Моделирование процесса теплопроводности для двухслойного симметричного пространства с симметричной полостью

Блажевский С.Г.

УДК 517.944

С.Г. БЛАЖЕВСЬКИИ

Чершвецький надюнальний ушверситет iMeHi Юрiя Федьковича

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ТЕПЛОПРОВ1ДНОСТ1 ДЛЯ ДВОШАРОВОГО

СИМЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ 13 СИМЕТРИЧНОЮ ПОРОЖНИНОЮ

Методом Iнтегрального перетворення Вебера отримано Iнтегральне зображення точного аналтичного розе 'язку нестацюнарно'1 задач1 теплопровгдностг у двошаровому симетричному просторI 1з симетричною порожниною. Проведено анализ найбшьш вживаних на практицI випадюв для двошарового осесиметричного тта з цилтдричною порожниною.

КлючовI слова: Iнтегральне перетворення, ргвняння теплопровгдностг, крайова задача.

С.Г. БЛАЖЕВСКИЙ

Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСЛОЙНОГО СИММЕТРИЧНОГО ПРОСТРАНСТВА С СИММЕТРИЧНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Методом интегрального преобразования Вебера получено интегральное представление точного аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности в двухслойном симметричном пространстве с симметричной полостью. Проведен анализ наиболее часто употребляемых на практике случаев для двухслойного тела с цилиндрической полостью.

Ключевые слова: интегральное преобразование, уравнение теплопроводности, краевая задача.

S.G. BLAZHEVSKIY

Yuriy Fed'kovych Chernivtsi National University

MODELING OF THE THERMAL CONDUCTIVITY PROCESS FOR A TWO-LAYER SYMMETRIC

SPACE WITH A SYMMETRIC CAVITY

Integral representation of the exact analytical solution of the non-stationary heat conduction problem in a two-layer symmetric space with a symmetric cavity is obtained by the method of Weber integral transform. The analysis of the most used cases in practice for a two-layer axisymmetric body with a cylindrical cavity has been carried out.

Keywords: the integral transform, heat equation, the boundary value problem.

Постановка проблеми

Процеси дифузи, яш постшно вщбуваються в навколишньому середовищ1, привертали до себе увагу протягом ус1е! ютори розвитку сустльства. Але серйозш дослщження почалися з найпроспшо! модел1 дифузшного процесу - диференщального р1вняння дифузи (теплопроввдносп) парабол1чного типу [1]:

du 2 du2

--a2—2

dt dr

- a2- = f (t, r)

з в1дпов1дними початковими та крайовими умовами. Потреби практики призводили до р1зного узагальнення даного р1вняння. Сл1д вщмггити появу в другш половиш ХХ-го столггтя «Узагальнено! термомехашки», породжено! гшербол1чним р1внянням теплопроввдносп [2]. Розроблялися р1зт аналггичш, числов1 та аналггично-числов1 методи знаходження розв'язку.

Анашз останшх дослiджень i публiкацiй На особливу увагу заслуговуе розроблений в другш половиш ХХ-го столггтя метод кусково-сталих ф1зико-техшчних характеристик для вивчення техшчного стану композитних матер1ал1в. Це привело навиъ у випадку жорсткосп на меж1 обласп до диференщального р1вняння з сингулярними коефщентами типу дельта-функци та И пох1дних [3]. 1нтегральне зображення точного аналогичного розв'язку задач1 в цьому випадку одержати неможливо. Цих труднощ1в можна уникнути, якщо для побудови розв'язку використовувати метод штегральних перетворень типу Фур'е, Бесселя, Вебера.

Мета дослiдження

Дана робота присвячена моделюванню процесу теплопровщносп для двошарового симетричного простору з симетричною порожниною.

Викладення основного MaTepi^y дослiдження Задача про структуру нестащонарного температурного поля в двошаровому симетричному простор! 1з симетричною порожниною рад1уса R 0 математично приводить до побудови обмеженого в обласп

Д = {(г, г) е (0, ю), г е Д = (Я,, Л) и (Я, ю)Я > 0} розв'язку сепаратно! системи B-пaрaболiчних рiвнянь теплопровщносп [4]

дТ

^ _ а]-Ба. Т} ] = а}/} (г, г), г е (Я}_1, Я}), } = 1,2

(1)

за початковими умовами

Т} (г, г) \(=о = Я} (г), г е (Я}_1, Я}); ^ >0, ^ = ю,} = 1,2,

крайовими умовами

(а01 А +дОщг,г)\г=Я0 = Ы0, \г=ю = 0, дг 0 дг

та умовами неiдеального контакту

[(Ь + 1)Т1 _ Т2(Х, г)]\г=Я1=0,

дг 1

(2)

(3)

(4)

дг

*щ(г,г) *дмЛ\\ =0

(Я1-я--Я-я-) \г=Я = 0,

дг дг 1

тут Ва - диференщальний оператор: Ва [...] = —2- + 2а +1 —.

—г 2 —г

Розв'язок задачi (1) - (4) побудуемо методом гiбридного iнтегрального перетворення типу Вебера на полярнш ос г > Я0 > 0 з одшею точкою спряжения [5].

Пряме штегральне перетворення Вебера для двошарового порожнистого простору зобразимо у виглядi матрищ-рядка

Н (а)[---] =

| ...Уак (г, Я)сг 2а+1—г | ... г(ах2 (г, Я)с2 г

„2 а, +1

—г

_Я0 Я1 У(.ау - компоненти спектрально! функцi!, с - компоненти вагово! функцi!. Запишемо систему (1) та початковi умови (2) в матричнш формi:

г д 2 \гг _ а1 )Т1

дг

! д 2\гт _а2)Т2

дг

(5)

а\/^, г) " Ж?, г)" " Я1(г)"

а2 ¡2 (г, г )_ _Тг(', г)_ г=0 _ Я2(г)_

(6)

Застосуемо операторну матрицю-рядок (5) до задачi (6) за правилом множення матриць. Одержуемо задачу Кошi

—Т т ~ ~ ~ — + Я2Т = Г(г,Я);Т(г,Я)\{=0 = ~(Я).

(7)

У рiвностях (7) прийнятi позначення:

2 Я}

2а ■ +1

Т(г,Я) = X | Т} (г,г)У(а);} (г,Я)с}г J —г;

}=1Я} _1

2

~ г -> 2а ■ +1 2а +1 о п 1

Г(г,Я) = X | а2/}(г,г)Г(а);}(г,Я)суг } —г -сЯ 1 а12(а101)"1К(а);1(Я0,Я)Я0(г),

} = 1Я.

V _1

2 Я}

2а, +1

Т(Я)= X | (г)У(а);}(г,Я)С}г } —г, Я2= ю.

}= Я _1

Безпосередньо перевiряеться, що розв'язком зaдaчi Кошi (7) е функщя

Т(г,Я) = е ГТ(Я) + $>

2

е Я (г_т)р(т,Я)—т =

I 2 К]

^"^(Л) + )е"л2(г"т)(£а2 | (т,г)Ут(р,Х)а]р2а +'ёр)ёг-

.=1 я.-!

г

с^1 +1(а01)-1 а2К(а).1(Я0,^)|е "Г) gо(т)dт. (8)

О

Визначимо функцп впливу

-I2 г

#(*);.к (г, г,р) = ¡е "Л гу(а% . (т,ЩаХк (р,Л)П {а)-п (Л^Л, ], к = 1,2, (9)

О

i функци Грiна

2 ю 2

Ща)Л.(г,Г) = -С^Яо2^1 +1 ¡е~Л %а)л(Яо,Л)У(ау,.(г,Л)П(^(Л)dЛ. (10)

а11 О

Застосуемо до матрицi-елементу [Т (г, Л)], де функщя Т (г, Л) визначена формулою (7), за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець

н (со[---] =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¡ — У(аХ1( г,Л)П(аХ1(Л^Л

0о

ОТ

¡ — ^,2( г,Л)П(аХ2(Л^Л

0о

(11)

У результата елементарних перетворень отримуемо розв'язок задачi (1) - (4):

г 2 Як 2а +1

Т. г) = ¡Щау! . (г-т, г) gо(т)dт+X ¡ Ц»; ]к (г, r, P)gk (р)°крак dP + 0 к=1як-1 2 1 Як 2а +1 3 —

{ Н(а); ]к (г-т, г,р)4/к (т,р)ак р ак dрdт=YJ Т]т (г, г), ] = 1,2. (12)

к=

Осшльки

+

к=1оЯк-1 т=1

о 2а _ 2 «11а1 1

^ Яо,Л)=п^1^+1 а(5)(л),

то функцп Грiна

*г~1 яо

9 2

^(аул] (г,г) = --СГ^1 +2 ¡е~Л гА^ЛЛ"2а1У{а)..(г,Л)^{ауп(Л)dЛ. (13)

п о

1з формул (9) та (13) ми можемо записати безпосередньо вирази функцп Грiна й функцш впливу як для випадку задания на поверхш порожнини крайово! умови 1-го роду, так i 2-го чи 3-го роду.

Проаналiзуемо розв'язок (12) для випадку «1 =о, «2 = о (двошаровий простiр, який володiе осьовою симетрiею з цилiндричною порожниною). У цьому випадку маемо

V (г, Л) = 'Щ2 [М1о12 (Л Яо)Jо (Л г) - и?11 (Л Яо)Nо (Л г)] -

пя1 а1 а1 а1 а1

- о(ЛЯо)-а>1(ЛЯо))Jо(ЛГ) -Яо)-ао^1(ЛЯо))г)];

пЯ1 а1 а1 а1 а1 а1 а1

Л Л

К2 (г, Л) = Л[^2 (Л) J о (— г) - W1 (Л) N о (— г)];

а2 а2

Л) = и?12 (Л Яо)[Л Jо (Л Я1)Jl (Л Я1) - Л Jl (Л Я1)(Jо (Л Я1) - ¿1 Л Jl (Л Я1))] -а1 а1 а2 а1 а2 а2 а1 а1 а1

ад

_ и^— Л0)[Як J 0(Я Щ— Я1) _ — Jl(Я Л1)( N0(— *1) _ Ь1 — — Л1))] -а1 а1 а2 а1 а2 а2 а1 а1 а1

02ш1 01ш1 - ип _ип^12;

W2(Я) = ul0l2(—Л0)[ЯкN0(ЯЛ1)Jl(—Л1)_ —Л1)(J0(—Л1) _Ь1 — Jl(—_ а1 а1 а2 а1 а2 а2 а1 а1 а1

_ ul0l1 (— Я0 )[— N0 (— Я)N1 (— Л1) _ — N1 (— )(N0 (— Л1) _ Ь1 — N1 (— Я))] -а1 а1 а2 а1 а2 а2 а1 а1 а1

- Ul0l2 ^21 _ и^;

С1= 4^-, С2=^2, Д1(Я)= 2 1 2 ; П(Я0,Я) = 4-^

„. , ч 8Я1Я^ ю _я2гг 01, Я ,Я ч 02 ^ Я ^ . т , Я ., —Я

^11 (г, г) = —^ | е Я г [и01 (— Я0) N0 (— г) _ и1012 (— Я0 чг ' -41 ■

Я Я

.. ю 2 Wl(Я)No(— г)_W2(Я)J0(— г)

^12 (г, г) = ! еЯ-?-2-—Я; (14)

ю

□}к (г, г,р) = Ге"Я --—Я;}, к = 1,2. (15)

_я2г_}!Я)^кР) Я[

Згiдно формул (12) при } = 1,2 одержуемо функцi!

г Я1

Т} (г, г) = } (г _ т, г) Я0 (т)—т + Г н }1 (г, г, р) (р)срр +

Я0

гЯ1

+ | н}2 (г, г, р)Я2 (р)с2р—р + Г Г а2Н }1 (г _ т, г, р)¡1 (т, Р)С1Р—Р—т +

Я1 0Я0 Г ю

+

0 я

а^Н }2 (г _ т, г,р)/2 (т, р)с2р—р—т,} = 1,2. (16)

Я1

Якщо тепловi джерела вiдсутнi (/1 = /2=0), в початковий момент часу двошаровий проспр знаходився при нульовш темперaтурi (Я1 = £2 =0), а на поверхш порожнини здiйснюеться тепловий удар

iз ск1нченною швидк1стю поширення температури (аЦ = 0, вп = 1), то зпдно формул (16) нестацюнарне температурне поле опишуть функцi!

Т1 (г, г) = |Ж171 (г _ т, г)£0 (т)—т = ^ ГЖ171 (г _ т, г)[(I _ Вт )(т + (т))]—т = 0 г0 0

= Ю(Т _пг0 г

г0

(I _ ВГ0)[|Ж171(т, г)(г _т)—тъ+ (г)]

0

* * ю 2 _я2г

= —^(1_вН|Я г_1 + е (Jo(АЯ0)N0(—г)_г)Щ—Я0))——+ (г)]; (17)

г0п3Я2 0 ЯЯw1I (Я) а1 а1 а1 а1 * ю 2 _ЯЯг

Т2(г, г ) = ^Ч I _ ВГГ°)[ ГЯ г-1 + е-(Wll(Я) No( — г) _ W2l(Я) J0(Я г))——+ (г)];

п2 Я1г0 0 Я4 w1I (Я) а2 а2

30

wu (Л) = w^) + w^) = ^o)^ll(^) - Jo(— Ro)^12(^)]2 +

üj üj

Л Л

+ [No (— Ro)^2l(—) - Jo (—(Л)]2. (18)

üj üj

Якщо ж на поверхш цилiндричноl порожнини ввдбуваеться митгевий тепловий удар (to ^ o), то нестацюнарне температурне поле мае структуру:

* * да _—Л t

Tjj(t, r) = To8—j—To f1 _ g 3 [ Jo(— Ro)No(— r) _ Jo(— r) No(— Ro)][w2j(—) + wii—)]-1^; (19)

n^Rf o — üj üj üj üj

Л Л

..* Ю _—2t w11(—) No(-r) _ Jo( r)w21(—)

Til (t, r)= To^— f j_e2--ü2-^-¿Л. (2o)

n2Rj o Л2 wj2j(—) + w2]—)

З плином часу (t ^да) нестацiонарне температурне поле, яке описуеться функщями (17) - (2o), набувае стацiонарного стану To (T] = T2 = To = const).

Список використаноТ лiтератури

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

2. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. - К.: Наук. думка, 1976. - 310 с.

3. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. - К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1956. - 468 с.

5. Блажевський С.Г., Ленюк М.П. Термопружний стан багатошарових симетричних тш. - Ки1в: 1н-т математики НАН Украши, 2000. - 130 с.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Блажевский С.Г.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Блажевский С.Г.

MODELING OF THE THERMAL CONDUCTIVITY PROCESS FOR A TWO-LAYER SYMMETRIC SPACE WITH A SYMMETRIC CAVITY

Текст научной работы на тему «Моделирование процесса теплопроводности для двухслойного симметричного пространства с симметричной полостью»