Задача Дагдейла в рамках одной модели трещины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 44-53

Механика =

УДК 539.375

Задача Дагдейла в рамках одной модели

трещины &

В. В. Глаголев, А. А. Фурсаев

Аннотация. Трещина представлена в виде физического разреза с характерной толщиной и неопределенной границей окончания. Введенный в модель линейный размер трактуется в виде предельного радиуса кривизны эллиптического отверстия. Получена оценка введенного параметра. Рассмотрена постановка задачи для центральной трещины в теле конечных размеров при симметричном растяжении. Исследовано распространение пластической области рамках идеально упругопластической модели поврежденного материала для плоского напряженного состояния.

Ключевые слова: трещина, идеальная упругопластическая модель, характерный размер, метод конечного элемента.

Введение. Постановка задач зарождения и развития трещин в рамках механики деформируемого твердого тела возможна при определении соответствующей модели трещины и критерия образования новых материальных поверхностей. Основные фундаментальные результаты в данной области относятся к моделям, для которых форма трещины задается математическим разрезом [1-5]. Следствием такого подхода являются критерии разрушения, основу которых составляет асимптотическое решение линейной теории упругости, подразумевающее бесконечное напряжение в особой точке. Распространение поверхности разрыва в виде физического разреза дает возможность рассмотреть разрушение как термомеханический процесс в рамках единых определяющих соотношений. Однако в данном случае возникает вопрос о форме свободной поверхности в концевой зоне трещины при образовании новых материальных поверхностей и границах применимости соответствующих предельных моделей.

В работах [6, 7] предложена модель трещины в виде физического разреза, форма окончания которого не определена. Основным параметром данного представления является линейный размер, определяющий толщину физического разреза. В рамках данной работы дается оценка введенного

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (№ 467) и РФФИ (№ 13-08-00134, № 13-01-97501-р_центр_а).

параметра из анализа предельного состояния пластинки с эллиптическим отверстием. На основе полученной оценки решается задача о растяжении пластинки из идеально упругопластического материала с центральной трещиной в виде физического разреза.

1. Анализ предельного состояния эллиптического отверстия. Пусть имеется тело в форме слоя с эллиптическим отверстием, ограниченное плоскостями хз ± const, симметричное относительно плоскости OX1X3 декартовой прямоугольной системы координат. Внешние нагрузки также симметричны относительно данной плоскости. Положим материал тела линейно упругим. Необходимо определить момент наступления критического состояния (образования новых поверхностей), соответствующий значению параметра нагружения. Существенное влияние на критическое значение параметра нагружения оказывают величины радиусов кривизны отверстия.

Для анализа влияния радиусов кривизны рассмотрим однородно нагруженную пластинку с эллиптическим отверстием, большой и малой полуосями а, b. Отверстие ориентировано осью а по нормали к приложенной нагрузке P. Радиус кривизны вершины эллипса обозначим через р. Согласно решению Инглиса [8], напряжение в вершине эллипса (х2 =0; xi = ±а) определяется зависимостью

Для состояния плоской деформации из (1) получим выражение для значения главной деформации в точке Х2 = 0; Х1 = а:

математический разрез, критическое напряжение растяжения Pcr стремится к нулю. Данный результат противоречит опыту: Pcr, соответствующее математическому разрезу, конечно. В этом случае для определения критического значения напряжения используется критерий Гриффитса в энергетическом или силовом вариантах, либо интегральный критерий Черепанова-Райса. В соответствии с силовым критерием разрушение тела с математическим разрезом определяется при следующем значении параметра нагружения:

(1)

где Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона.

Из (2) следует, что при р ^ 0, когда эллипс преобразуется в

где Kjc — вязкость разрушения.

Из формулы (2) следует, что критическое значение параметра нагружения в соответствии с деформационным критерием должно определяться по формуле

£сг Е

(1—V2)

-1

(4)

где есг — критическое значение деформации в точке х2 = 0; х1 = а.

В соответствии с формулой (4) Рсг убывает с уменьшением радиуса кривизны, однако предельное минимальное значение Рсг не нулевое, а определяется формулой (3). Из (3) и (4) найдем предельное значение радиуса кривизны рсг:

рсг = а

/(

г Ел/ла

1

2 (1 - V2) Кю 2

)2

(5)

Таким образом, при р = 0 критическое значение параметра нагружения определяется по формуле (3), а при р ^ рсг — по (4). Возникает вопрос, как определить критическое значение в диапазоне 0 < р < рсг? Так как Рсг|р=рсг = Рсг|р=0, то естественно принять справедливой формулу Ирвина (3) на данном отрезке. Отсюда следует, что на интервале 0 < р < рсг вязкость разрушения не должна изменяться. Данный вывод подтверждается экспериментально. В книге [8] приведена экспериментальная зависимость (рис. 1) вязкости разрушения от остроты (радиуса кривизны основания надреза) концентратора напряжений. Из полученной зависимости следует, что вязкость быстро падает с уменьшением радиуса основания надреза до достижения им некоторого предельного значения. Дальнейшее уменьшение р не влияет на характеристику Кю.

Рис. 1. Зависимость вязкости разрушения от радиуса кривизны концентратора напряжений

Найдем теперь предельное значение радиуса кривизны, основываясь на концепции слоя взаимодействия. Для этого в формулу (5) подставим значение вязкости разрушения, следующее из формул предельного значения 7-интеграла для продвижения физического разреза толщиной ¿0 в упругой среде [9]:

Jc = 27 = (1 - ^ К2с = ¿0^ = Ее1, (6)

где 7 — удельная поверхностная энергия; фсг — критическое значение удельной свободной энергии.

Из формул (5), (6) при а >> р находим, что минимальный радиус кривизны определяется выражением:

Рр = 2 ¿0- (7)

Анализ экспериментальной зависимости, представленный на рис. 1, показывает, что толщина слоя имеет порядок ¿о ~ 10-5м, это соответствует ее оценки через межатомное расстояние и модуль упругости, полученной в работе [9].

Из (7) следует, что предельный радиус кривизны, до которого можно находить критический параметр нагружения, оставаясь в рамках соотношений типа (2), имеет тот же порядок, что и ¿о.

Предельная модель, основанная на концепции слоя взаимодействия, предполагает, что при р < ¿0 радиус кривизны не определен, и трещина может быть представлена в виде физического разреза с толщиной и неопределенной геометрией границы окончания.

Моделирование трещины нормального отрыва. Рассмотрим образец с трещиной в виде физического разреза, показанный на рис. 2. На продолжении трещины выделена материальная область 3, в которой напряженное состояние определяется средними напряжениями

&21 (Х1) = -2-, °22 (XI) = -2-,

42

[ &11 (Х1 Х2) &11 (Ж1) = --¿Х2, (8)

-¿0/2

¿0

где &+1, 1, &-2 — граничные напряжения слоя 3.

Использование средних напряжений позволяет отказаться от конкретизации формы окончания физического разреза. В рассматриваемой модели форма окончания разреза не определена и на рисунке показана волнистой линией.

Рис. 2. Конфигурация образца Средние деформации и перемещения определяем в виде

£22 (XI) = ( и+(Х1) - и-(Х1) ) , -11 (XI) = 0.5 (+ ^^Хт) , (9)

ди1(ж1) и+(ж1) — и1(х1)

дХ2

¿о

1 (х1) ди2 (х1) = 0 5/ ди+ (х1) + ди2 (х1 Л (10)

' дх1 \ дх1 дх1 ) '

и1 (х1) = 0 . 5 (и+ (х1) + и- (х^) , и2 (х1) = 0 . 5 (и+ (х1) + и- (х^) , (11)

где и+, и- — векторы перемещения верхней и нижней границ области 3.

Из выражений (10) приходим к представлению средней сдвиговой деформации вдоль слоя:

/ ди2 (х1) ди1 (х1) \

£21 (х1)=0-^ ^х^ +

= 0 / и+(х1) — и- (х1) +0 / ди+ (х1) + ди- (х1ЛА

V ¿о V дх1 дх1 )) '

(12)

Рассмотрим условия равновесия слоя 3, связывающие средние и граничные напряжения:

, дст 11 - +

оо^~ = ^21 — СТ21 >

дх1

00 т^т = - а+ ■ (14)

В силу симметрии задачи для материала слоя имеют место равенства

u+ = -u-; u+ = uï; (15)

a22 = a22'; a21 = -a21 ■ (16)

Из (14) с учетом отсутствия напряжений на торце слоя и (16) имеем:

а21 = 0, а (13) и (16) дает следующую связь:

* ^ = (17)

При решении задачи достаточно рассмотреть половину тела 1 (ABCDF), для которого вариационное условие равновесия Лагранжа с учетом (8), (16), (17) и нагрузки со стороны слоя может быть записано в виде:

У а ■-Sede + J a22Su+dl + 0.5S0 J a11 dl = J P+ ■ Sudl (18)

sabcdf lcd lcd LFA

при следующих граничных условиях:

для грани AB: U1 = 0; а12 = 0 — условия симметрии;

для грани AF: а22 = P; а21 =0 — задание внешней нагрузки;

для грани BC: а22 = 0; а21 = 0 — условия свободной поверхности;

для грани FD: ац = 0; а12 = 0 — условия свободной поверхности.

Связь между напряжениями и деформациями на стадии активного деформирования представим в следующем виде [10]:

aj = 2Gcej, (19)

(а ) = Шв. (20)

Здесь Gc = T/y — секущий модуль сдвига; T = ^J ad ad

v v

интенсивность напряжений; y = efjefj — интенсивность деформаций;

{а) = (g11+q|2+°"33) — гидростатическое напряжение; в = (£11 +£|2+£зз) — относительное изменение объема; K = const — коэффициент объемного расширения. Свойства материала характеризуются универсальной зависимостью T = T (7) — «единой кривой». На стадии упругого деформирования, когда 0 ^ 7 ^ Yk, секущий модуль является постоянным модулем сдвига Gc = G = const.

Предполагаем, что на стадии пластического деформирования упрочнение отсутствует и выполняется условие Мизеса: T = Tk = const.

Для решения вариационного уравнения (18), совместно с определяющими соотношениями (19), (20) используем метод конечного элемента [11] с линейной аппроксимацией поля перемещений совместно с методом «упругих решений» [10].

При проведении расчетов положим 5о = 10-5м. Материал имеет характеристики: С = 8.6 ■ 1010Па, К = 1.2 ■ 10иПа, Тк = 6 ■ 108Па. Образец имеет следующие геометрические размеры: ЛР = 0.1м, ЛБ = 0.05м, БС = а = 0.01м.

На рис. 3 представлена зависимость сходимости упругого решения для первого элемента слоя от размера грани элемента А при растягивающей нагрузке р = 100Ра и плоском напряженном состоянии.

0-5 1 1.5 2 2.5 3 ^/д

Рис. 3. Вычислительная сходимость упругого решения

Анализ сходимости основан на характере поведения относительной интенсивности напряжения Т/Тк. Из характера сходимости следует, что для решения практических задач можно принять ¿о/А = 3. Наличие вычислительной сходимости показывает, что с уменьшением характерного размера конечного элемента значение напряжений в концевой области трещины стремится к предельным значениям, не зависящим от геометрии концевой области. Данное обстоятельство является принципиальным отличием предлагаемого подхода.

Использование модели физического разреза позволяет рассматривать как упругую, так и пластическую стадию деформирования. Рассмотрим развитие зоны пластичности при плоском напряженном состоянии. При внешней нагрузке Р/сто = 0.16, где ст0 = у/3Тк — предел упругости при одноосном растяжении, на первом элементе слоя достигается предел упругости. Дальнейшее увеличение внешней нагрузки приводит к росту пластической области вдоль слоя, что свидетельствует результатам Дагдейла [12].

Однако, при нагрузке Р/сто = 0.48, когда длина пластической зоны составляет 17$о, пластическая зона выходит за пределы слоя, и на рис. 4

показана соответствующая конфигурация. При этом отношение длины пластической зоны 1Р к размеру тела ЛР составляет 10-2.

¿,=17<5&

Рис. 4. Конфигурация пластической зоны

Для диапазона нагрузки 0.16 ^ Р/сто ^ 0.38, когда имеет место устойчивое подрастание пластической области вдоль слоя, на рис. 5 приведено сравнение полученных результатов с решением задачи Дагдейла для бесконечной пластины: ^ = вес (Пр^) — 1. Кривая 1 соответствует решению модельной задачи Дагдейла, кривая 2 — решению (18).

: 1 ; \ С 1 1 1 г 1 ш. ^ ь "У

1 1 1 1 ^ _______________________ \ 1 ¿у \ \ ! ^Ч— 1

Ш 1

0.2 0.25 в.з 0.35

Рис. 5. Сравнение решений в случае тонкой пластической зоны

На рис. 6 показано распределение напряжений в слое, соответствующее конфигурации пластической области, показанной на рис. 4.

<7 и

0 5 10 15 20

Рис. 6. Распределение напряжений в слое

Координата £\ определяет расстояние от вершины трещины. Из графиков видно, что напряжение а22 в пластической области является постоянным и на 16% превосходит предел упругости при одноосном растяжении, что обусловлено учетом напряжений ац.

Список литературы

1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

2. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974. 416 с.

3. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 408 с.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Салганик Р.Л. О кинематике распространения трещин. Общие представления. Трещины близкие к равновесным // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1966. № 5. С. 82-92.

5. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук. думка, 1991. 416 с.

6. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.

7. Glagolev V.V., Markin A.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut // World Journal of Mechanics. Vol. 3. No. 7. 2013. P. 299-306.

8. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. 256 с.

9. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модель установившегося разделения материального слоя // Известия РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 121-129.

10. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.

11. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

12. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits //J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8. № 2. P. 100-104.

Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Фурсаев Артем Александрович (artemkajs@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Dugdale task within one a fracture model

V. V. Glagolev, A. A. Fursaev

Abstract. The crack is represented as a physical cut with characteristic thick and uncertain border closure. Introduced in the model of linear dimension is treated as a limiting radius of curvature of the elliptical hole. An estimate for the parameter. We consider the formulation of the problem for the central crack in the body of finite size in the symmetric stretching. The propagation of the plastic zone under ideal elastoplastic damage model material for plane stress.

Keywords: crack, ideal elastoplastic model, characteristic size, finite element method.

Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Fursaev Artyom (artemkajs@mail.ru), post-graduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 06.11.2014