CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 36-41 Механика
УДК 539.375
Термомеханика разрушения тел с трещиноподобным дефектом *
В. В. Глаголев, А. А. Маркин
Аннотация. В исходном равновесном состоянии телу приписывается отрицательная энергия сцепления, отражающая внутренние взаимодействия. Внешние воздействия сообщают телу дополнительную свободную энергию. При этом энергия сцепления может как увеличиваться, так и уменьшаться по абсолютной величине. Необходимым условием разрушения элементарного объема является достижение энергией сцепления нулевого значения. Принимается, что удельная свободная энергия сцепления уменьшается по абсолютной величине при положительном гидростатическом напряжении и увеличивается при отрицательном (всестороннее сжатие). Рассматривается подход к определению энергии сцепления и удельной поверхностной энергии из решения соответствующей задачи упругопласти-ческого деформирования.
Ключевые слова: трещина, упругопластическая модель, характерный размер, поверхностная энергия, метод конечного элемента.
Термомеханика процесса деформирования и разрушения. Основные фундаментальные результаты механики разрушения относятся к моделям, для которых форма трещины задается математическим разрезом [1-3]. Следствием такого подхода являются критерии разрушения, основу которых составляет асимптотическое решение линейной теории упругости. В этом случае такая величина, как поверхностная энергия, определяется через предельное значение коэффициента интенсивности напряжений, что подразумевает бесконечное напряжение в особой точке. Распространение поверхности разрыва в виде физического разреза дает возможность рассмотреть разрушение как термомеханический процесс. Элементарному объему АУо тела в начальном состоянии ставится в соответствии свободная энергия сцепления, которая принимается отрицательной: А^о = — |^>о| АУо, где — |^о|— энергия сцепления, отнесенная к начальному объему. В результате внешних воздействий полная свободная энергия материального объема изменяется
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 13-08-00134-а, 15-01-01875-а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
Д^ = Д^о + фДУо, где ф — положительная удельная свободная энергия. Если сплошность объема сохраняется, то после снятия внешней нагрузки энергия ф обращается в ноль, однако энергия сцепления может при этом измениться. В дальнейшем полагаем, что при сохранении сплошности значение энергии сцепления в ненапряженном состоянии остается неизменным. В то же время считаем, что в процессе нагружения энергия сцепления может как возрастать, так и уменьшаться по абсолютной величине обратимо вплоть до достижения критического состояния предразрушения. В частности, принимаем, что составляющая свободной энергии, связанная с изменением напряженного состояния, в соответствии с законом Гука в изотермическом приближении имеет вид: ф = а2/ (2К) + т2/ (4С), где С и К — модули упругости; а = (ац + а22 + азз) /3; т2 = а ■ а — свертка девиаторных составляющих тензора напряжений.
Обратимое изменение энергии сцепления принимаем в виде:
фс = - |фо| + а28ИП (а) / (2К) + т2/ (4С). (1)
Из выражения (1) следует, что всестороннее обжатие, когда а < 0, увеличивает энергию сцепления, а всестороннее растяжение а > 0 уменьшает.
Рис. 1. Тело с трещиной
Будем считать состояние элементарного объема критическим или ^-состоянием, если выполняется условие
фСк = - |фо| + а2вди (а)/ (2 К) + т2/ (4С) = 0.
(2)
Данное состояние неустойчиво, так как при сколь угодно малом догружении объем переходит в состояние разрушения (т-состояние), тогда
Фт = о. (з)
Если же из состояния к производится разгрузка, то энергия сцепления возвращается к исходному состоянию
Фс = — |Фо| . (4)
Начальная стадия процесса деформирования и разрушения тела, ослабленного физическим разрезом. На рис. 1 представлено тело с трещиной в виде физического разреза. Материальная область 3, лежащая на продолжении физического разреза определена в качестве слоя взаимодействия (СВ). В работах [4-6] была развита модель образования материальных поверхностей на концепции СВ. Предполагалось, что материал СВ образует приповерхностные слои, минуя стадию разрушения. Здесь рассматривается модифицированная модель, в соответствии с которой материал СВ с начальной толщиной §о разрушается, а примыкающие к нему участки образуют приповерхностные слои толщиной ¿о/2. Из основного термомеханического соотношения и конечности нагрузки, действующей на элемент СВ со стороны окружающего материала, используя условия (2) и (3), получим
Фт—Фк = о. (5)
Отметим, что изменение диссипации, кинетической энергии и работы внешних нагрузок являются малыми более высокого порядка относительно длины разрушающегося элемента и поэтому не входят в правую часть (5). Из выражений (2), (3) и (5) получаем определение исходной энергии связи для внешнего нагружения а > 0:
|Фо| = аЦ (2 К)+ тЦ (4С) = фк. (6)
Из (6) следует, что в данном случае энергия сцепления равна энергии, полученной за счет внешних воздействий при переходе из начального состояния в критическое.
Из термомеханического соотношения, записанного для элементов, образующих приповерхностные слои, следует, что
27о = |Фо| /¿о = Фк/¿о, (7)
где 7о — удельная поверхностная энергия, аккумулируемая в образованных приповерхностных слоях.
Определение напряженно-деформированного состояния в теле с трещиной в виде физического разреза. В соответствии с предлагаемой моделью состояние тела перед разрушением будет зависеть от распределения характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) в СВ. В
работе [7] были определены средние напряжения в СВ через граничные, связанные условиями равновесия. Использование средних характеристик НДС по толщине слоя позволяет не конкретизировать геометрию окончания физического разреза (на рис. 1 граница показано волнистой линией), а введение линейного размера 5o — исключить сингулярность в модельном представлении трещины.
В статье [8] дана вариационная постановка для тела конечных размеров с трещиной. В этом случае решение задачи о нахождении НДС в поврежденном теле сводится к совместному решению двух уравнений:
f а ■ ■ 5 е ds + f a225u+dl + f a215u+dl+
Sl - - ti h
+5o (0.5 У andl + 0.5 У a2i dl) = j P + ■ 5udl, (8)
V ti ti / Li
f a ■ ■ 5 е ds — J a225u2 dl — J a215ux dl+
S2 - - t2 t2
+5o(0.5 / aii dX-dl + 0.5 I a2idX-dl) = I ■ 5Udl,
t2 1 t2 1 L2
(9)
где (г^ — средние значения компонент тензора напряжений в СВ; и+, и — поле перемещений на верхней и нижней границах СВ; г, е — тензоры напряжений и деформаций; 1+, 13_ — вектора внешней нагрузки для тела 1 и тела 2 (см. рис. 1).
Отметим, что задача (8), (9) может быть решена в рамках любых определяющих соотношений и методов решения вариационных уравнений. Основной неизвестной предлагаемой постановки является введенный в модель линейный размер ¿о. Рассмотрим процедуру нахождения данного параметра, исходя из известных механических характеристик материала и решения соответствующей задачи (8) и (9). Известно, что основной характеристикой трещиностойкости материалов является вязкость разрушения К ¡с. Данная величина определяется для нагружения трещины нормальным отрывом в состоянии плоской деформации. Отметим, что эта характеристика рассматривается для модельного представления трещины в виде математического разреза и используется для квазихрупких материалов. По данной величине можно рассчитать критическую нагрузку, соответствующую началу образования новых материальных поверхностей, для определенной схемы нагружения. Так как модельное представление трещины не должно влиять на разрушающую нагрузку, то решение задачи при критической нагрузке приводит к зависимости НДС от линейного размера ¿о, в том числе и в зоне предразрушения. Рассматривая в качестве начала разрушения критическое значение напряжения, из полученной зависимости можно получить оценку ¿о.
В рамках деформационной теории пластичности для схемы нагружения распределенным давлением для тела с центральной трещиной была рассмотрена соответствующая методика для трех конструкционных сталей: Ст.3, 15Х2МФА, 15Х2МНФА. На рис. 2 представлены зависимости максимальных главных напряжений в конце трещины от толщины слоя при критической нагрузке, рассчитанной в рамках концепции квазихрупкого разрушения: Ст.3 — 1, 15Х2МФА — 2, 15Х2МНФА — 3.
ч. i г
_______ S4 ■ 3
т 1 1 1 1 1 <
w п i* i i *
1 1.5 3 5 6 S.5 7 ¿>(,, 10 «
Рис. 2. Определение толщины слоя взаимодействия
Сопоставление критических напряжений с расчетными значениями по графикам рис. 2 привело к следующим значениям введенного линейного параметра для рассматриваемых сталей: Ст.3 — 1.5 • 10_4м, 15Х2МФА — 6 • 10_4м, 15Х2МНФА — 6.5 • 10_4м. Зная толщину слоя в рамках уравнений (8), (9) и определяющих соотношений, можно определять НДС поврежденных тел, в том числе и при произвольном нагружении. С использованием (6) может быть вычислена энергия связи и по (7) определена удельная поверхностная энергия.
Список литературы
1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
2. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1974. 416 с.
3. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1991. 416 с.
4. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 6. С. 101-112.
5. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 148-157.
6. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 206-217.
7. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.
8. Glagolev V.V., Markin A.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut // World Journal of Mechanics. 2013. Vol. 3. No. 7. P. 299-306.
Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Thermomechanics destruction of bodies with crack-like defect
V. V. Glagolev, A. A. Markin
Abstract. In the initial equilibrium state body is attributed to the negative energy of adhesion, which reflects the internal interaction. External influences have reported additional free energy of the body. The energy of the clutch can both increase and decrease in absolute value. A necessary condition for the destruction of the elementary volume is to achieve energy coupling zero. It is assumed that the specific free energy of adhesion decreases in absolute value for a positive hydrostatic stress and increases with the negative (full compression). An approach to the determination of the adhesion energy and the specific surface energy of the solutions of the corresponding problem of elastoplastic deformation.
Keywords: crack, elatoplastic model, characteristic size, surface energy, finite element method.
Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 13.02.2015
