CC BY
8
УДК 674.047 Доц. Ю.М. Губер, канд. техн. наук; доц. Б.М. Гшдець,
канд. фiз.-мат. наук - НЛТУ Украти; ст наук. ствроб. В.Ф. Кондрат, д-р фiз.-мат. наук; Б.1. Гайвась, канд. фiз.-мат. наук - ЦММ1ППММНАНУ
ДО ОПИСУ НАГР1ВАННЯ ВОЛОГО1 ДЕРЕВИНИ У ЗОВН1ШНЬОМУ ПЕР1ОДИЧНОМУ ЕЛЕКТРОМАГН1ТНОМУ ПОЛ1
Сформульовано систему р!внянь електродинамши спадкового електропровщ-ного неферомагштного пористого тiла з урахуванням залежностi його характеристик вщ вологостi та температури. Розглянуто постановку задач високочастотного нагрь вання для таких тш. Вивчаеться залежнiсть штенсивносп pозiгpiву вiд вiдстанi елек-тpодiв до повеpхнi тiла, яке pозiгpiваеться.
Ключов1 слова: пористе тшо, деревина, волопсть, електpомагнiтне поле, висо-кочастотне названия, сушiння.
Assist. prof. Yu.M. Huber; assist. prof. B.M. Hnidec - NUFWT of Ukraine;
senior research worker V.F. Kondrat; B.I. Gayvas' - CMMIAPMMNASU
Describing heating of Moisted wood in external periodical electromagnetic field
Formulated electrodynamic system of equations for hereditary electrically conducting nonferomagnetic porous body. Equation set includes parameters dependence from moisture and temperature. Problem statement of high frequency heating for such materials is being studied. Relationship between heat intensity and distance from electrodes to heated body surface is being investigated.
Keywords: porous body, wood, humidity, electromagnetic field, diathermic heating, drying.
Вивченню процесу сушшня деревини у змшному електричному пол1 (високочастотному сушшню) придшяеться значна увага [2, 3, 6]. Це пояс-нюеться важливютю И практичного застосування, особливо у комплекс з ва-куумним сушшням.
Основною перевагою високочастотного сушшня е об'емний роз1гр1в, висока швидюсть сушшня, можливють И регулювання з метою досягнення високо! економ1чносл процесу та хорошо! якост висушеного матер1алу. При всеб1чному вивченш оптим1заци параметр1в високочастотного сушшня важ-ливе мюце повинно зайняти математичне моделювання електромагштних, теплових, фшьтрацшних та мехашчних процеЫв, що вщбуваються у дереви-ш. Використання таких моделей дасть змогу, при пор1вняно невисоких затратах, вивчити р1зш схеми та режими сушшня, дослщити взаемозв'язок ф1зико-мехашчних процеЫв.
У цш робот зупинимося на розгляд1 електричних процеЫв при високочастотному сушшш. Будемо передбачати, при цьому, що вплив температури i вологосл на електромагштне поле проявляеться тшьки у зв'язку 1з залеж-шстю вщ них електричних характеристик матер1алу. Оскшьки температура та волопсть у процес сушшня змшюються у простор1 i чаЫ, то р1вняння елек-тродинамжи будуть р1вняннями з1 змшними коефщентами. Вщзначимо, що щ коефщенти "повшьно" змшюються у час пор1вняно з1 швидюстю змши вектор1в електромагштного поля, тому що "повшьно" змшюються в час температура та волопсть. На бшьш коректному формулюванш поняття "повшь-но" змшюються у час зупинимося шзшше.
Вихiдною е така фiзична постановка задачi: нехай нерухоме ашзот-ропне гетерогенне тшо (деревина), що складаеться з дiелектричного твердого пористого каркасу i мшерашзовано! води у порах, займае область (V) евкшдо-вого простору та обмежене гладкою поверхнею (S). На поверхнi (S ), що зна-ходиться поза тiлом (або зб^аеться з (S)) задано перюдично змiннi в часi з цикшчною частотою с електричний та магштний потенцiали u (т) = u0f (t),
A(T) = Aqf2 (t). Тут ft (t) (i = 1,2) - перюдична функщя часу. Якщо (S) ф (S*), то
тiло контактуе з середовищем (повiтрям), яке будемо розглядати в наближенш вакууму.
Нехай [8] в дшянщ тiла електромагнiтнi процеси описуються системою рiвнянь
дВ
rot E =--, divB = 0,
8t- (1)
Гт - dD -rot H = j +--, dtv D = pe,
dt
що зб^аеться за виглядом з рiвняннями Максвела для однорщного середови-ща. Тут E, H - вектори напруженост^ а D, В - шдукцш електричного та магштного полiв, усереднених у дшянщ середовища, дiаметр якого значно менший, нiж характерна вiдстань розглядуваних процеЫв, однак значно бшь-ший, шж характернi розмiри пор; j, pe - усереднеш густина електричного струму та заряду.
Нехтуючи впливом перемiщення порово! рiдини, термоелектричними явищами, наведеною поляризацiею [4], для густини електричного струму j запишемо визначальне рiвняння у виглядi закону Ома
j = & • E, (2)
де: & = &(T(Г,т),w(r",r)) - тензор електропровщностц T, w - температура та
„ dr
вологiсть; т - повiльний час , такий, що — << 1.
dt
При вивченш електромагнiтних процеЫв у деревинi явищем намагш-чування можна знехтувати [3]. Тому приймемо
В = jUqH , (3)
де j0 - магштна постшна.
Процес поляризаци та його незворотнiсть е ютоттм для дiелектрично-
го на^ву. Власне, через це, приймемо таю визначальш рiвняння, що пов'язу-
ють вектори шдукци D та напруженост E електричного поля [1]
t dE
D (t )=ii (t - tyd-df. (4)
Тут s (t -1') - ядро дiелектричноl релаксаци. В s (t -1') можна видшити постiйну складову S0, що характеризуе миттеву реакцiю середовища на вплив зовшшнього поля. Ядро s (t -1') мае властивiсть загасаючо! пам'ят [7], тобто
^lim \_Sfj (t - t')-Sijo] = 0.
Тензор ё залежить вiд вологостi w та температури T -ё (t - t') = s (t (гт), w (r,r); t -1').
PiB^Hra (1)-(4) становлять повну систему сшввщношень для визначен-ня електромагнiтного поля в дшянщ тiла. Вiдзначимо, що тензор дiелектрич-но1 релаксаци е характеристикою середовища i повинен бути заданим (визна-ченим експериментально, обчисленим методами фiзики твердого тiла, i т.п.).
Для визначення електромагнiтного поля у вакуумi (дiлянка (Vc)) маемо рiвняння Максвела [1]
rot Ee = - dBe, div Be = 0,
й _ (5)
- dEe -
rot Be = j ё0—e, div Ee = 0, dt
де: Ee, Be - вектори напруженостi електричного та шдукци магнiтного полiв у вакуумц ё0 - електрична постшна.
Pозiгрiв деревини, зазвичай, проводиться при вщсутносп джерел зов-нiшнього магштного поля. У цьому випадку збурення магнiтного поля пов'яза-не iз змiннiстю електричного, його зворотнiм впливом на електричне поле мож-на знехтувати через малють такого впливу. Тодi, враховуючи, що характерний розмiр областi, зайнято! тiлом, значно менший, нiж довжина електромагштно! хвилi мегагерцевого дiапазону, що використовуеться при дiелектричному су-шiннi, електричне поле можна визначити iз рiвнянь електростатики
rotE = 0, divD = pe для област (V); (6)
rotEe = 0, divEe = 0 для област (Ve). (7)
Представляючи вектори E i Ee у виглядi
E =-gradр, Ee =-grad(pe, (8)
де р, pe - електричш потенщали у тiлi та вакуумi, з (4), (6), (7) одержимо
div J s(t - t')grad d t = -pe, (9)
-L д ^
( = 0, (10)
де A - оператор Лапласа.
*
Разом з граничними умовами на поверхш (S )
Pe = U (11)
та умовами спряження розв'язюв на поверхш (S)
P = (e, J ё (t - ()^( = ё0 дР (12)
J д t дп д п
-L
рiвняння (9-10) становлять задачу визначення електричного поля в тш та вакуум^ створюваного зовнiшнiми джерелами, що тдтримують на поверхнi
*
(S ) заданий перюдично змiнний у час електричний потенцiал.
Вiдзначимо, що збурення векторiв напруженостi магнiтного поля в ть лi та вакуумi H i He визначаються в розглянутому наближенш з рiвнянь
^ ^ dd^D ^ dEe /1 ^ \
rot H =&• E +--, rot He = s0-, (13)
д t д t
де E, ED визначаються через розв'язок (p, pe) задачi (9)-(12) за формулами
(4), (8).
Постановка задачi (9)-(12) передбачае нехтування перехiдними режимами увiмкнення поля. Для гармоншного потенцiалу u (t) = u0eiCt та
pe (t) = peoeimt це означае, що, враховуючи лiнiйнiсть задачi (9)-(12) та "по-вiльнiстьм змiни в часi температури та вологост^ можна прийняти
р(т,t) = <0 T)eict, (Pe(т,t) = <e0(т)eiC. (14)
Тодi рiвняння (9), (10) перепишемо так:
div (s • grad (po) = -pe0, Ape0 = 0, (15)
де s(с) = icfs(n)e~m71dtf - тензор комплексно! дiелектрично! проникностi.
0
1з першого рiвняння (15) i виразу для s(с) видно, що для гармоншних
у часi процесiв можна замють знаходження тензора s (t) електрично! релакса-
цй одразу визначати тензор s(с) комплексно! дiелектрично! проникностi.
Вiдзначимо також, що можливий зворотнiй перехiд вщ тензора s(с) до s(t).
Звичайно густину вшьного електричного заряду у тш можна прийняти рiвною нулю pe0 = 0. У цьому випадку перше рiвняння (15) приймае вигляд
div (s • grad р0)= 0. (16)
Для iзотропного середовища s = s I (I - одиничний тензор, s - комплексна дiелектрична проникнiсть), тому iз (16) одержуемо
div (s • grad po) = 0 або s Apo + grads • gradp0 = 0. (17)
Враховуючи, що s =s (T(7,r), w(r,r)), рiвняння (17) запишемо так
[ds ds ^
TgradT +dW grad w • grad <p = 0 . (18)
Розв'язок рiвняння (18) буде явно залежати вiд температури та воло-госи, що призведе, надалi, до нелшшноси задачi тепломасопереносу.
Зупинимося тепер на рiвняннi балансу енергi! для електромагнггного поля. На основi рiвнянь (1) для дшсних векторiв поля i нерухомого середовища запишемо (теорема Пойтшга [1]).
Е ■ —+Н ■— + <Ич (Е х Н) + 1 ■ Е = 0.
я/ я/ V / ^
а г
д г
або в штегральнш формi
I
^ дЗ Н дВ -
Е--+Н--+ 1 ■ Е
д г д г
+ |(х Н ) -п 18 = 0.
(19)
(20)
Тут Е х Н - вектор потоку енерги електромагнiтного поля.
д В
Внеском магнiтного доданку Н--у тдштегральному виразi (20)
д г
для процеЫв дiелектричного нагрiву можна знехтувати через його малють. Тодi рiвняння (20) запишемо так:
I
' * дБ - ъ
Е--+ 1 ■Е
д г
1V + |(хН) -Я 18 = 0.
(21)
При вивченш перюдичних процесiв зручно використовувати комплексы величини. Саме в такому представленш записанi рiвняння (9)-(12) задачi визначення електричного поля. Рiвняння (21) для комплексних векторiв поля мае вигляд [5]
1 /I
4
н V
(1+')
Г - дЗ -. дЗ* - - Л
Е--+ Е--+ 1 ■£ + 1 *■£'
д г д г
дБ
"I—т "Р ^ — . —Т "Р • Т 1—т
+Е--+ 1 ■Е + 1 ■Е
д г
+ Ё- О
1V + -4 (/)(! +1)(Е х Н +
Е--+
а г
+ Е* х Н*) + (1 -I)(Ех Н* + Е* х Н)} ■п 18 = 0.
(22)
Зiрочка (*) введена для позначення комплексно-спряжених величин. Для гармошчно змшних у чаш векторiв поля з циклiчною частотою с, використовуючи визначальнi рiвняння (2), (4), та усереднюючи за перюдом 2п
Т = —, одержуемо:
с
п 18 =-/-4{Е* ■(с^ ■ Е) + Е ■(с^ ■ Е*) + ¡с Е* ■(ё-Е
8 V4
-Е^(ё* ■ Е*) }
(23)
де Е="4 ((х Н* + Е* х Н).
Для iзотропного тiла
п 18 =-/1 [с(1т ё) + с](Е)2^.
(24)
X .
( = и
7
А
- /1
У
/
( = 0
Рис. 1. Нагрiв безмежноI
смуги в гармоншному електромагштному полi
Шдштегральний вираз справа в (23) або (24) е густиною д розсiяною в областi тша енерги електромагнiтного поля, яка пройшла через поверхню £ (шва частина рiвняння). 1нтег-рал вщ д представляе повну енергiю, розЫяну в дiлянцi тiла.
Як приклад, розглянемо задачу про нагрiв безмежно! смуги в гармоншному електромагштному полi (рис. 1). Ця задача моделюе на^в плоских об'екпв при нехтуванш крайовими ефектами.
Всi шукат функцi! задачi (9)-(12) тепер залежать тiльки вiд часу I i координати х. Для
гармоншного в часi потенцiалу и = и0е
йх
йх
= 0
дютанемо
й 2(е0
(0 = (е0 , £хх—— = £0
ах
йх 2 й(0
0.
(25)
йх
для х = ± /1,
(26) (27)
Усереднену густину потужност тепловидтення згiдно з (23), запишемо
(е0 = и0 для х = / , (е0 = 0 для х = - /.
так:
д (х ) = 2 ( + юШёхх )(Д))
(28)
де Е0 = -
йх
Розв'язуючи задачу (25)- (27), для Е0 одержуемо
и0
Е0 = -
2Д/£ + £х
ё0 -/1 ёхх
(29)
де Д / = / - /1.
Якщо шар однорщний (ёхх = сот1), то
Е0
и0
(30)
2/ + 2Д / (ххг -1) £0
У припущенш, що |Яе ё\ > |1т ё£, для густини потужностi тепловидг лення можна записати
д (х )= 2 (сг + ю1тё)
и0
(31)
2Д / (Яе ёгхх) + ^еёххг {
йх
-/1 Яе ёгхх
а для однорiдного шару
/
( ) = 1 (а+ ™!т £) ио (32)
д(х)= 8 ((+ Д/(её гхх-1). )
Вiдзначимо, що оскшьки, зазвичай, Яе^ гхх >> 1, то д (х) чутливе до вщсташ Д/ електродiв вiд поверхнi шару, що шюструе рис. 2, на якому для однородного шару показано таку залежшсть для Яе ёг = 10, ц = Д ///,
д0 =-
ст + со\тё
8
( % Л 2 V / У
Вщзначимо також, що, оскшьки д (х) входить в рiвнян-
ня теплопровщност як джерело тепла, то це д рiвняння згiдно з (31) стае нелшшним штег-
д0 ро-диференщальним, тому й £ =ё (Т, w). Зна-
ходження його розв'язку, можливо, вимага-тиме якихось спрощувальних припущень.
Висновки. Сформульовано систему рiвнянь, яка дае змогу визначати осереднеш за перiодом зовшшнього електромагнiтного поля джерела тепла у пористому ашзотроп-ному електропровiдному вологому тш з ура-Рис. 2. Зш1ежн1сть потужност1 хуванням його спадкових властивостей, а та-
тяплмглдтепш тд в1дстат кож залежност характеристик матерiалу вiд
електродiв до поверхт тта тт
г г вологостi та температури. На прикладi дос-
лщжено залежнiсть потужностi тепловидiлення вiд вщсташ електродiв до по-
верхнi тша.
Л1тература
1. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. - М.: Наука, 1985. - 400 с.
2. Гальперин А.С. Тепло- и масоперенос при модифицировании древесины в электромагнитном поле в СВЧ-камерах/ Состояние и перспективы развития сушки древесины. Тезисы докладов к Всесоюзному научно-техническому совещанию 10-13 сентября 1985 г. Архангельск, 1985. - С. 119-121.
3. Дьяконов К.Ф., Горяев А. А. Сушка древесины токами высокой частоты. - М.: Лесн. пром-сть, 1981. - 168 с.
4. Кобранова В.Н. Петрофизика. - М.: Недра, 1986. - 392 с.
5. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Кондрат В.Ф. Магнитотермоупругость электропроводных тел. - К Наук. думка, 1982. - 296 с.
6. Самодов К.Ф. Особенности сушки пиломатериалов в вакуумно-диэлектрических камерах/ Состояние и перспективы развития сушки древесины. Тезисы докладов к Всесоюзном научно-техническому совещанию 10-13 сентября 1985 г. Архангельск, 1985. - С. 78-81.
7. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
8. Ф1зико-математичне моделювання складних систем/ Я. Бурак, С. Чапля, т. Напр-ний та шш1/ Пщ ред. Я. Бурака, С. Чапш. - Льв1в: Сполом, 2004. - 264 с.
