CC BY
38
УДК 539.74375
Влияние трещины серебра в полимерном материале на напряженно-деформированное состояние пластины с эллиптическим отверстием
М.Е. Кожевникова
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Рассматривается задача о растяжении пластины из полимерного материала с эллиптическим (макроэллиптическим) отверстием. Процесс формирования пластических зон в окрестности вершин эллипса сопровождается образованием трещин серебра. Противоположные берега трещин серебра упрочнены системой микрофибрилл, чередующихся с микропорами (микроэллипсами). Для решения задачи о растяжении пластины с макроэллипсом и упорядоченным набором микроэллипсов в зоне пластичности проведена модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Построен достаточный критерий прочности, состоящий из критерия Нейбера-Новожилова и деформационного критерия. Найдены критические параметры разрушения. Отмечено понижение напряжений в области, примыкающей к вершине эллипса, вызванное присутствием в ней трещины серебра.
Ключевые слова: полимерный материал, трещина серебра, зона предразрушения, модифицированная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, достаточный критерий прочности, критерий Нейбера-Новожилова, деформационный критерий, критические параметры разрушения
Effect of a craze crack in a polymer plate with an elliptical hole on the stress-strain state of the material
M.E. Kozhevnikova
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper considers the problem of tension of a polymer plate with an elliptical (macroelliptical) hole. The formation of plastic zones around the vertex of the ellipse involves crazing. The opposite edges of a craze crack are hardened by a system of alternate microfibrils and micropores (microellipses). The Leonov-Panasyuk-Dugdale model is modified to solve the problem of tension of a plate with a macroellipse and an ordered system of microellipses in the plastic zone. A sufficient strength criterion consisting of the Neiber-Novozhilov and strain criteria is derived. Critical fracture parameters are found. A decrease in stress is observed the region adjacent to the vertex of the ellipse due to the presence of a craze crack there.
Keywords: polymer, craze crack, prefracture zone, modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model, sufficient strength criterion, Neiber-Novozhilov criterion, strain criterion, critical fracture parameters
1. Введение
При разрушении полимеров важную роль играет специфический механизм деформирования, получивший название крейзинга, или образование трещин серебра (волосяных трещин). По изучению процессов накопления поврежденности и разрушений в полимерных материалах в малой окрестности у вершины трещины выполнены многочисленные экспериментальные работы. Они показывают, что крейзы в полимерах возникают вначале внутри малой области, примыкающей к вершине трещины. В самой вершине, где напряжения
достигают максимальной величины, слой материала сохраняет целостность и разрушается вследствие перенапряжения, когда трещина покрывает всю рассматриваемую область. Это давно известный и, можно считать, парадоксальный экспериментальный факт.
Трещины серебра являются не совсем обычными трещинами. Они упрочнены системой волокон (фибриллами, тяжами) сильно ориентированного материала, связывающих поверхности трещин. Трещины серебра растут в направлении перпендикулярном направлению растяжения. Микротяжи не дают раскрыться трещине
в Кожевникова М.Е., 2010
серебра, поэтому напряжение у ее вершины не возрастает по мере углубления трещины в материал и нагрузка распределяется практически равномерно по сечению образца. Разрушение происходит в результате последовательных разрывов микротяжей — трещина разрушения идет обычно вслед за трещиной серебра. В трещинах серебра структура пористая, содержание мик-ропор (пустот) составляет 40-60 %. В некоторых случаях эта величина может достигать 80 % [1, 2]. Изучая структуру трещин серебра, методом дифракции электронов или рентгеновских лучей определяют размеры микропустот внутри трещин серебра, ориентацию макромолекул и другие структурные параметры [1]. И фибриллы, и микропустоты имеют наноразмер. Трещины серебра наблюдаются, главным образом, в стеклообразных полимерах. Кроме того, они возникают также в термоактивных смолах, например эпоксидных.
Сформировавшееся образование (крейз) обладает устойчивостью и способностью нести ту же нагрузку, что и недеформированный материал.
Рассмотрим механизм развития трещины «серебра» в окрестности вершины узкого эллипса в поперечном направлении. Предполагается, что от вершины эллипса растет только одна трещина серебра. При растяжении тонкой пластины с узким эллипсом в окрестности его вершин наблюдаются высокие напряжения, что способствует образованию зон пластической деформации. Кроме того, в начальный период деформирования у вершин эллипса возникают трещины серебра. С ростом времени нагружения увеличиваются длина и ширина трещины серебра. На первой стадии происходит растяжение микрофибрилл. При этом за счет сильной ориентации при растяжении возникает их деформационное упрочнение. С обоих концов микрофибрилл в процесс деформирования вовлекаются новые области полимерного материала. Вследствие этого деформация микрофибрилл снижается. Их рост происходит до момента установления равновесия. После чего рост трещин серебра в поперечном направлении прекращается [3, 4].
В работах [5, 6] предложена удачная модель механизма роста трещин серебра (рис. 1, а). Основой данной модели является неустойчивость мениска [7, 8]. Менисковая поверхность образуется на границе раздела «жидкость - газ» при втягивании жидкости в капиллярную трубку. Чтобы учесть высокую вязкость материала, в модели Аргона вместо жидкости рассматривается твердый пластически деформированный полимерный материал. Согласно расчету, приведенному А.С. Аргоном для полиметилметакрилата и полистирола, расстояние между микрофибриллами трещин серебра X = 140 нм, диаметр микрофибрилл составляет 50 нм.
Е.Дж. Крамер и др. [3, 4] методом электронной микроскопии детально исследовали трещины серебра в образцах полистирола. По их мнению, микроскопический
механизм роста трещин серебра логично объясняется в рамках представлений А.С. Аргона. В работе [9] предложено рассматривать трещину серебра у вершины трещины разрушения аналогично зонам пластической деформации и приближенно описывать ее моделью Лео-нова-Панасюка-Дагдейла (рис. 1, б).
В настоящей статье предлагается соединить два подхода: модель Аргона и модифицированную модель Лео-нова-Панасюка-Дагдейла. Комбинированный подход, с одной стороны, представит трещину серебра в виде, приближенном к действительности (такой, какой ее предложил рассматривать А.С. Аргон), а с другой стороны, позволит свести упругопластическую задачу, определенную в рамках модифицированной модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла, к граничной задаче теории упругости (рис. 1, в).
Таким образом, трещину серебра перед вершиной узкого эллипса будем рассматривать как систему упорядоченных микропор с микрофибриллами, находящимися в пластическом состоянии. В дальнейшем эллипс и микропоры будем называть макроэллипсом и микроэллипсами соответственно.
В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [10, 11] реальный макроэллипс со свободными от напряжений поверхностями подменяется фиктивным макроэллипсом. Длины больших осей реального и фиктивного макроэллипсов равны 2l0 и 21 = 2(l0 + Д) соответственно (А — заранее неизвестная длина зоны пред-разрушения, которая может не совпадать с длиной зоны пластичности, но отождествляется с длиной трещины серебра). Концевые области фиктивного макроэллипса в модели Леонова-Панасюка-Дагдейла при 10 < |у| < 1 заполнены пластически деформированным материалом, скрепляющее действие которого может быть эквивалентно заменено стягивающим напряжением, равным пределу текучести материала а т. Поскольку в нашем случае внутри концевых зон макроэллипса располагается ряд микроэллипсов, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла следует несколько видоизменить. Чтобы исключить пластически деформированный материал из внутренних областей микроэллипсов, границы микроэллипсов нагрузим растягивающими напряжениями ат.
Ii I .<37
irw 0 ^^---Mi б
I I О",
Рис. 1. Модель Аргона (а), концевые зоны фиктивного эллипса в модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (б) с учетом микропор в зоне пластичности (в) (ат — предел текучести материала)
Критические параметры прочности — критическое значение внешних напряжений ст^ и критическую длину зоны предразрушения Д* — определим из системы двух уравнений, соответствующих достаточному критерию прочности [11, 12]. Достаточный критерий прочности включает в себя силовой критерий Нейбера-Но-вожилова
1 ' Г«
- К (0, у)ду = стт, у > I, (1)
Ге I
и деформационный критерий
21(х", 1о) = hт. (2)
В силовом критерии (1) стх (0, у) — нормальные напряжения на линии продолжения фиктивного макроэллипса; ге — интервал осреднения. В деформационном критерии (2) 2£( х*, 10) — раскрытие фиктивного макроэллипса в вершине реального макроэллипса, совпадающее с поперечным размером трещины серебра в вершине реального макроэллипса; ^ = h(гт -е0) — критическое раскрытие в вершине реального макроэллипса, h — поперечный размер зоны пластичности в вершине реального макроэллипса, ет и е0 — характеристики материала: е0 = стт/ Е — предельное упругое удлинение материала, ет — предельное неупругое удлинение материала, Е — модуль упругости материала. Величина 2£( х*, 10) соответствует расстоянию, на которое расходятся поверхности реального эллипса в его вершине в результате пластической деформации.
Силовой критерий Нейбера-Новожилова (1) позволяет получить среднее значение напряжений на интервале осреднения в случае, когда радиус кривизны в вершине фиктивного макроэллипса мал настолько, что значение нормального напряжения в вершине фиктивного макроэллипса выше «теоретической прочности» материала. Под «теоретической прочностью» будем понимать однородные напряжения сцепления, равные пределу текучести материала ст т. В основе этого предположения лежит постулат Дагдейла об однородности напряжений сцепления на соответствующей длине, принятый, чтобы описать пластическое течение в экспериментально наблюдаемых узких зонах вблизи концов трещины [13]. В свою очередь, Е. Орован [14] предположил, что напряжения сцепления у конца трещины в области атомных размеров должны быть такими же, как «теоретическая прочность» связи.
Обозначим последовательность действий:
1. Найдем напряжения и нормальные перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным макроэллипсом и упорядоченным набором микроэллипсов.
2. Вычислим нормальное напряжение стх (0, у) (у > I) на линии продолжения фиктивного макроэллипса (используется в силовом критерии (1)).
3. Оценим границу зоны пластичности перед вершиной реального макроэллипса. Получим оценку попереч-
ника зоны пластичности в вершине реального макроэллипса h (используется в деформационном критерии (2)).
4. Построим достаточный критерий прочности (1),
(2).
5. Из достаточного критерия прочности (1), (2) определим критические безразмерные параметры прочности р* =стт/ст^, Д* = Д*/10 при фиксированных значениях ет, е0, ге/10, рг/10. Величина рг/10 — радиус кривизны в вершине реального макроэллипса.
2. Постановка задачи
Тонкую пластину из полимерного материала с макроэллипсом растягивают на бесконечности однородными напряжениями ст^. Растяжение пластины приводит к раскрытию макроэллипса, а также к образованию пластических зон и трещин серебра перед его вершинами. От вершины макроэллипса растет только одна трещина серебра, которая включает в себя п микроэллипсов. Большая ось макроэллипса длины 210 перпендикулярна растягивающей нагрузке. Большая ось г'-го микроэллипса длины 2а(г) (г' = 1, ..., п) параллельна растягивающей нагрузке (рис. 2). В дальнейшем все величины, помеченные верхним индексом (г), будут иметь отношение к г'-му по счету микроэллипсу относительно правой вершины макроэллипса. Центры макроэллипса, г'-го микроэллипса совпадают с началами декартовых систем координат Оху, 0()х(г)у(г) соответственно. Макроэллипс, г'-й микроэллипс вытянуты вдоль осей Оу, 0(г)х(г) соответственно. Количество микроэллипсов п = [Д/(2Ь + d)], где Д — длина зоны предразрушения; 2Ь — длина малой оси микроэллипса (предполагается, что она одна и та же для любого г); d — ширина микрофибриллы. Для полиметилметакрилата и полистирола расстояние между микрофибриллами трещин серебра X ~ 140 нм, ширина микрофибрилл d ~ 50 нм, поперечный размер микропоры в самой широкой части 2Ь = = X -d ~ 90 нм [5, 6]. Длины больших осей микроэллип-
I I I I I I \ 1 I I ! I А I 1 Г t \ I I I t t
у у0) у (2) у<3)
хУ То ^ А "
| |1 *I ; 11 I I I (; I * II II II I 11
^00
Рис. 2. Схема модифицированной модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла для макроэллипса и микроэллипсов
сов уменьшаются по мере удаления микроэллипсов от вершины макроэллипса. Напряжения, вызванные наличием в пластине макроэллипса, быстро убывают при удалении от него, что соответствует закону затухания. Этим объясняется разная длина больших осей микроэллипсов.
близости от вершины макроэллипса будет способствовать понижению напряжений, вызванных присутствием макроэллипса.
Граничные условия для функций напряжений Р *, р**, р(г)*, р(г)** выводятся из условий на контурах макроэллипса, г-го микроэллипса, выраженных в напряжениях.
3. Определение напряжений и нормальных перемещений в произвольной точке пластины с макроэллипсом (реальным или фиктивным) и п микроэллипсами
Для построения достаточного критерия прочности (1), (2) необходимо знать поле напряжений в окрестности вершин реального, фиктивного макроэллипсов, а также нормальные перемещения точек фиктивного макроэллипса.
Согласно [15], напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллипсом выражаются через первые и вторые производные функции напряжений Эри, которая для макроэллипса и для г-го микроэллипса
тт г* , 17** г-(г) т-т(г)* , т-т(г)**
имеет вид: Р = Р + Р и Рw = Рw + Р ' соответственно.
* (г)*
Функции напряжений Р , Р() отвечают за распределения напряжений, при которых контуры фиктивного макроэллипса и г-го микроэллипса свободны от внешних напряжений. Контур фиктивного макроэллипса нагружен растягивающими напряжениями ст^. На контуре г-го микроэллипса действуют сжимающие напряжения -ст^, моделирующие сопротивление сильно ориентированных микрофибрилл внешней нагрузке.
Функция напряжений Эри Р** описывает распределение напряжений, при котором концевые участки контура фиктивного макроэллипса нагружены при /0 < < |у| < / сжимающими напряжениями -стт, и моделирует тем самым сопротивление внешнему растяжению
пластически деформированного материала.
^ (г)**
Функция напряжений Ру' описывает распределение напряжений, при котором участок границы г-го микроэллипса при г^ + 2Ь) - 2Ь < |х| < г^ + 2Ь) нагружен растягивающими напряжениями стт, которые как бы выталкивают пластически деформированный материал из внутренней области микроэллипса.
Функция напряжений Эри, дающая решение для растянутой пластины с фиктивным макроэллипсом и п микроэллипсами, запишется в виде:
= F + 2 F i =1
(i)
а для реального макроэллипса и n микроэллипсов:
F 2 * = F'
7«*
Р °
г =1
Учитывая выше сказанное, можно предположить, что присутствие микроэллипсов в непосредственной
3.1. Напряжения и нормальные перемещения для тонкой пластины с реальным и фиктивным макроэллипсами
Воспользуемся эллиптическими координатами [15,
16]
x1 = cf /l0 shu cos v, y1 = cf /l0 chu sin v, (3)
где x1 = x/l0 ; y1 = y/l0 ; 2cf — межфокусное расстояние фиктивного макроэллипса, причем
(
l0
■ = (1 + Ai)'
1 -
Pf 1
2
10 1 + Д1^
где р{//0 = (1+ Д1)-1 рг//0, рг, рг — радиусы кривизны в вершине фиктивного и реального макроэллипсов соответственно; Д1 = Д//0. Если в формуле, определяющей /0 , принять Д1 = 0, получим формулу для межфокусного расстояния 2сг реального макроэллипса. Учитывая (3), имеем:
5
22 ( +
y1
2 2
= 1.
cf /lu shu cf /L chu
il и y y 1 ' U
Следовательно, линии u = u0 являются эллипсами с центром в начале системы координат Oxx yv
Напряжения и нормальные перемещения в произвольной точке пластины с макроэллипсом, записанные в декартовой системе координат Oxjy1, определяются по формулам [11, 17]:
(
Ст x = B
+ A
СТ У1 = A1
dB, dF „ д 2F dA dF Л д2F
—1-+ B1—j- + —1-+ A1-
du du ди du dv dudv
2
( dB! dF n d2 F dA1 dF á d2 F 2 —1-+ B1-+ —1-+ A1 —-
dv du dudv dv dv dV
dA1 dF л d2 F dB1 dF D d2 F *
--+ A1 -— —--— B1 -
du du du du dv dudv
/
3 dA1 dF л d2 F dB1 dF D d2 F 33 1 + A1 — 1 — B1 2 dv du dudv dv dv dv
, (4)
X1 y = A1
— B,
( dB1 dF d2F dA1 dF d2F 2
—1-+ B1—- + —1-+ A1-
du du du 2 du dv dudv
dB1 dF d2F dA1 dF d2F 1 -+ B 11 1 л
dv du
+ -
dudv dv dv
■ + A
dv2
z = 0, T xz = 0 T y1z1 = 0 ( z = Zlo),
+
£( х,, У1) =ir (1 + V v) X Е
A dF+BL dF + 4 Ф1
а„ ди а„ dv 4 - а а„
(5)
Здесь а = 2(1 - 1/v), v — коэффициент Пуассона; E — модуль упругости Юнга;
1 Cf , „ 1 C
h,2 in
AV =—-chu cos v; B, = —-fshu sinv;
hF ln
h, = —2p(sh2u + cos2 v) — коэффициент искажения;
in
dA, _ cos v sh и cf ди hi in
5
1-
2ch2u2
dA, _ sin v ch и Cf
5
dv h2 lfl
dB, sin v chu cf
du h, l0
dB, cos v sh и cf
dv h2 l0
1-
2
2 cos v
1-
1+
2sh2u2
2
2sin2 v
р = р* + Р =Ф 0 + х1Ф1;
Фо =Фо(^1. У1) =ф0 +ф0*;
Ф1= Ф1(х,, У1) = Ф1 + Фр (ДФ о = о, ДФ1 = 0); Р* =Ф0 + Х1Ф*; Р** =Ф0* + х1Ф1*. Функция напряжений Р *, ее частные производные, а также функция Ф* определены в [15] и имеют вид:
F =
^ cf2
10
[1 + ch (2и) + 2 A*и + 2C e~иsh и +
+ (-ch (2и) -1 + 2B"e~2и + 2C*e~" sh и) cos (2 v)],
dF * ди
dF * dv
f "lo2
[sh(2u) + A* + C *e "2и +
+ (-sh(2u) - 2B *e "2и + C *e "2и )cos(2v)],
2
= f(-ch(2u)-1 + 2B*e"2и +
4 l
o
+ 2C e"ush u)sin(2v),
(6)
d 2 F * dudv
= - ^ f(-sh(2u) - 2B *e "2и +
2 l2 2 lo
+ C *e "2u )sin(2v),
d 2 F
— = — Cf[ch(2u) - C * e "2u + du 2 i0
+ (-ch 2u + 2B*e"2и - C*e"2и)cos(2v)],
d 2 F * dv 2
cf
—f(-ch(2u) -1 + 2B *e "2и +
2 lo2
+ 2C e"иsh u)cos(2v),
СТ *
ф* = _L(shи + С е~и р, 2 ^0
где Л*, 5*, С * — некоторые константы. Добавление в правые части формул (6) слагаемых, содержащих эти константы, позволяет добиться быстрого уменьшения напряжений при удалении от отверстия. Граничным условиям
ЭР7ди = 0, ЭР7Эр = 0 (7)
при и = и0 удовлетворяют константы [15]
A* =-1 - ch(2u0),
B* = V e2uo+-- V e4uo 2 4 4
„2uo
(8)
С = 1 + е2
Если в формулах (6) верхний индекс * заменить индексом **, внешнее растягивающее напряжение ст^ — сжимающим напряжением -ст т, получим формулы, определяющие функцию напряжений Р**, ее частные производные и функцию Ф"
Граничные условия для функции напряжений Р ** определяются из условия равновесия сил в направлении осей х1, у1:
X ** =-
5dF ~ 2
dy1
5dF ~ 2
dy1
Y** =- 3 dF ** 2 3dF ** ^ = 0
+
dxi dx, 1
1 v=v2 v=v,
(9)
и условия равенства нулю момента сил M относительно точки x1 = 0, у1 = 0:
5 317** ас** 2
M ** =
dF" + dF ** * х,--+ У1—--F
dxi dyi
dF ** + dF ** * x1 + y1 - F* dx1 dy1
JV=V2
= 0,
(10)
где
—fl lo
dF ** dx1
dF ** = fl
dyi = h2
dF *
dF *
ch u0 cos v--sh u0 sin v-
oo
du dv
5
2
. dF ** dF* sh u0 sin v-+ ch u0 cos v-
0 0 'ч
du dv
V У
В равенствах (9) величины X**, Y** = 0 — проекции сил, вызываемых сжимающими напряжениями -стт, действующими на концевом участке контура фиктивного макроэллипса при u = u0 и v1 < v < v2 (1 <y1< 1 + +Aj). Величины
11 sin Vj =-;-=-,
cf /10 ch u0 1 + Д1
1+ A,
sin v2 = —--= 1, cos v, < 0.
—f /10 ch u0
X
и
Величина X ** определяется по формуле [18]:
v2 v2 .-
X** = -ат Jd(l/l0) = -cf/l0 аT J уsh2u0 + cos2 vdv ~ vi vi = - Cf Ilo аTsh Uo (П2 - V),
где //10 — безразмерная длина контура u = u0 при V1 < V < v2.
С учетом граничных условий (9), (10) для функции напряжений F** получаем систему уравнений
A0j A** + B0j B** + C0jC ** + D0j = (X **)',
A02 A** + B02 B * + C02 C** + D02 = 0, (11)
A03 A** + B03 B** + C03 C * + D03 = 0,
где
A0j =
01
sh u0 sin vj
1
4(sh2u0 + cos2 vj) 4shu0
„-2u0
5 shu0 sin vJcos(2vj) + chu0 cos vj sin(2vj) + 1 2
sh2u0 + cos2 v1
C01 = cos v2sinVj^20shu0(g_u0 -2chu0),
shu0
D01 =
2(sh2u0 + cos2 v1) 2shu0 sin3 v1sh(2u0) 4(sh2u0 + cos2 v1)
chu0 cos v1 sin(2v1 )(ch(2u0) +1) + 2 2 - chu0 , 4(sh u0 + cos v1)
A02 = chu0 cos v1,
B02 = 2e_2u° (shu0 sin v1 sin(2v1) -
- chu0 cos v1 cos(2 v1)), C02 = 2e_u° cos v1(2sh2u0 sin2 v1 + + chu0 cos2 v1 e_u°),
D02 = 0, A03 =
cth u0 (1 - sin v1)
B03 = e
C03 = e-
-2u 2cth u0 - cth u0 sin v1 + cos(2v1) +1
shu0 cos2 V1
D03 = ch 2u0 - chu0 sin v1 ((X**)' + chu0) + (1 + ch(2u0)) sin 2 v1 ch(2u0) +1
+-4--—4—'
(x«y = - X l° e sh u0 (П2 -v1).
a Tcf
Первые два уравнения системы (11) определяются условиями равновесия сил в направлении осей x1, y1 (9), последнее — условием равенства нулю момента сил относительно точки x1 = 0, y1 = 0 (10).
Решая систему уравнений (11), находим константы
A« в« с«
A =
(X **)'
01
с с,
01
D
_______
A01 A01 A01 A01
02 в01) (A02D01 A02(X ) A01D02) X
В = [ А02 & 01 А01&02 А02(Х ) -С (С02 А01 -А02С 01)]( А01В 02-А02 В01) , С = [(А03&01-А03(Х )- А01&03)(А01В02
-А
Х (А01В03 - А03В01)][(А01С03-А03С01) х Х (А01В02 - А02 В01) - ( А01С 02 - А02С01) Х Х (А01В03 - А03В01)] .
Функция напряжений Эри Р = Р * + Р ** для фиктивного макроэллипса определена. Напряжения и нормальные перемещение в произвольной точке пластины с деформированным фиктивным макроэллипсом вычисляются по формулам (4), (5).
Напряжения и нормальные перемещения в произвольной точке пластины с реальным макроэллипсом определяются формулами (4), (5) при Д1 = 0, когда функция напряжений Эри Р = Р *.
3.2. Напряжения и перемещения для тонкой пластины с г-м микроэллипсом
Для удобства г-й микроэллипс будем рассматривать
Аг) (г) (г) , (г) (г) / (г) (г)
в системе координат О х\'у\' (х = хк'/а', у1' = = у(га(г), а(г) — длина большой оси г-го микроэллипса), оси которой совпадают с осями г-го микроэллипса. Центр г-го микроэллипса находится в начале координат О(г) (0, /(0/а(г)), /0° = /0 + гё + Ь(2г -1) (Ь — длина малой оси микроэллипсов; d — ширина микрофибриллы). Напряжения и нормальные перемещения в пластине с г-м микроэллипсом определяются формулами (4), (5) при условии введения верхнего индекса (г) для всех переменных, входящих в эти формулы. Исключение составляет переменная cíj /0. Она заменяется на с(г) / а(г).
Величина 2с(г) = 24а(г)2 - Ь2 — межфокусное расстояние г-го микроэллипса, где
a(i)2 = l02(1 + Д1):
l(¿)V12 l 1 _ l0 / l0 l0
1+ Д1 Pf
является абсциссой точки, принадлежащей фиктивному
т (г)
макроэллипсу и имеющей ординату, равную ¿0 в системе координат Ох1 у1. Функции напряжений Р(г)*, Р(г)**, составляющие функцию напряжений Эри Р( ), вычисляются в системе координат О(г) х() у().
Функция напряжений Р(г)*, ее частные производные, а также функция Ф(г)* определяются формулами (6), (8) при условии, что в этих формулах переменные и, V, cí|/0, постоянные А*, В*, С*, и0, внешнее растя-
гивающее напряжение ст^ заменены переменными u
( )
х
х
р(/), с()/а(/), постоянными А(г>, В(г>, С(г>, и0°, сжимающим напряжением -ст^ соответственно.
Граничные условия для функции напряжений Р(г)** выводятся из условий на контуре г-го микроэллипса, нагруженного растягивающими напряжениями стт при ^ + 2Ь) - 2Ь < |х| < + 2Ь). Следовательно функция напряжений Р(/)**, ее частные производные, функция Ф(/)** также будут определяться формулами (6), (8) при условии, что в этих формулах переменные и, р, с]//0 , постоянные А*, В*, С*, растягивающее напряжение ст^ заменены переменными и(/), р(/), с(г)/а(/), постоянными А(/)*, В(г>, С(г> стт соответственно.
Таким образом, функция напряжений Эри Р системе координат 0(г) х() у() запишется в виде:
m(i), v(i), c(i)/a« растягивающим напряжением
( )
F (i ) = (1 -стт/ а^ )F'
(0*
(12)
Для того чтобы записать полученную функцию напряжений Эри F(i) в системе координат Ox1 y1, воспользуемся преобразованием координат:
xf0 = xi loi a(i), y« = (y -10°) l0/a(i),
где
x((i) = c(i)/a(i) shu(i) sin v(i), y((i) _ c(i)/a(i) chu(i) cos v(i). Подставляя в (13) эллиптические координаты (3), (14) получим:
(13)
(14)
(i) _ 1*2 - *i + I (h - *i)
sh m (i) _
(i) cf /l0chu sin v sin v(i) _f-0-
- +1
4
- l (%,
2 ,
(15)
(i)
lo chu
(i)
где
*1 _ (c(iVl0 )2 - (cf /l0 chu sin v -1(iVl0)2,
*2 _ (Cf/l0)2sh2ucos2 v.
Формулы (15) — основополагающие, позволяющие перевести все результирующие формулы, полученные для г-го микроэллипса в системе координат O(í)x((í) y((í), в формулы, записанные в системе координат Ox1 y1.
Таким образом, напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с г-м микроэллипсом сначала
(i) (i) (i)
определяются в системе координат O x( у( , затем проводится замена переменных (15).
Перейдем к построению достаточного критерия прочности, состоящего из силового критерия Нейбера-Новожилова (1) и деформационного критерия (2).
4. Критерий Нейбера-Новожилова для фиктивного макроэллипса и n микроэллипсов
Нормальные напряжения
d 2Fъ д 2F f д 2F(i)
2
а? _■
дУ1 дУ1 i_1 дУ1
на линии продолжения большой оси фиктивного макроэллипса при х1 = 0, у1 > 1 + Д1 вычисляются по формуле (4). При х1 = 0 формулы, определяющие функции напряжений Р, Р(/), заметно упрощаются. Действительно, при х1 = 0 для составляющих компонент функции напряжений Р имеем:
sinр = 1, shи = д/У12/о/с]2 -1, chи = у1/0/с{, вЬ(2и) = 2у11о2 /с2д/У12 - с2/ 1о2 ,
ch(2u) = 2У12 /о2 /с,2 -1, % = /о2 /с,2 -2 и о 2 ; 2/2 1
е = 2 У1 /о! с -1 -
- 2у1 /о2/с|д/у2 - с,2//о2.
Тогда
1
(16)
Лх _ 0, _ 0, B1 = ди
В _ У1(1 - 2 cf2/102) ди
VУ2 - Cf2/1
2 2 /,2 ' У1 - с]/ /о
Поскольку функция напряжений Р(/) определяется в системе координат 0(/)х()у(), полученной посредством параллельного переноса начала координат О вдоль оси Оу1 в точку 0(/), формулы для составляющих ее компонент, имеющие место при х() = 0, при некоторой замене переменных аналогичны формулам (16). Введем замену величины с^//о на с®/аи добавим переменным р, и, у1, ИИ, В1, входящим в формулы (16), верхний индекс (/).
Тогда напряжения на линии продолжения большой
оси макроэллипса, учитывая что /
sh и _ -
г л/2
[xi + y2 -cf2/102 +
+ ((Х12 + У12 -c2/102)2 + 4x2 C?/102)12]12, y1 l0
sin v _ ,
ch и cf
можно записать в виде:
ax1(0, У1) _ B1
(i) dB« дF(i)
/дв1 эр+B aVл
ди ди 1 ди2
+ Е в1
i_1
du(i) du(i)
(i)
д 2 F (i) du(i)2
л 2
_ Т + T 2 (Г|г) + Т 2г)), i_1
(17)
где
Т1 _ В1 ^Bl ЭР, Т2 _ 1 1 2 ди ди
,2 д2F
ди2 '
эр _эр*+эр* э^р _ э 2 f *
ди ди ди ' ди2 ди2
д 2 F * ди 2
+
+
— = ^^^и) + А* + 2 Б*в ~2и) = Эи 4 /п2 ( ( ) )
= ст„
ЭР* ди
= ст т
д2Р* ди 2
= ст„
д2Р* ди 2
= -ст т
у1
У12 -,(1 - В*) + В*У12 + /02
2/02
-2и
2 / 2 2 /0
у1
у1
у12 +
2/02
/2
„-2и
)=
2В * У1
У12-Г + 2у/(1 - В*) + В* -1)
= ст т
-2и
2 у1
2 "-Г 12.
у1 -тт - 2 у1 +■ /0
Гт = В1(г) дВЦ^ Г« = „(02 д2Р(г)
ди(г) ди(г)
, Г2
дР(г) дР(г)*
"дисТТ = (1 -стт/ст~Кд^ (см. ф°рмулу (12)).
Выражения, определяющие
1 ди(г)2 '
формулу (1
1 дР(г)* 1 д 2Р(г)*
ст^ ди(г) ' ст^ ди(г)2 ' аналогичны представленным выше выражениям, опи-
1 дР* 1 д2 Р *
сывающим--,--—.
ст^ ди ст^ ди Тогда критерий Нейбера-Новожилова (1) при
1 + Д1 < у1 < 1 + Д1 + те//0, < у^ < Д1г) + ге/а(г),
Д« = Д(г)/ а(г), Д(г) = /0 +д- /0г)
принимает вид:
1+Д1 +ге//0 1+Д1 +Те/ /0 и а (г)
I Г^ + I + £—х
1+Д, 1+Д, г=1 10
5 Д?) +Г,/.
ДО + Те/а
2
I Г1(г)4у|г) + I ^Му«
До До
= f стт. (18) /
Заметим, что в критерии (18) вычисляются интегралы в скобках, а затем проводятся замены переменных (13), (15). В равенстве (18)
1+Д1 +Те/10 5 2/2 2
I Г14у1 =
1+Д1
А* - 2В*
1- 20
(В*ст^ -В**стт)11 + ,Х
2/02
5
2
-стм + В стт
12 + [(1 - В >„ + В **стт ]/4 Н,
1+Д1+Т^/0
IГ2dyl = 2(В*ст^ - В**стт)/3 + 2[(1 - В*)ст^ +
1+Д,
+ В**стт]/4 +-2Г[(В* - 1)ст„ - В*Ч ]/5,
/2 /
Д° +Те/а
1-
2а(г)2 С(г)2
I Г^ёу = (стт -ст„)
д'0
(г) 2 "
В(г)*/1(г') + ——(А(г)* - 2В(г)*)/2г) + (1 - В(г)*)/4г) ( )2 2 4
4а
ДО +те/а'г)
I Г= (стт -ст„) х
До
2В«*/« + 2(1 - В(г)*)/4г) + --—(В(г)* -1)/ 3 4 а( )2
( )2
где
1+Д1 +Те//0
/1 =
у?4у1
I
1+Д1 V'у? - с?//02)3
(1+ Д1 + те//0)2 -2с2//,
7(1 + Д1 + т^/0)2 -с|// (1+ Д1)2 -2с,2//02 7(1 + Д1)2 - с,2//02 '
/2 = ^ —
1+Д1 V' у12 - с2//02)3 1
7(1 + Д1 + Те//0)2 -с2//02 1,
7(1+Д1)2 - с,2//2'
/3 =
1+Д1+Те//0
I
1+Д,
7у2 - с,2//0
= 7(1 + Д1 + Те//0)2 - С,2//2 -
-7(1+ Д1)2 - с|//02 ,
(19)
1+Д1 +Те//0
/4 = I
у24у1
1+Д1 у1
- с2/ /,
= Те /0 +
2/0
-1п
(1 + Д1 + Те //0 - с Г //0 )(1 + Д1 + Г /0 )
(1 + Д1 + Те //0 + с г //0 )(1 + Д1 - с Г / /0 )
/ 5 =
1+Д1+Те//0
Ф>1
1+Д1 у1
- с,2//
/0 1п (1 + Д1 + ТеI/0 - Г /0 )(1 + Д1 + Г /0 )
2с, (1 + Д1 + Те//0 + с,//0)(1 + Д1 - с,//0).
т сГ
Х
Х
+
Х
Х
Выражения для интегралов /1(г), 12,г), I-(2), т4г), 1() аналогичны формулам (19) при замене переменных 1 + Д1, сг//0, ге//0 переменными Д(1/), с(г)/а(/), ге/а(/).
Преобразовав равенство (18), запишем критерий Нейбера-Новожилова в виде:
Р =
стт = N + N + N + N ст^ N2 + N4 + N5 !
(20)
где
N1 =
5 2/2 2 2/0 1- 2
*11 + (1-В ) 14 +
Л* - 2В* с2, 2 й 7Т12
( )
N2 = -2^-¿=1 'о
1-
2а
( )2 25
( )2
0
+(1- в (/)*)14° +
Л(/)* - 2В(/)* с(/)2 2
( )2
5
N3 = 2В* 13 + (1- В*)
с2 2
214 - /Т15
0
N4 = -£-
( )
¿=1 <0
2В (г')*Д(г') +
+ (1- Вог)
с( )2 21 (¿) - С_т (¿)
214 (')2 1 5
/У
VМ 25
0
2
Г - Г - Т Т1 14 „ ,2 1 2 2/02
22
213 - 214 +] 15 /02
Таким образом, критерий Нейбера-Новожилова (1) выполняется, если для определенного набора критических параметров р* Д*, и* = [Д*/(2Ь//0 + d|/0)] при фиксированных параметрах ге//0, рг//0, Ь//0, ^/0, Ет, е0 имеет место равенство (20).
5. Деформационный критерий для фиктивного
макроэллипса и п микроэллипсов
Для реализации деформационного критерия (2) не-
обходимо знать две величины: раскрытие фиктивного
макроэллипса в вершине реального макроэллипса 2^(х* /0) и критическое раскрытие К1 в вершине ре-
ального макроэллипса. Нормальные перемещения точек фиктивного микроэллипса х1, у1) определяются в
пунктах 3.1, 3.2. Раскрытие фиктивного макроэллипса 2^(х*, 1) в вершине реального макроэллипса вычисляется по формуле (5) при х* = (1 + Д1)(1 - (1 + Д1)-1 х х/0/рг). Критическое раскрытие кт в вершине реаль-
ного макроэллипса определяется через поперечный раз-
мер зоны пластичности при у1 = 1 и относительное удлинение пластического материала.
Используя формулы (4), оценим поперечный размер зоны пластичности при у1 = 1. Воспользуемся критерием пластичности Мизеса в главных осях [10]:
3К -стл)2 + 3стЕ2 + К +стл)2
Л х1у1 л
2
= стт,
(21)
У " ( ') У " ( ')*
где напряжения ст^ = ст^ + X стX()*, ст^ = сту + ^сту), п ¿=1 ¿=1 ст^у = стX(У( + Хстх)* находятся по формулам (4). Ком-
¿=1
поненты напряжений стх , ст*. , стх у , ст(/ ^ ст(/ ^ ст(хгУ в
г х1 > у1> ху х л хУ1
критерии (21) определяются функциями напряжений
Р* р0 )* соответственно. При у1 = 1 получим уравнение
р, й//о) = 0, (22)
позволяющее для определенной из (20) допустимой безразмерной нагрузки р = стт /ст^ найти соответствующую ей оценку поперечника зоны пластичности 2 ^/0. Детальное описание процесса вычисления поперечника пластической области, возникающей при растяжении пластины с эллипсом, приводится в [11].
Перейдем к вычислению критических параметров прочности.
6. Определение критических параметров
Из достаточного критерия прочности (1), (2) или из преобразованного критерия прочности (20), (22) определим безразмерные критические параметры прочности р* =стт/ст^, Д* = Д*//0 при заданных значениях параметров Ет, eо, ге//о, Рг//о.
Сначала найдем допустимую нагрузку р. Для каждого значения Д1 (j) (Д1 (j +1) = Д1 (j) +1, у = 0, ..., т) при t = 0.00001, Д(0) = 0.000001 вычисляем число микроэллипсов п = [Д1(7^(2 й//0 + ¿//0)]. Затем по формуле (20) — безразмерную нагрузку р. Фиксируем только такие Д1 (у), для которыхр > 1, и подставляем их в деформационный критерий (22). Согласно (22), выбираем комбинацию параметров Д1 (у), р, при которой величина g(Д1 (у), р) принимает минимальное значение, близкое к нулю. Параметры р* = р, Д* = Д1 (у) являются критическими параметрами прочности, при которых пластина с деформированным эллипсом и трещиной серебра находится в предельно равновесном состоянии.
В табл. 1 приведены критические значения параметров разрушения для полиметилметакрилата, полистирола, полученные при фиксированных параметрах ге//0 = 0.01, рг//0 = 1.0-5. Параметры р* Д*1, £*(х*, /0) определены с учетом влияния микроэллипсов на напряженно-деформированное состояние, наблюдаемое в окрестности вершины макроэллипса. При получении параметров р**, Д**, х* /0) присутствие микроэллипсов в зоне предразрушения не учитывалось.
х
х
+
Таблица 1
Материал Р* Д*1 п * £*(х* /0V/0 р** Д*1* £**(х* адА)
Полиметилметакрилат 6.97 4.29 -10-4 286 0.87 -10-4 7.06 4.53-10-4 1.16-10-4
Полистирол 6.89 4.23-10-4 279 0.81-10-4 6.98 4.48 -10-4 1.08 -10-4
Согласно табл. 1, микроэллипсы в зоне предразру-шения оказывают влияние на поля напряжений и смещений, понижая их значения. Уменьшается также длина зоны предразрушения. Вследствие чего внешняя критическая нагрузка, необходимая для поддержания подвижно равновесного состояния, увеличивается.
На рис. 3 построены при рг/10 = 1.0-9 безразмерные перемещения £*(х,у)/10 (кривая 1), £**(х,у)/10 (кривая 2) точек фиктивного узкого макроэллипса для поли-метилметакрилата. На рис. 3, а отображен интервал 0 < у1 < 1, на рис. 3, б — интервал 1 < у1 < 1 + Д1.
В [10] приведены результаты измерений профиля концевой зоны трещины в полиметилметакрилате, полученные с помощью модели Леонова-Панасюка-Дагдей-ла. Расчет проводился по формуле
5 , . 2
£(0, У) = — пЕ
П
У—и ь1±П
2гр б1 -п
(23)
где п = - (х -10)/гр- Длина трещины серебра гр имела выражение, аналогичное соотношению для длины зоны пластичности:
гр =п2 ст^/^ст 2) = пК г2/(8ст Т), верное при ст^ << ат. Коэффициент интенсивности напряжений К[ = ст^п/0 соответствовал трещине разрушения без учета пластических зон. Напряжение ст^ определялось по найденным в эксперименте К; и гр. Измеренные с помощью интерференционных полос смещения по координате размеры трещины серебра у вершины магистральной трещины для полиметилметак-рилата [19-25] хорошо согласовались со смещениями, вычисленными по формуле (23). Однако при этом, если судить по рис. 5.9 из [10, с. 120], все же наблюдалось некоторое отклонение экспериментальных точек от расчетного профиля на свободных поверхностях трещин. Перемещения точек, полученные с помощью экспери-
мента, были приблизительно на 0.5 мкм меньше, учитывая, что раскрытие в вершине исходной трещины, вычисленное теоретическим путем, составляло 2.4 мкм. Такое отклонение объяснялось влиянием слоя, образованного разорванными концами фибрилл. При этом не учитывались наличие микропор в зоне пластичности, их способность понижать напряжения и перемещения в окрестности вершины трещины. Однако заметим, что содержание микропор в трещине серебра составляет 40-65 %. Поэтому отклонение экспериментальных и теоретических величин можно объяснить наличием микропор в пластической зоне.
7. Обсуждение
При растяжении пластины из полимерного материала процесс формирования пластических зон в окрестности вершин эллипса сопровождается образованием трещин серебра. Длина пластической зоны, под которой также подразумевается длина трещины серебра, вычисляется в [10] по модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла для трещины и характеризуется параметром гр (см. (23)). Существует множество противоречивых мнений относительно того, определяется ли размер пластической деформации гр в том случае, когда можно пренебречь размером зоны по сравнению с размером самой трещины, моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла. В работе [26], например, рассматривается распространение трещины серебра в условиях однородного одноосного растяжения в предположении, что материал упругий. Однако имеются экспериментальные данные о размере зоны пластической деформации [27] поликарбоната, которые согласуются с расчетными данными по модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. И наоборот, в [28] сообщается о большем размере зоны пластической деформации, чем это следует из модели Леонова-Панасюка-
5(х, у)//„, 10"4 3 - ___2 0
2 - 1 \
1 "
0 1 1 1 1 "
0.0 0.4 0.8 У1
[а] ^(Х, у)//0, Ю-1
2 -
б
1 1.00002 У1
Рис. 3. Безразмерные перемещения х,у)/10 (1), £**(х, У)// 0 (2) точек: фиктивн°го макроэллипса для полиметилметакрилата
Дагдейла. В [29, 30] размер зоны пластической деформации поликарбоната несколько меньше, чем это следует из модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.
Отличие результатов различных авторов объясняется тем, что не ясно, что именно принимать за границу зоны пластической деформации — границу между пластической и упругой областями (по данным метода фотоупругости) или границу, непосредственно наблюдаемую при микроскопических исследованиях.
Введенный в достаточном критерии (1), (2) параметр Д, характеризующий длину зоны предразрушения, напрямую не связан с параметром rp. Он может быть больше, меньше rp или совпадать с длиной зоны пластичности. Его не нужно определять экспериментально, чтобы потом подставить в теоретическую формулу, как это происходит с параметром rp в формуле (23). Он является параметром, помогающим вычислить критическую внешнюю нагрузку, критические смещения. И в этом его преимущество.
Кроме того, рассмотрение трещины серебра у вершины трещины разрушения аналогично зонам пластической деформации не совсем корректно, поскольку теряется особенность специфического механизма деформирования. Когда длина зоны пластичности пренебрежимо мала по сравнению с длиной трещины разрушения, погрешность вычислений также мала. Ш если трещина серебра имеет длину, выходящую за рамки оговоренной, сравнение ее с зоной пластической деформации неминуемо повлечет за собой погрешность вычислений.
Видоизменяя модель Леонова-Панасюка-Дагдейла в соответствии с особенностями процесса деформирования полимерного материала, можно получить формулы, более детально описывающие этот процесс. Такие видоизменения будут особенно полезны, когда размером зоны пластичности по сравнению с размером эллиптического отверстия пренебречь нельзя.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант M 07-01-001б3), программы PAH (проект 4.12.3).
Литеpaтypa
1. Hapuсaвa И. Прочность полимерных материалов. - М.: Химия, 1987.- 400 с.
2. Ap/утюнян P.A. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во СПб. унта, 2004. - 252 с.
3. Donald A.M., Chan T., Kramer E.J. The effect of film thicknesses on craze microstructure // J. Mater. Sci. - 1981. - V. 1б. - No. 3. - P. бб9-б75.
4. Donald A.M., Kramer E.J. The mechanism for craze-tip advance in glassy polymers // Phil. Mag. A. - 1981. - V. 43. - No. 4. - P. 857-870.
5. Argon A.S., Salama M.M. The mechanism of fracture in glassy materi-
als capable of some inelastic deformation // Mater. Sci. Eng. - 197б. -V. 23. - No. 2-3. - P. 219-230.
6. Argon A.S., Salama M.M. Growth of crazes in glassy polymers // Phil.
Mag. - 1977. - V. 36. - No. 5. - P. 1217-1234.
7. Saffman P. G., Taylor G.L. The penetration of a fluid into a porous medium or hele-shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1958. - V. 245. - No. 1242. - P. 312-329.
8. Fields R.J., Ashby M.F. Finger-like crack growth in solids and liquids // Phil. Mag. - 1976. - V. 33. - No. 1. - P. 33-48.
9. Marshall G.P., Culver L.E., Williams J.G. Craze growth in polymethylmethacrylate: A fracture mechanics approach // Proc. Roy. Soc. Lond. A.- 1970. - V. 319. - No. 1537. - P. 165-187.
10. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин E.B., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 c.
11. Кожевникова М.Е. Трещина нормального отрыва с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Модель Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 2. -С. 43-52.
12. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 3. - C. 53-62.
13. ГудъерДж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. - М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 13-82.
14. Orovan E. Fracture and strength of solids // Rep. Progr. Phys. - 19481949. - V. 12. - P. 185-232.
15. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - M.: Гостехтеоретиздат, 1947. - 204 с.
16. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. - М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 83-203.
17. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1958. - 608 c.
18. Кожевникова М.Е. Геометрическая форма деформированной трещины нормального отрыва при разгрузке и повторном растяжении // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - С. 43-59.
19. Brown H.R., Ward I.M. Craze shape and fracture in poly(methyl meth-acrylate) // Polymer. - 1973. - V. 14. - No. 10. - P. 469-475.
20. Morgan G.P., Ward I.M. Temperature dependence of craze shape and fracture in poly(methyl methacrylate) // Polymer. - 1977. - V. 18. -No. 1. - P. 87-91.
21. Frazer R.A.W., Ward I.M. Temperature dependence of craze shape and fracture in polycarbonate // Polymer. - 1978. - V. 19. - No. 2. - P. 220224.
22. Israel S.J., Thomas E.L., Gerberich W.W. Correlations of the craze profile in PMMA with Dugdale's plastic zone profile // J. Mater. Sci. -1979. - V. 14. - No. 9. - P. 2128-2138.
23. Andrews E.H., Levy G.M. Solvent stress crazing in PMMA: 1. Geometrical effects // Polymer. - 1974. - V. 15. - No. 9. - P. 599-607.
24. Young R.J., Beaumont P. WR. Time-dependent failure of poly(methyl methacrylate) // Polymer. - 1976. - V. 17. - No. 8. - P. 717-722.
25. Schirrer R., Goett C. Measurement of small scale yielding at a crack tip in a brittle polymer by means of shrinkage above the glass transition temperature // Int. J. Fract. - 1980. - V. 16. - No. 3. - P. R133-R136.
26. Салганик Р.Л. Модель трещиноподобной волны неупругого деформирования в твердом теле (трещина серебра) // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. - № 1. - C. 48-60.
27. Brinson H.F. The Viscoelastic Behavior of a Ductile Polymer // Deformation and Fracture of High Polymers / Ed. by H.H. Kausch, J.A. Hassel, R.I. Jaffee. - New York: Plenum Press, 1973.
28. Mills N.J. Dugdale yielded zones in cracked sheets of glassy polymers // Eng. Fract. Mech. - 1974. - V. 6. - No. 3. - P. 537-549.
29. Ishikawa M., Narisawa I., Ogawa H. Fracture processes in ductile polymer. II. Morphological analysis of the localized plastic deformation of polycarbonate film // Polym. J. - 1976. - V. 8. - No. 5. - P. 391.
30. Theocaris P.S., Gdoutos E.E. The size of plastic zones in cracked plates made ofpolycarbonate // Exp. Mech. - 1975. - V. 15. - No. 5. - P. 169176.
Поступила в редакцию 01.12.2009 г., после переработки 22.11.2010 г.
Сведения об aвmope
Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., то ИГиЛ СО РА^ kozhevnikova@hydro.nsc.ru
