CC BY
10
УДК 517.91:532.2
О.М. ЛЕНЮК
Чершвецький нацюнальний ушверситет iMeHi Юрiя Федьковича
О.М. НЖГГША
Чернiвецький факультет Нацiонального техшчного ушверситету «Харювський полiтехнiчний шститут»
М.1. ШИНКАРИК
Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет
МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В МЕТОДОМ СК1НЧЕННОГО Г1БРИДНОГО 1НТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЛЕЖАНДРА-
БЕССЕЛЯ-ФУР'С НА СЕГМЕНТ1
Розв'язана задача динамжи на трискладовому сегментi (0, ^3]. Розв'язок побудовано за допомогою сктченного гiбридного ттегрального перетворення, породженого на даному сегментi з двома точками спряження гiбридним диференцiальним оператором Лежандра-Бесселя-Фур 'е.
Ключовi слова: гiбридний диференцiальний оператор, задача динамiки, гiбридне ттегральне перетворення.
О.М. ЛЕНЮК
Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича
О.М. НИКИТИНА
Черновицкий факультет Национального технического университета «Харьковский Политехнический Институт»
Н.И. ШИНКАРИК
Тернопольский национальный экономический университет
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО ГИБРИДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТИПА ЛЕЖАНДРА-БЕССЕЛЯ-ФУРЬЕ
НА СЕГМЕНТЕ
Решена задача динамики на трехсоставном сегменте (0, ^3]. Решение построено при помощи конечного гибридного интегрального преобразования, порожденного на данном сегменте с двумя точками сопряжения гибридным дифференциальным оператором Лежандра-Бесселя-Фурье.
Ключевые слова: гибридный дифференциальный оператор, задача динамики, гибридное интегральное преобразование.
О.М. LENYUK
Chernivtsi National University by Yuriy Fed'kovych
O.M. NIKITINA
Chernivtsi department of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"
M.I. SHYNKARYK
Ternopil National Economic University
MODELING OF DYNAMIC PROCESSES BY THE METHOD OF FINITE HYBRID INTEGRAL TRANSFORM OF LEGENDRE-BESSEL-FOURIER TYPE ON THE SEGMENT
The problem of dynamic on three-part segment (0, ^3] is solved. The solution is conctructed by finite hybrid integral transform generated on the given segment with two points of conjugation by hybrid differential Legendre-Bessel-Fourier operator.
Key words: hybrid differential operator, problem of dynamic, hybrid integral transform.
Постановка проблеми
На сучасному етат науково-техшчного прогресу, особливо у зв'язку i3 широким застосуванням композитних матерiалiв, виникае гостра потреба у вивченш фiзико-технiчних характеристик даних матерiалiв, яш знаходяться в рiзних умовах експлуатацп, що математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференщальних рiвнянь другого порядку на кусково-однорщному iнтервалi з ввдповщними початковими та крайовими умовами [1 - 3], зокрема задача динашки математично приводить до побудови розв'язку системи рiвнянь з частинними похвдними гiперболiчного типу.
Аналiз останшх дослщжень i публiкацiй
Одним iз ефективних методiв побудови iнтегральних зображень аналгтичних розв'язк1в алгоритмiчного характеру задач математично! фiзики е метод гiбридних штегральних перетворень [1 - 4].
В [4] побудовано сшнченне пбридне штегральне перетворення (СГ1П), породжене на сегментi (0,Я3] з двома точками спряжения гiбридним диференцiальним оператором (ГДО) Лежандра-Бесселя-Фур'е.
Мета дослiдження
Побудувати розв'язок задачi динамiки на трискладовому сегменп (0, Яз] з двома точками спряження за допомогою ск1нченного пбридного iнтегрального перетворення типу Лежандра-Бесселя-Фур'е.
Викладення основного матер1алу досл1дження
Задача динамiки на трискладовому сегментi математично приводить до побудови в обласп В2 = {(X,г): X > 0,г е 12}, 12 ={г :г е (0,Яг) и (ЯьЯ2) и (Я2,Яз);Яз < да} обмеженого розв'язку системи рiвнянь гiперболiчного типу
д 2и
+ _ с^ Л (А)[И1] = /1(х, г), г е (0, Я!),
дх2 д 2и
—^22 + Ащ _ С2Вуа[и2] = /2(X,г), г е (ЯьЯ2), (1)
дх2 (1)
—2и д2
—+ Гз2из -сз2 [из] = /з(х,г), г е (R2,Яз), дх2 дг2
за початковими умовами
1 ди . —
и](X, г)|X=0 = gj(г), ~дХ~\х=0 (г), г е (Яу_1,Я^), 1 = 1,з, Я0 = 0, (2)
умовами спряження
7 , д Л ( , д , ^ 1
, = 0, к = 1,2, (з)
° 1ик _1ак2 ¿+^21ик+1
дг ) к У 12 дг та крайовими умовами
11Ш [гГЩ] = 0, («¿>2 ^ + в2з2 |из 1г = Яз = 0. (4)
г^0 У дг ) з
Тут беруть участь узагальнений диференцiальний оператор Лежандра Л(р, диференцiальний оператор Бесселя Ву а, диференцiальний оператор Фур'е другого порядку (одновимiрний диференщальний оператор Лапласа) й 2/ йг 2 .
Вважаемо, що виконаш умови на коефiцieнти: 2а +1 > 0, V > а; (р) = (р, р), р — р — 0;
0.2 — 0, Р22 — 0, «2з2 +в2з2 * 0; а^ — 0, р)т > 0, ■ = а^ _а\в, ^-^к >0;
1,т,к = 1,2 .
В [4] побудовано пряме й обернене СГ1П, породжене на множинi 12 ГДО
М(« = ^(г)^(Я1 _ г)с12Л(р) + £(г _ Я^Я _ г)с2^«+в(г _ Я2)в(Яз _ гС й2 / йг2 :
Яз
^аЫг)]= | g (г )^(г )йг-~, (5)
н;,(р)[~и ]= X (г, Рп ) - g (г) (6)
п = 1
та виведена основна тотожшсть СГ1П ГДО Мр :
(г)]] = _в?~п _]Хкг2~п + (а22)-1 ^Оз(Яз,вп)gЯ
1 =1
+ [^¿(вп)®2к _ ^¿¿(вп Ьк]. (7)
к=1
Тут в(х) - одинична функщя Геюсайда [4], {у«,вп)>ПП=1 ,вп) :|| ^^^ОРСг,вп) ||}"=1 -
ортонормована система власних функцш вщповщно! задачi Штурма-Лiувiлля [4],
,в) = -Ъ-ЖЪ - г)К%(г, в), = 0,
к=1
2 с
К^, вп ) = Ча (вп )С22Ьзп, Ча (вп ) = 21
2 а т->2 а+1
* ад2,
(Г, вп ) = [^Ц (СИЪ а;12 (^1, ¿2,/) - ^ 1 (сА«1 а .22 , )],
^3 (Г, вп ) = <.2 (вп ) С08(ЬзпГ ) - (вп ) ЯП^),
V, а ;} 2 (Ь2пЪ1, Ь2пГ) = Юа;, 2 (Ь2пЪ1 )а (Ь1пГ) - ^а ;,2 (Ъ2пК1 )Л,а (Ь1пГ)
,1
к (¿2Ъ, ¿2) = "V!«;]2 (¿2Ъ (¿2Ъ ) - "12а ;]2 (¿2Ъ >1\;к1 (¿2Ъ ), j, к = 1,2,
2(ЬзЯ2, ¿зЪз) = у;21(ЬзЪ2)у2322(ЬзЪз) - V2 ^¿зЪ^Фз Ъз), j = 1,2, а^. 1 (в) = 2(£);П(сМ1)^ а.2j(¿2Дь¿2Ъ2) -2^"(^Я^ ^j(¿2Яь¿2Ъ2),
¿V, а ;(в) = ^22 (ЬзЪ2, ¿зЪз ) V а ;;1 (Ь2, ¿2Ъ2 ) - ^12 (ЬзЪ2, ¿зЪз ) V а;2
(¿2 % ¿2 ^2);
V, (вп ) = «^2(вп )^]2/ &Л) - а^а(вп К^ (¿зЛ^" = 1,2,
^Ов) = «^ + в:2)v^k+l(r,вn) и ,т,к = 1,2,
а
к V.
От ' т 2 У У,и ; к +1 4 ^ ' П' 1 Г = ^к '
а1 = а2^^ : с11,а2 = а22а2Ъ22 а+1 : с12, bj = а- 1(в2 + к))1/2, к2 > 0 , у = 1Д
г)2а +1 1
а 1 а = с11с12 Ъ__1_
1 1 с21с22 Ъа +1 shRl
2 сц 1 2 1
а2^2 = 12 оа+1 , аз^з=1,
с22 Ъ
2 +1
та - узагальнеш приеднаш функцп Лежандра, яш утворюють фундаментальну
*
систему розв'язшв для диференщального р1вняння Лежандра, У1 = -1/2 + /¿1, а (¿2г) та а (¿2Г)-
д1йсн1 функцЦ Бесселя першого роду та другого роду вщповвдно, яш утворюють фундаментальну систему розв'язк1в для диференщального р1вняння Бесселя [4].
Знайдемо iнтегральне зображення аналiтичного розв'язку задачi (1) - (4) методом СГ1П типу Лежандра-Бесселя-Фур'е на трискладовому сегментi (0, Ъз] з двома точками спряжения, запровадженого правилами (5) - (7).
Запишемо систему (1) та початковi умови (2) у матричнiй формг
д ы
^- + у21 - а2л(М) ]ul(t, Г)
^ + Г22 - а2 Ву,а у 2 (t, Г) ?2 Л
с
д2
22 — + 7з - аз —г-& дг2
пз(1, г )
У
Г М, г
/г($, Г ) V /з(*, Г ) у
Г , Г ) ^ Г Е1(г ) > д , дt Г Щ^, Г ) ^ г^1(Г )
U2(t, Г ) = g2(г ) и2{г, Г) = (Рг(Г ) ' (8)
V uз(t, Г ) >] t = 0 V ^з(г ) ] V, Г ) >] t = 0 уРз(Г )
1нтегральний оператор Н(рО зпдно правила (5) зобразимо у виглад операторно! матрицi-рядка:
[ ] =
V,а I л
(г, вп )Нгйг {...^ (г, вп ) 2а+1йг {..д/«;з (г, вп
. (9)
0 Я1 Я2
Застосуемо операторну матрицю-рядок (9) за правилом множення матриць до задачi (8). Внаслвдок основно! тотожностi (7) отримуемо задачу Кошi:
^ й2 ^
+ вп ~п (X, в„ ) + (к2 + У?){ и1 (X, г май (г, в„ + (к 2 + у\){ и 2 (х, г ^ (г, вп )) г 2а+1йг
у Л )
+
Я1
Яз
+ (кз2 +Гз2 ){из (X, гМ«;з (г, вп ))зйг = / (X),
~п X =0 = ~п (вп ).,
йип
йх
I= 9п (вп ).
Припустимо, що шах{к2; ; ^з }= 71 . Покладемо всюди к2 = 0 , к2 =Т\ _ у2 — 0, к2 = у2 _ У;2 — 0 . Одержуемо задачу Кошi:
й + в1 + У? 1- (х) = / (х),
~п| X =0 = ~п (вп ).,
Я,
йх
и=0 = ~п (вп ).
(10)
~п - {& (г(г,вп)*гйг + {(гУра*(г,вп)г2а+1йг + {gз(г(г,вп)г.
0
Безпосередньо перевiряеться, що розв'язком задачi Кошi (10) е функщя
ИП^/ вп + У\ X - й ЯП^/ в1 + У\ X - г ^ в1 + У\ X
ип (х) = ■
9п +
йх
2 2
2 +
^п +
/п (т)йт
(11)
1нтегральний оператор На'* зпдно правила (6), як обернений до (9), зобразимо у виглвд операторно! матрицьстовпця:
Н"(Р)[ ] =
11V а -
Е[..^а-л(г, вп)
п=1
Е[..^2 (г, вп )
п=1
да
Е[...К1з (г, вп)
п=1
(12)
Застосувавши операторну матрицю-стовпець (12) за правилом множення матриць до матриць [ип(X)], де функцiя ип(X) визначена формулою (11), одержуемо единий розв'язок riперболiчно!
елемента задачi (1) - (4):
Я
Я
t Ri t R
Uj (t, r) = j Jh™ ji (t - t, r, p)[f (t, p) + p (p)ö+ {T^iShpäpäT + J Jh(5;j2 (t - T, r, p)[f2 (t, p) +
0 0 0 R1
t R3
cp2 (p)S+ (T)]a2r 2a+läpäT + J Jh (a j3 (t - T, r, p)[f3 (T, p) + P3 (p)*+ T)]^äp äT
0 R.
d Ri d +dt Jh ji(t, r, p)gi (p)GiShpäp+d- Jh (a j2(t,r, p)g2 (p)G2p2a+läp+
Ol 0 Ol R
d
+
R3
j 3(t , r , p) g3(p)äp
&3 V j - —' r- . (13)
R2
У piBHOCTHx (13) беруть участь породженi неоднорiднiстю системи функцп впливу:
н (S; ]к (t, r, p)=x j (r,ßn yv%tren), j,k=1,2,3.
j n=i Vß+Y12 j (14)
При цьому S+ (t) - дельта-функщя Ддрака, зосереджена в точцi t = 0 + .
Зауваження. При max^f; Y22; Y3 }= Y , kj =y2m - у22 > 0, j = 1,2,3, m = 2,3, й у формулi (14) вираз (вП + Y2) мiняeться на вираз (ß2n +Y).
Висновок
Побудований розв'язок (13) riперболiчноl задачi (1) - (4) мае алгорштшчний характер, що дозволяе використовувати його як в теоретичних дослiдженнях, так i в числових розрахунках.
Список використаноТ лiтератури
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю. М. Коляно. К.: Наук. думка, 1992. - 280 с.
2. Ленюк М.П. Температурш поля в плоских кусково-однорвдних ортотропних областях / М.П. Ленюк. -К.: 1н-т математики НАН Укра1ни, 1997. - 188 с.
3. Конет 1.М. Температурш поля в кусково-однорвдних цилiндричних областях / 1.М. Конет, М.П. Ленюк.
- Чертвщ: Прут, 2004. - 276 с.
4. Шктна О.М., Шинкарик М.1. Ск1нченне пбридне iнтегральне перетворення типу Лежандра-Бесселя-Фур'е на сегменп з двома точками спряження / О.М. Нiкiтiна, М.1. Шинкарик // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 3 (54). - Херсон: ХНТУ, 2015. - С. 47 - 51.
5. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972.
- 735 с.
6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.
R
