Геометрическая форма деформированной трещины нормального отрыва при разгрузке и повторном растяжении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.74375

Геометрическая форма деформированной трещины нормального отрыва при разгрузке и повторном растяжении

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Рассматриваются задачи о растяжении, разгрузке и повторном растяжении тонкой пластины с трещиной нормального отрыва.

Для трех задач исследованы геометрические формы деформированной трещины. Первичное растяжение пластины приводит к раскрытию берегов трещины. Когда растягивающие напряжения на бесконечности достигают максимального значения, геометрическая форма трещины представляет собой эллипс. Задача о первичном растяжении решается в рамках модифицированных моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластических аналогов задач Гриффитса для трещины-разреза и эллипса. При разгрузке пластины наблюдается уменьшение радиуса кривизны реального эллипса в вершине и продавливание на концевых участках фиктивного эллипса. При повторном растяжении упругие свойства материала повышаются, что приводит к увеличению радиусов кривизны в вершине реального и фиктивного эллипсов, критических значений растягивающих внешних напряжений и длины зоны предразрушения перед вершиной реального эллипса. Заметим, что задачи о разгрузке и повторном растяжении пластины решаются исключительно в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса. В процессе решения задачи о первичном растяжении получены формулы, позволяющие при введении небольших изменений определить напряжения и перемещения в любой точке тонкой пластины с эллипсом произвольного размера при разгрузке и повторном растяжении.

Ключевые слова: первичное растяжение, разгрузка, повторное растяжение, деформированная реальная трещина, фиктивная трещина, реальный эллипс, фиктивный эллипс, зона предразрушения, зона пластичности, достаточный критерий разрушения, силовой и деформационный критерии, критические параметры разрушения

Geometry of a deformed mode I crack in unloading and repeated tension

M.E. Kozhevnikova Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In the paper we consider tasks on tension, unloading, and repeated tension of a thin plate with an opening mode crack. Geometry of the deformed crack is studied for the three cases. Primary tension of the plate results in crack opening. At achieving maximum tensile stresses at infinity, the crack is ellipse-shaped. The task on primary tension is solved using modified Leonov-Panasyuk-Dugdale models and elastoplastic analogs of the Griffith problems for slits and elliptic cracks. In the plate unloading the curvature radius of the true ellipse decreases in the vertex and edges of the false ellipse are collapsed. In repeated tension elastic properties of the material grow, which leads to an increase in curvature radii in the vertex of the true and false ellipses, critical external tensile stresses, and in the and prefracture zone length in front of the true ellipse vertex. Problems on unloading and repeated tension of the plate are solved purely on the basis of the modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model and an elastoplastic analog of the Griffith problem for ellipses. The task on primary tension suggests formulae that at small changes allow stresses and displacements to be calculated at any point of the thin plate with an arbitrary-sized ellipse in unloading and repeated tension.

Keywords: primary tension, unloading, repeated tension, deformed true crack, false crack, true ellipse, false ellipse, prefracture zone, plasticity zone, sufficient criteria of fracture, force and deformation criteria, critical fracture parameters

1. Введение перпендикулярно плоскости трещины, приводит к изме-

Растяжение тонкой пластины с трещиной однород- нению геометрической формы трещины. Трещина (ма-

ными напряжениями на бесконечности, действующими тематический разрез нулевой толщины), обычно фигу-

© Кожевникова М.Е., 2008

рирующая в теории, раскрывается затупляясь, обретая конечную кривизну и конечный уровень напряжений в вершине. При этом геометрическая форма деформированной трещины, за исключением малой окрестности вершины, представляет собой узкий эллипс [1]. Радиус кривизны в вершине узкой деформированной трещины-эллипса принимает максимальное значение, когда внешние растягивающие напряжения достигают критического значения. На примере разных материалов критические параметры разрушения для трещины-разреза и узкого эллипса определялись в [1, 2] в рамках модифицированных моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса при использовании достаточного критерия разрушения, который включал в себя силовой критерий Нейбера-Ново-жилова [1-4] и деформационный критерий [1, 2].

Статья посвящена анализу изменений, происходящих с геометрической формой деформированной трещины при разгрузке и повторном растяжении, а также поиску критических значений внешних напряжений при повторном растяжении. Исследования будем проводить в рамках модифицированных моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластических аналогов задачи Гриффитса для трещины-разреза и эллипса при использовании достаточного критерия разрушения.

Условимся, что верхний индекс параметра (г) указывает на принадлежность к первичному растяжению (;' = 1), разгрузке (i = 2), вторичному растяжению (i = 3). Параметры с верхним индексом (г)* — критические параметры разрушения, с верхними индексами (,) т, (г)*э — критические параметры разрушения для трещины и эллипса соответственно.

Поскольку в дальнейшем мы будем часто упоминать модифицированные модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла и упругопластические аналоги задачи Гриффитса для трещины-разреза, эллипса на примере задач о первичном растяжении пластины с трещиной-разрезом, эллипсом, кратко изложим их суть.

В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины-разреза (эллипса) реальная трещина длины 21 о (реальный эллипс, большая ось которого имеет длину 210) со свободными от напряжений поверхностями подменяется фиктивной трещиной длиной 21 = 2(1 о +А(1)) (фиктивным эллипсом, большая ось которого имеет длину 21). Заметим, что А(1) — заранее неизвестная длина зоны предразрушения, которая может и не совпадать с длиной зоны пластичности на продолжении реальной трещины (реального эллипса) [1, 2]. В отличие от линейной задачи концевые области фиктивной трещины (фиктивного эллипса) длины А(1) заполнены пластически деформированным материалом. Его скрепляющее действие эквивалентно заменяется постоянным напряжением, равным пределу текучести материала ст®. Для сведения упругопластической зада-

чи, определенной в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины (эллипса), к граничной задаче теории упругости используется упругопластический аналог задачи Гриффитса для трещины-разреза (эллипса).

Упругопластический аналог задачи Гриффитса для трещины-разреза (эллипса) — задача о растяжении постоянными напряжениями на бесконечности пластины с трещиной-разрезом длины 21 [1, 2, 5] (пластины с эллипсом, большая ось которого имеет длину 21 [1]). Средняя часть трещины-разреза (эллипса) свободна от

напряжений, а на ее (его) концевых участках 10 < |у| < 1

(1)

действуют стягивающие напряжения

На рис. 1, а в плоскости Ох1 у1 (х1 = х/10, у1 = = у/10, Д((1) = Д(1)/10) показана деформированная трещина-эллипс с образовавшимися пластическими зонами, на рис. 1, б — модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для эллипса, на рис. 1, в — упругопластический аналог задачи Гриффитса для эллипса.

Переход от нелинейных упругопластических задач, определенных в рамках модифицированных моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины (эллипса), к линейным граничным задачам теории упругости — упругопластическим аналогам задачи Гриффитса для трещины-разреза (эллипса) основывается на двулист-ности решения [6]. На рис. 2, а зона предразрушения при первичном растяжении представлена в виде прямоугольника со сторонами Н(1), Д(1), удлинение которого в результате деформирования материала равно раскрытию трещины (эллипса) в вершине, на рис. 2, б — в виде пучка растянутых волокон. Схема, поясняющая двулист-ность решения для трещины-разреза, приведена на рис. 2, в. Если обозначить вершины прямоугольника со сторонами Н(1), Д(1) точками

А- (- Н (1)/2,10), А- (- Н (1)/2,10 + Д(1)),

А+(Н (1)/2,10), А+ (Н (1)/2, 10 +Д(1)), условия склейки решений по нормальным напряжениям и смещениям для фиктивной трещины-разреза запишутся в виде:

стХ1)_ = ст(х!) 1 . ■ ст® 1 =ст(х!) 1

х В-В- х ІА-А- ' х В+В2+ х ІА+А+

£(1)-| = ^ "І , ?(1) + 1 =?(1) + 1 .

В1 В2 Ц А2 ІВ+В+ 1А+ А+ '

Схема, поясняющая двулистность решения для эллипса, приведена на рис. 2, г. Сопоставим точкам на плоскости Оху

А- (- Н (1)/2,10), А- (- Н (1)/2,10 + Д(1)),

А- (- Н (1)/2,10 + Д (1)/2)

и

В1 (xl, 10^ В2 (x2,10 +Д()^ В3 (^10 +Д( )/2)

комплексные числа г2, гз и и^, и соответствен-

І І I Г”1 I 1 1

11111111 I I 1 1 I I 1 I 1 1 1 I I 1 1 1

(7^) С>0) фО)

° 00 со и 00

Рис. 1. Схемы модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (а, б) и упругопластического аналога задачи Гриффитса (в) для эллипса

но. Пусть значения координат х1 = Ч1 -1 о/12 , х2 = = 0, х3 = Ь^ 1 - (10 + А(1)/2)2/ 12 ,где Ь — малая полуось фиктивного эллипса, равная величине раскрытия фиктивного эллипса в центре реального эллипса, тогда при заданном соответствии трех пар точек на плоскости вполне определяется конформное дробно-линейное преобразование

и - м?1 w2 - и3 = z - z1 z2 - z3

и - из и2 - и1 г - г3 - 2Л

В дальнейшем модель Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластический аналог задачи Гриффитса будем использовать при решении задач о разгрузке и повторном растяжении пластины с деформированной трещиной-эллипсом.

2. Постановка задачи

Пластину с трещиной растягивают на бесконечности однородными напряжениями ст£\ действующими по

3 ^2 ^1

Рис. 2. Схемы, иллюстрирующие зону предразрушения в зоне пластичности (а), зону предразрушения в виде пучка растянутых волокон (б), условия склейки решений для фиктивной трещины-разреза (в) и эллипса (г)

нормали к плоскости трещины. Трещина длины 210 располагается вдоль оси Оу, начало координатной системы Оху находится в центре трещины. Растяжение пластины приводит к тому, что трещина раскрывается, но не растет, превращаясь в узкий эллипс с радиусом кривизны р(1) в вершине [1]. Под вершинами эллипса понимаются точки пересечения большой оси эллипса с контуром эллиптического отверстия. Критические значения внешних напряжений ст®*, при которых деформированная трещина — узкий эллипс с радиусом кривизны р(1)* в вершине — находится в предельно равновесном состоянии, определяются в [1].

Введя поправочный коэффициент в формулы из [1], позволяющие определить напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с узким эллипсом, найдем напряжения и перемещения в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера. Затем, используя эти формулы, из достаточного критерия разрушения

получим критические параметры разрушения: крити-

(1)*Э

ческую растягивающую внешнюю нагрузку р ’ =

= ст®/ст® Э и критическую длину зоны предразруше-ния А(1)*Э = А(1)*Э/10. Сравним их с критическими па-

раметрами разрушения р

(1)*т

= ст?’Л

.(1)»т

ц(1)*т =

= А® т/10 пластины с трещиной-разрезом, вычисленными в [1]. Найдем критическое значение радиуса кривизны р(1)*.

Снятие растягивающих напряжений на бесконечности приводит к исчезновению упругих деформаций. Остаточные пластические деформации, а точнее избыточные пластические деформации, способствуют уменьшению радиуса кривизны в вершине реального эллипса

до величины р(2)*. Решая задачу о разгрузке, найдем

(2)*

значение радиуса кривизны р ' на конечной стадии разгрузки, когда растягивающие напряжения на беско-

нечности ст

.(2)* =

(2)* (1)*

= 0, А((2) = А-

.(3)

Повторное растяжение пластины напряжениями ст способствует повышению упругих свойств материала, что приводит к увеличению радиуса кривизны эллипса в вершине до величины р(3)*, причем р(3)* > р(2)*. Критические параметры разрушения р

(3)

А

(3)*

1

= о<3)/

(3)*

определим из достаточного критерия разрушения.

Найдем критическое значение радиуса кривизны р(3)*.

Как будет показано ниже, описанные выше метаморфозы с радиусом кривизны эллипса в вершине при разгрузке и повторном растяжении стали возможны исключительно благодаря использованию модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса.

3. Первичное растяжение

В [1] показано, что при растяжении пластины на бесконечности напряжениями ст® реальная трещина-разрез раскрывается, превращаясь в вытянутый эллипс с радиусом кривизны р(1)* в вершине. Поскольку дефор-

мированная затупленная трещина и эллипс с радиусом кривизны р(1)* в вершине суть одно и тоже, в [1] применялись два подхода к решению задачи. В первом для определения критических параметров разрушения р(1)*т А((1)*т

пластины с деформированной трещиной использовались модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластический аналог задачи Гриффитса для трещины-разреза. Во втором критические параметры разрушения р(1)*Э, А®*Э определялись в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса. Хорошее согласование величин р(1)*т, А®*т, р(1)*Э, А(1)*Э для разных материалов подтверждало равнозначность двух подходов к решению задачи [1]. Поскольку задачу о разгрузке будем также решать в рамках этих двух подходов, остановимся на их основополагающих моментах.

3.1. Первичное растяжение пластины с трещиной-разрезом

Как уже ранее отмечалось, для сведения упругопластической задачи, определенной в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины, к граничной задаче теории упругости используется упругопластический аналог задачи Гриффитса для трещины-разреза. В упругопластическом аналоге задачи Гриффитса в упругой плоскости х1Оу1 имеется фиктивная трещина-разрез длины 2(1+ А®т). На поверхности этого разреза действуют напряжения

С(0, У1) = 0, ст®т (0, у) = 0,

^ Т (°> У1) =

I0 при |л| <1

|ст® при 1 <1 у1 < 1 + А11) т,

(1)

а в бесконечно удаленных точках плоскости

ст®Т К У1) = ст®т (2)

х1

Напряженное состояние, возникающее в упругой плоскости с фиктивной трещиной-разрезом длины 2(1 + А®т), при граничных условиях (1), (2) разделяется на элементарное (однородное) напряженное состояние, возникающее в пластине без трещины-разреза:

^ хь У1) = 0 стУ) т (Xl, Л) = 0

1 (3)

ст® Т (Х1, й) = ст®т,

и вспомогательное (дополняющее) напряженное состояние. Вспомогательное напряженное состояние, исчезающее на бесконечности, получим, если из напряженного состояния в упругой плоскости при граничных условиях (1), (2) вычтем однородное напряженное состояние (3). На поверхности трещины-разреза вспомогательное напряженное состояние определяется граничными условиями

тХ1Лт (0, У1) = 0, ст(Ут (0, у) = 0,

Яп (У1) = “стХ1) Т (0, У1) =

т(1) т

при |у1 <1,

|ст®т - ст® при 1 < |у | < 1 + А(1)т,

где qn (у1) — нормальное давление на поверхностях трещины-разреза длиной 2(1 + А®т) для вспомогательной задачи.

Тогда вертикальные напряжения ст(1т (0, у1) при |у1 > 1 + А®т и смещения ^®т(0,10) берегов фиктивной трещины-разреза при |у1 < 1 + А®т определяются формулами [5]

ст"1 т (0, У1) = 1

П/ л2 - (1 + Д?1 т)2

= “Т Япйф+ДГт)2^

-(1+Д<1)т) у1

(1)

(1)

™ (0, У> = -п *

1+А(1)т

X / дп (^)Г(1 + А((1) т, у1,

-(1+А(1)т)

После проведения необходимых вычислений, получаем следующие формулы для определения напряжений и смещений на линии фиктивной трещины [1, 5]:

^ т (0 У1) =

ст® Уі

(

1

,(1) т

+ 2ст(

л/у? - (1+Д((1) т)2

Уі ^^Да) т + стТ Чу2 - (1+Д11) т )2 х

. (1+Д11) т )2 - У1

агсвіп------------------— ■

(1 + Д11) т)(У1 -1)

. (1 + Д11) т )2 + У1

- агсвт - 1

+ ст,

(1)

(1 + Д((1) т)(у1 +1)

(IУ11 > 1+д11} т),

^(1) т (0, у) =10 ^ {(У1 - 1)Г(1 + Д(1)т, У1,1)-п Е(1) 1

- (У1 + 1)Г(1 + Д((1)т, у1,-1)}+

1

(4)

(1)

1 2

—(-—----------агссов-

р(1)т п

1 + Д(

(1)т

х4 (1+ДГт )2 - у,2

IУ11 < 1+Ді(1) т),

(5)

где

_0

кге

Г(1 + А®т, У1, ^) =

= ь1 (1 + А11)т)2 - л^1 -У((1 + А11)т)2 -у2)((1 + А11)т)2 -$?) ; (1 + А®т)2 -у& + А/((1 + А(1)т)2 -у2)((1 + А(1)т)2 -£?) ’

Е(1) — модуль упругости Юнга.

Критические параметры разрушения (безразмерные

(1)*т

критическое значение внешних усилий и крити-

ческая длина зоны предразрушения А®*т) определяются в [1] из достаточного критерия разрушения, представляющего собой систему двух уравнений — силовой модифицированный критерий Нейбера-Новожилова:

п 1+А{1)т+пг./10

| ст® т (0, = ст®,

1+А(1)Х (6)

1 + А®т < у1 <1 + А((1)т + пге /10 и деформационный критерий критического раскрытия трещины:

2^(1) т (0,10) = ^1)т. (7)

В силовом критерии (6) ст(1т (0, у1) — нормальное на-

Х1

пряжение на линии продолжения фиктивной трещины, определяется формулой (4); пге — интервал осреднения для материала со структурой; ге — характерный линейный размер структуры материала; п — число связей; к > 1 — число бездефектных связей (п > к). В деформационном критерии (7) величина 2^® т (0,10) — раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины, определяется формулой (5) при у = 10; А®т = = А®т (е® - е[)1)) — критическое раскрытие в вершине реальной трещины; е01) — предельное удлинение упругого материала; е® — предельное удлинение пластического материала; А®т = 2.7110[ р(1)т ]-245 — уточненная оценка поперечного размера зоны пластичности при у = 10 [1].

Подставляя формулы (4), (5) в достаточный критерий разрушения (6), (7), при фиксированных парамет-

рах е01)

є® найдем критические параметры разруше-

ния р

(1)*т д(1)*т [1].

Предельно возможные перемещения 5(1)т (0, у)/10 берегов фиктивной трещины-разреза получим, заменив в (5) параметры р(1)т, А®т параметрами р®*т, А®*т. Тогда предельно возможное раскрытие берегов фиктивной трещины в центре реальной трещины [1] запишем

в виде: ;(1)*т

2^(1) (0,0) =■

(1 + Д®*т)

т®

(1)

(1)*т

агссов-

1+Д

(1)*т

1 (1 + Д®*т

- -^п 1

)-л/(ї

л/ (1 +Д(1) 1 )2 -1

(1+Д((1)*т)+{(

1 + Д®*т )2 -1

х

Геометрическая форма реальной деформированной трещины при | у11 < 1 и р(1) = р(1) т, А((1) = А((1) т (см. формулу (5)), за исключением малой окрестности вершины реальной трещины, совпадает с границей эллипса у12/1 + х2/(^*т(0,0)/10)2 = 1. Таким образом, при растяжении тонкой пластины трещина-разрез раскрывается, но не растет, превращаясь, в конечном счете, в эллипс с радиусом кривизны в вершине [1]:

р(1)*т _ [5(1)*т (0,0)]2

(8)

Причем р(1)*т =р(1)*т(А^, р(1)*т, е01}, е(т1}, пге110). Безразмерный радиус кривизны фиктивного эллипса у?/(1 + а(1)*т )2 + х*1 (5а)*т (0,0)/ 1 0)2 =1 определяется формулой

р(1)'тф К(1)'т(0,0)/ 10]2 1 + А111'Г '

Итак, решая задачу о растяжении пластины с трещиной в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для трещины-разреза, с помощью достаточного критерия разрушения удалось установить, что геометрическая форма деформированной трещины практически совпадает с границей эллипса.

3.2. Первичное растяжение пластины с эллипсом

3.2.1. Первичное растяжение. Напряжения и перемещения в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера

Напряженное состояние, возникающее в упругой области с фиктивным эллипсом, концевые участки которого нагружены сжимающими напряжениями, по аналогии с разделом 3.1, разделяется на элементарное и вспомогательное напряженные состояния. Согласно [1, 3] напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллипсом выражаются через первые и вторые производные функции напряжений Эри: F = F * + F **. Функция напряжений F описывает совокупность элементарного (однородного) напряженного состояния, возникающего в пластине без фиктивного эллиптического отверстия, и первой составляющей вспомогательного (дополнительного) напряженного состояния, дающего искажение напряженного состояния при наличии эллиптического отверстия. Следовательно, функция напряжений F отвечает за распределение напряжений, при котором часть контура эллипса свободна от внешних напряжений. Функция напряжений F описывает вторую составляющую вспомогательного напряженного состояния и отвечает за распределение напряжений, при котором концевые участки контура фиктивного эллипса нагружены сжимающими напряжениями -ст®. При удалении от эллиптического отверстия добавочные напряжения быстро убывают. Граничные условия для

функций напряжений F , F выводятся из условий на контуре эллипса, выраженных в напряжениях.

Заметим, что в [1] подробно описан процесс поиска напряжений и перемещений в произвольной точке пластины с узким эллипсом. Введя поправочный коэффициент во все необходимые для получения результата формулы, определим напряжения и перемещения в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера, что поможет устранить погрешность расчетов, проводимых при решении задач о первичном растяжении, разгрузке и вторичном растяжении пластины с эллипсом.

Воспользуемся эллиптическими координатами [1,

3, 7]

х = cshucosu, y = сch u sin и

или

х1 = х/l0 = с/l0 sh u cos и,

У1 = У/1 о = Сl о ch u sin и, где 2c — межфокусное расстояние эллипса: с2 =

2 2 (1)Э

= a - b , a = l о +Л и b — большая и малая полуоси

фиктивного эллипса соответственно. Для реального эллипса с радиусом кривизны р(1)Э в вершине межфокусное расстояние с2/10 = 1 -р(1)Э/10. Для фиктивного эллипса с радиусом кривизны р(1)Эф в вершине межфокусное расстояние 2

(9)

= (1+a(() э )2

•л(1)ЭФ

1 -

где

p(1) ЭФ = [^(1) Э (0,0)/1,

1 + А(1)Э

1+a(() э

Заметим, что в [1, З] c/10 = 1, что верно для очень

(1)Э

p(1) Эф и

маленьких значений радиусов кривизны р длины зоны предразрушения Д®э. Введение поправочного коэффициента с/10 Ф1 поможет определить напряжения и перемещения в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера. При этом ограничений на длину зоны предразрушения Д1(1)э нет. Учитывая (9), имеем:

( ~ ^2 ( ,, ^2

с/1 о sh и с/1 о ch u

Уі

= 1.

Следовательно, линии u = u0 являются эллипсами. Выразим shu, chu, cos u, sinu через координаты х1, y1:

sh u =-

•л/2

(Xl2 + уі2 - c 710 +

- V(Xl2 + У12 -c710)2 + 4Xl2 c710 ) 1 ,

=

ch u =* (”h2u + 1 cos U= Xl

sh u +1, cos и =-

sin и =

Уі 1 о

sh и с ' ch и с

Согласно [1] напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллипсом определяются формулами

Э (XV л) =

= B

fdB1 dF Э 2F dA dF ,

—1------------+ B —T- +—1-----+ A------

du du du du du dudu

+ A,

dB1 dF „ д 2F dA dF , д 2F

—1— + B--------+—1— + A —T-

du du dudu du du du2

аУ1 Э (X1, y1) =

(

= A

dA1 dF 32f dB dF _ B_______________________

du du du2 du du dudu

_ B

2 Z7 \

fdA1 dF t d2 F dB dF „ d2 F —1----------------------+ A-1-------B —r-

du du dudu du du du2

C( X1, *) =

= A1

fdB1 dF d 2F dA1 dF ,

1 + B—r + ^^- + 4

du du

du du du

_ B

d2 F \ dudu

2t- \

т(1) Э

dB dF „ d2F dA dF , d2F

—-------+ B-----+ —— + A —т

du du dudu du du du2

(X1, y) = ° t®3 (X1, y) = °

Т-1Э (х1, y1) = 0 (z1 = z!10);

^(1) Э (X, y) a® л

Чг1 -F>(1+v) x

AЦ-F+Л.ф |_

a™ du I 1 + V 1 1

B d I _ 2

1---1 _F +----Ф1

(1) du

1 + V

П(1)Э (X, У)

l0

B1 d

a:

(1)

= __L_(1 + V) x

I F + a(1) du 1 1 + v

ф; 1+

A1 d

a(1) du

т ч

Z(1) Э ( X, y )

F+

-Ф1

1 + V

a(1)

= -2z1 ^VX

A1 Af A _ в

a® du ^ 1 du 1 du

B Af A дФl _ B дФ,

(1) du

du

_ B

du

Здесь A1 = -1 C ch u cos u, B1 = -1 C sh u sin u,

1 h2 10 1 h2 10

(10)

(11)

dA1

du

dA1

du

cos ush u

h1 cl10 sin u ch u

1_

2ch2u

h1 c 10 dB1 _ sin u ch u

1 _

2 cos2 u

h2

du h12 c/10

dB1 _ cos u sh u

du h12 c/10

1_

1 +

2sh2u

h/

2 sin2 u

h2 = c2 /10 (sh2M + cos2 u), h12 = sh2u + cos2 u — коэффициенты искажения; V — коэффициент Пуассона.

Если функцию напряжений Эри записать в виде:

F = F * = Ф0 + X^*, по формулам (10), (11) можно вычислить напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с реальным эллипсом.

Если мы хотим найти напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом, функцию напряжений Эри следует записать в виде:

F = F * + F ** = Ф0 + X^,

где

ф0 = ф0(X1, y1), Ф1 = Ф1(X1, y1 )> ДФо = 0,

ДФ1 = 0, Ф1, F“ = ф;- + XlФ1••,

dX1

Ф; = Ф; + Ф; , Ф1 = Ф^ + XlФl .

Согласно [1], принимая во внимание поправочный коэффициент cjl 0,

01 с2

Ф0 = ——2 x

0 4 1;

x[1 + A u + (_ch(2u) + B e2u )cos(2u)] ,

Ф1 =

О? с

(hu + C e u )osu,

(12)

aT1) c2

Ф0 =--------------— T B e

4 l2

2u

Ф1 =_

a(1) c

cos 2u,

C* e~u cos u,

(13)

где А , В , С , А , В , С — некоторые константы.

* **

Тогда функции напряжений F , F примут вид:

F =-

ст~. сt

l20

1^1+ ch(2u) + 2A*u + 2C*e~u shw +

+(_ch(2u)_ 1+ 2B e_2“ + 2C e_M shu )cos F*»=_a” с Гc**e_“shu +

4 lO[

+ (B **e“2 “ + C**e~u sh u )cos(2u )J.

Запишем частные производные функции F в виде:

dF* а® с2 г • • 2

----=— ^-1 2sh(2u) + 2A + 2C e_2“ +

du 8 l20 [ ^ '

+ (_2sh (2u)_ 4B*e_2u + 2C*e~2u )cos(2u)J ,

[_ch(2u)

_ 1+

dF* = a® с2 du 4 10

+2 B *e ~lu + 2C *e~u sh u ] sin(2u),

d 2 F* = _o(P с2 x dudu 4 lO

x[_2sh(2u)_ 4B*e_2u + 2C*e_2“ ] sin(2u),

(14)

d2F* a® с2 г •

_^ [4ch(2u )_4c e

_2u

+ (_4ch(2u) + 8B* e~lu _ 4C*e_2“ )cos(2u)J,

d 2 F du2

+2B

с!

2 10

[_ch(2u)

_1 +

e 2u + 2C e u shu J cos(2u).

Граничные условия для функции F на контуре отверстия и = и0 при отсутствии внешних нагрузок [3]

=0, =0

ди Эи

приводят к системе уравнений, решением которой являются константы А * = -1- Л(2и0),

1 2и0 . 3 1 4и0

B =-e 0+- — e 0, 2 4 4

C* = 1 + e2“°.

(15)

Частные производные функции F ** имеют вид:

dF ** ст® с2 г •• -2 u

-----= —т—т\ C e 2u +

du 4 lO [

+(_2B **e -2 u + C "e “2 u )cos(2u )J,

dF ** a(1) с2 г •• _2 •• _ и

-----= ——t— [B e u + C e “shulsin(2u),

du 2 lO[ ]

d2F** aT1) с2 [ 2 B»» _2u + C« -2u J • (2u) (16)

L-2Be +Ce Г1'2*

d2 F~ =_o™ с2 x

du2 2 10

x[_C "e“2u + (2B**e~lu _ C "e“2u )cos(2u)J ,

d2 F

du

= aT1) c

2 l2 l0

[B**e 2u + C**e ush u Jcos(2u).

Граничные условия для функции F на участках контура и0 при 1 < 1у1 < 1 + А(1)Э [1, 3]

*1,2 = / dX -

Y1,2 =/dY =

dF 1

dy1

\

dF"

dX1

dF 1

dy1

\

dF"

dX1

/u=u1

(17)

= 0

/u=u1

получены из условия равновесия, устраняющего движение в направлении осей х1; у1. Здесь величины Х12, У12 — проекции сил, возбуждаемые стягивающими напряжениями на концевых участках контура фиктивного эллипса при и = и0 и и1 < и < и2:

= 1 = 1 1 с/10 Л и0 1 + А^1)Э ,

sin u =-

sin u2 =-

1+д:

(1)Э

1

= 1.

2 с/10 ch u0

Сила dX действует на грань d( l/l0) (l/l0 — безразмерная длина участка контура u0 при 1 < У < 1 + Д®Э) и определяется равенством

dX = _aT1 >d( l/l о). (18)

Сила dF = 0 (см. рис. 1). Согласно [1, 8]

d( ~Ф о) = 4 Xi(u)2 + y;(u)2du =

= c/10 Vsh2M + cos2 u du. (19)

Как показали расчеты из [1], для стали H8K18M14 (сплав на основе железа), когда c/10 = 1, при nre/10 = 0.1 значение shu = £(1)Э(0,0)/10 =0.0117, при nre/10 = = 0.25 sh u = ^®Э (0,0)/10 =0.0179. Следовательно, величиной sh2u в выражении (19) можно пренебречь, тогда

d( l/l 0) ~ c 10cos u du и равенство (18) принимает вид: dX ^-О1 c/10 (1 _sinu) =

Д11)Э

= _aT) c/1 о

(20)

^01 + Д((1)Э

Частные производные dF **/dX1, dF **/dy1 определяются формулами

dF ** = с/10

dX1

F_

dy1

h

с/l о

dF , . dF

ch u cos u---------_ sh u sin u-

sh u sin u

du

dF

• + ch u cos u

du dF "

(21)

ди Эи

Граничные условия (17) (учитываются первые два соотношения (16), формулы (20), (21)) при и = и0 приводят к системе уравнений, решением которой являются константы

A- = 0 в- = 4Лг/O0 - Co *1,7gT()

A Do ^^'o

с**=

Xi,2 в** во

(22)

а A

где

A = sh u0 sin u(cos2 u( с 10 2(sh2u01 cos2 u()

во =

= e 2uo с/10 e 2u° с/10

2shu0 2(sh2u0 t cos2 u,)

x[sh u0 sinu( cos(2u() t chu0 cosu, sin(2u1)],

Со =-

eu°cos u( с/ 10 s

2 2 ' 2(sh uo t cos и,)

x[e uochu0cos2 u( t 2sh2u0 sin2 u, J, e_2uo cos u( с/ 10

Do =

2(sh2u0 t cos2 u()

x[chu0 cos(2u() - 2sh u0 sin2 u( J.

Подставляя в соотношения (14), (16) и формулы (15), (22) определяющие константы А , В , С и А , В , С соответственно, по формулам (10) найдем напряжения в любой точке пластины с фиктивным эллипсом произвольного размера. Перемещения в любой точке пластины с фиктивным эллипсом произвольного размера получим по формулам (11), если к вышеперечисленным формулам добавим формулы (12), (13).

3.2.2. Первичное растяжение. Достаточный критерий разрушения

Критические параметры разрушения пластины с узким эллипсом определяются в [1] из достаточного критерия разрушения, состоящего из силового модифицированного критерия Нейбера-Новожилова:

1+А|1)Э+пге/<0

kre

I а® э (0, yi)dyi =а®,

(2З)

1+а(1)э

1 + Д11)э < л <1 + Д(1)э + пге/10, и деформационного критерия критического раскрытия эллипса:

2^(1)э( Х0,10) = А«э, (24)

где 2^(1)э(х0,10) — раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса;

*0 Ч«0 - V0 + Д(,1Э )-2 )((Д">Э )2 + 2Д<1>э );

А® э — критическое раскрытие реального эллипса в вершине (определяется через поперечный размер пластической зоны в вершине реального эллипса и относительное удлинение пластического материала).

В [1] на примере стали Н8К18М14 показано, что значения нормальных напряжений а®т (0, у1),

а®э (0, y1) на линиях продолжения фиктивной трещи-

X1

ны, большой оси фиктивного эллипса соответственно, за исключением малой окрестности вершин фиктивной деформированной трещины, фиктивного эллипса, практически совпадают. Кроме того, практически совпадают и границы пластических зон, образующиеся перед вершинами раскрывшейся трещины, эллипса. На основании этого в [1] напряжения а®э (0, y1) в критерии

X1

Нейбера-Новожилова заменялись напряжениями а®т (0, y1), величина h®Э в деформационном критерии — величиной h®1. При первичном растяжении для раскрывшейся трещины-эллипса такие замены мало влияют на результат, при повторном растяжении — безосновательны. Как будет показано ниже, описать геометрическую форму деформированной трещины-эллипса при разгрузке можно только при использовании модифицированной модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса. Следовательно, и повторное растяжение пластины с эллипсом будем исследовать, находясь в рамках выше перечисленных моделей. Поэтому и разгрузка, и повторное растяжение будут применяться исключительно по отношению к пластине с эллипсом. Тогда в критерии Нейбера-Новожилова для повторного растяжения без интегрирования напряжений

а*-3-13 (0, y1) нам не обойтись. Поэтому уже при первич-

X1

ном растяжении, учитывая первую формулу (10) и сопутствующие ей формулы, проведем интегрирование и найдем выражение, соответствующее критерию Ней-бера-Новожилова (23).

Определим величины h®Э и hT3p, присутствующие в деформационных критериях для первичного и повторного растяжения соответственно. Величины критического раскрытия в вершине реального эллипса h®Э, ^3)Э будут вычисляться аналогично величине критического раскрытия в вершине реальной трещины h« т из [1]. Разница состоит лишь в том, что в критерий пластичности Мизеса будут подставляться напряжения, определяемые формулами (10), а не формулы, описывающие напряженное состояние в пластине с трещиной-разрезом.

3.2.3. Первичное растяжение. Критерий Нейбера-Новожилова для фиктивного эллипса

Найдем напряжения на линии продолжения большой оси фиктивного эллипса aX13(0,У1). При X1 = 0 формулы, определяющие составляющие компоненты первого выражения (10), заметно упрощаются. Действительно, при x1 = 0

cos u = 0, sin u = 1,

shu =4(У(1 olc)2 -1, chu = У(1 о/c, sh (2u) = 2(10/c)2Уі4УІ - (cl 1 o)2,

Л(2и) = 2(10/с)2у2 -1, к2 = (10/с)^^и,

2(10/с)2у1 -1- 2у1 (с/10 )27у1 - (с/10)2 .

-2и

е =

Тогда

А = 0, дА- = 0, ди

В1 =

1

ЭВ,

Л

7у? - с V10 ’ ди у2 - с7120-

Следовательно, напряжения на линии продолжения большой оси эллипса можно записать в виде:

^ Э (0, у1) = В

ГдВ1 дF 3 2 F л

--------+ В------2

ди ди ди

= Т1 + (25)

где

Эи Эи

Э2 F Эи 2;

ЭF ЭF* ЭF** Э2 F Э2 F * Э V

■+——; —т- = —^-+

Эи ди ди ди2 ди2 ди2

с_ [^(^ ) + А* + 2В*е“2 и

ди

= пЦ)

^(2и) + А* + 2В V2 и ] = у^у! -(с/10)2 (1-В*) +

4 10

+ В*у12 + — 1 21

- В

ЭF

(1) 2 -0^ £_ в"е -2 и = 2 10

= о!1) В*

^ = о(1) "2

3 2 ~

ди

у^ у2-(с/10 )2 -у2 +_'_ с2 [сЬ(2и)-В*е~2и ]

1

)-В 'е~2и ] = о<1) х

2 В

"у^у2 - (с/10)2 + 2у2 (1- В*) + ^ (В* - 1)

д F . = ст(1) £- В**е -2и =

ди 2

= -аТЧ В

т 12' 10

2Л>/у2 - (с/1 о)2 - 2у12 + ^

10

Тогда критерий Нейбера-Новожилова (23) принимает вид:

1+а(1)э +пГе/10 1+А(1)Э+пГе/10 I.

I Т1#1 + | Т2^)1 = о®4, (26)

1+А(1)Э 1+А(1)э 10

1 + А®э < у1 <1 + А(1)Э + пге/10,

где

1+А11)Э +пТе/10 Гг

I Т^ =-{[ Во® - В

1+а(1>э ш

О® ]

/1 +

212

ст0) + в** о®

12 +

+ [(1 - В*)о® + В** о® ] 14};

1+А11)Э +пт^Ц 0

I Т2dJ^l = 2 |Во® - В

1+А(1)Э

+ 2[(1 -В*)о® + В**о® ] 14 +

+ ^2 [В -1)°® - в**о(т1) ] 15;

у\&у1 _

0(Т) ]

/3 +

11 =

1+А(1)Э +пте/1,

I

1+А(1)Э

,/(у? - с7Ф3

= (1 + А®Э + пге/10)2 -2 с2/10 л/(1 +А^1}Э + пГе/10)2 -с2/12 - (1 + А11)э)2 -2 с2/120 .

~4{1 + А®Э)2 -с2/12 ’

314,1 =

I

1+А«Э

^0 + А11)Э I ше/10>2 -с2/12 1

7(1+А111 Э)2-с2/10'

|+А("Э+п'/' 0 лал

I

1+А«Э

^/У^-Cv'I' 1/(1 + А11) Э + п <е/10)2 - с2/10 ->+ А»>Э)2 - с2/120;

1+А(1)Э +пге/1

1 2

1+а«э у1

у14у1 2 = пт./10 +-^

- с 71

0

21

0

х 1п

/5 =

(1 + А®Э + пГе/10 -с 10)(1 +А(1)Э + с/ 10) _(1 + А® Э + пге/10 +с/10)(1 +А11)Э-с/ 10)

1+А(1)Э+пге/10

I

4Л

1+аР у2 - с712 2с

х 1п(1 + А^1)Э + п.е/10 -с10)(1 +А11)Э +с 10)

(1 + А® Э + пТе/10 + с10)(1 + А(1)Э - с 10)

Преобразовав равенство (26), запишем критерий Нейбера-Новожилова в виде:

+

+

р(1) =-

В* ^ +(1 -В*) / 4 +

А - 2В с2

12 +

+ 2В 13 + (1 - В ) кге

214 -7215

V

- + В

2 2

- /1 + 12 + 213 -14 + С215

1 212 2 3 4 125

ч 210 10 у_

-1

(27)

Таким образом, критерий Нейбера-Новожилова (23) выполняется, если для определенного набора параметров р(1)*э, А((1)*э, яге/10, р(1)*э/10 имеет место равенство (27).

3.2.4. Первичное растяжение. Деформационный критерий. Оценка границы пластической зоны перед вершиной эллипса произвольного размера

Для реализации деформационного критерия (24) необходимо знать две величины: раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса 2 £(1) э (х0,10)/10 и критическое раскрытие в вершине реального эллипса э. Первая величина 2£(1)э (х0,10)/10 определяется в разделе 3.2.1 посредством формул (11)-(16), (22) и сопутствующими им формулами при х1 = х0 /10, у1 = 1. Вторая величина — критическое раскрытие в вершине реального эллипса А™ э определяется через поперечный размер пластической зоны при у1 = 1 и относительное удлинение пластического материала.

Используя формулы (10), построим границы пластических зон для эллипсов с разными радиусами кривизны в вершине и при р(1) э/10 = 0 сравним с границами пластических зон для деформированной трещины из [1]. Если величины Н«э, т будут близки, а соглас-

но [1] это должно быть именно так, замена в деформа-

ционном критерии (24) величины Н!рэ величиной н<]) т по-прежнему будет правомерна.

Чтобы оценить границу зоны пластичности, воспользуемся критерием пластичности Мизеса в главных осях [5]

о(1) -о(1)

2

+ 30 +

х1у1

0(1) +0®

2

= (о(. (28)

Подставим в критерий (28) формулы (10), определяющие поле напряжений в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера.

На рис. 3, а, б отображены границы пластических зон, образующихся в окрестности вершин эллипсов с разными значениями безразмерного радиуса кривизны Р(1)э /10 в вершине, когда растягивающие нагрузки на бесконечности р(1) э = 3 (рис. 3, а) и 4 (рис. 3, б). Точки О1 -О 4 на рис. 3, а, б—точки присоединения контуров, разделяющих упругую и пластическую области, к контурам эллиптических отверстий. Согласно рис. 3, а, б границы пластических зон напоминают либо эллипс, угол наклона большой оси которого к оси 0у1 растет с ростом значения р(1)э/10, либо параболу, ось которой совпадает с осью 0у1. На рис. 3, в показаны границы пластических зон, образующихся в окрестности вершины трещины при р(1)т = 3 (5) и 4 (б). Заметим, что при одинаковых растягивающих нагрузках на бесконечности наблюдается значительное сходство границ пластических зон, вычисленных при использовании упругопластических аналогов задачи Гриффитса для эллипса при р(1)э/10 = 0 (рис. 3, а, б) и трещины (рис. 3, в). Значения поперечных размеров пластических зон, определяемых при у1 = 1, для деформированной трещины и эллипса также будут близки. Следовательно, при первичном растяжении замена величины Н^э в дефор-

оГ\

Х-0.06 -

С*.. б

0 -0.05 3 ,

\ \ *4 \ 1

/-0.04 " \ \ **♦ 2 \

/ ** \ \3\ \

/ / —0.03 \4 \ \ \

1 1 -0.02 \ \\ I

О2 • : \ \| /

о о О - \ =/

, , 0.00 Г

0.98 0.99 1.01 1.02 1.03 у1

XV

5

-0*08 ' \ 0

/ -0.06 |

I -0.04 - \ !

\-0.02 - \ /

, 0**00

о со 00 X 1.02 1.04 у1

о4

*■** 0

/ -0**08 ■ з \ \

°з/ /У \4 \ \ \

•* / / \ \ \ \

/ / -0.06 \ ** \ :

| I -0.04 - ** • ■ *

о2 • \ \ и/

\-0.02 - :

01*% ч

0.00 1 1

0.96 0.98 1.02 1.04 у1

Рис. 3. Границы пластических зон, образующихся в окрестности вершин эллипсов с разными радиусами кривизны р(1)э/10 = 0 (1), 0.01 (2),

0.05 (3), 0.1 (4) в вершине при р(1) э = 3 (а), 4 (б) и трещины (в) при р(1)т = 3 (5), 4 (б)

Таблица 1

Материал е<1) е(1) е0 nr, 10 р(1)*э Aj1^ 1 э 0) p(1)*3® lo p(1)*T A((1)*T ^(1)*T(0,0) 10 p(1)*™ 10

Сталь Н8К18М14 2.65-02 1.65-02 0.10 4.57 4.0-04 1.16-02 1.34-04 4.56 5.0-04 1.16-02 1.34-04

0.25 3.00 1.4-03 1.76-02 3.09-04 3.00 1.6-03 1.76-02 3.09-04

Нитевидные кристаллы 5.7-02 4.00-02 0.10 4.58 3.0-04 2.48-02 6.15-04 4.57 3.0-04 2.49-02 6.20-04

нитрида алюминия 0.25 3.00 9.0-04 3.80-02 1.44-03 3.00 1.0-03 3.80-02 1.44-03

Углеродистая сталь 2.4176-01 1.76-03 0.10 4.51 3.0-03 1.08-01 1.16-02 4.43 4. о 1.09-01 1.19-02

0.3 % С 0.25 3.01 9. 2 1.62-01 2.60-02 2.86 1.5-02 1.71-01 2.88-02

Углеродистая сталь 3.3124-01 1.24-03 0.10 4.51 2.9-03 1.47-01 2.15 -02 4.43 4.0-03 1.50-01 2.24-02

0.1 % С 0.25 3.01 9.3-03 2.22-01 4.88-02 2.86 1.5-02 2.34-01 5.39-02

Алюминиевый 1.84-01 4.00-03 0.10 4.52 ОО 2. 8.16-02 6.64-03 4.43 3.8-03 8.34-02 6.92-03

сплав Д16 0.25 3.01 9. О 1.23-01 1.50-02 2.86 1.4-02 1.30-01 1.67-02

мационном критерии (24) величиной h®т по-прежнему правомерна.

3.2.5. Первичное растяжение. Критические параметры разрушения пластины с эллипсом

Критические параметры разрушения р(1)*э, А® э найдем из достаточного критерия разрушения (23), (24) методом итераций. Положим начальное значение АцоЭ = 0.0000001. Подставляя в силовой критерий (23) определенные значения А^^э, i = 0, ..., m, при фиксированных параметрах nre/l 0, е®, ej)1), р(1)э/10 = 1.0-10 (значение радиуса кривизны выбирается малым, поскольку речь идет о раскрывающейся трещине), находим значение рЦэ. Затем для согласованного набора параметров nre/10, е®, е01), А11 ^, р()^ вычисляем значение функции

f (рЩЭ, А11)Э, е,0), е(01}, nrj 10) =

= 2£(Х0,10)/10 -2.71(p(1)э)-2'45(е® -е01)).

Если f (p®э, А^))5, е^1), е01}, nre/1о) = 0, деформационный критерий (24) выполнен и критические параметры р$э = р (1)*э, А{1))э = А|1)*э найдены.

Если f (р((1))э, А1()э, е!г1), е01}, nre/1о) Ф 0, присваиваем АЦ)э1) =А((1£ + h0 h = 0.0001 — шаг, с которым меняется А{1))э) и повторим процедуру нахождения критических параметров разрушения сначала.

Таблица 1 позволяет сравнить значения критических параметров разрушения р(1) э, А((1)*э, p(1)*T, А((1)*т, а также величин ^(1)*э (0,0)jl 0 и ^(1)*т (0,0)/l 0, р(1)»эфД 0 и р(1)*тфД 0. Наблюдается хорошее согласование сравниваемых величин.

Таким образом, задачу о первичном растяжении пластины с трещиной можно решать в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для трещины-разреза, а можно решать в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса. На конечный результат это влияет мало.

Заметим, что формулы из раздела 3 при введении некоторых поправок будут использоваться ниже при решении задач о разгрузке и повторном растяжении пластины с эллипсом.

4. Разгрузка и повторное растяжение пластины с эллипсом-деформированной трещиной

При растяжении пластины на бесконечности напряжениями ст®* трещина-разрез раскрывается затупляясь и превращается в вытянутый эллипс с радиусом кривизны р(1)* в вершине, но не растет. Снятие растягивающих напряжений на бесконечности приводит к тому, что упругие деформации полностью исчезают, остаточные пластические деформации, а точнее избыточные пластические деформации, способствуют уменьшению радиуса кривизны в вершине реального эллипса до величины р(2)*. Примем во внимание, что критическая длина зоны предразрушения при разгрузке А(2)* совпадает с критической длиной зоны предразрушения, полученной при первичном растяжении А®*. Предполагается, что равномерное сплющивание реального и фиктивного эллипсов происходит с сохранением длин их больших осей. Таким образом, критические параметры разрушения при разгрузке пластины с деформированной трещиной-эллипсом р(2)* = ст®*/ст® = 0, А(2)* = А(1)*. Повторное растяжение пластины на бесконечности на-

(3)

пряжениями ст^ приводит к увеличению значения ра-

(3)*

диуса кривизны эллипса в вершине до величины р . Критические параметры разрушения (критическую растягивающую нагрузку на бесконечности р(3)* и критическую длину зоны предразрушения А(3) ) найдем из достаточного критерия разрушения (23), (24).

Теперь рассмотрим подробнее поведение материала при разгрузке и повторном растяжении.

Если образец растянуть до напряжений, лишь слегка выходящих за предел упругости, то линия разгрузки будет прямой, почти параллельной линии первоначаль-

ного растяжения. При этом значение модуля Юнга почти не изменится и Е(1) ~ Е(2). Если, однако, материал деформирован далеко за предел упругости, кривая разгрузки будет слегка искривленной и ее средний наклон будет значительно меньше, чем начальный наклон. Если такой сильнодеформированный материал повторно нагрузить до напряжения, меньшего максимально достигавшегося ранее, то его можно разгрузить без появления остаточных деформаций, но при этом может образоваться петля гистерезиса [9]. В дальнейшем остановимся на рассмотрении материалов, лишь слегка деформированных за предел упругости. В [9] отмечается, что при повторном растяжении образцов, изготовленных из таких материалов, предел пропорциональности несколько ниже достигавшегося ранее критического напряжения. Однако при напряжениях, немного превосходящих максимальные напряжения, достигавшиеся в фазе предварительного растяжения, кривая деформирования повторного растяжения оказывается практически гладким продолжением кривой начального растяжения, как если бы материал продолжал растягиваться без промежуточной разгрузки (рис. 4).

На рис. 4 приведены исходная а-8-диаграмма материала (кривая 1) и ее аппроксимация двумя прямыми пунктирными линиями (линии 2), причем а т — условный предел текучести; 8 0 = 0.2 % — условное относительное удлинение рассматриваемого материала. На рисунке показан метод экстраполяции Лоде, в котором кривая повторного растяжения экстраполируется назад до пересечения с линией предварительной «упругой» разгрузки [9]. Точки А1, А2, А3 — точки отклонения от линейной упругости, В1, В2 — точки, соответствующие критическим растягивающим напряжениям при первичном и повторном растяжениях, С1, С2 — точки, в которых кривая повторного растяжения переходит в нормальную кривую деформирования, получающуюся, если не допускать разгрузки.

а

0 80 8Т 8

Рис. 4. Диаграмма деформирования при растяжении, разгрузке и повторном растяжении

2

■/ В-| с1 в2 с2_

' 1

1/ [ /

У / / 3

Т А1

Таким образом, после разгрузки появляется как бы новый материал с более высоким пределом пропорциональности, но меньшей пластичностью. Часто повышение упругих свойств материала (наклеп) играет положительную роль и применяется для упрочнения поверхностного слоя деталей, повышения упругости проволоки, канатов и т.п. В тех случаях, когда наклеп вреден, его устраняют отжигом. Кроме того, заметим, что, поскольку мы рассматриваем только материалы, для которых Е(1) ^ Е(2), под остаточной деформацией будем понимать избыточную деформацию, определяемую как разность полной и упругой деформаций. Однако различие между остаточной и избыточной пластической деформацией может оказаться существенным, когда избыточные деформации малы [9].

При решении задачи о разгрузке (также как и при решении задачи о первичном растяжении) пластины с деформированной трещиной-эллипсом будем использовать два подхода к решению задачи. В первом подходе задачу о разгрузке будем решать в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для трещины, принимая во внимание формулы из раздела 3.1, во втором — в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса, используя формулы из раздела 3.2. Находясь в рамках этих двух подходов, при а^ = 0 определим перемещения берегов фиктивной деформированной трещины 4ОТ (0, у)/1 о и фиктивного эллипса ^(2)*э (0, у )/10 . По формуле (8) найдем критическое значение безразмерного радиуса кривизны р(2)*/10.

4.1. Разгрузка. Упругопластический аналог задачи Гриффитса для трещины

Поскольку при разгрузке пластины растягивающие напряжения на бесконечности а^) = 0, находясь в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для трещины, исключим из рассмотрения элементарное (однородное) напряженное состояние, возникающее в пластине без трещины-разреза, определяемое формулами (3). Вспомогательное напряженное состояние на конечной стадии разгрузки на поверхности трещины-разреза определяется граничными условиями:

С (0 у.) = 0 ау;)т (0,У1) = 0

qn(У1) = -а?)т (0, У1) =

_|° при |у1 <1

|аТ2) при 1 < |у1 < 1+Д(2)т.

Заметим, что величина аТ2) _ -аТ1). Объясняется это тем, что при разгрузке материал, находящийся в упругом состоянии, стремясь восстановить свою первоначальную форму, давит на пластически деформированный материал, что вынуждает пластический материал сопротивляться. Поэтому концевые участки фиктивной

^(2)*Т(о, у)1£0 0.00008

0.00006 -\

0.00004

0.00002

0.00000 ■ 1.0000

1.0004

1.0008

У1

Рис. 5. Безразмерные перемещения ^<() т (0,у)/10 точек верхнего берега фиктивной деформированной трещины при разгрузке для нитевидных кристаллов нитрида алюминия (1) и стали Н8К18М14 (2)

трещины при х1 = 0, 1 < |у^ < 1 + А^э нагружаем не сжимающими, а растягивающими напряжениями аТ() =-а(т1).

Исследуем геометрическую форму разгрузившейся деформированной трещины. Для этого заменим в формуле (5) параметры р(1)т, А^т, а^, еТ1), £01) на р(()*т, А(2)*т (А(() =А(1)*Т), аТ2) (аТ2) =аТ1)), еТ2) (еТ2) =еТ1)),

е02) (е0() =е01)). Тогда в видоизмененной формуле исчезнут слагаемые, содержащие

(2)*Т = ^(2)*Т ^(2)

- 0.

На рис. 5 построены безразмерные перемещения точек верхнего берега фиктивной трещины ^(()*т (0, у)/10 при разгрузке для двух материалов: нитевидных кристаллов нитрида алюминия (1) и стали Н8К18М14 (2). Кривые 1 и 2 построены при пге/10 = 0.25, 0.1 соответственно. Значения параметров еТ(), е0() для указанных материалов приведены в табл. 1. На рис. 5, а отображен интервал 0 < |у1 < 1, на рис. 5, б — интервал 1 <

< |у1 < 1 + А(()*т. Заметим, что геометрическая форма прогнувшейся реальной трещины при разгрузке не соответствует реальности. Следовательно, описать смещения берегов фиктивной деформированной трещины при разгрузке видоизмененной формулой (5) невозможно. Для получения удовлетворяющего нас результата обратимся к упругопластическому аналогу задачи Гриффитса для эллипса и формулам из раздела 3.2.

4.2. Разгрузка. Упругопластический аналог задачи Гриффитса для эллипса

Находясь в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса, исключим из рассмотрения элементарное напряженное состояние, возникающее в пластине без эллиптического отверстия, и первую составляющую вспомогательного напряженного состояния, дающего искажение напряженного состояния при наличии эллиптического отверстия. Тем самым мы исключаем из рассмотрения функцию напряжений F из раздела 3.2. Что касается функции напряжений F из того же раздела, то она изменит знак, поскольку входящие в нее сжимающие напряжения -а^ по причине, описанной выше, заменятся растягивающими напряжениями аТ() = -аТ1). Тогда функция напряжений Эри принимает вид: F * = F **.

Для того чтобы исследовать изменения, происходящие с радиусом кривизны в вершине реального эллипса при разгрузке, заменим параметры из раздела 3.2: р(1) э , А||)Э, аТ|), еТ|), е0|) параметрамир1(()‘э, А(()*э <А(()ч =

= А<1)>Э), аТ() (аТ2) =-аТ1)), еТ() (еТ2) =4"), е0() (е<,2) =

= е^1)) соответственно. Параметр р(()ЭФ/10 полагаем равным р(1)*ЭФ/10.

Таблица 2 позволяет проследить изменения, происходящие с величиной раскрытия фиктивного эллипса в

Таблица 2

Материал £(2) ст р(2) Ь0 а е о д(()*э ?(1)*э (0,0)11 о Р(1)*ЭФА0 5(2)*э (0,0)/10 р(2),э710

Сталь Н8К18М14 2.65-02 1.65 02 0.10 4.004 1.16-02 1.34-04 1.1104 1.23-08

0.25 1.403 1.76-02 3.09 04 1.69 04 2.85-08

Нитевидные кристаллы 5. 7 02 4.00 02 0.10 3.0-04 2.84-02 6.15 04 5.28-04 2.79-07

нитрида алюминия 0.25 9.004 3.80-02 1.44 03 8.29-04 6.86-07

Углеродистая сталь 0.3 % С 2.4176-01 1.76 03 0.10 3.0-03 1.08-01 1.1602 1.13-02 1.22-04

0.25 04 9. 1.62-01 2.60 02 1.77-02 3.05-04

Углеродистая сталь 0.1 % С 3.3124 01 1.24 03 0.10 2.9-03 1.47-01 2.15-02 2.23-02 4.94-04

0.25 9.3-03 2.22-01 4.88 02 3.52-02 1.24-03

^2)*э(0, у)/4 ■ ' 0

0.00008 ■

0.00006 ■

0.00004 ■ \

0.00002 ■ 2 \

п ппппп -

Рис. 6. Безразмерные перемещения точек фиктивного эллипса для нитевидных кристаллов нитрида алюминия (1) и стали Н8К18М14 (2) при первичном растяжении (а, б) и разгрузке (в, г)

центре реального эллипса и радиусом кривизны в вершине фиктивного эллипса при разгрузке.

На рис. 6 построены безразмерные перемещения точек фиктивного эллипса при фиксированных параметрах е0(), еТ(), пге/10 при первичном растяжении и последующей разгрузке для нитевидных кристаллов нитрида алюминия при яге/10 = 0.1 (кривая 1) и стали Н8К18М14 при пге/10 = 0.(5 (кривая 2). На рис. 6, а, в отображен интервал 0 < |у^ < 1, на рис. 6, б, г — интервал 1 < |у! < 1 + А(()*Э.

Согласно рис. 6 при разгрузке происходит уменьшение радиуса кривизны реального эллипса и продавли-вание фиктивного эллипса на участке 1 < |у^ < 1 + А(()*Э.

5. Вторичное растяжение пластины с эллипсом

Ранее было замечено, что мы рассматриваем материалы, для которых разгрузка и повторное растяжение происходят почти упруго. Поэтому Е(3) ^ ^ Е(1). Кроме того, поскольку значение критического растягивающего напряжения на бесконечности в три-четыре раза меньше предела текучести материала (см. табл. 1), то

аТ3) = оТ2) = а!т1) = ат

Р(3) = с(2) = с(() - С ь0 _ ь0 _ ь0 _ ь0-

с(3) = с(2) = с(1) = с

О г-р О г-р О г-р О г-р

Воспользуемся формулами, приведенными в разделе 3.2, заменив у всех параметров, за исключением пара-

метра р

(1) ЭФ

/10,

верхний индекс (1) на индекс

(3). Па-

раметр р(1)ЭФ/10 заменим параметром р(2)*ЭФ/1

0.

Рис. 7. Безразмерные перемещения ^<3)*т (0, у)/10 точек фиктивного эллипса для углеродистых сталей 0.1 % С (1) и 0.3 % С (2) при повторном растяжении

Таблица 3

Материал пге/10 р(1)*э д(1)*Э іП( 3 ) Р(1)*ЭФ/1о р(3)*Э д(3)*Э ( 3 ) р(3)*эф/1 о

Углеродистая сталь 0.3 % С 0.10 4.51 3.0-03 1.08-01 1.1602 4.47 3.6-03 1.12-01 1.24-02

0.25 3.01 9.3-03 1.62-01 2.60-02 2.98 1.0-02 1.74-01 2.99-02

Углеродистая сталь 0.1 % С 0.10 4.51 2. 9 1.47-01 2.15 -02 4.48 4.0-03 1.53-01 2.33-02

0.25 3.01 9. 3 2.22-01 4.88-02 2.99 1.1-02 2.35-01 5.46-02

Сталь Н8К18М14 0.10 4.57 4.3-04 1.1602 1.34-04 4.55 4.8-04 1.2102 1.44-04

0.25 3.00 1.4-03 1.76-02 3.09-04 2.98 2.1-03 1.85-02 3.60-04

Критические параметры разрушения р(3)*э, Д(3) э найдем из достаточного критерия разрушения (27), (24) при фиксированных параметрах е03), ет, пге/10, р(2)*эФ^/1 о.р деформационном критерии (24) величина раскрытия фиктивного эллипса в вершине реального эллипса 2^(3)э (х0,10) определяется первой формулой

(11) и формулами (12)—(16), (22) при х1 = х0/10 , у1 = 1; величина критического раскрытия в вершине реального эллипса йТ3)э определяется через поперечный размер пластической зоны в вершине реального эллипса и предельное удлинение пластического материала. Поперечный размер пластической зоны й(3)э при у1 = 1 вычисляется при подстановке в критерий пластичности Мизеса (28) формул (10), определяющих напряженное состояние в любой точке пластины с эллипсом произвольного размера. Учитывая всю сложность формул (10), значение параметра А(3)э находим с заданной погрешностью. Заметим, что также мы поступали и в [1 ] при определении поперечного размера пластической зоны, образовавшейся перед вершиной трещины-разреза.

На рис. 7 построены безразмерные перемещения ^(3)*э (0, у)/10 точек фиктивного эллипса при повторном растяжении углеродистых сталей 0.3 % С (кривая 1) и 0.1 % С (кривая 2). Кривые 1 и 2 построены при иге/10 = 0.25 и 0.1 соответственно. На рис. 7, а отображен интервал 0 < у1 < 1, на рис. 7, б — интервал 1 <| у1 < 1 + Д(3)*.

Таблица 3 позволяет сравнить значения критических растягивающих внешних нагрузок, длин зон предраз-рушения, величин раскрытия фиктивного эллипса в центре реального эллипса, радиусов кривизны в вершине фиктивного эллипса, вычисленные для разных материалов при первичном и повторном растяжениях. Согласно табл. 1 для рассматриваемых материалов имеют

(1)* (3)* * (1)*э

место следующие неравенства: , ДУ <

<Д»>-э, 5">-э(0,0)/<0 <5'3>-э(0,0)/10, р®*»/!'0 <

<Рга"эФ/10-

Таким образом, повышение упругих свойств материала при повторном растяжении пластины с эллипсом приводит к увеличению критического значения растягивающего внешнего напряжения, длины зоны предраз-

рушения перед вершиной реального эллипса и радиуса кривизны в вершине реального эллипса.

6. Обсуждение

При первичном растяжении пластины реальная трещина-разрез раскрывается затупляясь и превращается в вытянутый эллипс, но не растет; фиктивная трещина имеет закругленную по параболе вершину. Заметим, что при первичном растяжении практически не имеет значения, пользуемся мы упругопластическим аналогом задачи Гриффитса для трещины или для эллипса.

При разгрузке наблюдается уменьшение радиуса кривизны реального эллипса и продавливание фиктивного эллипса на концевых участках границы. При повторном растяжении пластины повышение упругих свойств материала приводит к увеличению критического значения растягивающих внешних напряжений, длины зоны предразрушения перед вершиной реального эллипса и радиусов кривизны в вершине реального и фиктивного эллипсов.

Заметим, что описать реально процесс разгрузки и решить задачу о повторном растяжении пластины удалось только благодаря использованию модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для эллипса.

Кроме того, в процессе решения задачи о первичном растяжении получены универсальные формулы, позволяющие при небольших изменениях определить напряжения и перемещения в любой точке тонкой пластины с эллипсом произвольного размера при первичном растяжении, разгрузке и повторном растяжении. Такие формулы могут оказаться особенно полезными при определении напряженного состояния пластины с эллипсом произвольного размера с немалым радиусом кривизны в вершине при растяжении, разгрузке и повторном растяжении. Однако использование входящего в достаточный критерий силового критерия Нейбера-Новожилова в этом случае будет вызывать сомнение, поскольку применение этого критерия оправдано только в тех случаях, когда нормальные напряжения в окрестности вершины фиктивного эллипса выше «сил сцепления» материала интенсивностью стт.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00163), программы РАН (про-ект№ 4.11.3), научной школы НШ-6481.2006.1.

Литература

1. Кожевникова М.Е. Трещина нормального отрыва с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Модель Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 2. -

С. 43-52.

2. КорневВ.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Опи-

сание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. -С. 153-161.

3. Нейбер Г Концентрация напряжений. - ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. - 204 с.

4. НовожиловВ.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой

прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - №. 2. - С. 212-222.

5. Керштейн И.М., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А.

Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

6. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 3. - С. 53-62.

7. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. - М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 84-201.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, Физматлит, 1958. -608 с.

9. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // Разрушение. - М.: Мир, 1975. - Т. 2. -

С. 339-513.

Поступила в редакцию 20.08.2007 г.

Сведения об авторе

Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, [email protected], [email protected]