CC BY
14
УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК*
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ I МЕТОД Р1ШЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНО1 ЗАДАЧ1 НЕЙМАНА ТЕПЛООБМ1НУ 1ЗОТРОПНОГО Т1ЛА ОБЕРТАННЯ, ЯКЕ ОБЕРТАСТЬСЯ
Державний вищий навчальний заклад «Нацюнальний гiрничий ушверситет», м. Дшпро, Украша
Анотаця. Розроблена математична модель температурних розподЫв у iзотропного тша обер-тання з вiдомим рiвнянням твiрноi лтп, яке обмежене двома торцями i бiчною поверхнею обер-тання, яке обертаеться з постiйною кутовою швидюстю навколо ос OZ, з урахуванням кiнцевоi швидкостi поширення тепла, у виглядi крайовоi задачi Неймана математичног' фiзики для гтербо-лiчного рiвняння теплопровiдностi. Розроблено нове ттегральне перетворення, за допомогою яко-го знайдено температурне поле тта у виглядi збiжних ортогональнихрядiв за функщями Фур'е. Ключовi слова: крайова задача Неймана, узагальнене рiвняння переносу енергп, ттегральне перетворення Лапласа, час релаксацп.
Аннотация. Разработана математическая модель температурных распределений в изотропном теле вращения с известным уравнением образующей линии, которое ограничено двумя торцами и боковой поверхностью вращения, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси OZ, с учетом конечной скорости распространения тепла в виде краевой задачи Неймана математической физики для гиперболического уравнения теплопроводности. Разработано новое интегральное преобразование, с помощью которого найдено температурное поле тела в виде сходящихся орто-гональныхрядов по функциям Фурье.
Ключевые слова: краевая задача Неймана, обобщенное уравнение переноса энергии, интегральное преобразование Лапласа, время релаксации.
Abstract. It was developed a mathematical model of temperature distributions in an isotropic rotation body is developed with a known equation of the generating line, which is bounded by two ends and a lateral surface of revolution which rotates at a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the finite velocity of heat propagation, in the form of the Neumann boundary value problem of mathematical physics for the hyperbolic heat conduction equation. A new integral transformation is developed with the help of which the temperature field of the body is found in the form of convergent orthogonal series with respect to the Fourier functions.
Keywords: the Neumann boundary value problem, the generalized energy transfer equation, the Laplace integral transformation, the relaxation time.
1. Вступ
Проблема дослщження температурних пол1в у тшах обертання постшно привертае увагу дослщниюв, так як багато елемент1в машин i мехашзм1в (супутники, сортопрокатш валки, ротори енергетичних агрегатсв, дисковi гальма та ш.) мають ix форму i працюють в умовах штенсивного на^ву. Бшьшють робгт у теорп теплопровщносп присвячено вивченню та аналiзу температурного поля в нерухомих тшах обертання. У деяких роботах вивчаеться температурне поле в тшах при рухомих джерелах тепла, в шших роботах дослщжуеться температурне поле в тшах з рухомими межами.
При високих штенсивних нестацюнарних процесах, що спостер^аються, напри-клад, при вибухах, надзвукових потоках, великих швидкостях обертання вплив скшченно-ст величини швидкосп поширення тепла на теплообмш стае поманим [1-2]. Ось чому до числа проблем, що представляють великий теоретичний i практичний штерес, вщноситься проблема вивчення температурного поля в тшах обертання, як обертаються навколо своеi оа, з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла.
© Бердник М.Г., 2017
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 4
Як показуе огляд л^ератури, теплообмiн у тшах, якi обертаються, вивчено на даний час ще недостатньо [1]. Вщзначаеться, що чисельнi методи дослщження нестацiонарних неосесиметричних задач теплообмiну цилiндрiв, якi обертаються, не завжди е ефективни-ми, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання.
Тому для вирiшення крайових задач, яю виникають при математичному моделю-ваннi тривимiрних нестацiонарних процеав теплообмiну в тiлах, якi обертаються, будемо застосовувати штегральш перетворення.
Метою роботи е розробка ново! узагальнено! математично! моделi температурних розподiлiв у iзотропного тiла обертання у виглядi крайово! задачi Неймана математично! фiзики для рiвняння теплопровiдностi та розв'язання отримано! крайово'! задачi.
2. Постановка задач1
Розглянемо розрахунок температурного поля тша обертання (рис. 1) з твiрною лiнiею г = £( z) у цилiндричнiй системi координат (р, р, z). 1зотропне тiло обертання обмежене двома торцями £ (z = 0) , £2 (z = 1) i бiчною поверхнею обертання £3, яка перетинаеться з поверх-нями уздовж лiнiй , 7 = 1,2.
Тiло обертаеться навколо ос 02 з постшною ку-товою швидкiстью с, а швидюсть поширення тепла е вщомою величиною. Теплофiзичнi властивостi тша не залежать вщ температури, а внутршш джерела тепла вiдсутнi. У початковий момент часу температура тша постшна Оо , а на бiчнiй поверхш тiла вiдоме значення теплового потока V(р, z). На тор-цях вiдомi значення теплового потоку О (г,р) i О (г,р) при z = 0 i z = И вщповщно.
Рис. 1. Тшо обертання з тв1рною лшею г = £( z)
3. Розв'язок задач1
У [1] отримано узагальнене рiвняння переносу енергл для рушiйного елемента суцшьного середовища з урахуванням скiнченностi величини швидкосп поширення тепла. Згiдно з [1], узагальнене рiвняння балансу енерги твердого тiла, яке обертаеться, з постшною куто-вою швидкiстю с навколо ос OZ, теплофiзичнi властивосп якого не залежать вiд температури, а внутршш джерела тепла вщсутш, приймае вигляд
3т 3т
у е^--Ус--Утг
3 3р
3 2т
Ы2
3 2т
3рЫ1
= л
3 2т
Зг
1 3Т -> У--+
2 г 3г
32т
г2 3р2
+ -
32т
Зz2
(1)
де у - щшьшсть середовища, с - питома теплоемнiсть, Л - коефщент теплопровiдностi, Т(р, р, z, t) - температура середовища, t - час, тг - час релаксацп.
Математично задача визначення температурного поля цилшдра складаеться в штег-руваннi диференцiального рiвняння теплопровщносп (1) в областi Б = {(р,р, z, t) |р е (0,^(z)), р е (0,2ж), ъ е (0,1), 1 е (о, да) }, що з урахуванням прийнятих до-пущень запишеться у видi
3в 3в
--У с--У тг
31 3 р
3 2в
3 t
2 Утгс
3 2в
а
3 р31 я2
32в
1 3в 1
+--+ -
32в
3р2 р3р р2 3 р
■+х-
32в
Зz2
(2)
з початковими умовами
O(p,p, z,0)= 0, Ô0(p,p,z0 = 0
d t
(3)
i граничними yмoвaми
r so
о ôp
Ç-L
т
e TrdÇ = G(p, z),
p=Ç(z )
t Ç- t
J SO e TrdÇ = ©(pp), J ÔO
0 dz z=0 0 dz
e Tr dÇ = Л(p,p),
(4)
(5)
z=1
T(p,p z, t)-G0 Я де O = ——-—- - вiднocнa тeмпepaтypa тiлa, a =--кoeфiцieнт тeмпepaтypoпpo-
Tmax - G0
ay
i( z )
вiднocтi, R = max {Ç(z)\, % = [ , p = r , z = z, ^(z) =
; l h j R h R
G(p, z), ©(p, p), Л^, p) g C(0,2j),
G(p, z )= V (p,z ) Tr
_ ^ _ G1 (p, р(тг ^ _ G2 (p, p(rr
^Tmax - G0 У ^Tmax - G0 V ^Tmax - G0 )
Тoдi piшeння ^айово! зaдaчi (2)-(5) O(p,p, z, t ) e двiчi нeпepepвнo дифepeнцiйoвa-
ним по p i p, z, один pa3 по t в облает D i нeпepepвним на D [3], тобто
O(p,p, z, t ) g С 2,1 (D) П C(D ), a функцп G(p, z ), ©(p,p), Л^ф), O(p,p, z, t ) можуть 6ути po-зклaдeнi в кoмплeкcний pяд Фyp'e [3]:
O(p,p, z, t )
G(P, z ) ©(p,p) Л^)
+<x>
= z
On (p, z, t) Gn (z )
© n (p)
Л n (p)
> • ex
p(inp),
(6)
де
On (p, z, t)
Gn (z )
© n (p) Л n (p)
i 2ж
> = — J 2* J
O(p,p, z, t ) G(P, z ) ©(p,p) Л^)
exp(-inp)dp,
On (p, z, t ) = OO1 (p, z, t) + iO®(p, z, t), Gn (z) = G®(z) + iG^(z),
©n (p) = ©?> (p) + i©[n] (p), Лп (p) = (p) + ii (p).
З огляду на те, що O(p,p, z, t) функщя дшота, oбмeжимocя нaдaлi poзглядoм
On(p, z,t) для n = 0,1,2,..., тому що On(p, z,t) i O-n(p,z, t) будуть комплекото cпpяжeни-
ми [3]. Пщставляючи значення функцш з (б) у (2)-(5), у peзyльтaтi oдepжимo cиcтeмy ди-фepeнцiaльних piвнянь:
ÔOË d t
+ S¡¡ ) + т
a
d 2O( ) +T#(i)ÔOtl _
r d t2 r И d t R2
2 (i)
d 2O
■ +
1 dO(i ) n! Ai) d2O
dp 2 p dp
p
2 (л d2fí«
O(i > + r-
2 r л_2
dz2
(7)
n=-x>
<
з початковими yмовами
i граничними yмовами
в() (p, z,0) = 0, = 0
at
Г в
j ap
Ç-t
e т dÇ = G¡) (z)
p=ç(z )
t
Ç-t
\ae e r = 0('>(p), J
t
dp
Ç-t
e T-dÇ = Л? (p),
(8)
(9)
(10)
де S = -an, Si =an, mj = 2, ш2 = i, i = i,2.
Заcтоcовyeмо до cиcтеми диференцiальних рiвнянь (7) з yмовами (8)—(10) штегра-льне перетворення Лаплаcа [3]:
œ
f(s)=j f (т) e~ST dT.
У резyльтатi одержyeмо cиcтемy диференцiальних рiвнянь:
sei') v Sty*) v тМт))v TrS2в() = -aT
R2
a2 (9(i ) i a в(i ) n2 a 2 #
d en , ±_ d en n 9 \l К vd в >
(i) 2
v / 1/7
12в (i У
■ +
з граничними yмовами
ae
(i)
Dp
ap2 p ap p¿
G )(z ),
e( )+z-
az2
p=^( z)
d0Ï}
dz
= ®{Hp)>
dëy
dz
Г i Л
Де G«(z) = G«(z) 1 + -L ;0(О(р) = 0(О(р)
v STr у
;ÄW(z) = aW(Z)
v STr y
(11)
(12)
(13)
v STr y
(i = i, 2).
Для розв'язання крайово'1 задачi (11)—(13) заcтоcовyeмо iнтегральне перетворення:
f (Mn,u ) = jj Q(ßn,k, p^) ' p ■ f(P, z)d^.
(14)
Влаcнi функцп Q(^n,k, p, z) i вла^ значення ßn k знаходятьcя iз розв'язку задачi Штyрма-Лiyвiлля:
a2q i dq n2 2 ^ a2q a
- + —7Q + V n,k ■ Q + = 0,
ap2 p ap p1 дв
az
dp
p=ç(z )
=0, de
dz
=0, ae
dz
= 0
(15)
(16)
0
D
Вла^ функцп Q(¡nk,p,z) i влacнi значення ¡nk зaдaчi Штypмa-Лiyвiлля (15)-(16)
знaхoдятьcя за фopмyлaми, пpивeдeними в [4], а фopмyлa oбepнeнoгo пepeтвopeння мае вигляд
fí X V Q Л, P, z ) -T-, X „„
f(p, *) = Zñ-,-¡¡2/(¡k) . (17)
j=1 ||Q (¡k, p, z )||
Зacтocoвyeмo до cиcтeми дифepeнцiaльних piвнянь (11) з ^аничними умовами ( 12)-(13) ште^альне пepeтвopeння [14]. В peзyльтaтi oдepжyeмo cиcтeмy aлгeбpaïчних pi-
внянь вщноото O
(i ).
sO
P+^OJT1 }+TrsO„m ))+Trs O ) = q„,;
Q
+ TrsOr ))+Trs )= q„k
(i ) л
n,k (i)
2
¡ nk
l y
l г
де QП)с = í^(z)• Q(¡n,£(z),z)G(\z)dz + Zjp Q¡ n,k , p, z )
L l
i d@n) ~ (i)óQ¡náp)
dz
dz
(18)
dp,
i =1,2 ; qn,k ¡2 n,k.
, R2
^ивол^шний iнтeгpaл oбчиcлюeтьcя по замкненому додатно opieнтoвaнoмy контуру (рис. 2):
Phc. 2. Замкнутый кoнтyp з твipнoю лш1ею r = z ) Розв'язавши cиcтeмy piвнянь (18), oдepжyeмo
~О _ QÍÜT,.s2 + s + qn,k )+(-lientonî)(l + sTr)
n,k
{Trs 2 + s + qn,k )2 +rn2 n 2 (l + sTr )2
(19)
де an,k =-y, (i =1,2).
, R2
Зacтocoвyючи до зoбpaжeння фyнкцiй (19) фopмyли oбepнeнoгo пepeтвopeння Лап-лaca [5], oдepжyeмo opигiнaли фyнкцiй:
0?](мяЛ,*) = ±СяЛ(*, ){(2Vy +l) + Trmn] + Ù{;l(Sj ){Trcon-(2TrSj +l)/]}-
j=l 4
(е'''-l) +\)-Trcom] + Ü:l{s]){rrcon + {2Trs] +l)/]} (20)
j=3
(es ' -1)
в
(2),
- (/W) = iX*(J> Н^ЙЬ +1) + тг®1я]-П«(^ )-[гг®и-(2гЛ + l)i]}
j=i
(e^-l) +YJQk{sj\&l(sj).[(2rrsj +l)-Trconi\-&l(sj){Trcon + (2Trsj +1)/]} (21)
j=3
(e"' -1) .
де C„,к {Sj ) =
0.5s- 1апЛ
, а значення s j для j = 1,2,3,4 визначаються за форму-
лами
S1.2 _
(2rrsj +1) +(тгап) (zro>ni—1)±^(1 + тга>™)2 - 4тгдп,k (Trcni + 1)±^(1-Trani)2 -4тг/
2 т
", S3,4 _ '
2т.
Таким чином, з урахуванням формул обернених перетворень (6) i (17) одержуемо температурне поле тша обертання, яке обертаеться з постшною кутовою швидкiстю с на-вколо ос OZ, з урахуванням кшцево! швидкостi поширення тепла:
t )= i
I [ в()(^,к , t)+ i-вп(2)и,к, t) ]
k=1
Q(ßn,k. p. *)
||Q(ßn.k, P. z
r • exi
P(inrf,
де значення в)(ßnk,t) i ^(ßnk,0 визначаються за формулами (20), (21).
)(2)
n=—X
4. Висновки
У статп за допомогою розробленого нового iнтегрального перетворення знайдено температурне поле iзотропного тiла обертання, яке обертаеться з постшною кутовою швидкютю со навколо ос 02, з урахуванням кшцево! швидкостi поширення тепла, у виглядi збiжних ортогональних рядiв за функщями Фур'е. Знайдений розв'язок узагальнено! крайово! зада-чi теплообмiну iзотропного тша обертання, яке обертаеться, з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла може знайти застосування при моделюванш темпе-ратурних полiв, якi виникають у багатьох технiчних системах (супутники, сортопрокатш валки, ротори енергетичних агрегатсв, дисковi гальма та iн.).
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Бердник М.Г. Математичне моделювання температурного поля в цилшдр^ який обертаеться, з урахуванням кшцево! швидкост поширення тепла / М.Г. Бердник // Питання прикладно! математики i математичного моделювання. - Д.: РВВ ДНУ, 2005. - С. 37 - 44.
2. Конет 1.М. Ппербол1чн1 крайов1 задач! в необмежених тришарових областях / 1.М. Конет, М.П. Ленюк. - Льв1в, 2011. - 48 с. - (Препр. / НАН Украши 1н-т прикладних проблем мехашки i математики !м. Я.С. Пiдстригача; 01.11).
3. Маркович Б.М. Р!вняння математично! Ф!зики / Маркович Б.М. - Льв!в: Видавництво Льв!всько! полiтехнiки, 2010. - 384 с.
4. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов / Шайдуров В.В. - М.: Наука, 1989. - 288 с.
5. Лопушанська Г.П. Перетворення Фур'е, Лапласа: узагальнення та застосування / Лопушанська Г.П., Лопушанський А.О., М'яус О.М. - Льв1в: ЛНУ !м. 1вана Франка, 2014. - 152 с.
Стаття над1йшла до редакцп 09.10.2017
