CC BY
9
УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК*
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ I МЕТОД Р1ШЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНО1 ЗМ1ШАНО1 ЗАДАЧ1 ТЕПЛООБМ1НУ ПОРОЖНЬОГО 1ЗОТРОПНОГО Т1ЛА ОБЕРТАННЯ
Нацiональний технiчний унiверситет «Дшпровська полтгехшка», м. Днiпро, Украша
Анотаця. У статт1 вперше побудована узагальнена просторова математична модель розрахун-ку температурних пол1в у порожньому ¡зотропному тм обертання з в1домими р1вняннями тв1р-них лтШ у цилтдричтй систем1 координат, яке обертаеться з пост1йною кутовою швидюстю навколо ос 02, з урахуванням ктцевог швидкост1 розповсюдження тепла у вигляд1 змшаног крайовог задач1 для гтербол1чного р1вняння теплопров1дност1 з початковими 7 граничними умовами за умови, що теплоф^зичш властивост1 тыа е пост1йними, а внутршн джерела тепла в1дсутт. У початковий момент часу температура тыа е пост1йною, а на зовтштй поверхн тыа в1дом1 зна-чення температури 7 теплового потока, якг е неперервм функцп координат. Гтербол1чне р1вняння теплопров1дност1 отримано 7з узагальненого р1вняння переносу енергп для руш1йного елемента суцыьного середовища з урахуванням сктченност1 величини швидкост1 поширення тепла. Для виршення отриманог крайовог задач1 шукане температурне поле представлено у вигляд1 комплексного ряду Фур'е. Ршення отриманих крайових задач для коефщент1в Фур'е були знайден з застосуванням ттегральних перетворень Лапласа 7 побудованого нового ттегрального перетво-рення для двовим1рного юнцевого простору. Власн значення 7 власт функцп для ядра ттегрального перетворення знаходяться за допомогою метод1в юнцевих елемент1в 7 Гальоркта. При цьому було зроблено розбиття област1 на симплекс-елементи. У тдсумку температурне поле у порожньому ¡зотропному тм обертання знайдено у вигляд1 зб1жних ряд1в за функциями Фур'е. Отри-мане ршення крайовог задач1 е дв1ч1 неперервно диференцтованим за просторовими координатами 7 один раз за часом. Знайдений розв'язок узагальненог крайовог задач1 теплообм1ну ¡зотропного тыа обертання, яке обертаеться, з урахуванням сктченност1 величини швидкост1 поширення тепла може знайти застосування при модулюванш температурних пол1в, якг виникають у багатьох техмчних системах (супутники, сортопрокатн валки, ротори енергетичних агрегат1в, дисков1 гальма та гн.).
Ключов1 слова: крайова задача, криволттний ттеграл, узагальнене р1вняння переносу енергп, т-тегральне перетворення Лапласа, часрелаксацИ.
Аннотация. В статье впервые построена обобщенная пространственная математическая модель расчета температурных полей в полом изотропном теле вращения с известными уравнениями образующих линий в цилиндрической системе координат, которое вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, с учетом конечной скорости распространения тепла в виде смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения теплопроводности с начальными и граничными условиями при условии, что теплофизические свойства тела являются постоянными, а внутренние источники тепла отсутствуют. В начальный момент времени температура тела является постоянной, а на наружной поверхности тела известны значения температуры и теплового потока, которые являются непрерывными функциями координат. Гиперболическое уравнение теплопроводности получено из обобщенного уравнения переноса энергии для движущегося элемента сплошной среды с учетом конечности величины скорости распространения тепла. Для решения полученной краевой задачи искомое температурное поле представлено в виде комплексного ряда Фурье. Решение полученных краевых задач для коэффициентов Фурье были найдены с применением интегральных преобразований Лапласа и построенного нового интегрального преобразования для двумерного конечного пространства. Собственные значения и собственные функции для ядра интегрального преобразования находятся с помощью методов конечных элементов и Галеркина. При этом было сделано разбиение области на симплекс-элементы. В результате температурное поле в полом изотропном теле вращения найдено в виде сходящихся рядов по функциям Фурье. Полученное решение краевой задачи является дважды непрерывно дифференцированным по пространственным координатам и один раз по времени. Найденное решение обобщенной краевой задачи теплообмена полого изотропного тела вращения, которое вращается, с учетом
© Бердник М.Г., 2018
1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 3
конечности величины скорости распространения тепла может найти применение при моделировании температурных полей, возникающих во многих технических системах (спутники, сортопрокатные валки, роторы энергетических агрегатов, дисковые тормоза и др.).
Ключевые слова: краевая задача, криволинейный интеграл, обобщенное уравнение переноса энергии, интегральное преобразование Лапласа, время релаксации.
Abstract. In the article for the first time a generalized spatial mathematical model for calculating temperature fields in an empty isotropic body of rotation with known equations of generating lines in a cylindrical coordinate system is constructed. It rotates with a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the final rate of heat propagation in the form of a mixed boundary problem for the hyperbolic equation of heat conduction with initial and boundary conditions, provided that the thermophysical properties of the body are constant, and internal sources of heat are absent. At the initial moment, the temperature of the body is constant, and on the outside of the body are known values of temperature and heat flux which are continuous coordinate functions. The hyperbolic heat equation is derived from a generalized energy transfer equation for a moving element of a continuous medium, taking into account the finiteness of the velocity distribution of heat. To solve the boundary-value problem, the desired temperature field is represented as a complex Fourier series. The solutions of the boundary value problems obtained for Fourier coefficients were found using integral Laplace transforms and constructed a new integral transform for a two-dimensional finite space. Own values and their own functions for the integral transformation core are found using finite element and Galerkin methods. In this case, the division of the area into simplex elements was made. As a result, the temperature field in an empty isotropic body of rotation is found in the form of convergent series in Fourier functions. The obtained solution of the boundary value problem is twice continuously differentiated by spatial coordinates and once per time. The solution of the generalized boundary-value heat transfer problem for an isotropic rotating body that rotates, taking into account the finiteness of the velocity of heat propagation, can be found in the modulation of temperature fields that occur in a number of technical systems (satellites, rollers, rotors of power generating units, disk brakes, etc.).
Keywords: boundary value problem, curvilinear integral, generalized equation of transfer of energy, integral Laplace transform, relaxation time.
1. Вступ. Постановка проблеми, аналп останшх дослщжень i публжацш
Диски складно! форми, яю обертаються, е найважлившим елементом багатьох машин. Можливють отримання високих параметрiв роботи таких машин визначаеться мщнютю i довговiчнiстю дисюв. У бшьшосп сучасних турбомашин диски працюють в умовах тд-вищено! навантаженосп, що призводить до виникнення пластичних деформацш, де необ-хщно враховувати вплив високих температур i виникнення температурних напружень. Великий вплив на величину температурних напружень дае закон змши температури по радiу-су диска. Вщомо, що замша лшшного закону змши температури по радiусу квадратичним законом може призвести до ютотного зростання окружних напружень. Тому достатня точ-шсть визначення температурного поля в розрахунках на мщшсть мае принципове значен-ня. Крiм того, при великих швидкостях обертання вплив скшченносп величини швидкосп поширення тепла на теплообмш стае поманим [1-2]. Ось чому до числа проблем, яю представляють великий теоретичний i практичний штерес, вщноситься проблема вивчення температурного поля в тшах обертання, як обертаються навколо свое! оа, з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла.
Як показуе огляд л^ератури, теплообмш у тшах, як обертаються, вивчений на да-ний час ще недостатньо [1]. Показано, що чисельш методи дослщження нестащонарних неосесиметричних задач теплообмшу цилiндрiв, як обертаються, е не завжди ефективни-ми, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання.
Так, доводиться в [1], що умови стшкосп обчислень у методi скшченних елемешив i методi кшцевих рiзниць, що застосовуються до розрахунку нестащонарних неосесиметри-
чних температурних полiв цилiндрiв, якi обертаються, визначаються аналогiчними характеристиками. Ц умови мають такий вигляд:
АР 1 Р— л
1 > 0 i ----- > 0.
Ар Ар 2
Якщо Р— = 105, що вщповщае кутовiй швидкостi обертання металевого цилшдра
с = 1,671 сек 1 радiусом 100 мм, змiннi Ар и АРо повиннi бути пiдпорядкованi таким умовам:
Ар< 2 -10"5 i АРо < 2 • 10-10.
Для рiвномiрно охолоджуваного цилiндра за умови Bi=5 час, необхiдний для того, щоб температура досягла 90% стащонарного стану, дорiвнюe Ро ~ 0,025 [1]. Це означав,
що потрiбно принаймнi здiйснити 1,3 -108 операцiй по годинi для того, щоб було досягнуто стащонарний розподш температури.
Бiльше того, потрiбно вщзначити, що протягом одного циклу обчислень потрiбно здiйснити 3,14 •Ю5 обчислень, так як внутршнш стан у кшьщ характеризуеться 3,14 •Ю5 точками. У результат видно, що число обчислень, необхщних для отримання чисельного результату, видаеться нереальним.
Тому, для виршення крайових задач, яю виникають при математичному моделю-ваннi тривимiрних нестацiонарних процесiв теплообмшу в тiлах, якi обертаються, будемо застосовувати штегральш перетворення.
Постановка задач1. Розглянемо розрахунок температурного поля тша обертання (рис. 1) з твiрними ль нiями L3, Ь6, рiвняння яких г = %(г), г = ^ (х) вщповь дно у цилiндричнiй системi координат (р, р, х). Тшо обертання обмежене двома торцями 5 (х = 0), 5*2 (х = И) i бiчними поверхнями обертання 53, £4 . Бiч-нi поверхнi обертання 53, £4 перетинаються з поверхнями 5. уздовж лiнiй Lj, ] = 1,2, i Ьк , к = 4,5 вщповщ-но.
Тiло обертаеться навколо ос OZ з постiйною ку-товою швидкiстю с, а швидюсть поширення тепла е вiдомою величиною. Теплофiзичнi властивостi тiла не залежать вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш. У початковий момент часу температура тша постшна Ц, а на зовнiшнiй и внутршнш бiчних поверхнях тiла вщоме значення температури V(р, х) i V (р, х) вiдповiдно. На торцях вiдомi значення теплового потоку 01 (г,р) i 02 (г,р) при х = 0 i х = И вщповщно.
Рисунок 1 - Тшо обертання з тв1рними лш1ями
г = й( z), г = £х(
2. Розв'язок задач1
В [1] отримано узагальнене рiвняння переносу енергл для рушшного елемента суцiльного середовища з урахуванням скшченносп величини швидкостi поширення тепла. Згщно з [1], узагальнене рiвняння балансу енергл твердого тша, яке обертаеться з постшною куто-вою швидкiстю с навколо ос OZ, теплофiзичнi властивостi якого не залежать вщ температури, а внутршш джерела тепла вiдсутнi, приймае вигляд
I дТ di
у c]--h а--h тг
I dt дp
д 2T д 2I —- + a-
дt2
дpдt
= Л
д2I l di l д2I д2I
—r +--+ ^—t + —Г
dr r dr r dp dz
(1)
дe у - щiльнicть cepeдoвищa, с - питoмa тeплoeмнicть, Л - кoeфiцieнт тeплoпpoвiднocтi, i(p,p, z, t) - тeмпepaтypa cepeдoвищa, t - чac, тг - чac peлaкcaцiï.
Maтeмaтичнo зaдaчa визнaчeння тeмпepaтypнoгo пoля цилiндpa cклaдaeтьcя в irn^-pyвaннi дифepeнцiaльнoгo piвняння тeплoпpoвiднocтi (1) в oблacтi
D = {(p,p,z,t) |p G {Çl(z),Ç(z)), p g (0,24 z G (0,h),t G (0,œ) },
щo, з ypaхyвaнням пpиинятих дoпyщeнь, зaпишeтьcя y видi:
a
дв дв д2в д2в — + а — + тг —г- + та-= —
д t д p д t2 д pd t R2
д2в l дв l д2в д2в +--+ —-- + ■
dp p dp p д p dz2
(2)
з пoчaткoвими yмoвaми
e(p,Az,0 ) = 0, de(p^ ) = 0
д t
i гpaничними yмoвaми
e(Çl(z),p, z, t ) = -(p, z ), e(ç(z),p, z, t ) = G (p, z ) ,
(3)
(4)
•дв
dz
■ дв dz
ç-l
e т dÇ = ©(p,p),
z=0
(5)
e Tr dÇ = Л(p,p),
z=l
1 (p,p, z, t)- G0 дe в = --
- G
- вiднocнa тeмпepaтypa ^a, a = — - кoeфiцieнт тeмпepaтypoпpo-
су
R = max{f( z)},
p=
R
Ç( z) =
4( z )
R
вiдн0cтi, imax = max {V (ф, z) ,V (ф, z)},
fiW.m ©p,p)=—MA, G(p,z> ©(p,p),
Л(p, p) g C(0,2^).
Тoдi piшeння кpaИoвoï зaдaчi (2)-(5) e(p, p, z, t) e двiчi нeпepepвнo дифepeнцiИoвa-ним пo p i p, z, oдин pa3 пo t в oблacтi D i нeпepepвним нa D [3], тoбтo e(p, p, z, t) G C2Д (d) П c(d ), a фyнкцiï G(p, z), -(p, z), ©(p, p), Л^, p), e(p, p, z, t) мoжyть 6ути poзклaдeнi в кoмплeкcниИ pяд Фyp'e [3]:
e(p,p, z, t )' en (p, z, t У
G (p z ) Gn ( z )
-(p, z ) rœ - n ( z )
©(p,p) n=-œ ©n (p)
Л(p,p) [ Л n (p) J
■ exp (inp),
(б)
0
0
<
де
вп (р, х, г)
Оп (х)
¥ п ( х )
©п (Р) Лп (р)
2л
2л-|
в(р,р, х, г) О (р, х)
^(р, х) ©(р,р)
Л(р,ф)
■ ехр(-гпф)—р,
&п (р,х,г) = ^П1)(р,х,г) + вя2)(р,х,г), Оп(х) = О^(х) +, ¥п(х) = *?>« + ,
©п (Р) = (р) + г©(й2^р), Л (Р) = Л« (р) + гЛ!2) (р).
З огляду на те, що в(р,р, х, г) функцiя дiйсна, надалi обмежимося розглядом вп (р, х, г) для п = 0,1,2,..., тому що вп (р, х, г) i в-п (р, х, г) будуть комплексно спряженими [3]. Пщставляючи значення функцiй з (6) у (2)-(5), у результатi одержимо систему дифе-ренцiальних рiвнянь:
в д г
+ + т
дв) д г2
■ + гЗ
(г)
дв
Ц)
д г
Я2
д 2в(г) 1 дв(г)
+
др р др р2
- пг вг) +
д2в ) _п
(7)
>
а
з початковими умовами
вп: .р,0) = 0, = 0
дг
(8)
i граничними умовами
вп > (д (х), х, г) = ^) (х), вп г) (д (х), х, г) = О?> (х),
- дв]
\
др
С-г
г дввг)
др
е тг—с=©г\р),
е Гг—с = Л п )(р),
(9)
(10)
де З1 = -оп, = оп, щ = 2, щ = 1, / = 1, 2 .
Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (7) з умовами (8)-(10) штегра-льне перетворення Лапласа [3]:
<х>
~к)=|/(г) еёг .
У результатi одержуемо систему диференцiальних рiвнянь:
в ')+Зп )(в~п(Щ )+Гг8впГ' Г в =
а
Т
д2в() п^ ~(г) д2вп(г)
.2 _ _2 п ~ 2
др р др р
дх1
(11)
з граничними умовами
0
z=0
0
z=1
0
ë(1 n
дв:
p=fl( z ) W p=ç( z) n V 7
&
z=0
dz
= л(лр),
(12) (13)
z=1
дe © ! ](p)=©(„ „(p>
Л
l + —
V т j
; Л )(z )=л„ „(z )•
l + —
V ^r J
.(: = l, 2).
Для poзв'язaння кpaИoвoï зaдaчi (11)-(13) зacтocoвyeмo iнтeгpaльнe пepeтвopeння:
f (/n,)= Я^z/nk)pf(P,z)da, (14)
D
дe ф(p,z,/ипк\ /nk - влacнi функцп i влacнi знaчeння.
К^^чта пpoблeмa влacних знaчeнь i влacних фyнкцiИ фopмyлюeтьcя як зaдaчa ^o визнaчeння знaчeнь чиcлoвих пapaмeтpiв (влacнi знaчeння) /пк i фyнкцiИ (влacнi функцп) ф(x, y, /пк ), якi тoтoжньo нepiвнi нулю в oблacтi S = {(x, y) | y g (0,h), x g (ç1 (z), ç(z)) }
тa зaдoвoльняють piвнянню
d2ф l дф n2 d2ф
dx x dx x dy
=0
i дoпoмiжним yмoвaм
ф(^1 ( z), y, /nk „= 0, ф($( z), У, /nk „= 0,
= 0,
n,k
дф
dy
= 0, ф
y=0
dy
(15)
(16) (17)
y=l
дe
d u (x y„ djaU (x,y„ ÔaU (x y„= dxa dxa ,
Ф(x, y, /n )c C2 (S) = {u(x, y)g C(S): dau(x, y)g C(S), Va, \a\< 2}, I a \= a - мyльтиiндeкc, ^мш^нти якoгo e цiлi нeвiд'eмнi чи-
cла.
ЗнaИдeмo влacнi знaчeння /пк i влacнi функци
ф(x, y, /пк ) i3 poзв'язкy зaдaчi (15)-(17) 3a дoпoмoгoю мeтoдiв кiнцeвих eлeмeнтiв i Гaльopкiнa. Для ^oro 3po-бимo poзбиття oблacтi нa cимплeкc-eлeмeнти (pиc. 2).
Тoдi фyнкцiя ф(x, y) в cepeдинi cимплeкc-
eлeмeнтa виpaжaeтьcя чepeз функцп фopми N, N и N i3 вiдoмими знaчeннями ф, ф2, ф3 у вepшинaх тpи-кyтникa:
фе ( x, y) = Мф + N^ф2 + Мзфз = [Ne ]г {фе}, (18)
дe i N ] = i N, N, N ]Г ; {фе}= {ф ,ф ,ф}Г, нижнш iндeкc (e) oзнaчae дoвiльниИ cимплeкc-eлeмeнт.
Для : -гo вyзлa (: = l,2,3) функци фopми мaють вигляд
(X У ) = 1 (а' + Ь'Х + С,У ) ,
де аг = Х]Ук - ХкУ] ; Ъ, = У] - Ук ; Сг = Хк - Х] , — = Х2Уз - Х3У2 + Х3Уг - ХгУз + хгу2 - Х2Уг , г, у, к - послщовна нумерацiя вузлiв симплекс-елемента при обходi 1'х проти годинниково'1 стрiлки.
Для визначення функцiй форми N , N, N3 зручно використовувати Ц координати в середиш симплекс-елемента, якi визначаються вщношенням площi трикутника, утворе-ного точкою i стороною, протилежною вершинi г, до загально'1 площi трикутника:
Ц = 1'[(У 2 - Уз ) (Х - Х2) + ( Х3 - Х2 ) (У - У2) ] ,
L2 = 1'[(У3 - У1 ) (Х - Х3) + ( Х1 - Х3 ) (У - У3)]:
L3 = 1 [(У: - У 2 )(Х - Х1) + (х2 - Х1 )(У - У:)] .
—
У разi лiнiйного симплекс-елемента, що мiстить три вершини, функцп форми зб^а-ються з вiдповiдними Ц координатами
N = Ц, N2 = Ц2, N3 = Ц3. Пiдставимо в рiвняння (15) наближений розв'язок (18), тодi отримаемо рiвняння
( д2 1 д д2 ^ С
д + 1 N ф } +
дх х дх дУ
У
2
п
№п,к 2
V Х У
[N. ]Т {фе } = 0 .
(19)
Множення лiвоi частини рiвняння (19) на функщю форми [ N е ] i iнтегрування по елементу е дае
11 +12 = {0} ,
де /1 =Ц N ]
( д2 1 д д2 ^
■ + ■
■ + ■
дх х дх дУ у
[ Ne ]т—х—У{фе}; / 2 =Ц|д
п
2
п,к 2
X
[ N. ]Т—х—У{ф }.
1нтегруючи I; по х i у , отримаемо
/1 = 13 - 14 ,
/3 =
I [ N ] —У + | [ N. ]
д Nв ]т
—X
{р},
/ 4 =Л-
дх дУ
Г е
д Nе ] д N ]т , д N ] д N ]т [N. ] д [N. ]т
дх дх
дУ дУ
дх
'—Х—У{ре } .
Враховуючи тотожне стввщношення
г д р. . д р. . (д р. д р , д ]Щ-—У +]Щ-—X =]Щ -—У +--—X =]щ-—Г
г дх г дУ г ^ дх дУ У г дп
одержуемо
и
и
и
I [ N. ] в —г'
г дп
де д/ дп - похщна по зовшшнш нормалi, |г —Г - криволшшний iнтеграл по межi. Сумування по вах елементах дае
I [ N ]
д ]т дп
—Г
е и.
р} + -] [N][Ne]Т—Х—У{ре} -
У
-III
д ^ ]д к г.+дШ дИЛ - Ш щД—тр.}={0}.
(20)
дх дх дУ дУ
дх
Помноживши перший доданок (20) на вираз ф }{ф. }т, одержуемо
/3 =1р. }
I [ N. ]
д ]т дп
—Г
{р.} = I
[ ^ —Г
дп
I
IPe Ч^Г
•> дп
Враховуючи граничну умову, можна знехтувати першим доданком у (20). Тодi (20) приймае вигляд
[ К ] + / , -[М ] = {0},
(21)
де
[К ] = !^-Я .
д[^ ]д[^ ]т N ]д [ Ке ] ---1------
т \
дх дх
дУ дУ
х дх
—Х—У- Ц . [ке ]К ]т—х—У\фе
X
[М ] = 111 . ] ]—Х—У 'ф }.
Таким чином, власнi функцп ф(х, У, /пк) i власнi значення /пк знаходяться iз (21), а формула оберненого перетворення мае вигляд
ф(Р, Z, /пк )
]=к I'ф(Р, Z, /п,к )
2 /(/п,к ).
(22)
Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (11) з граничними умовами (12)-(13) штегральне перетворення [14]. У результат одержуемо систему алгебршчних рь
внянь вiдносно в
(г )•
в) в™ ) + гг8вТ1 Ч+М в] = д
(г)(~„{т')+ Гг8впщ ))
(г) - ,
(ис> - ^
п,к
- в
(г)
(23)
де
и
2
ñ ni = J
z) •
дф(/n , P, zУ
Jp| Q(/n,k, p, z)
dp
дв,{i „
•-n- „(z z ) •-
дф(/пЛ , P, zУ
p=?l( z )
dp
• g„: „(z )
p=ç(z )
• dz +
dz
~ (i )dQ/p) V a
& ldp; ink =/nk ; i =1,2
KpивoлiнiИниИ iнтeгpaл oбчиcлюeтьcя пo зaмкнeнoмy дoдaтнo opieнтoвaнoмy шн-тypy ADCB (pиc. 3).
Рoзв'язaвши cиcтeмy piвнянь (23), oдepжyeмo
в^у =a
(i)_ ñni ^2 + s+qn,k J+(-
)+(- i):+1 anñ $ „(1 h s т. )
n,k
(rrs 2 + s + qn,k J +a2 n 2 (l + sтr )2
(24)
дe ank =, 0 = 1,2У .
R
Зacтocoвyючи дo зoбpaжeння функцш (24) фopмyли oбepнeнoгo пepeтвopeння Лaп-лaca [4], oдepжyeмo opигiнaли функцш:
— 2 i \ ^'(/WblC,^ ) ñ£> ){(2V/ +l) + rr^/] + Q2(,; ){rr©/i-(2V/ + l)i] •
j=l
(e'^-l) +1 )-Trwi] + Ú£(sfy[Tra>n + (2Trsf +l)/]} ,
j=3
• ( eS ' -l) ,
_ 2 . .
j=l 4
j=3
(esj ' -1) ,
(25)
(26)
h
0
L
де Г (s )=^-j——- , а значения s,. для / = 1,2,3,4 визначаються за форму-
Ъ n,k\ j ) i Ъ / \2 j J ^
\2.zrsj + 1) +{Tran)
лами
(zrconi -1)^(1 + zrani)2 - 4zrqnk (zrconi + l)^(l - zrani)2 - 4zrq
1,2 2zr ' 2zr
Таким чином, з урахуваииям формул обериеиих перетвореиь (6) i (17) одержуемо температурие поле тша обертаиия, яке обертаеться з постшиою кутовою швидкiстю c иа-вколо осi OZ, з урахуваииям кшцево! швидкостi поширеиия тепла:
в(р,р, z, t )=
n=-w
± [ , t)+, t) ]
k=1
Пек*, л z )|
r e:
xp (inp),
де значения e^(ßnk, t) i djf^(ßnk, t) визначаються за формулами (25), (26).
k
3. Висновки
Вперше побудована математична модель розрахунку полiв температури у порожньому iзо-тропному тш обертання, з урахуванням кшцево! швидкосп поширення тепла, яке обертаеться, у виглядi крайово! задачi математично! фiзики для гiперболiчних рiвнянь теплопро-вiдностi зi змiшаними граничними умовами. Побудоване штегральне перетворення для двовимiрного кiнцевого простору, iз застосуванням якого знайдено температурне поле у порожньому iзотропному тш обертання у виглядi збiжних рядiв за функцiями Фур'е. Знайдений розв'язок узагальнено! крайово! задачi теплообмiну iзотропного тiла обертання, яке обертаеться, з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла може знайти застосування при моделюванш температурних полiв, якi виникають у багатьох тех-нiчних системах (супутники, сортопрокатнi валки, ротори енергетичних агрегатсв, дисковi гальма та ш.).
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Бердник М.Г. Математичне моделювання просторово! узагальнено! крайово! задач! Неймана те-плообм!ну цил1ндра, який обертаеться. Искусственный интеллект. 2015. № 1-2. С. 134-139.
2. Конет 1.М., Ленюк М.П. Ппербол1чш крайов1 задач1 в необмежених тришарових областях. Льв1в, 2011. 48 с. (Препр. / НАН Укра!ни 1нститут прикладних проблем мехашки i математики 1м. Я.С. Пщстригача; 01.11).
3. Маркович Б.М. Рхвняння математично! фхзики. Льв1в: Видавництво Львхвсько! полтохшки, 2010. 384 с.
4. Лопушанська Г.П., Лопушанський А.О., М'яус О.М. Перетворення Фур'е, Лапласа: узагальнення та застосування. Льв1в: ЛНУ 1м. 1вана Франка, 2014. 152 с.
Стаття над1йшла до редакцп 26.12.2018
