CC BY
9
УДК 517.91:532.2
О.М. ЛЕНЮК
Чершвецький нацюнальний ушверситет iMeHi Юрiя Федьковича
О.М. Н1К1Т1НА
Чернiвецький факультет НТУ «ХП1»
М.1. ШИНКАРИК
Терношльський нацiональний економiчний ушверситет
РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ1 ДИФУЗП ТЕПЛА СК1НЧЕННИМ Г1БРИДНИМ 1НТЕГРАЛЬНИМ ПЕРЕТВОРЕННЯМ ТИПУ ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ-ФУР'С НА СЕГМЕНТ
Розв'язана задача дифузП тепла на трискладовому сегментi (0, ^3]. Розв'язок побудовано за допомогою сюнченного гiбридного ттегрального перетворення, породженого на даному сегментi з двома точками спряження гiбридним диференцiальним оператором Лежандра-Бесселя-Фур 'е.
Ключовi слова: гiбридний диференцiальний оператор, задача дифузП тепла, гiбридне ттегральне перетворення.
О.М. ЛЕНЮК
Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича
О.М. НИКИТИНА
Черновицкий факультет НТУ «ХПИ»
Н.И. ШИНКАРИК
Тернопольский национальный экономический университет
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФФУЗИИ ТЕПЛА КОНЕЧНЫМ ГИБРИДНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ТИПА ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ-ФУРЬЕ НА СЕГМЕНТЕ
Решена задача диффузии тепла на трехсоставном сегменте (0, ^3]. Решение построено при помощи конечного гибридного интегрального преобразования, порожденного на данном сегменте с двумя точками сопряжения гибридным дифференциальным оператором Лежандра-Бесселя-Фурье.
Ключевые слова: гибридный дифференциальный оператор, задача диффузии тепла, гибридное интегральное преобразование.
О.М. LENYUK
Chernivtsi National University by Yuriy Fed'kovych
O.M. NIKITINA
Chernivtsi department of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
M.I. SHYNKARYK
Ternopil National Economic University
SOLVING OF THE PROBLEM OF HEAT DIFFUSION BY FINITE HYBRID INTEGRAL TRANSFORM OF LEGENDRE-BESSEL-FOURIER TYPE ON THE SEGMENT
The problem of heat diffusion on three-part segment (0, ^3] is solved. The solution is conctructed by finite hybrid integral transform generated on the given segment with two points of conjugation by hybrid differential Legendre-Bessel-Fourier operator.
Key words: hybrid differential operator, problem of heat diffusion, hybrid integral transform.
Постановка проблеми
На сучасному еташ науково-техшчного прогресу, особливо у зв'язку i3 широким застосуванням композитних матерiалiв, виникае гостра потреба у вивченш фiзико-технiчних характеристик даних матерiалiв, яш знаходяться в рiзних умовах експлуатацп, що математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференщальних рiвнянь другого порядку на кусково-однорщному iнтервалi з ввдповщними початковими та крайовими умовами [1 - 3], зокрема задача дифузп тепла математично приводить до побудови розв'язку системи рiвнянь з частинними похвдними параболiчного типу. Одним iз ефективних методiв побудови штегральних зображень аналтгичних розв'язшв алгоримпчного характеру таких задач е метод пбридних штегральних перетворень. В [4] побудовано сшнченне пбридне iнтегральне перетворення (СГ1П), породжене на сегментi (0, ^3] з двома точками спряження пбридним диференцiальним оператором (ГДО) Лежандра-Бесселя-Фур'е.
Мета статт
У данш робот побудовано розв'язок задачi дифузп тепла на трискладовому сегментi (0, Л3] з двома точками спряжения за допомогою сшнченного гiбридного штегрального перетворення типу Лежандра-Бесселя-Фур' е.
Основна частина
Задача дифузи тепла в трискладовому сегменп математично приводить до побудови в обласп В2 = {(X,г): X > 0,г е 12}, 12 ={г :г е (0,^) и (ЯъЯ2) и (Я2,Д3); Я < да} обмеженого розв'язку системи рiвнянь параболiчного типу [5]
ди
+ У^Щ - а2Лр[щ] = /(X,г), г е (0,Я),
ди
дх
за початковими умовами
2 + Г2Щ - а2 Ву,а[Щ2] = f2(t, Г), Г е ^ R2),
+ /¡щ - а3 [щз] = /з(t, г), г е ^ ЯзX
дх дг
Щ(X,г)|х=0 = &(г), г е (0,Я),
Щ2 (Х, г)| X=0 = £2 (г), г е (R1, и3(х, г )| х=0 = £з(г), г е (Я2 , ЯзХ
(1)
(2)
умовами спряження
та крайовими умовами
д
дг
\ик-\акп —+вк2 Щ
д
"12
дг
12 к+1
= 0,1, к = 1,2,
Нш [гги1] = 0, \а^2 + в22 |из 1г=Я3 = 0
г ^0 I дг ) 3
(3)
(4)
Тут беруть участь узагальнений диференцiальний оператор Лежандра Лр, диференщальний оператор Бесселя Бу а, диференщальний оператор Фур'е другого порядку (одновимiрний диференщальний оператор Лапласа) й 2 /йг 2 [4].
Вважаемо, що виконанi умови на коефщенти: 2а +1 > 0, V > а; (р) = (р,¡и2), Р1 > ¡и2 > 0 ;
а232 > 0, в232 > 0, а22 +в232 * 0; а)т > 0, р)т > 0, с]к = а^^-аЦ^ , ст ■ С2к >0; 1, т,к = 1,2 .
В [4] побудовано пряме И^^О й обернене И^О СГ1П, породжене на множинi 12 ГДО ЫУ%= в(т)в(Ях - г)а12Л(р) + в(г - Я1)в(Я2 - г)а2^а+0(г - Я2ЖЯ3 - г)а3 й2/ йг2 :
Я
на (г )]= I £ (г )^(г, вп )Ф)йг-.
(5)
Щ{р[ £п ] = I ЫРкгвп) - £ (г)
( Р )(
п=1
та виведена основна тотожшсть СГ1П ГДО М^Ох :
(6)
И^М*® £ (г)]] = -в22 ~-И + (a32)"1vV/О;з(Rз, вп) £я
I=1
+
+ 1йк[^Р&Ов)®2к -^РЙ2(вп)®1к]. к=1
г=Я
к
п
Тут в(х) - одинична функщя Гев1сайда [1], {^(г,вп)£=1 = ,рп):|| вп)!1>«=1 -
ортонормована система власних функцш вщповщно! задачi Штурма-Лiувiлля [4],
Ог,в) = !в(г --г)К%(г,в), До = 0,
к=1
2 с
,вп) = Яа(вп)С22^3п, ?а(вп) = 21
_ 1.2а г)2.
^(Гвп ) = ^[^(^^а^М, ) - ^(сЩМ^ЪА, К? )],
Чп ,21 У1п ■11
С)з(г,вп ) = ^(вп )С08(ЬзпГ )-®1%(вп ^П^ ),
у2 М, Ь2п?) = и"а,у2 (Ь2пД )(Ь1п?) - иЦ,у2 Ф2пЯ )Л,а (Ь1п?),
^а;ук (¿2Я, ¿2 Д2) = у2 (¿2Я (¿2^2 ) - С,у 2 (¿2 Я (¿2^2 ), ], к = 1,2,
2(ЬзД2, ¿з^з) = ^^кад) - у£(Ьз я^^Я,), у = 1,2, » (в) = 2(
^ ^ у (в) = 2 ^"(^Я^ а-2 у (¿2 % ¿2 - 2 ^О^)^ у (¿2 % ¿2
у (в) = ¿22^2,^(¿2А,¿2^2)-¿12^2,у2^2Я,¿2^2),
О; у (вп ) = )У12У (¿зп^2) - «^(вп ^^ = 1,2,
а
(вп) = (а:+ в:з^^вп) и ,т,к = 1,2,
О? ' : I7, с-с, л -т ^ ' п У ч = ^к '
а1 = : с11,а2 = а22а2Д22а+1 : с12, Ъу = а-!(в2 + )1/2, ку2 > 0 , у = 1,з,
2а+1
а= с11с12 Я1
а1а1---
с21с22 Я
2а+1 shR1
12 с12 1 2 ! , а2°2=—ТОР аз^з=1,
с22 Я
та Х ъ(с№) - узагальнеш приеднаш функцп Лежандра, як1 утворюють фундаментальну
*
систему розв'язк1в для диференщального р1вняння Лежандра, V = -1/2 + /¿1, а (¿2г) та Ыу а(¿2?)-
дшсш функци Бесселя першого роду та другого роду вщповвдно, як1 утворюють фундаментальну систему розв'язшв для диференщального р1вняння Бесселя [4].
Знайдемо iнтегральне зображення аналиичного розв'язку задачi (1) - (4) методом СГ1П типу Лежандра-Бесселя-Фур'е на трискладовому сегментi (0, Яз] з двома точками спряжения, запровадженого правилами (5) - (7).
Запишемо систему (1) та початковi умови (2) у матричнш формi:
д
^ + Г? - а12Л(Л) lul(t, г)
^ + Г22 - Bva^jU2(t, Г)
/2 Л
(
д
О2
22 — + уз - аз —2
Кд( з з ёг2,
из ^, г )
Г №, г ) ^ /2(1, г )
V г ),
Г Щ^, г ) ^ г е,(Г ) ^
и2(^, г ) = %2 (г )
V из^, г ) ,j г = о V %з(г ) ,j
(8)
1нтегральний оператор Н^а зг1дно правила (5) зобразимо у виглядi операторно! матрицi-рядка:
Н ™ [. ] =
г,а I л
/..^д (г, вп Уг^гёг {..ча ,2 (г, вп ^г^+а J3...vV,а ,з (г, вп >зёг
(9)
Застосуемо операторну матрицю-рядок (9) за правилом множення матриць до задачi (8). Внаслвдок основно! тотожиостi (7) отримуемо задачу Кошi [6]:
2
Л + в2 |~п(х,вп) + (к2 + т2)/и1 (X,гКО;1(г,вп>Агйг + (к2 + г2)/и2(х,гУа(г,впкг^г +
Л
«3
+ (кз2 +Гз3 ){ из (х, г )vVр);з (г, вп)аъйг = / (X),
ип | X = 0 = ~п (вп ).
Припустимо, що шах^2; ; }= 7\ . Покладемо всюди к2 = 0 ,
к2 = П -Г2 > 0, кз2 = /1 - 73 > 0 . Одержуемо задачу Кошг
\ Л+в2 + у1 > (X) = / (X),
~п (х ^ X=0 = ~п ,
(10)
~п - | £1 (г У^Ц (г, вп У^Ыг + | £2 (г Уа (г,вп )^ +\ £3 (г НХз (г, вп
0
Безпосередньо перевiряеться, що розв'язком задачi Кошi (10) е функця
~п (X) = е~(в2п +г1)х~п + Г е-(в +^)(х-т)~ (т)йт.
0
(11)
1нтегральний оператор И/р) зпдно правила (6), як обернений до (9), зобразимо у виглядi операторно! матрицьстовпця:
и) [...]=
1[..уа;1(г, вп )
п=1
да
1[.Уа;2 (г, вп )
п=1
(12)
1[..У5;3 (г, вп )
_п=1 _
Застосувавши операторну матрицю-стовпець (12) за правилом множення матриць до матриць Щу,(X)|, де функцiя ип(X) визначена формулою (11), одержуемо единий розв'язок параболiчноl
елемента задачi (1) - (4):
X «1 X «2
иу(X,г) = Ц <РХ;Л(х-т,г,р)/(т,р) + £1(р)3+ {т)^Ърйрйт + \ Г Нра-л^-т,г,р)[/2(т,р) +
0 0
0 Я
(13)
хЯз
+ £2(р)3+ {т)]02г1а+Хйрйт + \ Г Ы^О;уз(х-т,г,р)[/з(т,р) + £з(р)5+ (т)]азёрёт, у = 1,2,3.
0 «2
У рiвностях (13) беруть участь породжеш неоднорiднiстю системи функци впливу:
к (X, г, р) = I е-(вп +* )tvVР); у (г, вп КЪ (г, вп), 1, к = 1,2,3.
п=1
(вп2 +Г1)К,(Р)
»
(14)
При цьому 5+ (X) - дельта-функщя Ддрака, зосереджена в точцi X = 0 + .
Зауваження. При шах^2; Т^; Хз }= /Ц, к2 = ^^^ - /2 > 0, ] = 1,2,3, т = 2,3, й у формулi (14) вираз (вп + У\) мiняеться на вираз (вЦ + у2т).
Висновок
Побудований розв'язок (13) параболiчноl задачi (1) - (4) мае алгоршшчний характер, що дозволяе використовувати його як в теоретичних дослщженнях, так i в числових розрахунках.
Я
Я
Я
Я
Я
Список використаноТ лггератури
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю. М. Коляно. -К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.
2. Ленюк М.П. Температурш поля в плоских кусково-однорщних ортотропних областях / М.П. Ленюк.
- К.: 1н-т математики НАН Украши, 1997. - 188 с.
3. Конет 1.М. Температурш поля в кусково-однорщних цилiндричних областях / 1.М. Конет. М.П. Ленюк. - Чершвщ: Прут, 2004. - 276 с.
4. Нштша О.М., Шинкарик М.1. Сшнченне гiбридне iнтегральне перетворення типу Лежандра-Бесселя-Фур'е на сегментi з двома точками спряження / О.М. Шктна, М.1. Шинкарик // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, 2015. Вып. 3 (54). - С. 47
- 51.
5. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 735 с.
6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.
