Научная статья на тему 'Контактное взаимодействие кругового штампа со слоем при неидеальном тепловом контакте'

Контактное взаимодействие кругового штампа со слоем при неидеальном тепловом контакте Текст научной статьи по специальности «Машиностроение»

CC BY
60
21
Поделиться
Ключевые слова
НОРМАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ / ДЕФОРМАЦИЯ / ГРАНИЧНі УМОВИ / КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА / ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ / НОРМАЛЬНЕ НАПРУЖЕННЯ / ДЕФОРМАЦіЯ / КОНТАКТНА ЗАДАЧА

Аннотация научной статьи по машиностроению, автор научной работы — Окрепкий Б. С., Шелестовская М. Я.

Построено решение осесимметрической контактной задачи термоупругости о давлении горячего цилиндрического кругового изотропного штампа на упругий изотропный слой с учетом неидеального теплового контакта между штампом и слоем. Получены формулы для определения температурного поля и нормального напряжения. Исследовано влияние контактной проводимости на распределение температурных полей и нормального напряжения в зоне контакта.

A CIRCULAR STAMP CONTACTLY COMMUNICATES WITH A LAYER OF A NON-IDEAL THERMAL CONTACT

Solution of the axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the hot cylinder circular punch stress on the elastic isotropic layer taking into account a non-ideal heat contact between punch and layer is built. Formulas for determination of the temperature field and normal stress in the contact area are obtained. The effect of the contact elasticity on the temperature and normal stress distribution is investigated. Investigation was made on the influence of the contact conductivity on distributing of the temperature fields and normal stress in the area of contact of two bodies.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Контактное взаимодействие кругового штампа со слоем при неидеальном тепловом контакте»

УДК 539.3

Б. С. ОКРЕПКИЙ, М. Я. ШЕЛЕСТОВСЬКА (Тернотльський нацiональний економiчний унiверситет)

КОНТАКТНА ВЗАСМОД1Я КРУГОВОГО ШТАМПА З ШАРОМ ПРИ НЕ1ДЕАЛЬНОМУ ТЕПЛОВОМУ КОНТАКТ

Побудовано розв'язок осесиметрично! контактно! задач1 термопружносл про тиск гарячого цитндрич-ного кругового 1зотропного штампа на пружний 1зотропний шар з урахуванням нереального теплового контакту мгж штампом i шаром. Одержано формули для визначення температурного поля i нормального на-пруження. Дослвджено вплив контактно! провiдностi на розподш температурних полiв i нормального на-пруження у зонi контакту.

Ключовi слова: нормальне напруження, деформацiя, граничш умови, контактна задача

Построено решение осесимметрической контактной задачи термоупругости о давлении горячего цилиндрического кругового изотропного штампа на упругий изотропный слой с учетом неидеального теплового контакта между штампом и слоем. Получены формулы для определения температурного поля и нормального напряжения. Исследовано влияние контактной проводимости на распределение температурных полей и нормального напряжения в зоне контакта.

Ключевые слова: нормальное напряжение, деформация, граничные условия, контактная задача

Solution of the axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the hot cylinder circular punch stress on the elastic isotropic layer taking into account a non-ideal heat contact between punch and layer is built. Formulas for determination of the temperature field and normal stress in the contact area are obtained. The effect of the contact elasticity on the temperature and normal stress distribution is investigated. Investigation was made on the influence of the contact conductivity on distributing of the temperature fields and normal stress in the area of contact of two bodies.

Keywords: normal stress, deformation, scope terms, contact task

Постановка проблеми

Визначення контактних деформацш i на-пружень з врахуванням температурних полiв е необхщним для дослщження мщносп деталей машин i елеменпв конструкцш у мюцях !хньо! взаемоди, при розрахунку конструкцш на пру-жнш основi з метою ращонального викорис-тання матерiалу конструкци i несучо! здатност основи.

Аналiз останшх дослiджень i публiкацiй

В працях [1-5] дослiджуеться вплив температурних факторiв на характер контактно! взаемоди тш. Зокрема, в роботах [4, 6] розв'язаш осесиметричнi контактш задачi термопружнос-тi про тиск цилiндричного кругового штампа з плоскою основою на пружний швпроспр при нереальному тепловому контактi для iзотроп-них i трансверсально-iзотропних матерiалiв. Проте, недостатньо вивченим е вплив умов нереального теплового контакту на величину i характер температурних полiв, а також контактного нормального напруження в системi тш цилшдр-шар.

Мета роботи. Побудувати розв'язок осесиметрично! контактно! задачi термопружностi

про тиск цилшдричного кругового штампа з плоскою основою на пружний шар з врахуван-ням неiдеального теплового контакту. Необхр-но знайти формули для визначення температу-ри в цилiндрi i шарi, а також нормальних на-пружень в зонi контакту та дослрити вплив контактно! провiдностi на розподш температу-ри i нормальних напружень.

Постановка задач1. Нехай цилшдричний круговий штамп радiусом Я i довжиною Ь, з плоскою основою, втискуеться силою Р в iзо-тропний пружний шар скшчено! товщини Н . Поверхня шару зовш площадки контакту вiльна вр зовнiшнiх зусиль. На площадцi контакту дотичш напруження тгг = 0 . На вшьному торцi цилiндра задана постшна температура Т0. Бiчна поверхня цилiндра теплоiзольована. Тепловий контакт мiж тiлами припускаеться неiдеальним. На вшьних поверхнях шару вiдбуваеться теп-лообмiн iз зовнiшнiм середовищем за законом Ньютона. При зроблених припущеннях необ-хiдно визначити температурнi поля i контактнi нормальнi напруження.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Введемо цилiндричну систему координат г, 0, г , центр яко! лежить на поверхш шару, а вюь Ог спрямована вздовж цилiндра. Всi вели© Окрепкий Б. С., Шелестовська М. Я., 2011

чини, яК позначеш iндексом «1», вщносяться — W

до шару, без шдекав - до цилiндра. T (^z) = J rT (r,z)J0 (r}dr (10)

Граничнi умови для температури, напру- 0

жень i перемiщень матимуть вигляд: за допомогою яко!, i3 другого рiвняння (8), зна-

T = T0, (0 < r < R, z = L) . (1) ходимо вираз для T1 (р,Z) через двi довiльнi

^ = 0, (r = R, 0 < z < L) . (2) ФуШЩЙ' ф(п) i ф(п) :

dr

W

^ T- = ^z dT, T1 (р,Z) = |[Ф1 (n)enZ +Ф2 (l)e^] • J (пр)П (11)

z dz z & ' 0

rsrp\

A,z— = h0 (T - T1), (0 < r < R, z = 0). (3) де J0 (пр) - фУнКЦiя Бесселя перш°го роду

dz дiйсного аргументу, р = r /R; Z = z/R; п = ^R .

dT1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

__+ H\T1 = 0, (R < r <W, z = 0). (4) Температурне поле в цилiндрi знаходимо

dz методом Фур'е. Загальний розв'язок мае ви-

5T1 1 1 / ч гляд: --HT = 0, (0 < r <w, z = -H). (5)

dz T (r, z) = Az + B0 + D0 (r2 - 2z2) +

U = -8, (0<r<R, z = 0); W ^ 0 01 >

a1, = 0, (( < r <w, z = 0) (6) +X J0 (PkrxAsMV + B^z) +

k=1

т!„ = 0, (0 < r <w, z = 0); w

4 = 0; = 0, (0 < r <w, z = - H) (7) +g70 (Ykr)(Ck sin Jkz + Dk cos Jkz), (12)

де H1 (/ = 1,2), Xz, Л,^ - коефщенти теплооб- де Ak , Bk, Ck , Dk - довшьш постiйнi; I0 (ykr) мiну i теплопровiдностi, h0 - контактна провiд- - функщя Бесселя першого роду уявного аргу-нiсть, 8 - величина вертикального перемщен- менту; Pk, Уk - власнi значення, яю знаходять-ня штампа. ся iз граничних умов.

Термопружний потенцiал ф визначаеться з

Розв'язУвання крайових задач для рiвнянь першого рiвняння (8) у виглядi теплопровiдностi i термопружност

Вiдомо [3], що в осесиметричному випадку ф(р, Z) =--aTiZx

термопружний потенщал i температурне поле 21 -a

W

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

для iзотропного тiла знаходяться iз рiвнянь:

x

J-П[ф1 (п)епЧф2 (n)e-nZ] J0 (np)dn (13)

V2ф = aT , V2T = 0, (8) 0 П

1 -a Компоненти температурних напружень i пе-

а температурнi напруження i перемiщення ви- ремiщень обчислюються за формулами (9). значаються за формулами: Маючи формули для температурних напружень

i перемiщень, можна знайти компоненти на-

u? )=|Е, of > = -2ц

dz

(1 5ф д V

пружень та перемхщень при контактн1и взаемо-г дг дг2 Г Д11 цилшдра \ шара. Для цього необхщно до ве-

личин, обчислених за формулами (9), додати т(г ^ = 2ц д ф (9) компоненти напружень \ перемщень вщ б1гар-

дг дг мошчного потенщалу [1].

Таким чином, для визначення перемщень { де - коеф1ц1ент лш1ин°го температурного ро3- напружень в хзотропному шарх маемо наступнх ширення; ц, с - модуль зсуву х коефхцхент Пу- сшвыдношення:

ассона.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

( л \

Для визначення температурного поля в шарi 1 введемо трансформанту Ганкеля функци и? = T1 z ) нульового порядку

J1-

о П

пF (п)+ 2^т1;nZ F2 (п) I ¿1R J

хе

' 1 ( 1 ^

—п^ (п) + +—п^¿4 (п) х70 (пр)п + ^Т+^ТаТ!Ях

2 1 — с

ад 1

х{-[ф (п)(1 + пС)епС—Ф2 (п)(1 — пС)е-пС]х х 70 (пр) п;

п

с! = М "м Л г я 01 Я

И ¿1 (п) + (( +п<)(п)

—пС

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Я^з (п)+( —пС) (п)

хI п[Ф1 (п)^ — Ф2 (п)*"^]70 (пр)^п х

о

хJо (пр)-^п + ^17+С1аТ1С (14)

т„ =

1 — С Т

2Ь3Н (п) + (—ь1 +пО(п)

Я ¿3 (п)+( +п<) (п)

> J1 (пр)^п —

1 ад

льних рiвнянь, якi зв'язують функцп Ф1 (п) i Ф2 (п) з коефiцiентaми Лк (к = 0, ад) :

ад

|[(( +п)ф (п) + (( — п)Ф2 (п) J0 (пр)^п = К х

Т0 — Л1Я — Е ^а70 (Iхкр) Лк

к=1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

, (р< 1); (16)

Чг.

Я

Я

|п[Ф1 (п) — Ф2 (п)]70 (пруп =

0

ад Л

А я+£ц7 (ц к р)Лк , (р< 1); (17)

к=1

-ц1^- ат1 ГГФ1 (п)(1 + пС)е 1 — с 0

—Ф2 (п)(1—пС)е 71 (прМ п,

Ь =-тЦ-т, Ь Ь = А1 + ц\

А,1 + ц1 А,1 + ц1

де и\, с1,, х^ - компоненти перемiщення i на-пружень в пружному шарц ^ (п)(/ = 1,4) - до-

вiльнi функци; А1, ц1 - коефiцiенти Ламе.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Для задоволення гранично! умови (2) у фо-рмулi (12) необхщно покласти £>0 = 0,

Ск = 0, Вк = 0 (к = 1^) ; Рк =цк / Я, де цк -

коренi рiвняння 71 (цк ) = 0 .

Гранична умова (1), з урахуванням ортого-нальносп функцiй Бесселя, приводить до на-ступних спiввiдношень мiж постiйними Лп i

Бп (п = 0^):

В0 = Т — Л0/Я, Бп =—Кцп1Лп, I = Я . (15)

Я

Задовольнивши грaничнi умови (3, 4, 5), з урахуванням (15), одержимо систему штегра-

ад

{[((1 +п)ф (п) + ((1 —п)Ф2 (п)

0

-0 (пр)^п = 0, (р> 1); (18)

ад

|Г(п — К )Ф1 (п) — (п + К)Ф2 (п) х

0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

-0(пр)п = 0, (0<р<ад); (19)

К = Н / Я; К1 = Н\Я; К = Н1 Я, К = К0Я / А^.

Застосувавши формулу обернення штегра-льного перетворення Ганкеля [7] до рiвняння (19) i ввiвши позначення

ф(п) = (К\ + п) Ф1 (п) + (к1 — п) Ф2 (п), одержимо систему рiвнянь вщносно ф1 (п) i Ф2 (п), розв'язок яко! мае вигляд:

Ф1 (п)=1 (п+К11 )Кф(п)/я (п); Ф2 (п) = 2(п — К1 )е-пйФ(п)/я(п) , (20) Я (п) = (п2 + КК )якпК + п ((1 + К1))пК .

Пiдстaвивши функцi! ф1 (п) i Ф2 (п) iз (20) у рiвняння (18), одержимо:

ад

|ф(п)-0 (пр)^п = 0, (р> 1). (21)

0

Задовольнивши граничним умовам (7), з урахуванням (20), для напруження с1, (р,0) i

перемщення и\ (р,0) на поверхнi шару знай-демо формули:

1ад

и\ (р,0) = ^Я|[1 — О(2пК)^Ф(п)-0 (пр) х

Ь1 0

г

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

xdn + a^^f-^/J, (np)dn, (22) 7 о n Q (n)Q (n)

2bl ад

о! (p,0) = -j3f пФ(п) Jo (np)dn,

R о

^пФ(п) = nR- F (n) + b11F2 (n) -

-nR"F (n) + blF4 (n), Qi (n) = sh2nh + 2nh, Q2 (n) =

= (nshnhchnh + Kl^sh2nh + n2h)shnh , G (2 h) 1 + 2nh - e^" * 1+ C1 (l + bi)

G (2nh)= Q1 (n) ' 5=T^(1+bi)

Задовольнивши граничним умовам (6), при-ходимо до системи iнтегральних р1внянь вщно-сно функцiй Ф(п) i ф(п) :

ням

Р f (t) dt ( ) Vi

0V Р2 -12

(26)

2 d \ Р g (p)dp

f (t ) = 2 d H W n dt IJ

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

t2 -p2

(27)

де g(p) = -R + f G(2nh)ф(п) Jo (np)dn-1 Q2 (п)ф(п)

+a,

.1sf

n Q (n)Q1 (n)

Jo (np)dn . (28)

Поставивши вираз (28) у формулу (27), з врахуванням при цьому (25), одержимо штег-ральне рiвняння Фредгольма другого роду вщ-носно функци f (t) :

2 в 2 1 ш

f (t) = — r н—f f (x )dxf G (2nh )cos nx x

x cos ntd n -

25a f 1 Q2(п)ф(п) n 71 f n Q(n)Q1 (n)

(0 < t < 1).

cos ntd n,

(29)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Контакты напруження пiд штампом o1z (p ,0) , з використанням (25), визначаються формулою

(p,0 )=

fф(n)J0 (np)d n = - -B + f G (2nh )Ф(n)Jo (np)x

0 R 0

xd n+a71 sf n ^^ J0 (np)d n, 7 0 n Q (n)Q1 (n)

(0 <p<1). (23)

ад

^Ф(пК (np)dn = 0, (p> 1) (24)

0

Якщо ввести функщю f (t) спiввiдношен-

Vi

f(1) f r(t)dt

2 J П2 ~2

Vt -p

2b1b3

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1 + b

1 •

(30)

Використовуючи умову рiвноваги штампа

1

p = -2nR2fpo1., (p)dp i формулу (30), штегра-

льне рiвняння (29) зводиться до вигляду:

21 ш

f (t)--f f (x )dx f G (2nh )cos nx

b1 1

Ф(п) = 1 тгf f (t)cosntdt, (25)

1 + b1 0

то рiвняння (24) задовольняеться тотожньо, а рiвняння (23) зводиться до штегрального рiв-няння Абеля

2

xd n-2*1,1 f1 Q (п)ф(п)^

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

cos nt-

sinn

n

2n R ж0

n Q (n)Q1 (n) (0 < t < 1) .

cos nt-

V

sin n n

dn = (31)

розв'язок якого згiдно [8] визначаеться формулою

Для визначення функци ф(п) продовжимо рiвняння (21) на весь iнтервал (0 <p <да) :

ад

f ф(п)^0 (np)d n = U (1 -p)X (p)

0

( 0 <p<rc) (32)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

де U (x) - функщя Гевiсайда, X (p) - невщома функцiя, яку подамо сшввщношенням

X (p) = 70 j ^0 + £akJ0 (|Ukp ) |, (0 <p< 1) , (33)

k=1

де ak (k = 0, N1) - невiдомi коефiцiенти, якi не-обхiдно визначити; значення N1 вибираеться iз

ад

Ж0 =

ад

умови забезпечення необхщно! точност розв'язку.

Застосувавши до обох частин рiвняння (32) формулу обертання штегрального перетворен-ня Ганкеля, знайдемо функцiю ф(п) через не-вiдомi коефiцiенти ак:

ф(п) = Т0 (п) + п2-1 (п)Е } (34)

Поставивши функцiю ф(п) (34) в штегра-

льнi рiвняння (16), (17), (31) з врахуванням (20), прийдемо до сшввщношень, якi зв'язують мiж собою функщю / (^) i коефiцiенти

Лк (к = 0^), ак (к = 0~К):

Т0 Е

к=0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

, 1 N

,к1}(р)+ЛЯ+Е 70(ц кр)

Л = и1Т

Лк - п0Т 0,

'0 к=1

(р<1).

(35)

Т0 Е ак ак2) (р)—л Я—Е цк 70 (ц к р)Лк=0

к=0

к=1

(р<1).

г\ 1 ^

/ (г)— | / (х ),х | О (2пП )

(

008 пх

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

008 п^"

81П п

п

(36)

Л

п — 25аТТ0Е5к (0ак =— Р

к=0

2пЯ ж0

де в0 =

(0 < Г < 1), 1

(37)

8,, ="

/п0 к К^Кцк1

С)(р)=ад Р (п)0 (пр),п,

а

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

0

ад*

Я (п)

а

("(р) = -0 (цк)Г Р1(п)71<п)7°(пр),п, (38)

Я (п)(п2 —

)

р (п) = (п2 + к1 К) +(к1 + К) п сПпП; Р2 (п) = п(п$ПпП + к^сПпП);

50 (ГЯЯЧЯ(п) í008п — 81ШЛ,п ,

§к (Г ) = 70 (ц к )

пб (п )й (п Н п п71 (п )б2 (п )

008 п

(( — ц к 2 ) (п )б (п) 81п п

ц

Помноживши обидвi частини рiвностей (35), (36) на р, р70 (цпр) i проiнтегрувaвши !х по р в межах вiд 0 до 1, з врахуванням умов

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

ортогональност функцш Бесселя, прийдемо до сшввщношень:

А N ( , Л Я = 2 -^Т, Еа(02к,

Аг к=0

Лп = 2

А „ Т

А1 т2 ( ) Еа(п%. (39) Аг цп70 (цп )0 к=0

i системи лiнiйних алгебра!чних рiвнянь вщно-сно невiдомих ак (к = 0, N) :

N _

Еа п,как = У п (п = 0, N), (40)

к=0

де апк =

= а(п.1 + К !Пъ1. а(2)

а1 цп

п,к '

а

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(1) А 0,к + А

•0 Аг

^ + , У0 = 1; Уп = 0 (п = 1,N) .

Обчисливши невласш штеграли (38), згiдно [9], одержимо:

.(1) = 10,0

а0'0 = |ра0;) (р), р = 8 0,0 +

+2Е Р'(Ут ) К1(Ут ) 1 (Ут ) ( = 1 2) .

,(1) =

УшО!((Уш) 1

|рак1 )(р)Лр = 270 (цк )х

Е

Ущр](Ут ) 11 ( Ут ) К1 ( Ут ) (+цк2 ) (Ут)

к Ф п

а( 1)=а) (^=

' п,0 0,п

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

, (■/ = 1,2)

,(1) =

в( 1)

Рп.к'

в 1) +1 роо

Г]

702 (цп) к = п;

2 б (цп )

1

РЙ = |р70 (цпр)ак;) (р)Лр = 270 (цк ) 70 (цп ) х

0

У т РД Ут ) ¡1 ( Ут ) К1 (Ут )

Е

1 (Ут +ц2 )( +ц^ )) (Ут ) 1

800 = _ г

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

&0,0 2^'

8^ =1 К1г &0,0 ^М'2'

(41)

г = ( к1 К+1) г2, г2 = (К к1 п+К + К)—1;

ад

А

г

т=1

1

т =1

т

де ут (т = 1, да) - кореш р1вняння в (¡ут ) = 0 ;

Р/(Ут ) = (№ - ут ) 51П упк +(К. + к\ ) Ут х

X СОЭ уmh, Р2 (Ут ) = Ут (( СО- УтЛ - УтЛ -1п у,^) в(т ) = [(КК - уП ) Л + + К. ] СО- УтЛ -

- Ут [ 2 + ((1 + К1 )Л] 81П УтЛ . Представимо функщю / (*) у виглядк Р

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

/ (' ) = -

2%Я2ж0 к=о N.

N

Е( + 1) (1 -2*2))

+аг

ЕР (1 - 2*2 )(2к + 1) , (42)

к=0

де

де Ро = 1; Рп = 0 (п = 1,N); = —Еак;

П к=0

'п,к (п=0Х) ,

А,0 = 1 IО(2пЛ)Т0 (п)-1—^йп, п 00 п

да

А,к = 2 (-1)к+1 (2к +1)| О (2—Л )Т0 (—) х

х Л - 212) I - -1 (1) '— ■

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

. да

-1п —

Ап,0 = --10 (2—Л )тп (п)-^ й (45)

п

да

АЙ= 2 (-1)к+1 ] О (2—Л )тп (—) х

х _I

к - 2 [ 1 ]1- 2 [ 2 ) ' — • А- =

Ай, кФп 1 + Ай, к = п;

I

I Щг (п)Тп (—)

'п,к = 10 (цк )|

пб (п)й (п)

(п)& (п)тп (п)

(п2 -ц2) (п)й (п)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(п = 0^; к = );

й п,

|(п)=-

п

со-п 1 + 1 п п 2

-1п п

Хк, 7к - невщом1 коефщенти; Рк (1 - 2*2) -

функци Лежандра. Тод1 р1вняння (37), з ураху-ванням ортогональносп функцш Лежандра

Рк (1 - 2*2) на штервал1 (0, 1), зводиться до зна-

ходження постшних хп, уп 1з системи лшшних алгебра!чних р1внянь:

N1 _

Е АпЛХк = Рп, (п = 0, N1). (43)

к=0

N _

ЕА„Л = , (п = 0, N), (44)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

,(п)= 4 ™ п |у п- ^ п+1 ^ )

(-1)п -1п п 2А (1 + п)А(1 - п)п ,

де Уп (п) - сферичш функци.

Для обчислення температурних пол1в в ци-лшдр1 { шар1, з врахуванням сшввщношень (11), (12), (15), (20), (34), (35), матимемо наступи формули:

1) цилшдрична область (0<р< 1,0<^) ,

Г л N л N

Т (р, С) = Т0 Г1 + 2 (С-г Еа02к + 2 £ Ех

к=0

к=0

^цп (С- £)

а

(2)

сЛЦт110 (Цт )Цт

(46)

2) шар (-Л < С < 0; 0 < р < да)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Т1 (р, С) = Т0

1+К (Л+С)

чк; к и+К; + к2У

+ £_(Ут , К1 (Ут ) 10 (УтР) ^

1 в'((Ут ) К0 (Утр) 11 (Ут ),

+

_ 1

Е ак10 (ц к)

к=1

+2Е^

(к .С)10 (ц к р) в (ц- )10 (ц- )

У т^Г(Ут^) х

(47)

»=; (у т +ц2 ) (Ут )

(К: (Ут К (Утр) ^ К0 (Утр)1; (Ут ) Я. (х,= хсЛх(Л + С) + К^Лх(Л + , ^ (Ут , С) = Ут СО- Ут (Л + С) + К1 -1п Ут (Л + С) .

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

X

X

т

а, 0.. о.: о.: о.

4

3 ^^

2

/

с(р)=-

1 N к

- К-1)' (2и + 1)*^+1 (р)

р к=1

(48)

'(р,0) = аг1Г0

ж0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1

Го +-!(--) (2к + 1)^+- (р)

р к=1

де а(/^(-,0) - силова складова напружень;

с:, ' (-,0) - температурна складова напружень; Т2к+1 (-) - функцiя Чебишева.

Рис. 2. Розподш силово! частини контактних напружень для р1зних значень товщини шару:

1 - к = 2; 2 - к = 4; 3 - к = да.

Якщо товщина шару к ^да, то одержимо розв'язок задачi про тиск цилiндричного кругового штампа на пружний пiвпростiр з враху-ванням нереального теплового контакту [4].

0 0.4 0.8 1.2 р

Рис. 1. Розподш температури в шар1 в зош контакту при р1зних значениях контактно! провщносп:

1 - к0 = 0,1; 2 - к10 = 1; 3 - к = 5; 4 - к = да

При 0 <р< 1 множником береться верхнiй вираз в круглих дужках, при -> 1 - нижнш.

Для визначення нормальних напружень шд штампом, з урахуванням (30), (42), отримаемо наступний вираз:

с1: (-0) = с(р)(-0) + с(Л(-0), (0 <р<1); 0,5Р 1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

<х3 2 0 -2 -4

к

__

-6,

Рис. 3. Розподш температурно! складово! контактних напружень для р1зних значень контактно! провщносп:

1 - к = 0,1; 2 - к = 1; з - к = 5; 4 - к = да ■

Розглянуто числовий приклад для знахо-дження температури а1 = ТV Т0 i напружень

а2 = -с(гр) (р,0)яЯ2 /р ,аз = сТ) (р,0)/(ат1Т)

при 5 = 0,3; I = 2; к = 2; К = да, К12 = 0,5, X г / X1 = 0,1 i рiзних значень контактно! пров>

дностi к = 0,1; 1; 5; да .

Висновки

Розроблено метод розв'язку контактних задач, який грунтуеться на застосуванш штегра-льних перетворень Ганкеля i методу вщокрем-лення змiнних Фур'е для розв'язання рiвнянь термопружностi.

При заданих температурних i силових гра-ничних умовах одержано формули для визначення температурних полiв i контактних нормальних напружень. Розв'язок температурно! i термопружно! задач зводиться до визначення деяких постшних iз системи лiнiйних алгебра!-чних рiвнянь, через якi знаходяться температуры поля в цилiндрi i шарi, а також контактнi нормальш напруження.

Числовi пiдрахунки i анатз розв'язку пока-зують, що контактна провршсть к1 значно впливае на розподш температурних полiв i нормальних напружень в зош контакту двох тш.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

1. Грилицкий, Д. В. Осесимметричные контактные задачи упругости и термоупругости [Текст]

х

2

X

2

/ Д. В. Грилицкий, Я. М. Кизыма. - Львов: Изд.-во при Львов. ун.-те, 1981. - 135 с.

2. Грилицький, Д. В. Термопружш задач1 в трибо-логп [Текст] / Д. В. Грилицький - К.: 1ЗМА, 1996. - 204 с.

3. Коваленко, А. Д. Основы термоупругости [Текст] / А. Д. Коваленко - К.: Наукова думка, 1970. - 304 с.

4. Окрепкий, Б. С. Тиск цил1ндричного кругового штампа на пружний швпроспр з врахуванням нереального теплового контакту [Текст] / Богдан Окрепкий, Мар1я Шелестовська // В1сник ТНТУ. - 2006. - № 3. - С. 26-33.

5. Окрепкий, Б. Осесиметрична температурна задача для системи тш цил1ндр-швпрост1р при нереальному тепловому контакт! з урахуванням анал1зотропи матер1ал1в [Текст] / Богдан Окрепкий, Фед1р Мигович // Вюник ТНТУ. - 2009. -№ 4. - С. 188-192.

6. Окрепкий, Б. С. Тиск цил1ндричного кругового штампа на трансверсально-1зотропний прослр при нереальному тепловому контакт! [Текст] / Богдан Окрепкий, Мар1я Шелестовська // В1сник ТНТУ. - 2010. - № 1. - С. 32-40.

7. Снеддон, И. П. Преобразование Фурье [Текст] / И. П. Снеддон - М., 1955, - 668 с.

8. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа [Текст] / Э. Т. Уиттекер, Г. М. Ват сон. - М.: Физматгиз, 1963. - 343 с.

9. Мигович, Ф. М. Обчислення групи невласних штеграл1в, яш м1стять функци Бесселя 1-го роду [Текст] / Фед1р Мигович, Богдан Окрепкий // Зб1рник наукових праць академп наук Украши. К., 1995. - №8 - С. 133-137.

Надшшла до редколегп 11.05.2011. Прийнята до друку 16.05.2011.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.