Метод рішення просторової узагальненої крайової задачі Неймана теплообміну циліндра за допомогою нового інтегрального перетворення Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК*

МЕТОД Р1ШЕННЯ ПРОСТОРОВО1 УЗАГАЛЬНЕНО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 НЕЙМАНА ТЕПЛООБМ1НУ ЦИЛ1НДРА ЗА ДОПОМОГОЮ НОВОГО 1НТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ

Державний вищий навчальний заклад «Нацюнальний гiрничий ушверситет», Дншро,Укра1иа

Анотаця. Розроблена математична модель температурних розподЫв у кусково-одноргдному цилгндр^, який обертаеться з посттною кутовою швидюстю навколо oci OZ, з урахуванням Кнце-вог швидкостi поширення тепла, у виглядi крайовог задачi Неймана математичног фiзики для рiв-няння теплопровiдностi. Розроблено нове ттегральне перетворення для кусково-однорiдного простору, за допомогою якого знайдено температурне поле суцшьного кусково-однорiдного кругового цилтдрау виглядi збiжних ортогональнихрядiв за функщями Бесселя i Фур'е.

Ключовi слова: крайова задача Неймана, узагальнене рiвняння переносу енергп, ттегральт перетворення Лапласа, Фур'е, часрелаксацИ

Аннотация. Разработана математическая модель температурных распределений в кусочно-однородном цилиндре, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, с учетом конечной скорости распространения тепла в виде краевой задачи Неймана математической физики для уравнения теплопроводности. Разработано новое интегральное преобразование для кусочно-однородного пространства, с помощью которого найдено температурное поле сплошного кусочно-однородного кругового цилиндра в виде сходящихся ортогональных рядов по функциям Бесселя и Фурье.

Ключевые слова: краевая задача Неймана, обобщенное уравнение переноса энергии, интегральные преобразования Лапласа, Фурье, время релаксации.

Abstract. A mathematical model of the temperature distribution in a piecewise homogeneous cylinder, which rotates at a constant angular velocity about the axis OZ, taking into account the finite speed of propagation of heat in the form of the Neumann boundary problem of mathematical physics for the heat equation was worked out. It was developed a new in-integrand conversion for piecewise-homogeneous space, with the help of which it was found the temperature field of continuous piecewise homogeneous circular cylinder in the form of convergent orthogonal series of Bessel functions and of Fourier. Keywords: Neumann boundary value problem,generalized equation of energy transfer, the integral Laplace transforms, Fourier, relaxation time.

1. Вступ. Постановка проблеми, аналп останшх дослщжень i публжацш

1сторично склалося, що в Укршш розвинута мережа металургшних тдприемств, на яких виробляють значну частину св1тового випуску стал1 [1]. При прокат! металевих лисив ме-талевий лист, розжарений до температури 1200°С, рухаеться за допомогою валюв. При цьому валки можуть сильно нагр1ватися i, при досягнеш певних критичних температур, деформуватися. Що, у свою чергу, викликае брак виробництва [2, 3]. Отримання геомет-рично правильних розмiрiв прокату, зниження витрат прокатних валюв напряму залежать вщ здатноси управлшня тепловим профшем валюв, оперативним управлшням ix тепловим розширенням по всш довжиш бочки валка [4].

При розглядi ряду питань, пов'язаних з штенсифшащею виробництва, отримання нового сортаменту, що вимагае жорстю поля допусюв як по площинноси, так i поперечноi рiзнотовщинностi, змушуе прокатниюв все бшьше уваги звертати на тепловий стан валюв. Отже, виникае необхщшсть аналiзу температури валка та анал^ично вирахувати необхщне охолодження для нього. У зв'язку з цим теоретичний i практичний штерес представляе ви-вчення теплових явищ, пов'язаних iз охолодженням валюв.

© Бердник М.Г., 2016

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 4

У данш робот представлено кусково-однорiдний цилшдр як спрощену модель прокатного валка, який знаходиться тд впливом теплового потоку. Тепловий потш, який дie на валок, е наслщком взаемодп з розжареним металевим листом.

Як показуе огляд л^ератури, теплообмш у цилiндрах, якi обертаються, вивчений на даний час ще недостатньо [5-8]. У [8] показано, що чисельн методи дослiдження нестаць онарних неосесиметричних задач теплообмiну цилiндра, який обертаеться, е не завжди ефективними, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання.

Тому для виршення крайових задач, яю виникають при математичному моделю-ванн тривимiрних нестацiонарних процесiв теплообмiну в цилшдрах, якi обертаються, бу-демо застосовувати штегральш перетворення.

Метою роботи е розробка ново'' узагальнено'' математично'' моделi температурних розподiлiв у кусково-однорщному цилiндрi у виглядi крайово'' задачi Неймана математич-но'1 фiзики для рiвняння теплопровiдностi та розв'язання отримано'' крайово'1' задачi для рь вняння теплопровiдностi, розв'язки яко'1 використовуються тд час керування температур-ними полями.

2. Постановка задач1

Розглянемо розрахунок нестацiонарного температурного поля суцшьного кругового циль ндра скшченно! довжини Ь, зовнiшнього радiуса R у цилiндричнiй системи координат (г,ф, г), кусково-однорiдного в напрямку полярного радiуса г, який обертаеться з постш-ною кутовою швидкiстю с навколо ос OZ, з урахуванням кшцево! швидкостi поширення тепла, теплофiзичнi властивосп якого в кожному шарi не залежать вщ температури за умови щеального теплового контакту мiж шарами, а внутр^ш джерела тепла вщсутш. У початковий момент часу температура цилшдра постiйна О0, а на зовшшнш поверхнi циль ндра вщомий тепловий потiк G(ф, г).

Вiдносну температуру цилiндра в(р,ф, г, t) можна представити у виглядi

ш ^ fвl(P,Ф,^гX якщо ре (Ро,Р1) т

в^ф z, Г) = 1 . (1)

[в2(р,ф,z,г), якщо ре (р,р2)

Вiдноснi температури в5 (р,ф, г, t) 5 -го шара цилшдра обчислюються за формулами:

в (р,ф, z, t) =

Т (р,ф, z, t) - О0 Т —С

1 тах ^0

де Т (р,ф, г, t) - температура 5 -го шара цилшдра, Ттах - максимальна температура циль

г

ндра, р = —, 5 = 1,2. Я

3. Розв'язок задач1

У [8] отримано узагальнене рiвняння переносу енергл для рушiйного елемента суцшьного середовища з урахуванням скшченносп величини швидкостi поширення тепла. Згщно з [8], узагальнене рiвняння балансу енерги твердого тiла, яке обертаеться, з постшною кутовою швидкютю с навколо осi OZ, теплофiзичнi властивостi якого не залежать вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш, приймае вигляд

дТ дТ

у С--+ с--+ тг

д дф

д 2Т д2Т

дt2

дфдt

= Л

д 2Т 1 дТ 1 д 2Т д 2Т

■ +--+

+ -

дг2 г дг г2 дф2 дг

(2)

де у - щшьшсть середовища, с - питома теплоемшсть, Л - коефiцiент теплопровiдностi; Т(р,ф, г, t) - температура середовища, t - час, тг - час релаксацп.

Математично задача визначення вщносно'' температури цилшдра в(^р,ф, г, t) скла-даеться в iнтегруваннi гiперболiчних диференщальних рiвнянь теплопровiдностi (2) в об-ластi О = {(Р,ф, г, t )| ре (р^ ,р ),фе (0,2к), ъ е (0,ГЦ е (0,да)} , що, з урахуванням прийнятих допущень, запишеться у видг

дв. дв. д 2в. 5 + тг——5 + тгс

д2в

д t д ф ' д t з початковими умовами

д фд t

5 = «2

д в 1 дв, 1 д 2в. д 2в.

5 +--— + ^-5 + 5

др2 р др р2 д ф2

дг

2

(3)

в(р,ф,г,0) = 0, = 0,

д t

граничними умовами

•дв

др

£-£ т

е т ^ = V (ф, г),

Р=Р2

(р, ф, 0, ^ = 0, вs (р,ф,1, о = 0,

умовами щеального теплового контакту

в1(,р^г, t) = в2(Pl,ф,z, t),

дв-(р-,ф, г, t) двг(рх,ф, г, t)

Л1-1- = Л2-1-,

др др

а на ос цилшдра виконуеться умова обмеженосп

в1(р,ф, г, г) ,

я

де р1 = —-, р0 = 0, р2 = 1, —1 - радiус межi шарiв, Л5 - коефiцiент теплопровiдностi, у -Я

щiльнiсть, с5 - питома теплоемшсть, а5 =--коефiцiент температуропровiдностi 5 -го

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

С5У5

\2

\ — \ 2 а5 С(ф, г) т

шара цилшдра,Х = \ — \ , = — , 5 = 1,2, V(ф,г) = —7 г .

^1; — Л(Ттах - С0)

Тодi рiшення крайово'1 задачi (3)-(9) в$ (р,ф, г, t) е двiчi неперервно диференцшо-ваним по р, г i ф, один раз по t в областi D i неперервним на О [9], тобто

в8 (р,ф, г, t) е С2Д(О)П С(О), а функцп V(ф, г), вв (р,ф, г, t) можуть бути розкладенi в комплексний ряд Фур'е [10]:

в (рР,ф, z, 0 \ -в (р z, 0[ . Кф,..) | = Vn (г) ^М,

(10)

2

0

де

[°s,n(Pz,t)l l 2{jOs(p,q>,z,t) ,

V ( z )

V (q>, z )

де On(p,z,t) = Os(>l)(p,z,t) +1 6¡J(p,z,t), Vn(z) = V^(z) + i VI(2)(z) . i - уявна oдиниця.

З oглядy на те, щй Os (p,ç, z, t) функцп дiйcнi, oбмeжимocя нaдaлi poзглядoм

Os n(p,z,t) для n = о,l,2,..., тому щo Os n(p,z,t) i Os_n(p,z,t) будуть кoмплeкcнo с^яже-

ними [10]. Пщставляючи значення фyнкцiй з (10) у (3)-(9), у peзyльтaтi oдepжимo систему дифepeнцiaльниx piвнянь:

dO() r , d2O(i) r,dO{m) + é^Oími) + т -^ + т = а

d t n s,n r d t2 r n d t s

з пoчaткoвими yмoвaми

d2O(i) l dO() n2

s,n

+

dp2 p dp p

(i) 2 r)2fí(i)

s,n - _ O(i ) + r-d °s,"

2 Os,n + r

dz2

Os»(p, ^=о, =о,

гpaничними yмoвaми

¡- déí dp

о

dt

<LL

e т dÇ = Vn0)(z),

P=P2

O,,t)=о, Op,l,t=о ,

yмoвaми iдeaльнoгo тeплoвoгo кoнтaктy

eftp z, t )=o«(pi, z, t ),

dOffp, z, t ) dO»(Pl, z, t ) dp dp а на oci цилiндpa викoнyeтьcя yмoвa oбмeжeнocтi

O«(p, z, t ) < да,

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

де = -œn, é2 =œn, m = 2, m = l, i = l,2.

Зacтocoвyeмo ao системи дифepeнцiaльниx piвнянь (11) з yмoвaми ( 12)-(17) штег-paльнe пepeтвopeння Лапласа [10]:

ии

т = \/(т)е~" dr.

У peзyльтaтi oдepжyeмo систему дифepeнцiaльниx piвнянь:

se(1) + 3(1)(в(щ) + т s0(mi)) + т s2ë{l) = а2

s.n п V s.n г n S r s.n s

д2в(1) 1 дв(1) п2

V VI V VI • *

.. ,, д2в(1) , —QV + y-£i

2 <-> 2 s.n 1 /С

dp2 p dp p

dz2

(18)

з граничними yмoвaми

о

дв.

(О

др

p=i

о,о = о, ^(Ао,о = о,

умовами iдеального теплового контакту

др др а на осi цилiндра виконуеться умова обмеженостi

(20)

(21) (22)

(23)

(0,

'1 +-1Л

V у

, (/• = 1,2) .

Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (18) штегральне перетворення

Фур'е:

1

f(лт) = jf (-фт(ж • m •x) dx,

0

де Xm = ж • m, m = 1,2,..., а формула оберненого перетворення мае вигляд

да

f (= 2Z ^П(Ж ^ m ^ Х) ^ 7(Äm) .

m=1

У результатi одержуемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь:

(24)

sé(0 +3{l)(ë{mi) +т se(m°) + T sze(l) =а

s,n п \ s,n г п > г s,n ,

О,-h

. з2в0) = а2

г s,n s

d26™ idë™ П2-

££L _ " ft ^ — 2 2 ft ^

j 2 ' 1 2 us,n

d р р d рр

+ ■

(25)

з граничною умовою

дв,

(О

др

v

(О

(26)

р=1

умовами iдеального теплового контакту

")(i+\ = a(i)t

дв^ )(р1, t ) дв«(р, о

Л-1- = Л2'

(27)

(28)

др др а на осi цилшдра виконуеться умова обмеженосп

в?(р, t) < да. (29)

Для розв'язання крайово'1 задачi (25)-(29) побудуемо штегральне перетворення:

f(H*)= ]

Qp^nkcP) a(p)

2 Ps

P f(P)dP = X J

S=1 Ps-l

Qs (Unp

а

p f(p)dp,

(30)

де

ом, kP), а(р)=<

öl ö2

U

Un,k

-P

V а1 J

U ^ p

V а2 J

а

якщо P G (p0 ,p )

, а?, якщо pG (p,p )

Влacнi функцп Q (Unkp) i власш значення Un,k знaxoдятьcя iз poзв'язкy зaдaчi Штypмa-Лiyвiлля:

d Qs , 1 dQs n2 U2n,k

_T^ + —1---2 + —T~ Qs = о,

dp2 p dp p2 а2

(31)

f

dQ2

Ql(0) <да:

Ql

f Un,k л —Pl V а1 J

= Qí

f Unk л —Pl V а2 J

л

Un,k л

Pl

а2 J

dp

dQl ( Unk

V а1

dp

= о,

pl

dQ(

■ = л

f Unk Л

—Pl

V а2 J

dp

Рoзв'язaвши задачу Штypмa-Лiyвiлля (31)-(33), oдepжyемo:

Ql

f Unk Л

-P

V а1 J

J

f Unk Л

а1

p

f Unk Л

, Q2

J

Pl

V а1 J

f Unk Л —p

V а2 J

Y

f Unk Л

а2

p

f Unk Л

Y

Pl

V а2 l J

(32)

(33)

(34)

f

де Y

Unk

p

V а2 J

Unk

а

Y '

n

Unk

2

- функцп Бесселя 1го i 2го poAy nго пopядкy вiдпoвiднo [9].

Власш значення Un k знaxoдятьcя iз poзв'язкy тpaнcцeндeнтнoгo piвняння:

■P?

V а2 2 J

J

p

V а2 J

J '

J n

Unk —p?

V а2 2 J

Y

Unk —p

V а2 J

Jn ( x),Yn ( x)

Un,kJn

f Unk ^

-Pl

V а1 J

H

f Unk Л Pl

V а2 J f Unk Л

а1 J n

f Unk Л

= а

а1

Pl

(

де H

\

Unk —p

а2 J

Unk

а?

Y '

Un,k

а?

p2

J L

Un,k

а?

Y

V

Л í

Pl

а2 J

p

JL

J

V

Un,k

-P?

а2 J

YL

n

а2

p

Фopмyлa oбepнeнoгo пepeтвopeння мае вигляд

= 2. Й-—¡¡2 /(#>,*)'

n==l \\Q0(U„kP)\\

(35)

а =

Л?а1 Л1а2

(36)

де

ШМпк р) =

р

2а2

г 2 2 >

п «

1- 2 2

^П,кР- У

Мп,к^п

п, к

V «

р

«Л

м

'п, к

V «

Р

К

р22

2 а,

22 л п а, 1- 2

Л

2 2

Мп,кР2 У

¥

М

п,,

V а2

р2

¥

Мп

п,к

V а2

р

р 2 а,2

Г 2 2 >

.. п а7

1—о" 22

Мп,кР у

Н

Мпк

V «2

Р)

Мп

'п ,к

V а2

р

Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (25) з умовами (26)-(29) штег-ральне перетворення (30), де власш функцп 0(мпкр) визначаються за формулами (34), а

власш значення мп к знаходяться iз розв'язку трансцендентного рiвняння (35) i, врахову-

ючи позначення (1), в результат! одержуемо систему звичайних алгебршчних р1внянь вщ-

носно в{1)'-

Г Г .. \

п.к

+

п г п

V У

+*№ = ч.

а

А

У«2У

К

(О

в.

(О

(37)

9 9

де / = 1,2, Чпк = М п,к +Лт .

Розв'язавши систему рiвнянь (37), одержуемо:

6»(0=а.

р(г) (т/ + 5 + Яп,к) + (-1Г СпРп( т )(1 + Т )

"( т1)/

п,к

(Тг5 + 5 + Яп,к) +Сп (1 + 5ТГ)

(38)

де / = 1,2, апк =02

ГМп,кЛ V а2 у

Застосовуючи до зображення функцш (38) формули оберненого перетворення Лапласа, одержуемо оригшали функцш:

в(1)(0 = £ С,к Ъ ) ■ {Рп(1) Ъ ){Т + 1) + тгсп/ ] + Рп(2)^ )-[тгоп - (2т +1)/ ]} •

,=1

4 _ _

■ е ' - 1) + (5 ) ■ {Рп(1)(5, ) ■ [(2тЛ. + 1) - тгсп/] + р}2)() ■ \_тгюп + (2^.5, + 1)/]} (39)

,=3

(«"' -)) ,

2

0„(2)(О = IX^, ) • Й'Ч ) • [(2V, +!) + T/Dni] - VV(Sj) • [тгат - (2V, +1)/]} •

j=i

4 ___

• (eSjt -1) + ^n,k(Sj ){Vn(2)(sj )■\(2Trsj +1)-zroni]-^(Sj )-\тгоп + (2гЛ + 1)i]} (40)

j=3

(eSjt -1) , де Cnk (Sj) =

мулами

0,5s la ,

7 j n,k

(2rrsj +1)2 + (zran )2

а значення s для j — 1,2,3,4 визначаються за фор-

S1,2 =

(Jrani - 1) ^(1 + Tranii)2 - 4гг<1п,к _ (Tr0mi + 1 ± V(1 - T/°ni)2 - ^Mn,

, S 3 4 —

2r " 2r

Таким чином, з урахуванням формул обернених перетворень (24) i (36) одержуемо температурне поле кусково-однорщного кругового цилiндра в напрямку полярного радiу-са, який обертаеться з постшною кутовою швидкiстю о навколо ос OZ, з урахуванням кшцево!' швидкостi поширення тепла:

6(p,q>, z, t) —

Ol / CO p ^

6^{t) + i-6f\t)

k—1 \ m—1

sin(;r m z)

qo(ßnk p) ||qou,k p)||2

• exp(inp);

де значення O^if) i 0^Z)(t) визначаються за формулами (39), (40).

Г(2)

4. Висновки

У статп розроблено тривимiрну математичну модель розрахунку температурних полiв у кусково-однорiдному круговому цилiндрi в напрямку полярного радiуса, що обертаеться з постiйною кутовою швидюстю навколо осi OZ довжиною L, у виглядi крайово'1 задачi Неймана математично!' фiзики для гiперболiчного рiвняння теплопровiдностi. За допомо-гою розробленого нового штегрального перетворення знайдено анал^ичний розв'язок одержано!' узагальнено'1' крайово'1 задачi теплообмiну цилiндра. Знайдений аналiтичний розв'язок узагальнено'1 крайово'1 задачi теплообмiну цилшдра, який обертаеться, з урахуванням скшченносп величини швидкостi поширення тепла, може знайти застосування при модулюванш температурних полiв, якi виникають у багатьох техшчних системах (у супут-никах, прокатних валках, турбiнах та ш.).

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Калшченко В. Вплив експлуатацшних фактор1в на напружено-деформований та граничний стан ролиюв машин безперервного лиття заготовок / В. Калш1ченко, Н. Гопкало // Вюник ТДТУ. - 2010. - Т. 15, № 1. - С. 41 - 51.

2. Капланов В. И. Некоторые вопросы к проблеме охлаждения прокатных валков / В.И. Капланов, А.С. Петренко, И.С. Сухоруков // Вюник Приазовського державного техшчного ушверситету. -(Сер1я «Техшчш науки»). - 2010. - Вип. 20. - С. 94 - 97.

3. Моделирование теплового режима стана холодной прокатки с учетом различий в условиях охлаждения верхних и нижних валков / Э.А. Гарбер, В.О. Гусаров, Е.В. Дилигенский [и др.] // Металлург. - 2005. - № 6. - С. 66 - 69.

4. Гарбер Э.А. Моделирование теплового режима валков широкополосного стана горячей прокатки для определения эффективных режимов их охлаждения / Э.А. Гарбер // Металлы. - 2009. - № 3. -С.34 - 47.

5. Голицына Е.В. Математическое моделирование температурного поля в полом вращающемся цилиндре при нелинейных граничных условиях / Е.В. Голицына // Теплофизика высоких температур.

- 2008. - Т. 46, № 6. - C. 905 - 910.

6. Громик А.П. Нестащонарш теплопровщносп в кусково-однорщних просторових середо-вищах / А.П. Громик, 1.М. Конет. - Кам'янець-Подшьський: Абетка-Свгг, 2009. - 120 с.

7. Конет I. М. Гiперболiчнi крайовi в необмежених тришарових областях / 1.М. Конет, М.П. Ленюк. - Львiв, 2011. - 48 с. - (Препринт / НАН Укра!ни, 1н-т прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача; 01.11).

8. Бердник М.Г. Математичне моделювання тривимiрноl узагальнено! задачi теплообмiну суцшь-ного цилшдра, який обертаеться / М.Г. Бердник // Питання прикладно! математики i математичного моделювання: зб. наук. праць / Ред. кол. О.М. Кисельова. - Дншропетровськ: Вид-во «Шра», 2014.

- С. 26 - 35.

9. Маркович Б.М. Рiвняння математично! фiзики / Маркович Б.М. - Львiв: Видавництво Львiвськоl полггехшки, 2010. - 384 с.

10. Лопушанська Г.П. Перетворення Фур'е, Лапласа: узагальнення та застосування / Лопушанська Г.П., Лопушанський А.О., М'яус О.М. - Львiв: ЛНУ iм. 1вана Франка, 2014. - 152 с.

Стаття над1йшла до редакцп 30.05.2016