CC BY
24
УДК 539.375
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ СТРУКТУРНОГО ПАРАМЕТРА
Л.В. Глаголев
Рассматривается модель определения напряженно-деформированного состояния тел с трещиной с учетом введения характерного линейного размера. Предложена процедура нахождения линейного размера через известные механические характеристики квазихрупких материалов посредством решения упругопластической задачи разрушения тел с центральной трещиной нормальным отрывом. На основе полученных данных для алюминиевого сплава Д16(Т) решается упругопластическая задача определения критического состояния тела с центральной трещиной при несимметричном внешнем воздействии. В состоянии предразрушения найдена область упруго-пластического деформирования.
Ключевые слова: трещина, линейный размер, упругопластическое деформирование, метод конечных элементов.
Нахождение состояния предразрушения поврежденных трещиной тел связано с той или иной моделью дефекта твердого тела. В этом плане любая модель, предсказывающая внешнюю критическую нагрузку, согласующуюся с экспериментом, может быть рассмотрена в качестве основы для расчета. При этом основная проблема состоит в универсальности модели, позволяющей проводить расчеты для материалов с различными механическими свойствами и внешним воздействием. В настоящее время основной моделью трещины в твердом теле является математический разрез с сингулярным распределением поля напряжений в концевой зоне. Данная особенность сформировала такую механическую характеристику твердого тела, как вязкость разрушения. В случае хрупкого и квазихрупкого разрушений данная характеристика достаточно хорошо описывает наступление критического состояния, однако для одного и того же материала необходимо знание трех постоянных Kic , Кцс, Кцс , соответствующих значениям вязкости разрушения при нагружении трещины нормальным отрывом, поперечным и продольным сдвигом. Если прогнозирование трещино-стойкости для фиксированных нагрузок и небольших зонах пластичности в вершине трещины может быть рассмотрено на основе классической модели, то для смешанных модах нагружения и учета выраженного упруго-пластического характера деформирования необходимо построение альтернативных моделей. В данных моделях необходимо обеспечить конечность напряженного состояния для удовлетворения критерия перехода из упругого состояния в упругопластическое.
59
Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать зарождение и развитие пластической области в концевой области трещины при комбинированном нагружении тел конечных размеров, является достаточно актуальной.
Рассмотрим модель трещины в виде физического разреза с неопределенной формой окончания концевой зоны [1,2]. На рис. 1 представлено тело с соответствующим дефектом в виде центральной трещины. На предполагаемом продолжении физического разреза рассматривается материальная область 3, определяемая в качестве слоя взаимодействия.
В слое 3 средние напряжения, деформации и перемещения определяем через их граничные значения следующим образом [1,2]:
_ 1 8°/2 / _ \ °21 (х1) = ^ I ° 21 (х1, х2 №2 = °.5Р21 + ° 21 ^
° _5°/2 8°/2
_ 1 ( _ + \ °22 (х1) = I ° 22 (х1, х2 №2 = °5(а 22 + °22 )
8
° _8°/2
8 °/2
1
°п(х1 ) = — I Оц(х1, Х2 №2,
8
° _8°/2
е22 (х1) =
и+и)_ и_ (х1)
8°
еп(х1 )= °.5
Эи2 (х1) + Э«1 (х1)
Эм (х1 ) _ и2 (х) _ «1 (х1)
Эи 2 (х1) = °5 Эх1
Эх
Эх
Эм2+(х1)+ Эи2 (х1)
Эх1
Эх1
Эх2 8°
\ у
и1 (х1 ) = (х1) + «1 (х1)) «2(х1 ) = °.5(и+(х1) + М2 (х1)),
где и 2, и~- векторы перемещения верхней и нижней границ области 3.
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
х.
т т т т т т т
в
п<
т т т Т Т 1 т
©
а р
©
Рис. 1. Схема тела с центральной трещиной
В этом случае равновесие тела определяется следующими вариаци онными уравнениями [2]:
| а--5 е ds +1022 5и+ dxl +1С215и+dxl +
I I
Г _ _ , _ - , Л
+ 0.55
Э5и
+
J Оц^Т^"dx1 + i s21
Э5и
+
dx
(7)
L
p ^i p bxi
v L l
J а- -5sds - J o^Su- dxi - Jац5и-dxi +
^2 l l
/ _ _ Л
= J P -Sudl,
+ 0.55
f Э5и 1 r_ Э5и2
J^ixrx+Js2i 2
Эx1
dx
(8)
= J P -Sudl,
L2
Vl "xi l "xi
где а - тензор напряжений; e - тензор деформаций; L - граница сопряжения слоя 3 со смежными телами i и 2; u - поле перемещений; Li, L2-
граница приложения внешней нагрузки для тела i и 2, P - внешняя нагрузка на контуре L.
Уравнения (7), (8) необходимо замкнуть конкретными определяющими соотношениями, связывающими напряжения с деформациями. Поведение материала вне слоя при активном нагружении определяем следующими физическими соотношениями деформационной теории пластичности [3]:
~ = 2Gc е , (9)
p = 3K6, (i0)
где S - девиатор тензора напряжений; ~ - девиаторная составляющая тензора деформаций; p = а--Е; К - модуль объемного сжатия; 6 = s-E; E-единичный тензор.
Предполагается, что свойства материала характеризуются универсальной зависимостью T = T(g) - «единой кривой» в виде двухзвенной прямой, где g - интенсивность деформации сдвига; G - сдвиговой модуль: G=Ge при T < Tp, G=Gp при T > Tp; Tp - предел текучести; T - интенсивность касательных напряжений; Gc = T/g - секущий модуль сдвига,
T = a/(gii -s22 )2 +(s22 -s33 )2 +(s33 -sii )2 + 6(?12 +sl23 +s23 )/V6 ,
g= 2^J(eii - e22 )2 + (e22 - e33 )2 + (e33 - eii )2 + 6(e22 + e?3 + e23 )/V6 . Для материала слоя определяющие соотношения считаем справедливыми для средних по толщине слоя характеристик НДС [2]:
~ = 2Gc ~ , (ii)
p = 3K6. (i2)
Таким образом, решение системы (i) - (i2) сводится к определению поля перемещений u (xi, Х2) в областях i и 2.
6i
Для численного решения системы (1) - (12) используем метод конечных элементов (МКЭ). Построение решения формально не накладывает ограничений на размер конечного элемента, который может быть меньше параметра 5° для обеспечения численной сходимости решения [2]. Условия разрушения слоя взаимодействия формулируем для элементов слоя размером 5° х 5° с использованием процедуры осреднения характеристик НДС, полученных в результате решения системы (1) - (12). Это является следствием основного физического допущения - разрушение охватывает частицу материала с характерным размером 5°. Используем МКЭ с квадратичным распределением поля перемещений. В этом случае НДС распределено по линейному закону в пределах каждого конечного элемента. Интегрируя по площади £ конечного элемента компоненты тензора напряжений и деформаций, определяем средние по элементу значения:
ди =11 , (13)
£
1
% =11. (14)
1
Нахождение секущего модуля каждого конечного элемента будем определять исходя из средних компонент (13), (14), считая секущий модуль в пределах конечного элемента постоянным. Решение задачи (1) -(12) дает распределение поля перемещений в узловых точках тела 1, в том числе и по границе со слоем 3. После нахождения соответствующего решения возникает задача определения НДС в слое взаимодействия. Средние значения НДС на 8 -элементе слоя взаимодействия определяем на основе линейного структурного параметра следующим образом:
1 х1 +5° 1 х1 + 5° _ 1 х1 + 5° _
| aijdxl, о2 =— | а+^ь о_ =— | с_-^1. (15) 5° х1 5° х1 5° х1
При решении упругопластической задачи используем вариант метода упругих решений А. А. Ильюшина [3].
В работе [2] показана вычислительная сходимость решения для максимального главного растягивающего усредненного напряжения на первом 8 -элементе слоя взаимодействия от отношения размеров грани конечного элемента А в концевой области слоя к параметру 8°. В данной работе вычисления проводились при характерном размере конечного элемента А = 8°/4 для концевой области трещиноподобного дефекта.
Если для материала известно значение 8°, то для нахождения внешнего критического воздействия Рсг в рамках модели (1) - (12) необходимо знать характеристики материала, используемые для решения упру-гопластической задачи. Критическая внешняя нагрузка соответствует вы-
62
полнению условия разрушения торцевого S-элемента в концевой зоне трещиноподобного дефекта. В качестве критерия будем использовать критерий Кулона, согласно которому разрушение S-элемента происходит при достижении максимальным главным растягивающим напряжением критического значения: оmax = о^ .
Значение 8q априори неизвестно. Покажем возможность определение масштабного параметра, если для образца известна из эксперимента критическая внешняя нагрузка Pcr .
Процесс определения параметра 8q будет следующим. Пусть образец нагружен критической нагрузкой Pcr при линейном параметре 8q . Из
системы уравнений (1) - (12) с заданными значениями Pcr и 8q находим
распределение НДС в теле и слое и подсчитываем максимальное главное
max ~ с*
растягивающее напряжение о в торцевом элементе слоя длиной о о .
Сравниваем отах с критическим значением о^. Функция отах (50) является монотонно убывающей при неизменной внешней нагрузке. Определив два значения 501,502, таких, что отах (801 )>о^, отах(802)< о^, можно найти величину 50 методом половинного деления, для которой с заданной
степенью точности выполняется равенство отах (50 ) = о^. В работе соответствующая точность полагалась 0.1%.
Рассмотрим определение значения 50 для материала Д16(Т) при деформировании пластины с боковой и центральной трещинами при решении задачи (1) - (12) со следующими материальными характеристиками:
коэффициент Пуассона V = 0.3, модуль упругости Е = 7.8 10й Па, предел
8
текучести О02 = 3 10 Па, предел прочности по напряжениям 8
о к = 4.2 -10 Па, предел прочности по деформациям е^ = 0.12, вязкость разрушения при плоской деформации К\с = 3.5 -107Пал/м , расчетные модули: Ое = 2.8-1010 Па, Ор = 5.2-108 Па, К = 6-1010Па.
Ввиду отсутствия прямых экспериментальных данных воспользуемся косвенными результатами, позволяющими оценить критическую нагрузку через вязкость разрушения по формуле, приведенной в работе [4] для центральной трещины нормального отрыва по схеме рис. 1:
Рсг = /— К1С-, (15)
■\lpaF (а / ¡ае )
где для значения функции F (а / ¡ае ) представлены табличными данными для ряда сочетаний а / ¡ае .
Для центральной трещины в силу симметрии нагружения в слое
выполняются условия: О21 ° 0; u+ = м-; м+=-м-. Следовательно, при решении задачи достаточно рассмотреть только половину тела 1, для которой уравнение равновесия (7) преобразуется к виду:
+ Э8м+ r+ jО-Ssds + j022^2dl + 500.5j0ц-L-d/ = jP -dudl, (16)
Sabcd l l dxi L
где L - граница приложения внешней нагрузки, обеспечивающая напряженное состояние нормального отрыва.
Вариационное уравнение (16) для половины области 1 на рис. 1 решалось при следующих граничных условиях согласно конфигурации расчетной области, показанной на рис. 2:
0ц = 0; О22 = Pcr по связи (15) для грани AB; Он = 0; О22 = 0 для граней BC и DF ; М1 = 0; О12 = 0 для грани AD .
Граничное условие по грани FС естественным образом учитывается в уравнении (16) за счет взаимодействия со слоем.
©
£
Рис. 2. Конфигурация области при симметричном деформировании
В таблице приведены результаты определения с учетом образования пластических для следующих сочетаний размеров образца: схема 1: ¡Ав =0.4 м, а = 0.04 м; схема 2: ¡ав =0.2 м, а = 0.02 м; схема 3: ¡ав =0.1 м, а = 0.01 м; схема 4: ¡ав =0.05 м, а = 0.005 м. При проведении расчетов полагалось ¡ав = ¡ВС.
Из результатов таблицы видно, что разброс линейного параметра не превышает 5 %.
Рассмотрим схему 1, согласно таблице, для несимметричной внешней нагрузки, показанной на рис. 3.
Расчетные данные на первом структурном элементе слоя
Схема д{ 1 МПа д22 МПа д 33 МПа 1 -103 е22 -103 3 80 -10 м
1 140 420 186 -1.5 5.7 3.2
2 121 420 181 -1.9 5.9 3.3
3 98 420 177 -2.6 6.5 3.34
4 74 420 182 -4.6 8.3 3.2
Рис. 3. Расчетная схема при несимметричной внешней нагрузке
Внешняя распределенная нагрузка Р направлена под углом п/4 к
горизонту, а нижняя граница рассматриваемого тела жестко закреплена от перемещений. Необходимо определить критическое значение внешней нагрузки, при котором максимальной главное напряжение в теле достигнет предела прочности. Линейный параметр выбираем равным значению, полученному для соответствующей схемы в таблице. Заданная нагрузка определяет смешанную моду нагружения 1+11 в концевой зоне трещины. Решение задачи приводит к значению Р = 19-10° Па, при конфигурации зоны пластичности согласно рис. 4.
Отметим, что в случае нагружения нормальным отрывом для схемы 1, критическая нагрузка, определяемая по формуле (15), приводит к значению Р = 98.1 -106 Па. Высокое превышение нагрузки в схеме нормального отрыва над схемой смешанной моды нагружения является известным экспериментальным результатом.
Рис. 4. Конфигурация зоны пластичности при смешанной
моде нагружения
В настоящее время нет единого подхода при расчете критических состояний упругопластических тел с трещиной в случае смешанной моды нагружения. Полагая линейный параметр, полученный при анализе схем нагружения нормальным отрывом, универсальным параметром материала можно прогнозировать трещиностойкость, используя предложенную модель.
Список литературы
1. Глаголев В.В., Маркин А. А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. №5. С. 174 - 183.
2. Glagolev V.V., Glagolev L.V., Markin A.A. Stress-Strain State of Elastoplastic Bodies with Crack // Acta Mechanica Solida Sinica. 2015. V. 28(4). P. 375 - 383.
3. Ильюшин А. А. Пластичность. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ. 1948. Ч. 1. 376 с.
4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974.
640 с.
Глаголев Леонид Вадимович, асп., len4ic92@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODELING OF CRACK RESISTANCE OF ELASTOPLASTIC MA TERIALS BASED
ON THE STRUCTURAL PARAMETR
L.V. Glagolev 66
The paper is considering a model for determining the stress-strain state of bodies with crack, taking into account the introduction of characteristic linear size. We proposed a procedure for finding the linear size by solving the elastoplastic problem of bodies fracturing with central crack by normal fracture using the known mechanical characteristics of quasi-brittle materials. The elastoplastic problem of determining the critical state of body with central crack for external asymmetric force application is being solved using the data obtained for the aluminum alloy JJ]16(T). The area of elastoplastic deformation is found in the pre-destruction state.
Key words: crack, linear size, elastoplastic deformations, finite element method.
Glagolev Leonid Vadimovich, graduate student, len4ic92@,gmail. com, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.892.8-721
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРОЦЕССЫ ОКИСЛЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРНОЙ ДЕСТРУКЦИИ СИНТЕТИЧЕСКОГО МОТОРНОГО МАСЛА ALPHA'S 5W-40 SN
Е.А. Ермилов, Б.И. Ковальский, Ю.Н. Безбородов, В. А. Балясников
Представлены результаты исследования процессов окисления и температурной деструкции и их влияние на кинематическую вязкость, испаряемость и противоиз-носные свойства. Установлено, что процессы температурной деструкции увеличивают скорость изменения оптической плотности, замедляют испаряемость и снижение кинематической вязкости, но увеличивают противоизносные свойства термостатированных масел при значениях коэффициента поглощения светового потока больше 0,1.
Ключевые слова: оптическая плотность, испаряемость, коэффициент относительной вязкости, показатели термоокислительной стабильности и температурной стойкости, приращение скорости процессов окисления и температурной стойкости, показатель противоизносных свойств.
При эксплуатации двигателя внутреннего сгорания на поверхностях трения одновременно протекают процессы окисления, температурной деструкции и химические реакции металлов с их продуктами и присадками. Однако доминирующее влияние одного из процессов на физико-химические и противоизносные свойства масел изучены недостаточно. Поэтому целью настоящих исследований является установление количественных показателей преимущественного влияния одного из процессов на физико-химические и противоизносные свойства термостатированных масел при постоянной температуре испытания.
67
