CC BY
41
УДК 536.24
В. О. ЯКОВЕНКО (Академiя митно! служби Укра!ни, м. Днiпропетровськ)
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РОЗДР1БНЕННЯ ЗАМЕРЗЛИХ НАСИПНИХ ВАНТАЖ1В У ЗАЛ1ЗНИЧНИХ ВАГОНАХ З ВИКОРИСТАННЯМ М1КРОХВИЛЬОВО1 ЕНЕРГП
Побудована математична модель роздр1бнення замерзлих насипних вантаж1в з використанням енергп мжрохвильового електромагнггного поля. Визначеш поля температур, вмюту вологи i теплових напруг у вантаж1 в процесi його руйнування з урахуванням змшно! межi розподiлу фаз.
Построена математическая модель разупрочнения смерзшихся насыпных грузов с использованием энергии микроволнового электромагнитного поля. Определены поля температур, влагосодержания и тепловых напряжений в грузе в процессе его разрушения с учетом переменной области раздела фаз.
The mathematical model of destruction of the frozen bulk cargos with use of energy of the microwave electromagnetic field is constructed. Fields of temperatures, moisture content and thermal stresses in the cargo during its destruction with taking into account the variable domain of phase interface are determined.
Вступ
Насипш вантажi являють собою дисперсш матерiали, що використовуються практично у вшх галузях промисловосп. Транспортування в залiзничних вагонах у зимовий перiод замерзлих насипних ванташв ускладнюеться через необхщшсть вiдновлення !х сипкостi, збшь-шення вартостi робiт з вивантаження i збшь-шення часу простою вагошв на станцiях при-значення [1, 2, 3, 4].
В даний час для боротьби з проблемою за-мерзання насипних вантагав використовуються профшактичш способи, що збертають сипкiсть вантажiв пiд час перевезення (зневоднювання, додавання негашеного вапна, сол^ обпилю-вань). Профiлактичнi способи збереження сип-костi вантажiв е матерiаломiсткими, дорогими i не забезпечують повного збереження сипкосп. Найбiльш часто для вщновлення сипкостi замерзлих насипних вантагав у пунктах !хнього отримання використовуються тепляки. Теплова енерпя, що подаеться до теплякiв, марно ви-трачаеться на нагрiвання великого обсягу пов> тря, стiн, шдлоги i стелi примiщення тепляка, конструктивних елементiв i вузлiв вагонiв, а також втрачаеться в транспортних трубах пере-гргго! пари або гарячо! води. Тому виникае необхщшсть у дослщженнях i розробцi нових енергозбер^аючих способiв i технологiй вщно-влення сипкостi замерзлих насипних ванташв. Одним з перспективних методiв е вщновлення сипкостi замерзлих насипних вантажiв з використанням енергп мiкрохвильового електрома-гнiтного поля [5, 6, 7].
Постановка задачi
Розглянемо нестацiонарний процес тепло-обмiну, що виникае тд дiею мшрохвильово! енерги. Такий процес будемо визначати системою нелшшних диференщальних рiвнянь у ча-стинних похщних, яка складаеться з рiвнянь Максвела i рiвнянь теплопровiдностi наступно-го виду:
Гт - dD - дВ
rot H = j +--, rot E =--,
дт дт
div D = 0, div В = 0, D = e(t)E, В = ^(t)H, j = a(t(E,
+ V V tt = div (V t) + q (, E ),
де E, H — вектори напруженостi електричного та магнiтного полiв вiдповiдно, D, В — вектори електрично! та магштно! iндукцil вiдповiдно, j — щшьшсть струму провiдностi, ei =e' — ie" = e' — ia/ю, ц — абсолютш дiелект-рична i магнiтна проникносп матерiалу вщпо-вiдно, / - провщшсть матерiалу, ю - кругова частота, ci, р,, Xi - коефiцiент теплоемносп, щiльнiсть i коефiцiент теплопровiдностi матер> алу, що залежать вiд температури i -о! фази, Vi — вектор швидкост перемiщення i -го мате-V — оператор Гамшьтона,
рiалу,
д = 0,5юв^5- питома поглинена потуж-
нiсть, ^ - температура / -го матерiалу, = в "/в' - тангенс кута дiелектричних утрат матерiалу.
Наведена система рiвнянь доповнюеться по-чатковими та граничними умовами, а також умовою на межi роздiлу фаз.
Слщ зазначити, що розв'язок наведено! сис-теми рiвнянь пов'язаний з труднощами не тшь-ки обчислювального характеров^ але й прин-циповими. Таке твердження грунтуеться на на-ступному: умови на межi роздiлу фаз е нелшш-ними, сформульована модель е багатомiрною вiдносно просторових змшних, електрофiзичнi параметри матерiалiв залежать вщ температури i е наближеними, алгоритми розв'язку таких задач вимагають обгрунтування та використан-ня специфiчних комп'ютерних технологiй.
Тому слiд розглянути спрощену модель процесу, реалiзацiю яко! можна провести методами комп'ютерного моделювання. Для тако! моделi слiд довести !! вiдповiднiсть вiдомим моделям або порiвняти отриманi результати з експериментальними.
Мшрохвильовий нагрiв викликае в дiелектричному матерiалi такий фiзико-хiмiчний процес, протшання якого супроводжуеться перемiщенням границь фаз [8]. Тодi задача теплопровiдностi з рухомими границями фаз, для випадку, коли температура фазового переходу е функщя координат i часу, а перемщення границь е або не е наслщком фазових перетворень, включае наступне рiвняння для кожно! з фаз:
t (p - 0) = t (p + 0) = ^ф
cp-dt = div ( gradt) -
(1)
де с - теплоемнiсть; р - щшьшсть; Л -коефiцiент теплопровiдностi; 5 - щшьшсть теплових джерел е вщомими функцiями координат, часу т або температури t.
Положення рухомо! границi встановлюеться вiдповiдно до умови, що температура на нш дорiвнюе температурi фазового перетворення tф, що передбачаеться заданою у вид функцi! координат i часу. Швидюсть перемiщення
в напрямку нормалi к до гранично!
поверхнi, шдлягае визначенню з умови для внутршшх границь фазових перетворень у вантажк
Л(Р-о)^-Л(р+0)^-Ц.Ц- (2)
дк дк ат
1 для зовн1шн1х границь:
Qo-Х^М = pLd-i,
дк dx
t (Р ) = ^ •
У цих умовах для фази t (x,y, z, т) < tф буде залежнють f (p - 0) = ^ liin f (x, y, z, т), а
залежшсть
для фази t(x,y, z, т)> tф , f (Р + 0) = lim f (x,y, z, т) ; L - теплота
4 7 (x,y, z )n p+0 v 7
фазового переходу; p - щшьшсть вантажу в шарь
Припустимо, що шд д1ею мшрохвильового нагр1вання у вантам вщбуваеться випарювання вологи. Тод1 температурш поля у фазах i границя розподiлу фаз визначаються системою рiвнянь (1...3).
Розглянемо теплообмш з подальшим роз-дрiбненням замерзлого вантажу, що складаеть-ся з теплопровщного матерiалу, пiд дieю мшро-хвильового випромiнювання, що iнiцiюe в нш внутрiшнe джерело тепла потужносп q1. Припустимо, що теплофiзичнi параметри вантажу не залежать вщ температури, а його щшьшсть не змшюеться при руйнуваннi i зневажимо теп-лообмiном твердо! фази i рiдкоi фази, яка при-сутня у вантаж у виглядi вологи, з навколиш-нiм середовищем.
Нехай перенесення пари, що утворилася в результат нагрiвання, через поверхню z = 1 (усередину вантажу) неможливе. На вщкритш поверхнi вантажу (z = 0 ) вiдбуваeться випарювання i вiднесення в навколишне середовище як пари, що утворилася на цш поверхнi, так i пари, що утворилася усередиш шару i транспортуеть-ся через нього. Границя фазового перетворення п(т) визначае перемшну товщину сухо! область Тодi для волого! област вантажу задача мае вигляд [9]:
д К = д2t, , qi
— ц
дт 1дz2
ciPi
(0 < z <п(т),т > 0)
ti(0, z) = ф,( z),
(4)
-A dti
1 д z
= qi (т),
z=0
'iCn(T), т) = Фг(т) разом з pÎBHHHHHM:
^ = OÉ2 У1. дт
Для cyxoï областi вантажу
d t2 д212
-г2- = a2^f, (n(r) < z < 1,Т> 0)
от dz
(5)
'2(0, z ) = 9i( z),
-At -
2 a z
= (1 -Z) ?2( т),
z=l
'2 (п(т), т) = ^(r)
разом з рiвнянням:
dt2 0т
i з pÎB^HMM теплового балансу
д t
д z
z=n
- A1 — 1 д z
z=n
d n
= W(-T)Z+ (C2P2 - С1Р1)ф2(т)—,
d т
n(0)=0,
(6)
диференщальних рiвнянь щодо перетворених фyнкцiй.
Тодi розподiл температури у вологш i сyхiй областi вантажу мае вщповщно вигляд [11]:
z) = - X t1n (т) cos a nz / n, (7)
n n=1
n( т)
де t1n (т) = j '1(т, z) cos anz / ndz, cos anz / n,
0
an = n(2n -1)/2 - власнi функци;
2 œ a '2 ( z, т) = --хифт—Mz-n), (8)
l -n n=1 l-n
l
r a
Де '2n (т) = I '2(z, фт—(z -n)dz . J l -n
n 1
Закон руху границi фазового перетворення при висушуванш вологоï частини вантажу ви-значимо з умови (6):
A.
2
Xan^2n (т)-
2 (I -n)2 n=i +A1T X (-1)n a«'"n (т) =
n n=1
= WOOÇ + (C2P2 - P1 )ф2 (т)dn. (9)
d т
Задачу по визначенню полiв вологомiсткостi у вантаж1, можна сформулювати таким чином: 1. для вологоï частини [9] :
3U, д 2U1 • = a
1 = ,(0<z <П(Т),Т> 0) (10)
де Z - коефщент фазового перетворення рщи-ни в пару, h i î2 - вщповщно температура воло-гого i сухого вантажу, т - час, ф(т), q(т),
w (т) - будь-яка неперервна функщя часу, z -вюьова координата, a - коефщент температу-ропровщносп породи, A - коефщент тепло-провiдностi вантажу, р - щшьшсть шару вантажу, c - питома теплоемнють вантажу.
Розв'язок задачi
Для розв'язання отриманих рiвнянь з вщпо-вiдними крайовими умовами (4, 5, 6) застосуе-мо метод кшцевих iнтегральних перетворень, що е найбшьш зручним для ршення задач такого типу [10]. Застосовуючи iнтегральне перетворення з рухомою, залежною вiд часу, межею iнтегрyвання, одержуемо системи звичайних
~ mi ~
бт д z
иД0, z ) = v( z ), Ц(т,0) = ^2(т),
Ul(т,П(Т)) = Vb (т) разом з рiвнянням:
dU
1 =^E2f1;
0т
2. для сyхоï частини:
dU2 д 2U.
дт m2^ '(Л(т)< z < l, т> 0) (11)
2 ^ w 2 • = am 2
U 2(0, z) = V1( z ), U 2 (т, п(т)) = Уэ(т),
^(т,l) = V4 (т)
paзoм з piвнянням:
д U.
1
dn ~dr~ U (т)
f
дU 2
дz
- am
дU1
z=n
n(0) = 0.
&
Л
z=n у
(12)
d т n d т m=1
2
nn
n
dU 2
1 d n
d т n -1 d т
Z (-1)n +m ßnmU2m -
n %
l -n
a fJ2
m2 2n
—2 = oE2 /2.
дт 2
Рiвняння pyxy гpaницi poзпoдiлy вoлoгoï i cyxoï чacтин y вaнтaжi:
+^^[vз(т) - (-1)n V4(т)] ,
l-n
- <• nn
U2n(0) = Í V1 (z)sin--— (z -n(0))dz .
J l - n(0)
n(0)
Пpипycкaючи, щo вмют вoлoги U (т) дopiв-нюе cepeдньoмy iнтeгpaльнoмy вмicтy вoлoги U (т) y вoлoгiй чacтинi, нaвeдeмo piшeння poз-
глянyтoï зaдaчi в зaгaльнiй пocтaнoвцi.
Зacтocoвyючи iнтeгpaльнe œ^c-пepeтвopeння Фyp'e зi змiннoю мeжeю irnwpy-вaння дo piвняння (10) з йoгo кpaйoвими yмo-вaми, oдepжимo poзпoдiл вмicтy вoлoги y вoлo-гiй чacтинi вaнтaжy y видк
9 гггг
U1 (т, z) = ^ZUÙ1n (^sin^z, (13)
n n=1 n
дe кoeфiцieнти зoбpaжeнь пpи вiдoмoмy (12) зaкoнi pyxy гpaницi poзпoдiлy фaз п(т) визта-
чaютьcя iз cиcтeми звичaйниx дифepeнцiaльниx piвнянь пepшoгo пopядкy
dUrn, = 1dn Zß f -
j / ' H nm 1 m
Bиpaжeння для пpoфiлю пoвepxнi poзпoдiлy пpи pyci гpaницi poзпoдiлy вoлoгoгo i cyxoгo вaнтaжy п(Т) визнaчимo пiдcтaнoвкoю piвнянь (13) i (14) y cпiввiднoшeння (12). Витотавши пepeтвopeння, ocтaтoчнo oдepжимo:
1
dn dт " U(т)
2п
(l-n'Zn(-1)"í?2" -
-.Л Z n(-1) u
n n=1
(15)
Oтpимaнi cиcтeми дифepeнцiaльниx piвнянь вiднocнo U1n (т), U2n (т) paзoм з piвнянням (15) дoзвoляють визнaчити poзпoдiл вмicтy вoлoги y вoлoгiй i cyxrn чacтинax вaнтaжy, a тaкoж зaкoн pyxy гpaницi фaзoвoгo пepeтвopeння пpи пoдa-льшoмy йoгo poздpiбнeннi.
Змiнa тeмпepaтypниx пoлiв t1 i пoлiв вмicтy вoлoги U1 y вaнтaжi iз вмicтoм вoлoги i змiнa тeмпepaтypниx пoлiв t2 i пoлiв вмicтy вoлoги U2 y cyxoмy зpyйнoвaнoмy вaнтaжi в зaлeжнo-cтi вiд чacтoти змiннoгo eлeктpичнoгo пoля мaють вигляд:
д tL
2p
lmAn + ^ [V 2 (т)-(-1)n V3 (т)] ,
n(0) nn
U1n(0) = Í V1(z)sin—-zdz , 0 n(0)
(-1)n+m 2nm ßnm = ( }2 2 ,(n * m); ßnm = 0.5,(n = m).
m - n
Рiшeння зaдaчi в cyxrn чacтинi мoжe 6ути пpeдcтaвлeнo piвнянням виду:
U2 (т, z) = --ZUn (т)s1n --(z-n). (14)
l -n n=1 l-n
Для кoeфiцieнтiв-зoбpaжeнь U2n (т) oтpимa-нa cиcтeмa дифepeнцiaльниx piвнянь, щo мae вид:
= 0/1
1,2
дт
к 2 - 3pcose 2P^(1 - p cos e)
2 1
m —
J0 (кр) 4 1 - pcos e
+
J1 (кР)
sin2 e cos2 mqe
2 jfflt
д th
2e
дт
к2 + m
-1/4
-y/1 -p cos e
J0 (кр)-
J1 (кР) pj 1 -p cos e
x cos e cos mфe
jfflt
к11 (кр) sin2 e cos mф
- I ——<
2y¡ (1 -pcos e)3
, jfflt
2
2
д I
1,2 ф
5т
т2к2^ (кр)8т2 6 8т2 тф^
= 14/1,2 - е
(1 - р 0086)
Прийнявши до уваги залежшсть мiж частотою i температурою, можна аналогiчно визна-чити залежшсть мiж вмiстом вологи у вантам i частотою дiючого електромагштного поля:
дих
2р
= 0/1
1,2
5т
к 2 - 3р 008 6
2рд/(1 - р008 6)
т2-1 ] /о (кр) +
4 ^ 1 - р 008 6
(кр)
8т2 6 0082 тфе2 ;fflt,
д и
5х
= 0/1,: (кр)
р^/ 1 -р 008 6
к2 + т2 - 1/4
/о (кр)-
•уД - р008 6 х 008 6 008 тфв1т
V
+
к/1 (кр)8Ш2 6008тф — I ——<
2д/(1 - р 0086)3
l^■fflt
ди
1,2 ф
5х
т2к2^ (кр)8т2 68т2 тф ,^
= 0/1,2 - е
(1 - р 008 6)
Визначимо вщповщш динамiчнi тепловi на-пруги, припускаючи вiдсутнiсть поверхневих сил i сил шерци [12] у виглядi :
ст, = ст = ст = -
С-«)('-5)
П=1
I -5
де аТ - середнш коефiцiент лiнiйного теплового розширення; g - iзотермiчний модуль пру-жностi ; и - коефщент Пуассона.
Висновок
Побудовано математичну модель роздрiб-нення замерзлих насипних матерiалiв з викори-станням енергп мiкрохвильового електромагш-тного поля. Визначеш поля температур, вмiсту вологи i теплових напруг у вантажi в процес його руйнування з урахуванням змшно! областi розподiлу фаз.
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИИ ПЕРЕЛ1К
1. Иванов И. С. Теплофизические свойства насыпных грузов / И. С. Иванов, А. В. Степанов, П. И. Филиппов. - Новосибирск: Наука, 1974. -96 с.
2. Кожевников Н. Н. Прогнозирование процессов промерзания в сыпучих материалах при железнодорожных перевозках / Н. Н. Кожевников, В. И. Попов. - Новосибирск: Наука, 1978. -104 с.
3. Маталасов С. Ф. Совершенствование перевозок смерзающихся навалочных грузов / С. Ф. Маталасов, Ю. А. Носков // Железнодорожный транспорт, 1965, № 1. - С. 27-29.
4. Борьба со смерзаемостью металлургического сырья при перевозках по железнодорожным дорогам / С. Ф. Маталасов, Я. М. Куржуков,
A. С. Хорунжий и др. - М.: Металлургия, 1976. - 248 с.
5. Рикенглаз Л. Э. Экспериментальное исследование прочности мерзлых пород в СВЧ электромагнитном поле / Л. Э. Рикенглаз, О. Б. Шонин,
B. А. Хоминский // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 1980, № 3. - С. 47-51.
6. Шонин О. Б. Электрические свойства мерзлых пород в СВЧ - диапазоне / О. Б. Шонин, Н. В. Соколова // Физические процессы горного производства, 1981, № 9. - С. 48-52.
7. Линник Ю. М. Основы разупрочнения мерзлых пород СВЧ - полями. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. -212 с.
8. Яковенко В. О. Моделювання процесу надвисо-кочастотного сушшня пористих д1електричних матер1ал1в // В1сник АМСУ, 2007, № 2 (34). -
C. 107-111.
9. Лыков А. В. Теплообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1971. - 560 с.
10. Корн Г. Справочник по математике для научных работников / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970.
11. Яковенко В. О., Моделювання теплообм1ну при збудженш в матер1ал1 надвисокочастотного поля // Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформ1вного твердого тша, Вип. 7. -Д.: Дшпропетровський нац. ун-т, 2006. -С. 163-168.
12. Коваленко А. Д. Термоупругость. - К.: Вища школа, 1975. - 216 с.
Надшшла до редколегп 19.02.2008.
2
