСКИЙ

Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича

ЗАДАЧА ДИФФУЗИИ В ТРЕХСЛОЙНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ С

МЯГКИМИ ГРАНИЦАМИ

Операционным методом получено интегральное изображение точного аналитического решения задачи о диффузионных процессах в трехслойных неоднородных неограниченных средах с мягкими границами в случае, когда моделирование диффузионных процессов осуществлено методом гибридного дифференциального оператора Эйлера-Эйлера-Фурье.

Ключевые слова: интегральное преобразование Лапласа, уравнение диффузии, краевая задача.

S.G. BLAZHEVSKIY

Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University

THE DIFFUSION PROBLEM IN THREE-LAYERED HETEROGENEOUS UNBOUNDED

ENVIRONMENT WITH SOFT LIMITS

We get the integral representation of exact analytical solve of problem about diffusive processes in three-layered heterogeneous unbounded environments with soft limits by operating method, when the design of diffusion processes is carried out by the method of hybrid differential operator Euler-Euler-Fourier.

Keywords: integral Laplace transform, diffusion equation, boundary problem.

Постановка проблеми та анаш публшацш по TeMi дослщження

Процеси дифузп, яш постшно вщбуваються в навколишньому середовищ1, привертали до себе увагу протягом уае! гстори розвитку сустльства. Але серйозш дослщження почалися з найпростшо! модел1 дифузшного процесу - диференщального р1вняння дифузп (теплопровщностГ) парабол1чного типу [1]:

du 2 du2 _. . — - a= f (t, r) dt dr2

з ввдповщними початковими та крайовими умовами. Потреби практики призводили до р1зного узагальнення даного р1вняння. Сл1д ввдмтити появу в другш половиш XX-го стотття «Узагальнено! термомехашки», породжено! гшербол1чним р1внянням теплопроввдносп [2]. Розроблялися р1зш аналггачш, числов1 та аналггачно-числов1 методи знаходження розв'язку.

Особливу увагу заслуговуе розроблений в другш половиш XX-го столптя метод кусково-сталих ф1зико-техшчних характеристик для вивчення техшчного стану композитних матер1ал1в. Це привело навггь у випадку жорсткосп меж1 обласп до диференщального р1вняння з сингулярними коефщентами типу дельта-функцш та и похвдних [3]. 1нтегральне зображення точного аналггачного розв'язку задач1 в цьому випадку одержати неможливо. Цих труднощ1в можна уникнути, якщо здшснити моделювання дифузшного процесу методом пбридних диференщальних оператор1в. При цьому межа середовища може бути м'яка по вщношенню до вщбиття хвиль.

Мета статт

Дана робота присвячена моделюванню нестацюнарних дифузшних процеав методом пбридного диференщального оператора Ейлера-Ейлера-Фурье на трискладовому необмеженому сегменп в припущенш, що межа середовища м'яка по ввдношенню до ввдбиття хвиль.

Основна частина

Побудуемо обмежений в област D2 = {(t, r): t e (0, да), r e I2 = (Ro, Ri) u (Ri, R2) u (R2, да); Ro > 0} розв'язок сепаратно! системи диференщальних pÍBHHHb дифузй' параболiчного типу

—1 + YÍui(t, r) - a{ Ba [ui(t, r)] = fi(t, r), re (R o, Ri), dt 1

duo o o *

-d2 + Y2U2(t, r) - aiBa2[u2(t, r)] = f2(t, r), r e (R i, R2), (i)

2

du3 2 ч 2 д u3(t, r)

—3 + riu3(t,r) - ai-^^ = f3(t, r), r e (R2, да),

dt dr2

за початковими умовами

ui(t, r)\t = o = gi(r), r e (Ro, Ri),

u2(t, r)\t = o = g2(r), r e (Ri, R2), (2)

ui(t, r)\t = o = gi(r), r e (R2, да),

крайовими умовами

4i[ui(t,r)]\r=Ro = &o(t), limrru3 = o (3)

та умовами спряження

"3

Ln\.uk(t,r)] - Lkj2[uk+i(t,r)])\r =Rk ~®jk(tЬ .¡, k e {l, 2}- (4)

У рiвностях (1) - (4) беруть участь диференцiальнi оператори Ейлера

2 d2 „ 1Ч d 2 д2

2 —т + (2a + i)r— + a , Фур'е —2

dr dr dr

Ba = r —— + (2a + i)r--+ a , Фур'е —- та диференцiальнi оператори

22

Lkjm = [akm + 3% dt^^ + p)m + 7% dt > m, j e {i, 2}; k e {o, i, 2 , 3}. (5)

Припускаемо, що виконан умови на коефщенти: aj > o, 2a¡ + i > o, a-ц < o , fía > o,\aoi\ + eoi

* o, a¡2 > o, в > o, a\2 + в * o, ajm > o, j > o, j > o, y^ > o, j, m, k = i, 2; cUj c2l, k > o, jk = a^JplJ - ^jP^, jk = s2j/ylj- SijY^j = a 3А - = oy - ara.

Нехай заданi та шуканi функцй' е оригiналами за Лапласом ввдносно змшно! t [i]. У зображенн за Лапласом отримуемо крайову задачу: побудувати обмежений на множинi I2 розв'язок сепаратно! системи диференцiальних рiвнянь Ейлера та Фур'е для модифшованих функцiй:

(bOXi - q¡ У* (p, r) = - Fi (p, r), re (Ro, R i),

(B*a2 - q¡feP,r) = -f2*(p,r) , r e (R^R2), (6)

2

< d2 2 ^ —2 - q3

v dr J

за крайовими умовами

o d —o

u*(p,r) = -F3 (p,r), r e (R2, да),

an dr +вп ]ui(p, r)

= ®oi(p), lim rru3 = o (7)

r=Rn

—k d —k 1 *, ч (— k d —k dr ' J1 J V dr

та умовами спряження

- \ ± í —k d —k \ * —*

Wk+i(p,r) = 0 jk(p), j, k e {i, 2}. (8)

J J r=Rk

У рiвностях (6) - (8) беруть участь функцп:

q} = a- (p + r2} f2, F* (p, r) = af (f* (p, r) + gj (r)), j e {i, 2, 3}; Oc^m = a)n + 8kmp ,

__да

Pi =Pl +r%p , u*(p) = J u(t, r)e-ptdt, 0o(p) = 0*o(p) +8\igi (Ro) + rngi(.Ro),

o

а* (р) = (р) + ¥]к ; ^ = ^(Я* ) + Ук!(Я* ) - [^£*+: (Я* ) + £*+: (Я* )]

> 0,р = ст+ is, I2 = -1, а0(р) = |®о)е , а**(р) = (I)е ,

0 0

т>* 2

Фундаментальну систему розв язк1в для диференщального р1вняння Ейлера (Ва — Я )у = 0

утворюють функци г а 4, г а+Я; фундаментальну систему розв'язшв для диференщального р1вняння Фур'е (с12Шг2 - д2)у = 0 складають функци еЯг та е~Яг [4].

Наявнють фундаментально! системи розв'язшв дозволяе побудувати розв'язок крайово! задач1 (6) -(8) методом функцш Кош1:

и* = А1г — 41 + В1г +Я1 + | Е*(р, г,р)^*(р,р)р2а1 —1ёр,

Я0

Я2

и* = А2 г "а2 — Я2 + В2 г "а2 + Я2 + | Е*(р, г,р) ^2*(р,р)р2а2 (9)

ю

*

из = Аз^Язг + ВзэЬЯзг + | Е*( Р, г,р)^з*(р,р)^р.

У р1вностях (9) беруть участь функци Кош1 Е* (р, г, р) :

Си/0* ^

1

Е1 (р, г,р) = —

Е2( р, г,р) = —

2^1Ла1;11 1

У 0*11 (91, г)^ ;11(9ьР), Я0 < г < р < Яь

а

У ^„(ЯьР^^Яь г), Я0 <Р< г < Яь

(10)

2Я2 Ла2;11

а1 1*

(11)

УГ2,12(q2, г^^Р) Я1 < г <Р< R2, Уa2l12(q2,Р)y2a^(Ч2, г), Я1 <Р< г < ^

Е*(ргр) = 1 |Ф22(qзR2,язр^^яз^Язг) Я2 <г<р<ю (12) '' 9зЙ2 Я3 —ви) ^Ф22(q3R2, Яз^^Яз^ ЯзРХ Я2 <Р< г <ю У р1вностях (10) - (12) прийнят позначення:

Я, к) = [(вт—аята)—акЯтЯ ]Ятап—Яп, гт] я ) = [(вт—«ЯтЧт)+аккт1яп ]Ятап +Яп,

<3]2 (Яп, г) = ]2 (Яп ,Ят )г~ап -Я — гт\ ]2 (Яп, Ят )га + Яп , п, т = 1, 2,

Ла„;]2(яп,Яп—ЪЯп ) = 7'Пап](яп,Яп —1 ап д! (яп,Яп ) — 2а—](яп,Яп —1 )2«пд2 (Чп,Яп ) ,] = 1 2,

Ф12 (ЯзЯ2, Язг) = ^1121 (Яз, Я2 )сЬЯзг — ^1121 ( Яз, Я2 )§ЬЯзг = - а12ЯзсЬЯз(г — Я2) — в12®ЬЯз(г — Я2), Ф^Я3Я2, Язг) = е"Яз(г—Яг).

Крайов1 умови (7) та умови спряжения (8) для визначення величин А1, А2, В1, В2 та Аз дають неоднорвдну алгебра1чну систему:

А12+ В1202 , = а(0(р), 1 1 ,11 1 1 ,11

А1г1\, + В12Х1 лл + А22+ В2212 . = ~а>*\1 (р), 1 1;11 1 1;11 2 1 ,12 2 1 ,12

^21 + В12сс1;21 + А2 2а1Л2 + В22 ^2,22 =^^1(р) + G32,

А2 2 22;11 + В12 «Ц;11 + А3Ф22 =а32( Р),

ю

Я2

A2 Za2-ai + B1Za2,2l + А3Ф 22 =^2l(p) + G^. (Щ

У CTCTeMi (13) беруть участь функцй:

,0*

Gl2---

* Ri ¥ « ,Aq1,p)

cn с сс.;..^^ 2a. -l , ,

171+] J-1-Fl (P,p)P dP +

2al +l X Л ín, /?„ ИЛ

R1ai +l RoA ahll( qi> R0> Rl) c*2l Rf2 ^¡M^P)

Í«-) ,11 ----- ' *

-2-F2 (p,p)dp

R2'2 +l Ri Aa2;ll(q2>Rl>R2)

2*

* c*2 R ^a*-M(q2,p * * ^ e~q3(P-R2) *

G23 =--J -F2 (P,P)dP - c22 J z=2-=T"F (p, P)dP .

R2 2 Ri A a2;ll( q2, Rl, R2) R2al2 q3 - PU

Припустимо, що виконана умова однозначно! розв'язносп крайово! 3aAa4Í (6) - (8): для p = о + is Í3 Rep = о > O0, де О0 - абсциса збiжносri iнтеграла Лапласа, та Imp = s G (визначник алгебра!чно! системи (13)

A a(p) = Ф22(q3R2>q3R3)Aal,l(p) -®\2(q3R2>q3R3)Aal,2(p) = = Aai.n(ql,Ro,Rl)Ba2;2(p) - A^;2l(qhRo,Rl)Ba2Л(p) * 0, ( a) = ( «i, «2). (l4)

Визначимо головнi розв'язки крайово! задачi (6) - (8): 1) породжеш крайовою умовою в точщ r = R 0 функцй' Грiна

* l 1 * i *

Wa;U(p,r) = — [Ba2.a(pW1 n(ql,r) - B«^p)^ (qbr)], ¿-i/-/

W^p,r) = _LQa {p,r), W*l3(p,r) = -^^e-<b(r-^

r2« +l A« ^ r2al+l A«

**

2 q-2

-e

M - a r{ al+l

2) породжеш неоднорщшстю умов спряження функцй' Грша

^^^o. ri* -^p\„o

i а (p) «ь A «

R«ll(p,r) = - . ^«x.ll(ql,r), Ra,2l(p,r) = - j (ql,r),

A«(p) аьИ A «(p) «ь11 *

RaM(p,r) = -c^A 2l(ql,Ro)4«,l(ql,r),

A a (p) ь al'n

*

Rl*22( P, r) = A «2l2( q3, R2K*.Лl(ql, r),

n2* / ч Aa.;2l(q3,R0,Rl) „ ч n2* , ч Aa^lÚql,R0,Rl) „

Ra,ll( p, r)= l A r .-Qa2,2( p, r) , R a,2l( p, r) =--.-Qa2,2( p, r) ,

A« (p) 2 A« (p) 2

n2* , ч Aa.;22(ql,R0,Rl) _ . n2* . . Aa],22(ql,R0,Rl) _

R-aM (p, r) =--^ . . .-Q«;l (p, r) , Ra\22 (p, r) = l . . .-Q«-,l (p, r) ■

A« (p) l A« (p) l

*

R 3,ll( p, r) = -A2^ A ame - q3(r - R^ p, r ) = A2}2- A am(.qb R<h Rx)e - q3( r - R2),(15) A ( p ) A ( p )

rÍUp,r) = -A^e-q3(r-R2), R3*22(p,r) = e-q3(r-R2);

A ( p ) A ( p )

4) породжеш неоднорщшстю системи (6) функцй впливу

X¥0*-ll(ql,r)W*ll(p,P), Ro < r <p<Rl,

* l H a;ll( P, r,P) = -

2ql A ( p)

^■n^l,P)W*;ll(P,r), Ro <P<r<Rl,

H *;12( A r,p) = ^ (Ч1, r)Q а 2;2( pp),

Hl;l3( P, r, p) = ^Äk _L ^0* (Ч1, r )e - Ч3( ' - R2), r2 а2 +1 Л а а2;11

i

H*;2l(P,r,p)= ^ . 1 , ^°*.ii(Чl,P)Qа2;2(P,'),

r\ а1 +1 Л а ( p) а1;11 2'

* 1

H а;22( P, r, p) = -

ÍQа2 ;1(P, r)Qа 2 ;2(P,P), R1 < r < p < R2, 2Ч2 Л а ( P) |0а2;1( P,p)Q а2;2( P, r), Rl <p< r < ^

c22

H *;23 ( P, r, p) = -"^f-Q i ( P, r)e

R1® +2Л а (P) а1;1

H l;3l( P, r, p) = ^ У°*ii( P, r)e

R2®2 +1 Л а а1;11

- Чз(' - R2)

- Чз( ' - R2)

H*;32( P, r, p) = -т^Ь q® .2( P, p)e - Чз( ' - R2)

Л а ( P)

H**;33( P, r,p) = -

2Ч3

У<3*-22(Ч3,r)e-Чз(P-R2), R < r <p<œ,

-Ч3(Г - R2)

, R < P < r <(X>.

(16)

У pезyльтaтi oднoзнaчнoï poзв'язнocтi aлгебpaïчнoï статеми (13) й пiдcтaнoвки oдеpжaних згачень Aj тa B. (j = 1, 2, 3) y фopмyли (9) тa низки елементapних пеpетвopень oдеpжимo единий poзв'язoк кpaйoвoï

зaдaчi (6) - (S):

Ri

j(p, r) = W*i j (p, r)»00(p) + ZRC,mk »mk (p)

m,k=1

R2

+ jH*ji(p,r,p)Fi*(p,p)p2 ® +2dp + j H*;j2(p,r,p)F*(p,p)p2®2 +2dp + (17)

R

R

+ j H*; j3( P, r, p)F3*( p,p)dp, j = 1, 2, 3.

R2

Пoвеpтaючиcь y фopмyлaх (17) дo opигiнaлy, oдеpжyемo единий poзв'язoк зaдaчi (1) - (4):

t

uj (t, r) = j W(а);1 j (t - т, r)»o (т)dт + [^i0igi (Ro ) + Ylgi (R )W(а);1 j (t, r) +

О

2

+ Z

m,k=1

t Ri

j R(a);mk (t - т, r)»mk (т)dт + R(a);mk (t, r)^mk _ О

jj H ( jt-т, r,p)[fi(т,p) + ¿+ (т) gi(p)]a1-2p2 ®+2dp +

0 Ro

t R 2

+ j j h®);j2(t-т,г,р)^(т,р) + Ö+ (т)g2(p)]a-2p2®2 +2dp +

О R2

t œ

+ j j H ( а ); j3 (t-т, r,p)[fз(т, p) + ¿+ (т)g 3(p)]a3-2 dp, j = 1, 2, 3.

О R,

i

+

u

œ

Тут 8+(т) - дельта-функц1я, зосереджена в точщ т = 0.

Зауваження. Вибором параметр1в, яш беруть участь у постановщ дано! дифузшно! задачу можна видшити безпосередньо i3 загальних структур будь-який практично важливий випадок.

Висновок

Вектор-функщя u(t, r) = {ui(t, r); u2(t, r); u3(t, r)} визначае штегральне зображення единого точного аналогичного розв'язку задач1 моделювання дифузшних процеав в неоднорщному середовищ1 з м'якими межами методом ГДО на сегменп полярно! ос1.

Список використаноТ лiтератури

1. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

2. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - К.: Наук. думка, 1976. - 310 с.

3. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю.М. Коляно. -К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.

5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971. - 432 с.

7. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1965. -328 с.