CC BY
10
УДК 517.91:532.2
О.М. НЖГЛНА1, М.1. ШИНКАРИК2
1Чернiвецький факультет НТУ «ХП1», 2Тернопiльський нацiональний економiчний ушверситет
СК1НЧЕННЕ Г1БРИДНЕ 1НТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЛЕЖАНДРА - ФУР'е - БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТ [R,R] З ДВОМА ТОЧКАМИ
СПРЯЖЕННЯ
Методом 3adaui Штурма-Лiувiлля запроваджено сктченне гiбридне ттегральне перетворення, породжене на сегментi [R, R ] з двома точками спряження гiбридним диференщальним оператором Лежандра-Фур 'е-Бесселя.
Ключовi слова: гiбридне ттегральне перетворення, гiбридний диференщальний оператор, задача Штурма-
Лiувiлля.
О.М. NIKITINA, M.I. SHYNKARYK
Chernivtsi department of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute", Ternopil' National Economic
University
FINITE HYBRID INTEGRAL TRANSFORM OF LEGENDRE-FOURIER-BESSEL TYPE ON THE SEGMENT [R, R ] WITH TWO POINTS OF CONJUGATION
Annotation
By the method of Shtourm-Liouville problem it is introduced finite hybrid integral transform generated on the segment [R,R ] with two points of conjugation by hybrid differential Legendre-Fourier-Bessel operator. It is proved that this operator is self-conjugate, its spectrum is real and discrete. The theorem about the main identity is proved. Constructed transform allows us to obtain integral representation of solutions of some problems of mathematical physics of non-gomogeneous environments.
Keywords: hybrid integral transform, hybrid differential operator, Shtourm-Liouville problem.
Постановка проблеми. Вивчення ф1зико-техшчних характеристик композитних матер1ал1в, яш знаходяться в р1зних умовах експлуатаци, математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференщальних р1внянь другого порядку на кусково-однорщному штервал з ввдповщними початковими та крайовими умовами [1-3]. Одним 1з ефективним метод1в побудови штегральних зображень аналттичних розв'язшв алгорштшчного характеру таких задач е метод пбридних штегральних перетворень. Основш положення сшнченних пбридних штегральних перетворень закладено в робот [4].
Цшь статть В данш робот побудовано ск1нченне пбридне штегральне перетворення (СГ1П),
породжене на сегмент [ R, R ] з двома точками спряження пбридним диференщальним оператором Лежандра-Фур'е-Бесселя.
Основна частина. Побудуемо на множит I2 ={r :r е (R,R) и (R,R) и (R,R>0,R3 < да} штегральне перетворення, породжене пбридним диференщальним оператором (ГДО)
d 2
MIS = 0(r - Ro Ж(R - r)alЛ^ + 0(r - R)0(R2 - r)a22 — + d(r - R2 )0(R3 - r)a23 Bv a . (1)
У р1вност (1) d(x) - одинична функц1я Гев1сайда [5], Л^ - узагальнений диференщальний
£
dr2
диференщальний оператор Бесселя [8].
Означення. За область задання ГДО M{vSa приймемо множину G вектор-функцш g(r) = {g (r); g2 (r); g3 (r)} з такими властивостями: 1) вектор-функщя
f (r) = {^(S[gl(f)];g2(r);Bva[g3(r)]} неперервна на I2; 2) функци gj(r) задовольняють крайов1 умови
(a1°1-d + Ki) g (r) U0 = 0, (a^d + Р1г) g3 (r)\r = 0; (2)
3) функци g Ar) задовольняють умови спряження
оператор Лежандра [6], - диференщальний оператор Фур'е другого порядку [7], Bv
[(а^ й + Рп)(г) -(«2 ^ + )] \г=ч = 0к = 1,2 . (3)
Умови на коефщенти: 2а +1>0, у>а, = ) , 0; « < 0, / > 0, \ «1 \ +/ Ф 0;
«22 > 0, /¡2 > 0, «32 +/¡2 Ф 0; акт > 0, /)т > 0; 0А = -а/, ^ • >0; т, к = 1,2.
Визначимо числа
Т}2а+1
а2а1= — = а& = 1>
С 2^22 ^ С 22
вагову функцш
а(г) = в(г - Я )в(Я - г^кг + в(г - Я )в(Я2 - г)а2 + в(г - Я2 )в(Я3 - г)а3г2а+1 (4)
та скалярний добуток
Я3 Я Я2 Я3
(и(г), у(г)) = | и(г)у(г)а(г)йг = | щ (г)ух (г)ох 8кгйг + | и2 (г)у2 (г)а2 йг + | щ (г)т3 (г)а3 г 2а+°йг. (5)
Я0 Я0 Я1 Я2 1з умов спряжения (3) для и(г) е О та у(г) е О випливае базова тотожшсть:
с
[щк(г>к(г)-ик(г>к(г)] \г=Я. =— [ик+1(г>к+1(г)-ик+1(г>ш(г)] и . (6)
к г* к
С1к
Якщо компоненти ик(г) вектор-функцп и(г) задовольняють неоднорiднi умови спряження, а вектор-функщя у(г) е О, то тотожшсть (6) набувае вигляду:
, 'С ' '
[щк (Фк (г) - ик (гХ (г)] \г=Я. =— [Щ+1(г>к+1(г) - Щ+1(г>к+1(г)] \г=Я. +
к г" к
С1к
+ Си[(а?2й + Ак2)^к+1(г)\г=Як ®2к - (ак22й + /к2>к+1(г) \г-=ч 0)1к ] . (7)
аг к аг к
Тут прийнято до уваги, що
[« а+/>к(г) - («к2 а+р.'>к+1(г)] ик=м,к=1,2.
Перевiримо справедливiсть рiвностi
(М(«[и(г)], у(г)) = (и(г), М«г(г)]). (8)
Зпдно правила (5) маемо:
3 1
(М(у«[и(г)]Аг))= | М\%и(г)]у(г)и(г)аг = | (а\К {м)[щ(г)])
Яп
Я0 Я0
Я2 (}2и (а2 —г2)^ (г йг + [ (а21
х ух(г )а^кгйг + | (а1 —1)у2(г йг + | (а23 Буа[и3(г )])Уз(г )а3г 2а+1йг. (9)
Я1 йг Я2
Проiнгегруемо в рiвностi (9) шд знаками iнтегралiв два рази частинами:
(М(а [и(г)],у(г)) = а\ах ^Ьт^у, - и,\Я0 + ¡Щ (г)(а2х Л^ [^ (г)])а^кгйг + а\а2 (^Щ2У2 - и2 ^ \^2 +
+ \и2(г)(а1 + а^гу3 -и3 +\и3(г)(а3^В^а[у3(г)])а3г2а+°йг. (10)
Я1 Я2 Якщо Ф 0, то
(а1 ^ - и1 ^т) =(РпГКаЛ+Р>11-=Я0 ч(Яо) -
аг аг 0 аг 0
- «о. +/01)^1 и0 щЯ)^«) Л0 • чЯ) - 0 ■ щЯ)] = 0. (11)
Якщо а3 Ф 0, то
х
(—Ul v., - щ dv3) \ = Ю"« d + ßl2>3(r) \ v3R) -
dr dr dr
-(а\г — + ß322)v3(r)\r-»u3(R3)] = (a322) Ч0• v3(R3)-0• u3(R)] = 0. (12)
d
■ ^j/t ' 22/ 3 X S I/ =R^
На ocHOBi базово! тотожностi (6) в точщ спряження r = R (при к = 1 ) знаходимо, що
2 1D —Щ dvi 2 —U2 dv2 2 1dc2i 2 —U2 dv2
dr dr 1 dr dr 1 cn dr dr 1
(13)
тому що в силу вибору чисел < та <т2 вираз
СТ1 2 С11Сп СТ1 Су
С
"11 21 22 "11 22 22 На ocнoвi базово! тoтoжнocтi (6) при к = 2 в точщ спряження r = R знаходимо, що
al<2(dU2 V2 - U2 d2)) \ -a2^?^ v. - и. dt3:) \ = (a< ^ - a2<3R?4dU3 v3 - и. db) \ , 0 ,(14)
dr dr 2 dr dr 2 c12 dr dr 2
тому що в силу вибору чисел <г2 та <г3 вираз
a<shRc^ - a< = c--c-2 Ra+1 ^ - ^ Ra+1 = ^ Ra+1(1-1) = 0.
a< ^ -a\a3R1a+1 = ^R«+1 • ^ -R«+1 = Ra+\1-1) = 0.
^ С С
„12 22 12
Рiвнicть (10) набувае вигляду:
R1 r2 j2
d v
(M%[u(r)],v(r))= jU1(r)(a2 K{p)[vl(r)])alshrdr + j u2(r)(a\ +
dr2
+ j u3(r)(a23 Bva[v3(r)])<3r 2a+ldr = (u(r),M«v(r)]).
R2
Отже, рiвнicть (8) справедлива. Значить, ГДО M{vaa - самоспряжений оператор. Зввдси випливае, що власш числа гiбриднoгo диференцiальнoгo оператора Mа дiйcнi. Оск1льки ГДО Mа на мнoжинi /2 не мае особливо! точки, то його власш числа утворюють дискретний спектр.
Висновок. Спектр ГДО M\аа дшсний, дискретний.
Власному числу ß ввдповщае власна (спектральна) функцiя
3
V« (r, ß)=Tß(r - R.-1 )m - r V« rß). (15)
i=1
При цьому функци V(t(r,ß) повинш задовольняти вщповщно звичайнi диференцiальнi рiвняння Лежандра, Фур'е та Бесселя
(А(а) + bt)V«1(r,ß) = 0, r е (R,R),
d 2
(-Т + b2)VV,«2(r,ß) =0, r е (R,,R2), (16)
(B«+ bl)V(v%(r,ß) = 0, r е (R, R), крaйoвi умови (2) та умови спряження (3); b = a~l(ß2 + к2), к2 > 0, j = 1,3.
^ _j \ß2+к ),к2
Фундаментальну систему розв'язк1в для диференцiaльнoгo рiвняння Лежандра (Л( ^ + bj2)v = 0
*
v*
утворюють функци A , (chr) та B , (chr) , v* = -1/2 + ibx [6]; фундаментальну систему розв'язшв для
d2
диференщального рiвняння Фур'е (—- + b2)v = 0 утворюють тригонометричш функц^ cos(b2r) та
dr
sm(b2r) [7]; фундаментальну систему розв'язшв для диференщального рiвняння Бесселя (Bva + bl)v = 0 утворюють функци Бесселя J a(b3r) та N a(br) [8].
R0
R1
Наявшсть фундаментально! системи розв'язшв дае можливють вщшукувати функцп (т,/) як лшшну комбiнацiю фундаментально! системи розв'язшв:
Ка^г,/) = МУ(сЬг) + В1В(р(скг),
К«а(г,Р) = А соКЪ2г) + В2 яф2г\ (17)
Ку%(г,/) = А^аЪг) + В3Н«(Ъъг). _
Умови спряження (3) та крайовi умови (2) для визначення шести величин А., В - (, = 1,3) дають однорвдну алгебра!чну систему шести рiвнянь:
У(^(сНЯ,)А1 + У^^сНЯЩ = 0,
Т^ХсНЯ^А + У^(сЩ)Вх -т^ФЯ^А -т1(ЪЛ)В2 = 0,, = 1,2,
у]1(Ъ2 Я2) А2 + у22(Ъ2 Я2)В2 - и2«, 2(Ъ3 Я2) А3 - и« 2Ф3 Я2)В3 =0, (18)
иЮа22(Ъ3Я3)А3 + и22а,22(Ъ3Я3)В3=0 .
Введемо до розгляду функцп:
5(:\1(сНЯ0, сНЯ1) = У^^1 (сНЯ0 2 (сНЯ1) - Y*);0l2(cНЯ0)Yiм)^;00(cНЯ0),j = 1,2,
5,к (Ъ2ЯХ, ЪЯ) = у^ЪЯУЖЯ) - у^ЪЯУ^ЪЯ),,, к = 1,2, 8«, 2(Ъ3 Я2, Ъ3 Я3) = и?«,. 2(Ъ3 Я2)и32а.22(Ъ3 Я3) - и22«,] 2(Ъъ Я.уаж Я),, = 1,2, (19)
а(м),, (Р) = ЖАсЩ, сЩ)52 } (Ъ2 Я1, Ъ2 Я)-ЖСсЩ, сНЯ1)51 J (Ъ2 Я, Ъ2 Я),
Ъ« J (Р) = 5«2п(Ъ3&, Ъ3Я3)5,1(Ъ2 Я,, Ъ2Я2)-5«12(Ъ3Я2, Ъ3Я3)5,2(Ъ2 Я,, Ъ2 Я),, = 1,2.
Для того, щоб алгебра!чна система (18) мала ненульовий розв'язок, необхвдно й досить, щоб визначник алгебра!чно! системи (18) дорiвнював нулю [9]:
52«(Р) - а(цУЛ(Р)5«22.(Ъ3Я2,Ъ3Я3) -а(цХ2(Р)5«12(Ъ3Я2,Ъ3Я3) = = ^) (сНЯ0, сНЯ )Ъ« (Р) - 5(:> (сНЯ0, сНЯ, )Ъ« (/) = 0. (20)
Ми одержали трансцендентне рiвняння для обчислення власних чисел /п ГДО ,
визначеного рiвнiстю (1).
Шдставимо / = Р (Ъ . (/ ) = Ъ.л) в алгебра!чну систему (18) й ввдкинемо останне рiвняння в
силу лшшно! залежностi. Покладемо А1 = - АУ {*)'02(сНЯ ), В1 = АУ {'*),01(сНЯ ), 2* = -112 + ¡Ъ1п,
21п' 21п'
А Ф 0. Перше рiвняння системи стае тотожнютю. Для визначення А, В отримуемо алгебра!чну систему двох рiвнянь:
у1, \(Ъ2Л)А2 + у) 1(Ъ2Л)В2 = А5у \ХсНЯ0, сНЯ1),, = 12. (21)
Алгебра!чна система (21) мае единий розв'язок [9]:
А2=^[5^ (сНЯ0,сНЯУЖЯ)-5(*} (сНЯ,сНЯУЖЯЛ
21Ъ2п 1п' 1п'
В2=-А-8\21(сНя,сНЯужЛ)-8? (сЬЯ»,сняужя;)]. (22)
с21Ъ2п "1п' "1п'
Для знаходження величин А, В маемо систему:
иЦ,, 2 (Ъ3пЯ2 ) А3 + и2« 2(Ъ3пЯ)В3 = -А[с21Ъ2п Г° ^, (Рп )', = 1,2 . (23)
Алгебра!чна система (23) мае единий розв'язок [9]:
2 с
А = с21Ъ2пчЖ)' Ча (Рп ) = - -22(Ъ3ПЯ2)-2а' А3 = -а>2%Ж \ В3= со«(Рп X (24)
ж Я
с« (Рп ) = а т(Ря )и, .-(ЪпЯ) - а(мУМ )и, ;ЖЯ),, = 1,2.
Поставивши визначеш формулами (22) та (24) величини А} й В. С/ — 1,3) у рiвностi (17), отримуемо функцп:
Ог, А ) — 021ь2лж )[Г. ^(сня^снг) - Г пН^А^сНг)],
К%(г,Рп) — яЖ)№\ исИЯ0,сЩрМ,Ь2пг)(сЩ,сНЯШЬ^Ь2пг)], (25)
у1пу1п •21
р 2Ф2А, Ь2г) — уКЬ^со^Г) - у1(Ь2пЯ;)ътф2пг),] — 1,2, К%(г,Р) — Ж,а(Ьзпг) - <М У, .Жгу
Зпдно рiвностi (15) спектральна функщя (г, Р) визначена. II квадрат норми
Я3
II ) ||2— (У^Хг,^)^(г,Р„)) — |[У^Хг,^)]2а(г)аг —
Я0
Я2 Я3
— | [К%(г,Рп )?а^Нгёг + \ [К%(г,А )]2^г + \ [Уу%(г,£п )]2а3г га+1Лг. (26)
Я0 Я2
В подальшому зручно користуватися функцiями
) — У{й(г,рп) :|| У{й(г,рп) ||, || <4.,
) — У)>а:(г,Рп) :|| У^:(г,Рп) ||, || у\ц)(г,рп) ||— 1.
Згiдно з роботою [4] сформулюемо твердження.
Теорема 1 (про дискретний спектр). Кореш Р трансцендентного рiвняння (20) утворюють дискретний спектр ГДО М{аа : рiзнi, дiйснi, симетричнi вiдносно точки Р — 0 й на шввга Р >0 складають монотонно зростаючу числову послiдовнiсть з единою точкою згущення Р — ж .
Теорема 2. Система {у\а)а(г,Р)}Ж=1 власних функцiй ГДО М\а)а ортонормована на множинi /2 з ваговою функщею а(г), повна i замкнена.
Теорема 3. Будь-яка вектор-функщя g(г) зображаеться за системою {^(а)а(г,Р)}Ж=1 абсолютно й рiвномiрно збiжним на множинi /2 рядом Фур'е:
Я
g (г)—^ I g (рХ1 (Р, Рп мр^а (г, Рп). (27)
п—1 и к0
Ряд Фур'е (27) визначае пряме Н\а)а та обернене Ну{а ск1нченне пбридне iнтегральне
перетворення, породжене на множиш /2 ГДО М\аа :
Яз
На [ g (г)]— | g (г Уа (г, Рп )а(г )йг - ~, (28)
Я0
ж
н-а^п ]—т~пУ(а(гРп) - g (г). (29)
п—1
Визначимо величини та функци:
а^а^Щ-. сп. й2— а\02 : ^ §1п — | gl(г М^хО". Рп ^~2п — | g 2(г Наа-2(г. Рп 2^.
~зп — |gз(г>1а1з(г,Р па2 а+1аг, ) — (ак + Р>а-м1(г,Рп) и, к —1,2.
Я2
Теорема_4 (про основну тотожнiсть). Якщо вектор-функщя
/(г) — {Л^(г)]'^2(г);В а[gз(г)]} неперервна на множинi /2, а функцil g (г) задовольняють крайовi умови
Я0
ß gi(r )U0 = g0, (a322d + ß322)g3(r)l=R3 = gR (30)
та умови спряження
{{akjldr + j)gk (r) ~ (j d + j)g^(r)]Uk = ;j, к = 1,2, (31)
то справджуеться основна тотожнiсть iнтегрального перетворення пбридного диференцiального оператора M(M) •
v,a
HjM^[g(r)]] = -ßl~ -Ytfgm + (-a«)-1 v(-aM,ßn)afrshRg0 +
i=1
2
+ (a^) -1 v(a3(Rs,ßn) Rj1 gR +Ж\Z^ßn )o2k - Zjnkßn ]. (32)
к=1
Висновок. Побудоваш правила (28), (29) та (32) складають математичний апарат для знаходження iнтегрального зображення аналггичного розв'язку вiдповiдних задач математично! фiзики кусково-однорiдних середовищ.
Лiтература
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю.М. Коляно. - К.: Наук. Думка, 1992. - 280 с.
2. Ленюк М.П. Температурш поля в плоских кусково-однорщних ортотропних областях / М.П. Ленюк. -К.: 1н-т математики НАН Украши, 1997. - 188 с.
3. Конет 1.М. Температурш поля в кусково-однорвдних цилiндричних областях / 1.М. Конет. М.П. Ленюк. - Чершвщ.: Прут, 2004. - 276 с.
4. Комаров Г.М., Скшченш пбридш iнтегральнi перетворення, породжеш диференцiальними рiвняннями другого порядку / Г.М. Комаров, М.П. Ленюк, В.В. Мороз. - Чершвщ: Прут, 2001. - 228 с.
5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. - М.: Наука, 1965. -328 с.
6. Конет 1.М. 1нтегральш перетворення типу Мелера-Фока / 1.М. Конет. М.П. Ленюк. - Чершвщ: Прут, 2002. - 248 с.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.
8. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М.П. Ленюк. - Киев, 1983. - 62 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М.: Наука, 1971. - 432 с.
