CC BY
77
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 136-144
Механика =
УДК 539.375
Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва в концепции слоя взаимодействия при плоском напряженном состоянии
Н. Д. Кунашов
Аннотация. Решена задача о развитии пластической области в окрестности трещины нормального отрыва при плоском напряженном состоянии. Трещина представлялась физическим разрезом. Среда на продолжении физического разреза расматривалась в рамках идеально упругопластической модели. Используются критерий Треска и условие полной пластичности. Проведено сравнение зависимости длины пластической зоны от величины внешней нагрузки для модели слоя взаимодействия и модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.
Ключевые слова: трещина, нормальный отрыв, развитие
пластических зон.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу о нагружении упруго-пластической плоскости с трещиноподобным дефектом сосредоточенными симметричными силами, согласно схеме, показанной на рис. 1. Задача рассматривается в случае плоского напряжения. Рассмотрим бесконечное материальное пространство, отнесенное к декартовой системе координат ОХ1Х2Х3. Границы начального разреза можно представить в виде Хі = ^ , —ж < х2 ^ 0. На берега разреза
вдоль границ приложены силы Р +, Р-. Точки приложения сил находятся на берегах разреза с координатой х2 = —а0 точки А.
В рамках концепции слоя взаимодействия под трещиной понимаем начальный вырез и слой материала на его продолжении, толщина слоя зависит от характеристик материала. Шириной разреза 5о будем считать минимальный размер, при котором выполняется гипотеза сплошности. Оценки, приведенные в работах [1, 2] показывают, что эта величина лежит в промежутке 10-4 — 10-6м. Среду вне слоя считаем линейно упругой, а слой рассмотрим в рамках идеальной упругопластической модели.
Рис. 1. Схема нагружения
Напряженное состояние в слое считаем однородным. Оно определяется тензором «усредненных напряжений» [2].
В работе разрушение не рассматривается — решается упругопластическая задача.
Решение поставленной задачи
Рассмотрим верхнюю полуплоскость. Введем следующие обозначения:
2
Ои(Ж2) = J Сіі(Х!,Х2)йХ1,
2
СТ22(Х2) = I °22(ХъХ2 )йХі,
(1)
¿0
2
¿0
2
^12(^2) = 1 I ^12(Ж1,Ж2)йХ1.
_ Ё0.
2
Действие слоя на материал верхней полуплоскости определяется в виде
д = па = -ё\ ■ (ацёхёх + ^12^162) = -ацеі - ау^е-2,
(2)
где
о
0
а+1 = СТ11(х1,х2)1 _ «о
х1— 2
а21 = ^21(х1,х2)1Ж1— «а
2
а- 1 = а21(х1) Х2) \ __ «а .
Х1— 2
Уравнение равновесия
^ + дХ1 = 0. (3)
дХ2 дХ1
Проинтегрируем по толщине слоя с учетом симметрии нагружения СТ+2 = = —а-2, приходим к форме:
д°С22 ' = 2а+ дХ22¿0 = —2а21-
Рассмотрим связи в виде закона Гука между напряжениями и деформациями
£11 = Аац + Ва22, £22 = Аа22 — Вац, £33 = —В(ац + а22)-
Для приведения соотношений к безразмерному виду, отнесем компоненты
2
пЕ '
с размерностями напряжений к параметру в = ~Е, а величины, имеющие
размерность длины, к толщине слоя ¿о.
Из соотношений Фламана [3] запишем перемещение границ
полуплоскости в безразмерном виде
_ I
и,(х) = — +/аш'^Хг1(4)
о
I
[/2(х) = У а+2(С)1п \|——р(5)
о
где С = иа, Р^ = , а = ва, I — расстояние от начала координат до
удаленной точки, величины х, а, £ отнесены к 5о.
При дальнейшем изложении компоненты тензора напряжений (1)
определяем через граничные напряжения следующим образом:
ас = а +1 + а 1 1 ас = а+2 + а22 ас = а 12 + а 12 (6)
а11 = 2 ’ а22 = 2 ’ а12 = 2 ’ (6)
В случае симметричного нагружения
°Л — *2 1, °22 — *22, *22 — а12'
Таким образом,
*11 — *11, *22 = *22 *12 — 0 (7)
Найдем изменение объема вдоль слоя за счет движения ограничивающего его упругого пространства
в — Єц(ж) + Є22(ж) + Єзз(ж) —
=/^+2(с)x—i^ - 2p^in j+a+2j ^i(^)^+єзз(х)- (8)
Согласно гипотезе упругого изменения объема [4], это уравнение остается в силе, как на упругом, так и на пластическом участке слоя взаимодействия.
В итоге разрешающая система уравнений для упругого деформирования слоя принимает вид
I ^+2 (t) dl + 2 J <Пi (I) in ij—p dl - 2P in j+a — (A - B) (acn + ^)
0
x -1 0 l -1 l + a
A^ - B^11 — / ^+2(l^Z----------7 d1,
1
122 - B"11 — J ^12(l) x t'
0 x 1
Oa22 +
—22 — -27+
дх2 “12’
(9)
В пластической области с учетом <733 = 0 с учетом гипотезы полной пластичности [5] получим следующие соотношения:
711 = 722 = 2Т8-
Разрешающая система для пластической зоны принимает вид
( 711 = 2т8,
{ 7^2 = 2тs, (10)
I 712 = 0.
А также для перехода из упругого состояния в пластичное имеем
і
Запишем разрешающие системы в дискретном виде и решим соответствующую СЛАУ.
Для перехода к дискретному виду разрешающих уравнений (9)—(11) разобьем участок на п элементов. Количество пластически деформированных элементов обозначим за I, таким образом, имеют место три области: 11 — пластичная зона, 11 + 1 — элемент, переходящий в пластичность, и зона упругого решения п — 11 + 1. В результате разбиения получим I элементов в пластической зоне, 1 элемент в зоне перехода и п — (I + 1) элемент в упругом участке.
Запишем разрешающие соотношения для дискретного решения.
В пластической области
Уравнения, описывающие переход от пластичности к упругости, примут вид
(12)
П ( *П (Хк) + у2>2 (Хк)) (1 — V) 2
<
а п = 2тз-
Разрешающие соотношения для упругой области
і 'п I — — ТІ _ — + а
Ео12{-к) / ——+ 2£ (Г\ 1 —) / 1п —— - 2Рі+11п ——
І= 1 £і_ 1 — Т І= 1 £і_і 1 ^
П ( о\і—) + а2>2{хи)) {1 - V)
^2 - ВРП
2
*22 - *2,
(14)
Полная система уравнений модели дискретного деформирования, состоящая из подсистем (12)—(14), содержит 3п + 1 линейное уравнение, где п — количество разбиений. Неизвестными являются 3п обобщенных напряжений и критическая сила Р[+\, обеспечивающая данное напряженное состояние. Задача решается пошагово, определяя на каждом этапе критическую силу и напряженное состояние слоя, соответствующее достижению напряжением критерия текучести в (I + 1)-м элементе.
Систему будем решать численно. Количество разбиений п будем подбирать из соображений вычислительной сходимости.
2
п Г
І2 I ;
І= &-1 ■
к- 1 22 -«Я Ь -
-і - Т
1
Анализ полученных результатов
В результате решения системы линейных алгебраических уравнений получим распределение напряжений по слою взаимодействия. Специфика уравнений не позволяет рассчитать длину пластической зоны для заданной внешней нагрузки Р, поэтому решается обратная задача.
Для проверки корректности решения разрешающей системы уравнений необходимо исследовать сходимость. Опыты показывают, что при плоском напряженном состоянии пластические деформации распространяются вдоль узкой области в границах слоя взаимодействия [5].
Для рассматриваемой системы уравнений аналитическое выражение сходимости сопряжено с большими сложностями, однако, специфика задачи позволяет использовать вычислительную сходимость. Построим график зависимости величины внешней нагрузки Р при заданной длине пластической зоны от количества разбиений N (рис. 2).
Получены графики распределения напряжений по длине слоя взаимодействия для разных значений длины пластической зоны 1Р (показана как пластическая, так и упругая зоны) (рис. 3).
Сравним полученные результаты с наиболее распространенной моделью разрушения, включающей пластичность, — моделью Леонова-Панасюка-
°'°7100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Рис. 2. Зависимость получаемой нагрузки от количества разбиений
<§, й
\ ; - 1-! \ -
'
\
Рис. 3. Напряжения в слое взаимодействия при длине пластической зоны
1р = 5
Дагдейла. Эта модель рассматривает трещину как математический разрез, считает напряженное состояние однородным по длине пластической зоны, длина которой вычисляется из условия конечности напряжений на границе упругой и пластической областей. Длина пластической зоны в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [6] вычисляется по формуле
Р = 2а0^ 1Р(1Р + а). (15)
В итоге получим следующий график соответствия нагрузок (соотнесенных к критической нагрузке, необходимой, для перехода первого элемента в состояние пластичности) и длины пластической области для модели Леонова-Панасюка—Дагдейла и модели слоя взаимодействия (рис. 4).
На графике, изображающем соответствие нагрузок, соотнесенных с нагрузкой, при которой начинается пластическое деформирование, к возможным длинам пластической области (от 1 до 5 элементов), видим почти полное совпадение выше единицы (когда нагрузка превосходит критическое значение).
Рис. 4. Зависимость длины пластической зоны от нагрузки
Для модели Леонова-Панасюка-Дагдейла график также существует для соотнесенных нагрузок меньше единицы, что подразумевает наличие ненулевой пластической зоны при любой, даже бесконечно малой нагрузке. Это объясняется тем, что в моделях, использующих для описания трещины математический разрез, в кончике трещины напряжения становятся сингулярными, что подразумевает наличие пластических деформаций при любой, даже бесконечно малой нагрузке.
Список литературы
1. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 6. С. 101-112.
2. Глаголев В.В., Маркин А.А. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 177-186.
3. Лурье. А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.
4. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.
5. Партон В.З. Механика разрушения. М.: Физматлит, 1990. 120 с.
6. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.
7. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 217 с.
Кунашов Никита Дмитриевич (nkunashov@ginf.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Consideration of elasto-plastic deformation in crack tip region of normal fracture in framework of conception of an interaction
layer
N. D. Kunashov
Abstract. Problem of propagation of plastic zone in crack tip region of normal fracture for plane stress case was solved. A crack was represented as physical cut. Solution is based on assumption about perfectly elasticoplastic behaviour of continua. Treska’s criterion and full plasticity condition were used. Comparison of dependence of length of plastic zone on value of exterior force for interaction layer model and for L-P-D model was researched.
Keywords: crack, normal fracture, propagation of plasticity zones.
Kunashov Nikita (nkunashov@ginf.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 02.07.2012
