Вивчення електромагнітних хвиль на основі системи фундаментальних фізичних понять Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Кашканова Г. Г. Использование игровых форм обучения общетехническим дисциплинам в процессе формирования профессиональной направленности студентов: Автореф. дис. ... канд. пед. наук: 10.00.01. — К., 1992. — 20 с.

4. Машбиц Е. И. Психологические основы управления учебной деятельностью. - К.: Вища школа, 1987. — 224 с.

5. Шчуговська Л. I. Науково-методичш основи математично! освгги студенпв економiчних спещальностей вищих навчальних заклащв: Автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.04 / Нацюнальний педагопчний ун-т iм. М. П. Драгоманова. — К., 2005. — 36 с.

6. Фомина О. Г. Методична система проведения практичних занять з математики зi студентами економiчних спещальностей (на базi кооперативного шституту): Автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Нацюнальний педагопчний ун-т iм. М. П. Драгоманова. — К., 2000. — 20 с.

7. Шаповалова Л. А. Методика розв'язування задач мiжпредметного змюту в процес навчання фiзики в загальноосвггаш школi: Автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Нацюнальний педагопчний ун-т iм. М. П. Драгоманова. — К., 2002. — 20 с.

8. Шоферовська Л. С. Фiнансовi задачi в школьному кура математики // Теорiя та методика навчання математики, фiзики, шформатики: Збiрник наукових праць. В 3-х томах. - Кривий рц-: Видавничий вiддiл НМетАУ, 2002. - Т. 1: Теорiя та методика навчання математики. — С. 413-420.

Вштор КУЛЬЧИЦЬКИЙ

ВИВЧЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГН1ТНИХ ХВИЛЬ НА ОСНОВ1 СИСТЕМИ ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ Ф1ЗИЧНИХ ПОНЯТЬ

У статтi розроблена методика формування поняття "електромагнтна хвиля" на основi фундаментальних фгзичних понять. Виходячи 13 рiвнянь Максвелла встановлено хвильовий характер розповсюдження ЕМП та властивостi ЕМХ. Проведено структурування навчального матерiалу при вивченнi ЕМП та ЕМХ на основi системи ФФП.

Усталений шдхщ до вивчення електромагштного поля (ЕМП) та електромагштних хвиль (ЕМХ) не повшстю розкривае !х взаемозв'язок у курс шкшьно! електродинамши. Кр1м того, розв'язання р1внянь Максвелла у школ1 наштовхуеться на значш математичш труднощ1, що не дозволяе показати хвильовий характер розповсюдження ЕМП. При вивченш ЕМП та ЕМХ вщсутш швар1анти, як дозволяли би структурувати шкшьний курс електродинамши.

Розроблений нами методичний шдхщ до вивчення ЕМП у курс ф1зики загальноосвпньо! школи [3] створюе передумови для яюсного засвоення учнями змюту поняття "електромагштш хвилГ' та застосування останнього в анал1з1 конкретних ф1зичних ситуацш. У школ1 вивчення властивостей ЕМХ { формування вщповщного поняття доцшьно будувати на основ1 фундаментальних ф1зичних понять (ФФП), зокрема таких, як вщносшсть, симетр1я I взаемод1я [1; 2; 7], що дае змогу провести структурування навчального матер1алу роздшу "Електродинамша" та продемонструвати учням шзнавальну продуктившсть ФФП, яю пронизують усю сучасну ф1зику [5; 8]. Завдяки цьому виникають можливост для глибшого й аргументовашшого вивчення теори вщносносп, оптики та ф1зики мшросвпу.

Тому метою статт1 е розробка методики формування поняття "електромагштна хвиля" на основ1 системи ФФП { р1внянь Максвелла.

Зупинимося на основних моментах тдходу, який ми пропонуемо.

Приступаючи до з'ясування властивостей ЕМХ, проанал1зуемо р1вняння Максвелла для ЕМП [3] :

Фе = Х ЕА8 = (1)

(X) ?0£

XЕ,А1 = -Ф , (2)

Афв

Аг

Фв = Х Вп АХ = 0, (3)

(,) ' Аг

п

( х )

X В1М = + £0^0е/иМффЕ. (4)

Звертаемо увагу, що вiдсутнiсть симетри мiж В i Е в цих рiвняннях обумовлена винятково наявнiстю електричного заряду й електричного струму провщносп.

Однак залишаеться незрозумiлим, що вiдбуватиметься у простор^ вiльному вiд зарядiв. Рiвняння Максвелла дозволяють отримати електромагнiтнi збурення, якi розповсюджуються iз швидкiстю, що дорiвнюе швидкостi свiтла [3; 5]. Однак розв'язання !х у школi наштовхуеться на значнi математичнi труднощь

Аналiзуючи рiвняння (1)-(4), робимо висновок, що у вакуумi при вщсутносп електричних зарядiв та електричних струмiв ^ = 0 i I = 0) електромагштш та магттш поля — вихровi, а

лшп векторiв Е 1 В — замкненi. Лшп вектора Е охоплюють лшп змшного вектора В . МП у цьому випадку збуджуеться тiльки "струмами змщення" — лши В охоплюють лши змiнного вектора Е .

Доданок iз "струмами змщення" вщграе основну роль. Його присутшсть поруч iз його двшником у рiвняннi (2) означае можливють iснування принципово нового явища — ЕМХ. Розумшня цього факту дозволило Максвеллу розвинути електромагштну теорiю св^ла.

Зрозумiло, що роздiлення ЕМП на самостшш ЕП i МП, як у випадку стащонарних полiв,

неможливе: обц^ компоненти ЕМП Е1В виявляються взаемозв'язаними i взаемообумовленими. Змiна з часом одше! компоненти призводить до появи та узгоджено! змiни друго!, а И змiна призводить знову до виникнення першо! i т.д.

Отримаемо розв'язок рiвнянь Максвелла за вщсутност електричних зарядiв i струмiв, вважаючи середовище дiелектриком (отже, сила струму провщносп дорiвнюватиме нулю). Рiвняння (1)-(4) за таких умов матимуть вигляд:

Ф е = Х Е^ = 0, (1^)

(я)

XЕ,М = -Ф , (о ' М

Фв = Х Вп МЯ = 0,

(Я)

л ., МФЕ

X В1М = еоМоеМ—Т М М

(2 □) (3 □) (4 □)

Для розв'язання поставлено! задачi видiляемо в площиш хОх (рис.1) елементарний прямокутний контур 1-2-3-4-1. Площа, яку вiн охоплюе, ним дорiвнюе дхдг . На дшянках 1-2 i 3-4 Ее д1 = 0; на дшянщ 2-3 Ее д1 = -Едг , на дшянщ 4-1 Ее д1 = (Е + дЕ)дг . Отже,

циркулящя вектора Е по цьому контуру 0 + (-Едх) + 0 + (Е + дЕ)дг = дЕдх .

В

Е + д Е

— А 1

1.................. 1

дА

3 4

0у^ дУл ✓

дх ^ + д В

4-

Рис. 1.

X

У

Пiдставляючи вирази для площi i циркуляци у рiвняння (2 □), отримуемо

я„я я я дВ дЕ дВ ...

дЕдх = -дхдх — або — =--. (5)

дг дх дг

Розглядаючи аналогiчно прямокутний контур 3-6-5-4-3, видшений у площинi хОу, бачимо, що на дiлянцi 3-6 циркулящя В1 д1 = Вду ; на дiлянках 6-5 i 4-3 В1Ш = 0 ; на дшянщ 54 Ве& = -(В + дВ)ду . Звiдси циркуляцiя вектора В по цьому контуру:

Вду + 0 + [-(В + дВ)ду ] + 0 = -дВду . Пщставляючи вираз для площ^ яку охоплюе контур, i циркуляци у рiвняння (4 □ □), отримуемо:

дЕ дВ дЕ

- дВду = а0 л0 е/идхду — або — = -е0 л0 а/ —, (6)

& дх дг

Продиференцiюемо рiвняння (5) по координат х, а (6) — по часу г:

д2 Е д 2В

дх2 dxdt

З останшх pÍB^Hb випливае:

д2 E

д2 B dxdt

д2 E

д2 E

It2

• = S0^üS«

(7)

дх2 " дt2 '

Це хвильове рiвняння [4, 10]. Иого розв'язок подаемо у формi píbmhm плоско! хвилi [4, 108]:

E = Em cos со (t - х / и) .

Аналопчне píbmhm можна отримати i для i^^^ii магнiтного поля:

B = Bm cos с (t - х / и).

Отже, базуючись на ФФП, таких, як симетрiя, вщноснють i взаемодiя, та вщповщно до законiв Бiо-Савара-Лапласа i Фарадея через píbmhm Максвелла ми робимо висновок про хвильовий характер розповсюдження ЕМП.

Встановлюемо, як поширюеться електромагнiтне збурення у просторi з часом. Для цього розглядаемо миттеве включення струму в провiдникy у виглядi нескшченно! площини [8, 82]. 1з мiркyвань симетри випливае, що коли е площина iз струмом у додатному j-напрямку (рис. 2), виникае МП, спрямоване у вщ'емному z-напрямку при х>0 i у додатному z-напрямку при х<0. У результат руху заряджено! площини збуджуеться змiнне МП i, отже, повинш виникати електричнi ефекти. Якщо ж ЕП утворилися, то вони повинш починатися з нуля i змшюватися до якого-небудь значення, i, вщповщно, вносити вклад разом iз струмом j для збудження МП.

Заряджена площин

Рухомий фронт полiв

U !Поля вiдсутнi '' Е= В=0

Рис. 2.

x=0

Створене поле B розповсюджуеться вiд сфери джерела. Через деякий час появляеться МП аж до деякого значення х, а за ним воно дорiвнюе нулю. Внаслщок симетри воно розповсюджуеться як у додатному, так i у вщ'емному х-напрямку (рис. 2).

Поле Е робить те ж саме. До моменту 1=0 (коли ми включаемо струм) поле всюди

дорiвнюe нулю. Поим, через час t, як Е, так i В розповсюджуються до вщсташ X = и • t , а за нею вони дорiвнюють нулю. Поля просуваються вперед, наче припливна хвиля, причому припускаемо, що 1'хнш фронт рухаеться з постiйною швидюстю.

Щоб кiлькiсно проаналiзувати те, що вщбуваеться, розглядаемо два поперечнi розрiзи: вигляд збоку, якщо дивитися назад вздовж ош г (рис. 3), i вигляд зверху, якщо дивитися вздовж ос у (рис. 4).

Вигляд зверху

У|

Вигляд збоку

Рис. 3

х ¡о^ X к

Е=0

Хо

X ' 1 X х 1 ) X к X

Е ® г Е ® X

X л X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

X хХ =0 X X X

иЛ

Е=0 В=0

иД1

Рис. 4

Хо

На рис. 3 ми бачимо заряджену площину, що рухаеться вверх. Виберемо контур обходу у виглядi прямокутника, перпендикулярного до площини струму i розмiщеного вздовж струму. Одна сторона прямокутника проходить у сфер^ де е поля, а шша — у сфер^ до яко! ще поля не дiйшли. Через цей уявний контур проходить магштний потш. Якщо вiн змiнюeться, то появляеться ЕРС вздовж контуру [3]. Якщо хвильовий фронт рухаеться, ми маемо змшний

магнiтний потiк, оскiльки поверхня, всередиш яко! iснуe поле В , безперервно збшьшуеться зi

швидюстю и . Швидкiсть змiни магштного потоку дорiвнюe добутку вектора В на швидюсть

змiни поверхнi (оскшьки розглядаемо миттеве включення струму, то В =соп81;):

= ВЬ о За законом Фарадея (2 □), швидкiсть змiни магнiтного потоку

ДФ В • Ьv•At

Дt Дt

дорiвнюe циркуляци вектора Е вздовж прямокутного контуру, яка дорiвнюe ЕЬ (рис. 3). Отримуемо рiвнiсть:

Е = и • В. (8)

Проаналiзуeмо конфiгурацiю ЕП i МП, що рухаеться у напрямку осi Оу. Прямокутний контур обходу вибираемо так, як зображено на рис. 4. Аналiзуeмо рiвняння (4 □). Циркулящя

В дорiвнюe добутку В на Ь. Швидкiсть змши потоку вектора Е дорiвнюe Е 'Ьи'ш = еь и i

Дt

рiвняння (4 □) набуде вигляду:

В = е0 м0 е мЕи. (9)

З рiвностей (8) i (9) отримуемо: ЕВ = е0 м0 а^и2 ЕВ, звщки, врахувавши, що

1

= с , маемо: и =

(10)

ао Мо ^ем

Для швидкостi и отримали повнiстю визначене скiнченне значення, вщмшне вiд нуля. Це виправдовуе вказане вище припущення про характер змши електромагштного збурення у просторi з часом. Дшсно, припустивши, що електромагштне збурення розповсюджуеться без змiни форми, ми не фшсували швидкостi цього розповсюдження, а визначили 11 з вимоги, щоб збурення задовольняло рiвняння Максвелла. Це можливо лише тод^ коли и визначаеться

с

виразом (10). Збурення не може стояти на мiсцi, оскiльки тодi и дорiвнювало би нулю, i не може розповсюджуватися миттево, оскшьки тодi наше мiркування привело б до результату

и = да .

Отже, рiвняння Максвелла допускають розв'язання у виглядi електромагнiтних збурень, що розповсюджуються iз швидкiстю и = с . Для повшшо! характеристики це збурення

називають плоскою бiжучою ЕМХ. Електричний i магнiтний вектори у такiй хвилi завжди перпендикулярнi як мiж собою, так i до напрямку 11 поширення.

У вакуумi 8 = л = 1 i формула (10) дае и = с. Звiдси випливае другий важливий висновок: ЕМХ i будь-яю змiни електричного та магнiтного полiв розповсюджуються у вакуумi зi швидюстю свiтла. Ця обставина i навела Максвелла на думку, що "само по собi свпло (включаючи променеву теплоту й iншi випромiнювання) е електромагштними збуреннями у виглядi хвиль, яю розповсюджуються через ЕМП зпдно iз законами електромагнетизму" [6, 263], тобто свпло е частковим випадком ЕМХ.

А це означае, що електромагштш взаемоди розповсюджуються iз швидюстю свiтла. Наприклад, якщо один iз двох точкових зарядiв, якi взаемоддать мiж собою та перебувають на вщсташ г один вiд одного, зсунути зi свого мiсця, то шший заряд "вщчуе" цей зсув лише через г

час т = — . c

Отже, у цш точцi напруженiсть ЕП визначаеться не розмщенням та величиною зарядiв i сил струмiв у певний момент часу, а 1'хшм розмщенням i величиною у попереднi моменти часу, що випливае iз врахування скiнченностi швидкостi розповсюдження ЕМП.

Використовуючи принцип суперпозици полiв, показуемо учням, що коли миттево включати, а потм миттево виключати струм, то ми отримаемо маленький фрагмент поля, який покинув заряджену площину i рухаеться у просторi, тобто поля розповсюджуються вшьно у просторi i бiльше не зв'язанi з джерелом, а хвильове рiвняння (7) та його розв'язок вказують на хвильовий характер розповсюдження ЕМП. Встановлюемо властивост ЕМХ:

Вектор напруженост Е ЕП i вектор магштно! iндукцil В МП перпендикулярнi до напрямку розповсюдження хвил^ тобто ЕМХ — поперечш. Напрямок розповсюдження хвилi

визначають правилом правого гвинта при поворот вщ Е до В за найкоротшим шляхом.

Е i В перпендикулярш один до одного. У вакуумi Е=сВ.

На основi хвильового рiвняння (7) та його розв'язання визначаемо внутршню симетрiю

ЕМХ: вектори Е i В коливаються в однш фазi, тобто одночасно перетворюються в нуль i

досягають максимуму. Для векторiв Е i В , яю змiнюються за гармошчним законом, будуемо просторовий графiк монохроматично! ЕМХ (рис. 5), який створюе 11 образ i чiтко шюструе iстотнi властивостi.

Е^

В

Рис. 5

Ставимо перед учнями проблематичне питання: якщо Е i В коливаються синфазно, то чи доцшьно говорити про перетворення одного поля в шше? Адже ЕП i МП мають енерпю, i 1хне перетворення означае i перетворення енергп ЕП в енергiю МП, i навпаки — при синфазному процес енергil обох видiв одночасно зростають й одночасно спадають. Чи немае тут порушення закону збереження енерги? Однак приведенi вище мiркування (за методом

Р. Фейнмана) тдводять учшв до розумiння сутi електромагнiтних процесв: синхроннi змiни Е

i В зв'язанi з перемщенням ЕМП у просторi . Змши напруженосп ЕП "тут" збуджують

шдукщю МП "поруч", як i змши В збуджують Е в сусщшх сферах простору.

Розглядаючи рiвняння ЕМХ, вщзначаемо симетрiю формул, якi описують коливання Е i

В. Властивост ЕМХ (вiдбивання, заломлення, штерференщя, дифракцiя, поляризацiя) вивчаемо дослiдним шляхом. Щоб уникнути труднощiв при викладанш властивостей ЕМХ, розглядаемо бiжучi хвилi на струнi, оскiльки 1х легше уявити, нiж електромагнiтнi. Учням вказуемо, що для хвиль довiльного походження, включаючи електромагнiтнi, означення i математичний апарат однаковi (симетрiя формул).

Розглянутий у статтi пiдхiд може бути усшшно використаний пiд час вивчення фiзики у природничо-математичних класах загальноосв^шх шкiл, гiмназiй i лще1'в. Водночас фiзичний аналiз явищ, проведений вище, доступний учням звичайних класiв i служить основою для вивчення квантово! фiзики, будови атома зокрема.

Л1ТЕРАТУРА

1. Будний Б. £. Формування в учтв системи фундаментальних ф1зичних понять. — К.: 1н-т педагопки АПН Украши, 1996. — 200 с.

2. Вейль Г. Симметрия. — М.: Наука, 1968. — 120 с.

3. Вознюк С. Ю., Кульчицький В. I. Формування поняття "електромагнгтне поле" на основ1 фундаментальних ф1зичних понять // Ф1зика та астроном1я в школ! — Вип. 4. — К., 1999. — С. 43-47.

4. Гончаренко С. У. Ф1зика: Пробний навч. поабник для 11-х клаав лще!в 1 пмназш природничо-наукового профшю. — К.: Осв!та, 1995. — 448 с.

5. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.

6. Максвелл Д. К. Избранные сочинения. — М.: Гостехиздат, 1954.

7. Паули В. Теория относительности / Пер. с англ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1981. — 328 с.

8. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6: Электродинамика. — М.: Мир, 1966. — 344 с.