CC BY
10
УДК 517.946
С.Г. Блажевський
МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗ1ЙНИХ ПРОЦЕС1В В НЕОДНОР1ДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М'ЯКИМИ МЕЖАМИ МЕТОДОМ Г1БРИДНОГО ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
ЕЙЛЕРА-ЕЙЛЕРА-ФУР'С
Постановка проблеми та анаш публiкацiй по темi дослiдження. Процеси дифузи, як1 постшно ввдбуваютъся в навколишньому середовищi, привертали до себе увагу протягом уае! юторп розвитку суспiльства. Але серйозш дослiдження почалися з найпростшо! моделi дифузiйного процесу -диференцiального рiвняння дифузи (теплопровiдностi) параболiчного типу [1]:
дп 2 дп
--а2—,
дХ дт2
- а = /(Х, т)
з вiдповiдними початковими та крайовими умовами. Потреби практики призводили до рiзного узагалънення даного рiвняння. Слад вiдмiтити появу в другш половинi ХХ-го столiття «УзагалъненоГ термомехашки», породженоГ гiперболiчним рiвняння теплопроввдносп [2]. Розроблялися рiзнi аналiтичнi, числовi та аналiтично-числовi методи знаходження розв'язку.
Особливу увагу заслуговуе розроблений в другш половит ХХ-го столiття метод кусково-сталих фiзико-технiчних характеристик для вивчення технiчного стану композитних матерiалiв. Це привело навиъ у випадку жорсткосп меж1 областi до диференцiального рiвняння з сингулярними коефiцieнтами типу дельта-функцш та Г! пох1дних [3]. 1нтегральне зображення точного аналiтичного розв'язку задачi в цъому випадку одержати неможливо. Цих труднощiв можна уникнути, якщо здiйснити моделювання дифузiйного процесу методом пбридних диференцiалъних операторiв. При цъому межа середовища може бути м'яка по вщношенню до вщбиття хвиль.
Мета статтi. Дана робота присвячена моделюванню нестацiонарних дифузiйних процесiв методом пбридного диференцiалъного оператора Ейлера-Ейлера-Фуръе на трискладовому сегментi в припущеннi, що межа середовища м'яка по вщношенню до ввдбиття хвилъ.
Основна частина. Побудуемо обмежений в областi Б2 = {(/, г): X е (0, да), г е 12 = (Я0, Я\) и (Яь Я2) и (Я2, Я3); Я0 > 0, Я3 < да} розв'язок сепаратно! системи диференцiалъних рiвнянъ дифузи параболiчного типу
^ + у^щ (Х, т) - а1 Б* [щ (Х, т)] = г), г е (Яо, Я!), дХ
дп.
+ у\п2 (Х, т) - а\Б* [п2 (Х, т)] = /2(/, г), г е (Яь Я2), (1)
дХ
дп, , , д 2щ (Х, т)
-3 + у\щ (Х, т) - а3-^^ = ¡3(1, г), г е (Я2, Яз)
дХ дт
за початковими умовами
«Д г)|, = о = &(г), г е (Щ- 1, Щ),у = 1, 2, 3, (2)
крайовими умовами
БпЫХ,т)] \г=Ко = а0(Х) , Б22[Пз(Х,т)] \г=щ = щ(Х) (3)
та умовами спряження
(Бк\пк(Х,т)] -Б%[пк+х(Х,т)]) \г=Кк = ф]к(Х),у, к = 1, 2. (4)
У рiвностях (1) - (4) берутъ участь диференщальш оператори Фур'е —-, Ейлера
А2
дт2
п* 2 d2 (2а + \)тё 2
Ба =т —- +---+ а та диференцiалънi оператори
dт dт
Чк = I гук +Як — I— 4- Як +ук
3]Ш = \ а]ш + °]Ш дХ I дт + Ут дХ
Бкт =\акт +¿1 + Рт + Ут д , У = 1, 2; - = 1, 2; к = 0, 1, 2 , 3. (5)
Припускаемо, що виконаш умови на коефщенти: ц > 0; 2а + 1 > 0; аЦ < 0, > 0, | а^1 + |^101| * 0, < > 0, ] > 0, 8)п > 0, Ук1п > 0,у, т, к = 1, 2; С11.у С21, 4> 0, С,, 4 = а*А-а\]рк2],
]П > ~ ]П
?к с*к ^к
]п > / ]П ?к пк с>к пк __к ^к
с к = ^ тч1 у^ = o, 5 -% =< /2] а уЪ .
Нехай шуканi функци е орипналами за Лапласом стосовно змшно! У зображеннi за Лапласом отримуемо крайову задачу: побудувати обмежений на множит 12 розв'язок сепаратно! системи диференщальних рiвнянь Ейлера та Фур'е для модифжованих функцiй
(< - К (р, г)=(р, г), г е я яй Б - « (р, г) = (р, г) , г е (Я1, Я2)
Г й2 ^
(6)
йг
за крайовими умовами
(а°1й+^01)uo'(P, г)
та умовами спряження
2
«3(р, г) = -р, г) , г е (Я2, Яз)
г=Лг
= Щ>1(р) , [ а2з й + р\з к г)
= ®з*1(р)
г=Я,
а]1 й + ^]1 (P, г) - ^2 й + 2 ^ г)
У рiвностях (6) - (8) беруть участь функци:
= ®]к (р), У, к = 1 2.
(7)
(8)
д] = а]2(р + у2), ]р, г) = а-2(/;(р, г) + (г)), у = 1, 2, 3; а,п = акт +5ктр
]7' ]
] ^ ]
]п ]п! 0
=] +У%р , «'(р) = I«С, г)Гр'Л , <(р) = ®0(р) + + У101^1(^0) ,
0
^^ = ®1(р) + 5232^3 ТО + Г3З£ЗТО , ](р) (р) + Щ ; ^П = 511&'( ^ + Г°1&ТО , Щ = 5^ (Я,) + у3З£ЗТО , Щ = (Я*) + Гп8к (Я*) - [¿^(Я) + )],
ад ад ад
у, к = 1, 2; ю*(р) = (Г )е- р1йХ, ю3*(р) = (¿)е~ , ^д(р) = (7 )е- р1йХ,
0
Яед = а-1Ке[(р + у2)1/3], р = ст+ /5, /2 = -1.
Фундаментальну систему розв'язк1в для диференщального рiвняння Фур'е (ё2Шг1 - д2)у = 0 складають функци еИ дг та дг; фундаментальну систему розв'язк1в для диференщального рiвняння
Ейлера (Б* - д1 )у = 0 та (Б* - д3 )у = 0 складають функцil =
= г-а1 -д1 к- = 1--а1+д1 = 1--аз-дз
у2 = г
У3 = г
. У4 :
г
-аз+дз
Наявшсть фундаментально! системи розв'язк1в дозволяе побудувати розв'язок крайово! задачi (6) - (8) методом функцш Кошi:
Я
3 л
и, = Аг
-а1-д1
+ Бг
а+д1
3 — Л «2 = А2г
| £( р, г, р) р, p)p2аl-0dp,
Й0 Яз
I Е3(р, г, р) р)р2аз Лр,
Я1
Яз
А3 еЬ дъг + Б вЬд3г + | (р, г, р)^3* (р, р)йр.
-аз-дз
+ Бг
-аз+дз
(9)
У рiвностях (9) беруть участь функци Кошi Е*(р, г, р) [4, 6]:
г=Я
к
ад
0
0
Я
^ 1 ТСиОъ,р), к0 <т<р<К,
Е*( р, т, р) = -—--< * „ (10)
^Км Ки^, РЖм(Ъ, т), <Р< т < Я1,
л 1 тж:^,р), Км<т<р<ъ,
Е*( р, т, р) =--< ,2 (11)
, р) 242** 11 |Ч£12&2, рЖМ, т), Я <р< т < Я2, К>
7\р Г р) - 1 \Ф12(4з ^ 4зт)Ф 22(4з ^ 4зр\ Я2 < т <р< ^ ^ , , 4з*12 ^^з ^ 4зР)Ф 22 (4з ^ 4ътХ Я2 <Р< т < Я3'
У рiвностях (10) - (12) прийняп позначення:
г*] (д„, Ят) = [(Рт-аК*;)-а^Чп К* ,
(Ч1, Я;) = [(Р;-аЯ)+а;кп1Чп к*+Чп,
КАЧп,т) = ,Я;)т-ап- 1*\]2(чп,Я;)т-ап+Чп, „, т = 1, 2,
а* ; ]2(Чп, Яп-1, Яп) = (Чп, Яп-^а-,! (Чп, Яп) - 2]яп, Яп-^а-^Чп, Яп), у = 1, 2,
укч, Я; )=аммЛт+Р1лчКт, у;2(ч. , ят )=а^АчА+р;мкп ; Фтк(чЯт, чт) = у;2(ч. , ят )*чт - у;Чч., ят)йч,т,
А]л(чзЯ2,чзЯз) = у£(чз,я2)уз2(чз,Яз) - у£(чз,ЯгУзХчз,Яз). Крайовi умови (7) та умови спряжения (8) для визначення величин А., Б. (] = 1 ,33) дають неоднорщну алгебраГчну систему:
гОКчЮА - гЖчМв = ^(р), г1а;;Л(ч1,я1)л1 + г]ч1,Я1)Б1 -К)А -^(ч*,К)Б2 = + 6 ^,
га](ч2,Я2)Л2 + Я2)Б2 -У£(чз,Я2)Аз -У£(чз,Я2)Бз = ^ +5]201з,у = 1, 2,
У3^(чз,Яз)Аз + У212(чз,Яз)Бз = ^(р) . (13)
У системi (13) беруть участь функци:
С* Яг ^пО^,р) * 2аС*1 Я2 Х^а2;11(12>р) * с* 7 =--I-1-К (р, р)р 1 ^р+ I-2-К (р, р) X
ЯГ1+1 Я а*;и(^1,Я0,Я1) ^^ ЯГ2+1 я а*:11(д2,Я1,Я2)
х р2аг-1ёр,
2Ъ яа+1 Я,а*;п(.ч2,я1,Я2) 2Крр)р р 221а12(чЗя2,чзЯз) рир
та символ Кронекера 6-2 (612 = 0,622 = 1).
Припустимо, що виконана умова однозначно! розв'язносп крайовоГ задачi (6) - (8): для р = О' +1. iз Яер = О > О0, де О0 - абсциса збiжиостi iнтеграла Лапласа, та 1тр = . е (-да,+да) визначник алгебрагчног системи (13)
Аа(р) = А22(чз^ чзЯз)Аа;1(р) - чзЯз)А*2(Р) =
= А* ;П(чг, Я0, Я)Б* а( р) -А* ;21(ч1, Я0, Я)Б* .л(р) * 0, (а) = (*, (14)
Якщо визначити головнi розв'язки крайово! задачi (6) - (8): 1) породжеш крайовою умовою в точцi г = Я0 функцiг Грiна
Кп(р, т) = -1 [Ба2;2(р)Х-м(чг, т) - Ба2Л(р)Хаг(чг, т)],
а
3 1 л 3 _ 3
<1з(р, г) = - баз;2(р, г) , ^(р, г) = 20;Ф2з(дзЯ3, дзг) ;
Я1 Да Я1 Я2
2) породженi крайовою умовою в точцi г = Я3 функцi! Грiна:
3 3 3
<з1(р, г) = - ЗдС1 д3С32 ^(д, г), <зз(р, г) = дал(р, г),
Я1 А а А а
Кзз(р, г) = -°[Аа,з(р)Ф2^з(дзЯз, дзг) - АаЛ(р)Ф222(дзЯз, дз^] ;
^ Аа ^ ^
3) породженi неоднорiднiстю умов спряжения функци Грша
Я1311^р, г) = - Бг^ г), Я13з1( р, г) = ^°13;11(д1, г),
*
я:л2(р, г)=а 22(д3 Я2, д3 Я3)^°:11(д1, гя^, г)=- ^ х
; я 2+1 1; ; я2а+1 А а (р)
хА12(д3Я2,дъЯ3)^°*;11(д2,г),Я23и(р,г) = А^б^,^Я1) д (р,г), (15)
1 А а (р) 3
Я 23з1( р, г) = -А а1;11(д1; Я» Я1) даз;з(р, г) , Яа2*12(р, г) = ^ д(р, г),
^ А а (р) 3; ; А а (р) ;
Я ±22(р, г)^тА1Ч бадСр, г), Я 3*11(р, г ) = 2д;2С11^_ А аш(д1, Я0, Я1) х
; А а (р) ; ; Я22 а2+1 А а (р) ;
2д С * 1
хф32*2(д3я3,д3г),^(р,г) = - 2' +2 . , л А«1;п(д1,я0,Я1 )ф22(д3я3,д3г), ; +1 А а (р) ;
А „ А
^зС^ г) = . аД ф 33(дз Яз, дзг), ^Ср г) = а;\ ф 2*2(д3 Я3, д3г); ^ А а (р) ; А а (р)
4) породжеш неоднорiднiстю системи (6) функци впливу
. , 1 Кп^,г)К.п(р,р), Я0<г<р<Я1,
Н«;11(P, Г, р) = - —« ,
±д1 [<:п(д1, р)^3;И(р, г), Я0 < р < г < Я1,
* * * Я*;12^р, г, р) = ^<0*:11Сд1, г)ба2;2^р, р), Я*;13^р, г, р) = х
А/ \ б^ЦЧ-Л^ У-г^ и-,;2\± 7! У 7 а ;13 \-£ ^ 7/ У У-.2 а„ + | А
а (р) ; Я12 а2+1 А а
3 1
х<;„(д1, г )Ф22(д3 Я3, др), Н^о, г, = р)0а 2;±(р, г) ,
1 (да2; г)да; 2 ^ р\ Я1 < г <р< ^
Н3. 33( р, г, р) = ,
^^ , р) Аа (р) Юа,;1^р, рО^зО, г), Я
а
Н^, г, р) = б- ;1(р, г)Ф 23з(дзЯз, дзр) , (16)
А а (рГ^
Н 3;з1(р, г, р) = -^О^ ч£и(д1, р)Ф ЗЗМ, дзг),
Ч 112 а
*
с 1
Н3;32^-P, ^ р) = „з^ Л , \ баДP, р)Ф2"2(д3Я3 , дзг) : Я2 3 А а (р)
* . 1 I ;33 (Л г)Ф22(д3Я2 , дзP), Я2 <г < р < К
д3 I С;33(P, р)Ф232(д3Я2, дзг), Я02 < р < г < Я3.
Н3;33(P, Г, р) = .. ■ .
2
У результата однозначно! розв'язносп алгебра!чно! системи (13) й постановки одержаних значень A та B ■ (j = 1, 2, 3) у формули (9) та низки елементарних перетворень одержимо единий розв'язок крайово! задачi (6) - (8):
2
—* ^ —* —* Uj (p, r) = Wh j (p, (p) + £ Д^
;mk
®mk (p) + W;3 j (p, r)m(p) +
m,k=1
Д1 Д2 + J Hj^p, r, p)Fj(p, p)p2"1-1dp + J Hjj 2(p, r, p)Fj(p, p)p2"2-1dp + (17)
До Д1
Яз
+ J Hj; j 3^, r, P) Fj( p, j = 1, 2, 3.
Я2
Повертаючись у формулах (17) до орипналу, одержуемо единий розв'язок задачi дифузп (6) - (8):
t
Uj (t, r) = J W( " );1j (t - r, r)m,(r)dT + [00&( До) + 7ng1( Ro)W{ a );1j (t, r) +
0
2
+ z
m,k =1
J Д(«);mk (t - r r)®mk (r)dr + Д(«);mk (t, r)Wm
_0
+ J W( " );3 j (t -r, rH(r)dr + W( " );3 j (t, r(Дз) + Дз)] +
о
t Д1
+ J J H( ");j1(t-r, r, p)[/1(r, P) + £+ (r)g1(p)]fl-2p2a1-1dp +
о До
t Д2
+ J J H( " ); j 2 (t - r, r, p)[/2 (r, p) + S+ (r) g2 (p)]ß22p2"2-1dp +
о Д1
t Д3
+ J J H("); j3(t-r, r, p)[f3(r, p) + £+ (r) g3(p)]^32dp, j = 1, 2, 3.
о Д2
Тут д+(т) - дельта-функцiя, зосереджена в точщ r = 0.
Висновок. Вектор-функщя u(t, r) = (uj(t, r); u2(t, r); u3(t, r)} визначае iнтегральне зображення единого аналiтичного точного розв'язку задачi моделювання дифузiйних процеав в неоднорiдному середовищ1 з м'якими межами методом ГДО на сегменп полярно! осi.
Л1ТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 735 с.
2. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - К.: Наук. думка, 1976. - 310 с.
3. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю.М. Коляно.
- К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.
4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.
5. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971. - 432 с.
7. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1965.
- 328 с.
БЛАЖЕВСЬКИИ Степан Георгшович - к.ф.-м.н., доцент кафедри диференщальних рiвнянь Чершвецького нацюнального ушверситету iменi Юрiя Федьковича. Науковi штереси:
- математична фiзика, математичне моделювання.
