Аналітичний розв’язок узагальненої крайової задачі теплообміну циліндра, який обертається Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК*

АНАЛ1ТИЧНИЙ РОЗВ'ЯЗОК УЗАГАЛЬНЕНО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 ТЕПЛООБМ1НУ ЦИЛ1НДРА, ЯКИЙ ОБЕРТАСТЬСЯ

Державний вищий навчальний заклад «Нацюнальний гiрничий ушверситет», Дншропетровськ, Украна

Анотаця. У cmammi отримано узагальнене тривим1рне р1вняння балансу енергп цилтдра, який обертаеться з постiйною кутовою швидюстю D з урахуванням скiнченностi величини швидкостi поширення тепла. Знайдено тривимiрне температурне поле порожнього цилтдра, який обертаеться, з урахуванням скiнченностi величини швидкостi поширення тепла.

Ключов1 слова: узагальнене рiвняння переносу енергп, ттегральт перетворення Ханкеля, Лапласа, Фур'е.

Аннотация. Получено обобщенное трехмерное уравнение баланса энергии цилиндра, который вращается с постоянной угловой скоростью со с учетом конечной скорости распространения тепла. Найдено трехмерное температурное поле полого вращающегося цилиндра с учетом конечной скорости распространения тепла.

Ключевые слова: обобщенное уравнение переноса энергии, интегральные преобразования Ханкеля, Лапласа, Фурье.

Abstract. A generalized three-dimensional equation of energy balance of rotating cylinder with constant angular velocity CD , taking into account the finite speed of heat was received in the paper. Three-dimensional temperature field of empty rotating cylinder taking into account finite speed of heat distribution was found.

Keywords: generalized equation of energy transfer, integral transforms of Hankel, Laplace, Fourier.

1. Вступ. Постановка проблеми, аналп останшх дослщжень i публжацш

У феноменолопчнш теори теплопровщносп передбачаеться, що швидюсть поширення тепла е нескшченно великою [1, 2]. Однак при високих штенсивних нестацюнарних проце-сах, що спостер^аються, наприклад, при вибухах, надзвукових потоках, великих швидкос-тях обертання вплив скшченносп величини швидкосп поширення тепла на теплообмш стае поманим [2-4]. У [2] показано, що р1вняння переносу енергп у випадку узагальненого закону теплопровщносп Фур'е справедливе для одновим1рного, однорщного i стацюнарно-го простору.

Питання про можливосп узагальнення рiвняння переносу на тривимiрний випадок розглянуто у [4].

Метою роботи е розробка нових узагальнених тривимiрних математичних моделей температурних розподшв у рухомому середовищi у виглядi крайових задач математично'1 фiзики для рiвняння теплопровщносп та розв'язання отриманих крайових задач для рiв-няння теплопровщносп, розв'язки яких використовуються тд час керування температур-ними полями.

2. Постановка задачi

У [5] отримано узагальнене рiвняння переносу енергп для рушшного елемента суцшьного середовища з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла. Згщно з [5], узагальнене рiвняння балансу енергп твердого тша, яке обертаеться, з постшною кутовою швидюстю d навколо ос OZ, теплофiзичнi властивосп якого не залежать вщ темпе-ратури, а внутршш джерела тепла вщсутш, в цилшдричнш системи координат z)

приймае вигляд

© Бердник М.Г., 2015

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2015, № 4

ус-

дТ дТ

дх

ю-

дф

д2Т

д2Т

дх2

-ш-

дфдх

= А

д2Т 1 дТ 1 д2Т д2Т

дг г дг г дф дг

(1)

де у - щшьшсть середовища, с - питома теплоемшсть, Т - температура середовища, X -час, гг - час релаксацп.

Розглянемо розрахунок нестацiонарного неосесиметричного температурного поля порожнього цилшдра скшченно!' довжини L, який обертаеться з постшною кутовою швид-кiстю < навколо осi OZ з урахуванням кшцево!' швидкостi поширення тепла. Теплофiзичнi властивостi його не залежать вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш. У поча-тковий момент часу температура цилшдра постшна - , а на зовшшнш i внутрiшнiй по-

верхнях цилшдра температура вщома i не залежить вщ часу 0(г, р) 1 01 (г, р) вiдповiдно.

Математично задача визначення температурного поля цилшдра складаеться в штег-руванш диференщального рiвняння теплопровiдностi (1) в обласп

Б = {(р, р, г, X)\ре (ро ,1), ре (0,2я) 2 е (0,1), 1 е (0, да) },

що з урахуванням прийнятих допущень запишеться у видi

д 2в

дв дв

--V <--V г

д X д р ' д X

з початковими умовами

2 + гг<

д 2в

а

д рдX Яг

д2в 1 дв + -

др2 рдр р2 д р2

1 д2в

■ + х

д 2в дг 2

в(р,р, г,0) = 0, дв(Р,р, Г,0) = 0

д X

(3)

(4)

i граничними умовами

в(р,р,0, X ) = 0, в(р,р,1, X ) = 0

в(р0, р, г, X) = Ж (г, р), в(1, р, г, X) = V (г, р),

(5)

(6)

де

в = Т(л^X)—00 - вщносна температура цилiндра, Ттах = тах{0(г,р), 01(г,р)},

Ттах 00

Т' /I.

р = —, Я - зовшшнш радiус цилшдра, х = (Я , а = — - коефщент температуропро-Я су

вщносп, 0(г, р), 01 (г, р) е С(0,2^).

Тодi рвения крайово' задачi (3)-(6) в(р,р, г, X) е двiчi неперервно диференцшова-

ним по р, г i р, один раз по X в обласп D i неперервним на Б [6, 7], тобто

в(р,р, г, X)е С2,1 (б) П с(б ), а функцп в(р,р, г, X) i V(р, г),Ж(р, г) можуть бути розкла-денi в комплексний ряд Фур'е [7]:

в(р,р, г, X) вп (р, г, X)

V (р, г ) +Х> > = Е • Vn (г)

. Ж (р, г) _ п=—да . Жп (г) ,

• ехр (тр),

(7)

дe

On {p, z, t ) V {z ) W„ {z )

1 2n

2n о

°{p,ç, z, t ) V {ç, z ) W {ç, z )

- exp(-inç)dç,

дe

в, (p, z,t ) = el(p,z,t ) + i^p, z, t), V (z) = V«(z)+i Vj2) (z ) , W (z ) = W„U(z )+i Wf(z ), i - yявнa oдиниця.

З oглядy на тe, щo O{p,ç, z, t) - функщя дшсна, oбмeжимocя нaдaлi poзглядoм On {p, z, t ) для n = 0,1,2,..., тому щo On {p, z, t ) i O- n {p, z, t ) 6удуть кoмплeкcнo cпpяжeни-ми [8]. Пiдcтaвляючи знaчeння функцш з (7) у (3)-(6), oдepжимo cиcтeмy дифepeнцiaльних piвнянь:

дО{J ¡л t \ д2O(iJ

+ )ß\m) + т д On + т$

+ ^п °п + 1 r „2 + r^n

{i )

дО

{mi )

д t

д t2

д t

R2

2й{i )

д 2О

■ +

1 дО

{i )

n

2

2д{i )'

д 2О

- o{i ) + v

2 n 2 p др p2 1z2

(8)

a

з пoчaткoвими yмoвaми

eW(p, z,0) = 0, дв^)( p' z'0) = 0 (9)

, ! > dt

i гpaничними yмoвaми

ei°(p,о,0 = 0, en ip,l,0 = 0, (10)

оИ W t ) = W{ \z ), оИ' ){l, t ) = V« \z ), (11)

дe = —an, Ф2 = an, m = 2, m = 1' ' = 1,2.

Зacтocoвyeмo дo cиcтeми дифepeнцiaльних piвнянь (8) iнтeгpaльнe пepeтвopeння Хaнкeля [9, 10]:

l

f (ы )= J p f (p) фи,к ( Ы p) dp ' (12)

p0

Дe ^n,k U»,kPJ = Yn{Mn,kP0 Jn{ßn,kp)- Jn {Ип,кРо К {ßn,kp}' Jn{x),Yn{x) - фунКЩ1 Бecceля

Iго . эго го ■

1 i 2 poдy n пopядкy вiдпoвiднo, ßnk - кopнi тpaнcцeндeнтнoгo piвняння

Yn ÍMn,kP0 Jn ÍMn,k )- Jn {Mn,kP0 К ÍMn,k J= 0 ' якi м°жна знайти за фopмyЛoю [5]

Mn,k =à + pà~l + {q - P2 )- + {r - 4pq + 2p3 )- +..., Дe S = k^(f0 —1) , p = (m-l)(8p0 )-1, q = 4(m-l)(m-25)(p03 —l)[ — l) (SpJ3

r = 32(m — l)(m2 —114m + 1073)(p05 — l)5(8p0)3(p0 —1)1 \ m = 4n2. Фopмyлa oбepнeнoгo пepeтвopeння мае вигляд

ri \ £ y«,k U«,kp) -ri \

f {P)= T—r-f {ßn,k J ' (13)

k=о y 2

n,k

де iKkl|2 = 1 fan,k (Ии,k f —p0 fc,k (^n,kpoo )P}; %k (Mnkp0 )

d^n k (Mn,kp)

d (ßn,k p)

p=po

У резyльтатi одержyeмо cиcтемy диференщальних рiвнянь:

дв((

д t

er Ч т

дв(

д t

2ñ ( i)

+ тг

д ¿ в

дх2

a

R1

22)

и о(ii - и2 e(i) + у

д 2

дz2

з початковими yмовами

- i Л/ ч дв( i) ( z ,0)

в(') (z,0) = 0, n = 0

(15)

дt

i граничними yмовами

вni o, t ) = o, вЦ l,1 ) = o,

де O^ =po^n,k Wkpo W )(z )—% k Wk У%), i = 1,2.

Заcтоcовyeмо до ^стеми диференцiальних рiвнянь (14) iнтегральне перетворення

Фyр'e:

l

f (Ат ) = J f (x) sin(n ■ m ■ x)dx,

o

де —n = ж ■ m, m = 1,2,..., а формyла оберненого перетворення мае вигляд

œ

f (X) = Sin ^ m ^ x) ^ f ( Xm ).

m=l

У резyльтатi одержyeмо cиcтемy звичайних диференцiальних рiвнянь:

(16)

ddt d t

i)

в.

dïв,

+ т ■

nr

з початковими yмовами

d t

с!1в() a

dt2

R2

и о(Х-(и\ + А2 )в{i)

г n,k n,k yr n,k m j n

(17)

e() (z,o) = o,

^ (z,0) Q дt .

Заcтоcовyeмо до ^стеми диференцiальних рiвнянь (17) штегральне перетворення Лаплаcа:

œ

f (s) = J f (т) dт.

У резyльтатi одержyeмо cиcтемy алгебршчних рiвнянь вiдноcно вn) :

se( :)+Ъ «

f( m}+ тяв,

' ( m )

+т—s 2в() = qt

n,k

i(0 f *n,k ^n,k Q (i)

Hnk Qn

Vn, k m

(18)

n

o

а / 2 2 \ де Чп,к = — ■ У^пЛ + Л т), I = 1,2. К

Розв'язавши систему рiвнянь (18), одержуемо

М ((,* 2 + * + Я„* )+(— 1)'+1®п Й^ (1 + ()

'п ^пк

((,* 2 + * + )2+ш2 п 2(1 + ятг)

де а = — и I = 1,2.

п,к ^ пк

Застосовуючи до зображення функцш (19) формули оберненого перетворення Лапласа, одержуемо оригшали функцш:

^'(') - £ с(*■ > {йк х

=1

2т я +1) + т шт

г ] ) г

+ Я(21 х

п,к

т шп-(2т я. + 1)/

Г \ Г ]

* л

хв} +

(20)

+£ сп,к (я ] )х Ш(1) х

]=3

2т я +1) -т шт

Г ] -

+ &Т1 х

п,к

т,шп + (2т. я +1)/

хв} ,

2

? ](<) - £ с п,к (я ])х Ш* х [(2т, я ]+1) + т,

]=1

4

£ С п,к (я ])х {^ х [(2т, 3]+1) -т, ш

]=3

шт

-№ х

п,к

т шт

Г

■(2 т, я ]+1)/

+

(21)

-&Ч х

п,к

(2т, + 1)']}' е' \

тг шп + (2т, я, +

( \ 0

де £пк($] )=7-у?—7-\2 , а значення Я] для ] = 1,2,3,4 визначаються за фо-

, \2(г8] +1) +{(га>п)

рмулами

*2 =

*3, *4 =

(т,шт -1) +т,шп/)) - 4т, дп,к

2т,_

(т,ют +1) -т,шт)2 - 4т,д„к

2т

Таким чином, з урахуванням формул обернених перетворень (13) i (16) одержуемо температурне поле порожнього цилшдра, який обертаеться з постшною кутовою швидкю-тю о навколо осi OZ нескшченно'1 довжини з урахуванням кшцевоi швидкосп поширення тепла:

в (р,ф, г ) = Е

<х / <х

Е 2 Е

к=1 \ т=1

в«(/) + < • вп2)(?) 1т(ж т z) ). ^ к*

п,к

• ехр (¡пф), (22)

де значення в(1 () \ в^(/) визначаються за формулами (20), (21).

п=—х>

3. Висновки

Отримано узагальнене piB^Hra переносу енергл для рушшного елемента суцшьного сере-довища (1). Знайдено температурне поле порожнього цилшдра (22), який обертаеться з постiйною кутовою швидюстю о навколо осi OZ скшченно! довжини L з урахуванням xi-нцево! швидкостi поширення тепла у виглядi збiжних ортогональних рядiв за функщями Бесселя i Фур'е. Знайдений аналггичний розв'язок узагальнено! крайово! задачi теплообмь ну цилiндра, який обертаеться, з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла може знайти застосування при модулюванш температурних полiв, якi виникають у багатьох техшчних системах (в супутниках, прокатних валках, турбшах та iн.).

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Берд Р. Явления переноса / Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. - М., 1974. - 686 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / Лыков А.В. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

3. Лакуста Л.В. Некоторые оценки границ применимости гиперболического уравнения теплопроводности / Л.В. Лакуста, Ю.А.Тимофеев // ИФЖ. - 1979. - Т. 37, № 2. - С. 366 - 370.

4. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - Киев: Наукова думка, 1976. - 310 с.

5. Бердник М.Г. Аналпичний розв'язок узагальнено! крайово! задач1 Неймана теплообм1ну суцшьного цил1ндра, який обертаеться, з урахуванням кшцево! швидкосп поширення тепла / М.Г. Бердник // Вюник Дншропетровського ушверситету. - (Сер. «Мехашка»). - 2005. - № 10. - С. 197 - 202.

6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / Михлин С.Г. - М.: Высшая школа, 1977. - 427 с.

7. Толстов Г.П. Ряды Фурье / Толстов Г.П. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

8. Грэй Э. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике / Э. Грэй, Г.Б. Мэтьюз. - М.: ИЛ., 1949. - 386 с.

9. Галицын А.С. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности / А.С. Галицын, А.И. Жуковский. - Киев: Наукова думка, 1979. - 561 с.

10. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Гринберг Г.А. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1958. - 732 с.

Стаття над1йшла до редакцп 15.06.2015