Образование зоны контакта в поле сжимающих напряжений при малоцикловой усталости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.74375

Образование зоны контакта в поле сжимающих напряжений при малоцикловой усталости

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Рассматривается задача о сжатии переменными сжимающими напряжениями тонкой пластины с эллиптическим отверстием. Во время прямого хода цикла нагружения центральные участки границы эллиптического отверстия смыкаются, образуя зону контакта. Несомкнутыми остаются области вблизи вершин деформированного эллиптического отверстия. Сжатие материала не приводит к разрушению. Скачкообразное продвижение вершин эллиптического отверстия происходит в процессе разгрузки во время обратного хода цикла нагружения по истечению некоторого количества отработанных циклов. Задача решается в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Для нахождения параметров, характеризующих процесс деформирования и разрушения, построен достаточный критерий разрушения, объединяющий деформационно-силовые критерии для сжатия и разгрузки.

Ключевые слова: эллиптическое отверстие, зона контакта, зона предразрушения, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, реальный эллипс, фиктивный эллипс, сжимающая нагрузка, разгрузка

Formation of a contact zone in a compressive stress field under low-cycle fatigue

M.E. Kozhevnikova

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The paper considers the problem of alternate compression of a thin plate with an elliptic hole. In the loading half-cycle, the central parts of the elliptic hole boundary close up forming a contact zone; the regions near the vertices of the deformed elliptic hole remain open; the compression does not result in fracture. The vertices of the elliptic hole start propagating in a jump-like manner in the unloading halfcycle after a certain number cycles. The problem is solved in the framework of a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model. For determination of the parameters characterizing the deformation and fracture, a sufficient fracture criterion that combines strain-force

criteria for compressive loading and unloading is formulated.

Keywords: elliptic hole, contact zone, prefracture zone, Leonov-sive loading, unloading

1. Введение

В некоторых инженерных конструкциях, например в железнодорожных рельсах, в процессе их эксплуатации развиваются трещины, находящиеся в условиях знакопеременных, преимущественно сжимающих напряжений. Представления классической механики разрушения не могут объяснить, каким образом в поле внешних сжимающих напряжений, в которых отсутствуют положительные компоненты, возникают и развиваются усталостные трещины. Согласно классическим представлениям, значение сжимающих напряжений цикла вообще не должно влиять на развитие трещины, поскольку при сжатии она закрывается по всей длине. Однако результаты некоторых экспериментов [1], в кото-

-Panasyuk-Dugdale model, real ellipse, fictitious ellipse, compres-

рых исследовалась усталостная трещина, находящаяся в поле сжимающих напряжений, противоречат этим представлениям.

В работе [2] рассматривается механизм развития усталостной трещины в пластине, помещенной в поле переменных сжимающих напряжений. Предполагается, что первоначально трещина имеет параллельные берега и скругленные вершины. Поскольку при сжатии пластины в окрестности вершин трещины, имеющих конечный радиус кривизны, формируются пластические зоны, противоположные берега трещины смыкаются не по всей длине. Незамкнутыми остаются области вблизи вершин трещины. Причем размер этих областей не зависит от длины дефекта, но зависит от величины сжимаю-

© Кожевникова М.Е., 2011

щих напряжений: чем больше абсолютная величина сжимающих напряжений, тем на большей длине трещина закрывается.

В настоящей работе предлагается количественный метод исследования усталостного разрушения пластины с эллиптическим отверстием, помещенной в поле переменных сжимающих напряжений.

Рассмотрим более подробно процессы, происходящие при пульсирующем от нуля цикле нагружения, ког-

_тах п —.тт . г\ п

да ст^ = 0, ст^ < 0. Во время прямого хода цикла

внешнее напряжение меняется от ст^ (/) = 0 до ст^ (/) = = стГ < 0, во время обратного — от ст^ ^) = ст™ до Ст^ (0 = 0.

Во время прямого хода цикла при сжатии пластины достаточно большими внешними напряжениями в окрестностях вершин эллиптического отверстия реализуются значительные пластические деформации, имеющие отрицательный знак. Начиная с некоторого момента небольшой слой материала у вершины эллиптического дефекта переходит в состояние несжимаемости и последующее развитие пластической деформации в нем становится невозможным. За этим слоем, там, где состояние несжимаемости не достигнуто полностью, материал может деформироваться пластически [3]. При нагружении | ст^ )| = |ст^?| < |стт“| радиус кривизны в вершинах эллиптического отверстия р уменьшается до некоторого значения р(г) (г = 1, ..., N — номер цикла, N—число циклов). Последующее увеличение сжимающей нагрузки ст^ (ь) до ст™ приводит к провисанию противоположных центральных участков границы эллиптического отверстия и образованию зоны контакта (без трения) и, вероятнее всего, к незначительному уменьшению параметра р(г). Незамкнутыми остаются области вблизи вершин эллиптического отверстия. После того как этот слой материала у вершины эллиптического дефекта перешел в состояние несжимаемости, уменьшение параметра р(г) прекращается. Предположим, что при | ст^ (^| = | ст2? | переход этого слоя в состояние несжимаемости произошел. Тогда при |ст^(ь)| = = |ст^| значение р(г) будет минимальным.

При нагружении сжимающими напряжениями в вершине эллиптического отверстия возникает зона 0 развитых пластических деформаций (рис. 1, а). Полная деформация в вершине эллиптического отверстия имеет максимальную величину е|,г) = е е + 6^. Принимается, что упругая составляющая ее постоянна, пластическая деформация е^ может уменьшаться с увеличением числа циклов.

Во время обратного хода цикла образец стремится восстановить свои размеры. При этом все точки образца, находящиеся в упругой области, получают примерно те же деформации, которые они приобрели во время прямого хода, только обратного знака. На точки, находя-

щиеся в пластической зоне, со стороны упругой части образца действуют растягивающие напряжения. В конце обратного хода упругопластические деформации в вершинах эллиптического отверстия уменьшаются до величины е^, оставаясь деформациями сжатия. Зона 1 пластичности (рис. 1, б) сокращается с возникновением у вершин эллиптического отверстия растягивающих остаточных напряжений.

С увеличением числа циклов размеры зон 0, 1 пластичности при нагружении и разгрузке соответственно сокращаются. Это приводит к уменьшению минимального радиуса кривизны р(г) в вершинах деформированного эллиптического отверстия, увеличению длины зоны контакта при нагружении и уменьшению остаточной деформации при разгрузке. Так происходит до установления состояния насыщения. После каждого цикла нагружения и разгрузки определяется величина остаточной деформации, равная ширине петли пластического гистерезиса: Де^ = 2еРг). С увеличением числа циклов N пластически деформированный материал упрочняется из-за наличия поля растягивающих остаточных напряжений. Амплитуда пластической деформации Де^ уменьшается вплоть до стабилизации петли пластического гистерезиса, которая может установиться после нескольких десятков циклов и ранее, но не позже чем после 1/3 количества циклов, необходимых для разрушения [4]. После чего значение минимального радиуса кривизны в вершинах деформированного эллиптического дефекта и длина зоны контакта больше не меняются. В то же время амплитуда напряжений в непосредственной близости вершины эллиптического отверстия растет с числом циклов и приближается к значениям, которые следовало получить при воздействии внешней нагрузки, приложенной к упругой модели [5]. В силу усталостного упрочнения в процессе циклического нагружения предел текучести увеличивается и может быть определен методом экстраполяции Лоде, который поз-

Рис. 1. Схема деформирования эллиптического отверстия при сжатии (а) и разгрузке (б)

воляет найти предел текучести предварительно деформированного образца, экстраполируя кривую повторной нагрузки назад до пересечения с линией предварительной упругой разгрузки.

Теперь остановимся на процессе образования зоны контакта. Рассмотрим модель, в которой зона контакта двух поверхностей представляется как область взаимодействия двух слоев атомов, расположенных симметрично относительно большой оси узкого эллиптического отверстия. Начальная стадия процесса сближения атомных слоев характеризуется возникновением силы притяжения для центральной атомной пары. Возрастание внешних сжимающих сил увеличивает количество атомных пар, сближающихся по обе стороны от центра. Каждая атомная пара зоны контакта, за исключением двух атомных пар на концах зоны контакта, проходит стадии притяжения, равновесия и отталкивания. Между силой атомного взаимодействия и раздвижением X существует синусоидальный закон связи сть(у), у = = Ь + X. Когда межатомное расстояние соответствует состоянию покоя, т.е. у = Ь (рис. 2), силы сцепления нулевые. При увеличении у = Ь + X < 1.5Ь, X > 0, напряжения сцепления сть увеличиваются. При у ~ 1.5Ь напряжения сцепления ст ь проходят через максимум

ст г ~у[Щь (1)

где у — поверхностная энергия на единицу площади; Е — модуль Юнга, и быстро уменьшаются при дальнейшем увеличении у [6]. При уменьшении межатомного расстояния у = Ь + X, X < 0, напряжения сцепления сть становятся отрицательными, их абсолютные значения увеличиваются, достигают предельного значения, после чего больше не меняются. Связь между силой атомного притяжения и величиной сближения атомных плоскостей нелинейная, поскольку включает возрастание силы до некоторого максимума с последующим ее убыванием. Решение полной нелинейной задачи связано с большими трудностями. Для того чтобы обойти существенную нелинейность связи между силой и величиной сближения, воспользуемся моделью Гудьера-Каннине-на для растяжения [7]. Введя небольшие изменения, рассмотрим модификацию этой модели для сжатия. В модифицированной модели Гудьера-Каннинена два слоя атомов, образующих область контакта, разделяют пластину на две половины. Весь материал выше и ниже принимается линейно упругим. Модель схематично показана на рис. 2. Два слоя атомов, находящихся в процессе сближения, выделены серым цветом. Прямые и зигзагообразные линии (пружины), соединяющие атомы, обозначают линейный и нелинейный законы связи. Материал выше и ниже сближающихся слоев рассматривается как линейно упругий. Заметим, что хотя модель Гудьера-Каннинена позволяет перейти от нелинейной теории к линейной, переход этот весьма резкий и допускается ради простоты.

Рис. 2. Зона контакта деформированного эллиптического отверстия при сжатии

Присвоим центральной атомной паре зоны контакта индекс j = 0. Атомные пары, находящиеся справа от нее, пометим индексамиj = 1, ..., п. Предположим, что при внешнем напряжении ст^ притягивается j-я атомная пара. Сближение атомовj-й атомной пары 2X(7') = 0 увеличит сближения атомов в предыдущих (j - 1)-х атомных парах. Наблюдаются следующие закономерности:

к? <... < к? <... <к? = кт

>... >

>... >

Х(и) = 0,

к

(0)

> ... > к

О)

. > стЬи) = 0.

/Ъ 1

Таким образом, внутреннее сопротивление связи атомных пар из зоны контакта частично компенсирует возрастающую внешнюю нагрузку. При максимальной

*-» (п) т1г'

внешней нагрузке ст^ = ст^ симальна.

длина зоны контакта мак-

2. Постановка задачи

Тонкая бесконечная пластина с узким эллиптическим отверстием находится в поле переменных сжимающих напряжений, действующих перпендикулярно его большой оси. Большая ось эллиптического отверстия длины 210 расположена вдоль оси Оу. Начало координатной системы Оху находится в центре эллиптического отверстия. Максимальное напряжение цикла ст^ = 0. Минимальное напряжение цикла ст™ < 0 не превышает предела текучести. Значения пределов текучести при сжатии и растяжении одинаковы. В процессе малоциклового нагружения возникают заметные пластические деформации, поскольку оно проводится при сравнительно низких частотах и высоких напряжениях. Основная часть материала образца работает упруго, за исключением областей, примыкающих к вершинам эллиптического отверстия. В зоне предразрушения справедлив закон Гука для линейного напряженного состояния. Во время прямого хода цикла при ст^ ({) = ст^ (ст^ < < ст^?, I = 1,..., N*) радиус кривизны в вершинах эллиптического отверстия р уменьшается до минимального значения р(г). В силу усталостного упрочнения р(г-1) >

>р(г'). При ст^ ({) = стГ центральные участки границы эллиптического отверстия | у | < dсмыкаются, образуя зону контакта. Несомкнутыми остаются области вблизи вершин деформированного эллиптического отверстия длины 10 - d(г). Во время обратного хода цикла при разгрузке происходит расцепление поверхностей, образующих зону контакта. Сначала восстанавливается форма эллиптического отверстия с радиусом кривизны р(г) в вершинах. Затем под действием растягивающих напряжений со стороны упругой части образца эллиптическое отверстие приобретает форму, близкую к начальной. Сжатие материала не приводит к разрушению. Скачкообразное продвижение вершин эллиптического отверстия происходит в процессе разгрузки после N * отработанных циклов. Для получения оценки числа циклов N * снизу достаточно найти величину остаточной деформации Де ^ после первого цикла нагружения.

Для решения поставленной задачи воспользуемся модифицированной моделью Леонова-Панасюка-Даг-дейла для эллипса [8, 9].

Прямой ход цикла нагружения можно раделить на два этапа: в конце первого этапа при ст^ ({) = ст^,) формируется эллипс с радиусом кривизны в вершине р(г), в конце второго этапа при ст^ ({) = ст™ зона контакта достигает длины 2d(г).

Обратный ход цикла нагружения также условно разделим на два этапа. В конце первого этапа формируется реальный эллипс с радиусом кривизны р(г) в вершине, в конце второго этапа — реальный эллипс с радиусом кривизны р*(г) < р в вершине. Заметим, что значения р*(г) и р близки.

На первом этапе прямого хода цикла нагружения в рамках модифицированной модели Леонова-Панасю-ка-Дагдейла реальный эллипс заменяется фиктивным эллипсом. Длины больших осей реального и фиктивного эллипсов равны 210 и 2(10 + Д) = 21 соответственно. Зона предразрушения имеет длину Д. Концевые области фиктивного эллипса при 10 < | у | < I заполнены пластически деформированным материалом. Его скрепляющее действие для узкого эллипса эквивалентно заменяется растягивающими напряжениями сцепления, действующими по нормали к контуру эллипса и равными пределу текучести материала сту. Участки границы фиктивного эллипса при | у | < 10 свободны от напряжений. Заметим, что в модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла напряжения сцепления в зоне пластичности постоянны и равны пределу текучести материала ст ъ = ст у [8]. Этот постулат был принят, чтобы описать пластическое течение в зонах вблизи концов трещины и при этом обойти существенную нелинейность связи между силой атомного взаимодействия и раздвижением.

На втором этапе обратного хода цикла нагружения длина большой оси фиктивного эллипса равна 2(/0 + + Д(г)) = 2/(г). Длина зоны предразрушения — Д(г) <Д.

Участки границы фиктивного эллипса при /0 < | у | < /(г) нагружены стягивающими напряжениями сцепления, равными пределу текучести материала ст у.

3. Достаточный критерий разрушения

Неизвестными параметрами, характеризующими процесс деформирования и разрушения в г-м цикле при малоцикловом нагружении, являются упругопластическая деформация е^ в вершине реального эллипса, длины зон предразрушения Д, Д(г) перед вершиной реального эллипса при сжатии и разгрузке соответственно, длина зоны контакта d(г), радиусы р(г), р*(г) кривизны в вершине деформированного реального эллипса при сжатии пластины напряжениями ст^ и разгрузке соответственно.

Для определения этих параметров построим достаточный критерий разрушения, объединяющий деформационно-силовые критерии для сжатия и разгрузки.

Неизвестными параметрами на прямом ходе цикла являются ст^,), Д, е^г), d(г), р(г).

Для нахождения величин ст2,)(ер)), Д(е^г)) запишем систему двух уравнений, состоящую из деформационного критерия и силового модифицированного критерия Нейбера-Новожилова.

При построении деформационного критерия будем опираться на классический деформационный критерий прочности [10]

8 = йсе+. (2)

В зоне предразрушения у контура трещины выбирается ограниченная область такой высоты кс, удлинение которой в результате деформирования материала равно раскрытию 8 трещины в ее тупиковой части (е+ — максимальная растягивающая деформация в зоне предраз-рушения). В [6] выявлена связь радиуса закругления р ( в вершине деформированной трещины с раскрытием 8 в вершине трещины. Установлено, что удлинение элементарного объема высоты 2р( в результате деформирования материала равно раскрытию трещины в ее тупиковой части, т.е.

8 = 2р, е+. (3)

Если сравнить соотношение (3) с классическим деформационным критерием (2), можно заметить, что высота элементарного объема ^ совпадает с удвоенным радиусом закругления в вершине затупленной трещины.

Используя формулу (3), запишем деформационный критерий для сжатия. Пусть е|,г) = ее + е ^г) — предельная относительная сжимающая деформация в зоне пред-разрушения длины Д, ее = сту/Е. Тогда укорочение ограниченной области высотой 2(р-р(г)), находящейся в зоне предразрушения у контура эллипса, в результате деформирования материала равно закрытию 8 фиктивного эллипса в вершине реального эллипса под действием нагрузки ст 2,). По определению 8 = 2^, Е, —

Рис. 3. Схема перемещений отдельных точек эллиптического отверстия при сжатии (а) и разгрузке (б)

перемещение, вследствие которого точка А1(х*, /0) перейдет в точку А (рис. 3, а). Тогда критерий (2) перепишется в виде:

£(х*, /0) = (р-р(0)еС°. (4)

Радиус кривизны р(г) = р(г)(ст^*, Д) определяется соотношением

р(0=[|х(0)| -|£(х(0),0)|]2//0, (5)

где £( х(0), 0) — перемещение, вследствие которого точка А2(х(0), 0) перейдет в точку А2. Равенство (4) — деформационный критерий закрытия эллипса при сжатии.

Длина зоны контакта d(г) = d(г) (ст™, Д) находится из условия, отвечающего притяжению последней п-й атомной пары зоны контакта

кх(п), d(0) = х(п)

(6)

где £(х(п), d(г)) — перемещение, вследствие которого точка А3(х(п), d(г)) перейдет в точку А^.

Модифицированный критерий Нейбера-Новожило-ва имеет вид:

/+Ге

1

1стх(0, У)dУ = стy, у > /,

(7)

'е /

где стх (0, у) — нормальные напряжения на линии продолжения большой оси фиктивного эллипса длины 2/ = 2(/0 + Д), ге — интервал осреднения. Критерий Нейбера-Новожилова (7) позволяет получить среднее значение напряжений на интервале осреднения в случае, когда радиус кривизны р(г) в вершине фиктивного эллипса мал настолько, что значение нормального напряжения в вершине фиктивного эллипса выше «теоретической прочности» материала. Под «теоретической прочностью» понимается напряжение сцепления, равное пределу текучести материала: стъ = ст у. В основе этого предположения лежит постулат Дагдейла об одно-

родности напряжений сцепления на соответствующей длине [7]. В свою очередь, Е. Орован [11] предположил, что напряжение сцепления у вершины трещины в области атомных размеров должно быть таким же, как «теоретическая прочность» связи. Система уравнений (4), (7) — деформационно-силовой критерий для сжатия.

Неизвестными параметрами для обратного хода цикла нагружения являются Д(г), е^г), р*(г). Деформационно-силовой критерий для разгрузки состоит из силового модифицированного критерия Нейбера-Новожилова и деформационного критерия критического раскрытия эллипса в его вершине.

Критерий критического раскрытия эллипса является аналогом критерия критического раскрытия трещины:

8 = е^ = 2(ее + ер'))(р*(г) - р(0)

е(г) = ер „»(0

Кх", /0)

-,(0

-е

(8)

рЛ'' -р'

где £(х**, /0) — перемещение, вследствие которого точка А1/(х**, /0) перейдет в точку А^ (рис. 3, б). Параметр р(г) определяется соотношением (5), параметр

р*(г) =

(д/рч + |£( х (00),0)|)2 /

(9)

1

где £(х(00), 0) — перемещение, вследствие которого точка А2(х(00), 0) перейдет в точку А2.

Модифицированный критерий Нейбера-Новожило-ва для разгрузки:

/ « +ге

|стх(0, у)ёу = сту, у > /(10)

Ге /(■•)

где стх (0, у) — нормальные напряжения на линии продолжения большой оси фиктивного эллипса длины

2/(г) = 2(/0 + Д(г)). Критерий (8), (10) — деформационно-силовой критерий для разгрузки.

Таким образом, достаточный критерий разрушения представляет собой систему четырех уравнений (4), (7),

(8) (10) с четырьмя неизвестными ст£\ Д, ерг), Д(г), в процессе вычисления которых из соотношений (5), (6),

(9) определяются величины р(г) =р(г)(ст2,), Д), d(г) = = d(г)(Д), р*(г) =р*(г)(р(г), Д(0).

Для того чтобы построить достаточный критерий разрушения, необходимо знать нормальные напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом.

4. Нормальные напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом

Согласно [12], напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллипсом выражаются через первые и вторые производные функции напряжений Эри.

Функция напряжений Эри для прямого хода цикла нагружения F = F* + F**. Функция напряжений F * отвечает за распределение напряжений, при котором контур фиктивного эллипса свободен от напряжений [12]. Функция напряжений F** описывает распределение напряжений, при котором концевые участки контура фиктивного эллипса при l0 < | y| < l нагружены растягивающими напряжениями ау, и моделирует сопротивление пластически деформированного материала внешнему сжатию.

Функция напряжений Эри для обратного хода цикла нагружения F = F**. При этом функции напряжений F**, определяемые при сжатии и разгрузке, разного знака, поскольку при разгрузке пластически деформированный материал вынужден сопротивляться уже не сжатию, а растяжению.

При удалении от эллиптического отверстия добавочные напряжения быстро убывают. Граничные условия для функций напряжений F*, F** выводятся из условий на контуре эллипса, выраженных в напряжениях.

Воспользуемся эллиптическими координатами [12, 13]

x1 = x/l0 = (cf /10) sh u cos v,

У1 = y/lo = (cf /lo) ch u sin v, где 2Cf — межфокусное расстояние фиктивного эллипса для первого этапа прямого хода цикла нагружения,

(11)

1 -fl + Ai)-1 /

(12)

такое что

С2 = с2 = (1 + Діу

І0 ч - /

где Р^І0 =Р(1 + Ді)-1/10, Ді =ДІ0, Р^ Р — радиусы кривизны в вершине фиктивного, реального эллипсов соответственно. Если в формуле (12) параметры Д1, р^ р заменить параметрами д!г) = Д(г)//0, р^, р(г), получим формулу для определения межфокусного расстояния для вторых этапов прямого и обратного ходов нагружения.

Выразим нормальные напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с эллипсом в криволинейных координатах к х1( *1> У1 ) =

т-г ^ Л ^т-т ;ч2 I

= B,

: дВ, дF „ д2 F дА, дF , д2 F 7

1 + B, —г- + —1--------+ А,

дu дu

+ А,

дu 2

дв, дЕ + B д 2 F

дv дu 1 дuдv

дu дv

дА, 3F дv дv

1 дuдv

+

+ А,

д 2 F дv 2

S(x,, Уі) у(1 + v)x

E

А, дF B, дF 4 Ф

ау дu ау дv 4-а ау

(1З)

(14)

Здесь

F = F + F =Ф 0 + x,O,,

фо = Ф0(xi, Уі\ Фі =^(xi, Уі\

AO 0 = 0, AФ1 = 0,

F» =Ф0 + x,O», F “ =Ф0» + x1O,»,

Ф o = Ф 0 + Ф 0»> Фі = Ф» + Ф1»>

cc А, =—■ chu cos v, B, =—■ shu sin v, 1 h2 1 h2

дА, cos v sh u

дu

h2c

дА, _ sin v ch u дv

h2c

: 2ch2u7

1 -------

h1

: 2 cos 2 v 7

1 -~

дВ, sin v ch u

дu

h2c

дВ, _ cos v sh u

дv

2 sh2u 7 1 ------“---

h1

27

2 sin2 v

h,2c

а = 2(1 -v),

1 +

где v — коэффициент Пуассона; h2 = c2(sh2u + cos2 v), hj2 = sh2u + cos2 v — коэффициенты искажения.

Функция напряжений F*, ее частные производные, функция Ф* в условиях сжатия имеют вид [12]:

F* = -а^) с2[1 + ch (2u) + 2A*u + 2CVu sh u +

8

+ (- ch(2u) -1 + 2B*e~lu + 2CVu shu) cos (2v)],

ЭТ*

дu

c 2[sh (2u) + A* + C *e~2u +

+ (-sh (2u) - 2BV2u + C*e~2u )cos (2v)],

^ а.(t) 2t u ґ~. ч і . тп» -2u .

-----=-----— c (-ch(2u) -1 + 2B e +

дv 4

+ 2C*e~u sh u) sin (2v),

д 2F* = а. (t) c2 дuдv

c2(- sh (2u) - 2B*e_2u +

+ C V2u) sin (2v),

d_F_ = - MO c2[ch (2u) - C*e~2u + дu2 2 L V 7

+

2

(15)

+ (- ch (2u) + 2B*e~2u - C V2u) cos (2v)],

<^F_ = MO c2(-ch (2u) -1 + 2B*e~2u + дv 2

+ 2C * e_u sh u) cos (2v),

а. (t)

c(sh u + C e u) cos v.

Для первого и второго этапов прямого хода цикла нагружения ст^ (0 = ст2?, ст^ (t) = ст^1П соответственно. Граничным условиям

ЭЕ * /ди = 0, ЭР * /дс = 0

x

при и = и0 удовлетворяют константы [12]

А* =-1 - Л(2и0),

В* = е2и0/2 + 3/4 - е4и%, с* = 1 + е2ио.

Если в формулах (15) верхний индекс заменить ин-** . ч дексом , внешнее сжимающее напряжение ст^ (*) —

растягивающим напряжением сту, то можно определить функцию напряжений Р **, ее частные производные и функцию Ф** в условиях сжатия.

Если же в формулах (15), помимо вышеописанной смены индексов, напряжение ст^ (0 заменить сжимающим напряжением -сту, то получим функцию напряжений Р **, ее частные производные и функцию Ф** в условиях разгрузки.

Граничные условия для функции напряжений Р ** определяются из условия равновесия сил в направлении осей х1, у1:

Y = -

дУ1

dF ** dxj

fdF ** 7

v=v2

+

v=v2 V

дУ1

dF**

Эх1

/»=»1

7

(16)

= 0

и условия равенства нулю момента сил М относительно точки х1 = 0, у1 = 0:

(

M =

dF ** dF

х,—— + У1

где

dF *

x

дх1 dF *

x1

dx1

„ f

-+ У1-

дУ1

др**

дУ1

- F *

- F *

= 0,

(17)

У»=»1

дF ** дF *

ch u cos v-------------- sh u sin v

Л

дu

дv

дх1 h

\

дF ** с f . дF ** дF **7

sh u sin v------------+ ch u cos v

дУ1

дu

дv

В равенствах (16) величины X**, Y** = 0 — проекции сил, вызванные растягивающими напряжениями ау, действующими на концевом участке контура фиктивного эллипса при u = u0 и я/2 = v1 < v < v2 (1 <У1< 1 + +Д1), sin v2 = (1+ А1)-1.

Величина X** для малых А1 определяется формулой

v2 ~ v2 I-------------

X** = ау Jd(~/l0) = с sh2u0 + cos2 v dv ~

я/2 я/2

= сау sh u0 (v2 -я/2), (18)

где ~/10 — безразмерная длина контура u = u0 при

v1 < v < v2.

С учетом граничных условий (16), (17) для функции напряжений F** получаем систему уравнений

$1A + bjB + C1C + ^1 = (X ),

a2 A + b2 B

a3 A + b3l

+ C2C + ^2 = 0, + C3C + ^3 = 0,

(19)

где

a1 =

sh u0 sin v2

1 4(sh2u0 + cos2 v2) 4 sh u0

-2u0

sh u

sh u0 sin v2 cos (2v2) + ch u0 cos v2 sin (2v2)

sh2u0 + cos2 v2

c1 = [e_2u° (1 + cos (2v2)) sin v2 sh u0 -

- e_u° cos v2 sin (2v2) sh (2u0)] x x [4(sh2u0 + cos2 v2)]-1,

d1 = [sh u0 sin v2 sh (2u0) (1 - cos (2v2)) + + ch u0 cos v2 sin (2v2)(ch (2u0) +1)] x x[4(sh2u0 + cos2 v1)]-1 - ch u0, a2 = ch u0 cos v2, b2 = 1e_2Uo (sh u0 sin v2 sin (2v2) -

- ch u0 cos v2 cos (2v2)),

c2 = e_2u° ch u0 cos v2 (1 + cos (2v2)) + i2u0 sin (2v2) sin v. cth u0 (1 - sin v2)

+ 2e u°sh2u0 sin (2v2) sin v2,

d2 = 0, a3 = -

Ьз = e

-2u 2 cth u0 - 2 cth u0 sin v2 + cos (2v2) +1

sh u0 cos2 v2

d3 = ch2u0 - ch u0 sin v2 ((X**)'/sh2u0 + ch u0) +

+ (1 + ch (2u0)) sin 2 v^4 - (ch(2u0) +1)/4,

(X / = -X j(cay) = -sh u0( v2-п/2).

Первые два уравнения системы (19) определяются условиями равновесия сил в направлении осей x1, У1, последнее — условием равенства нулю момента сил относительно точки x1 = 0, У1 = 0.

Решая систему уравнений (19), находим константы

A**=

C :

(X **)'- В**Ъ1 - C**c1 - d1

,

a1

B** = a2d1 - a1d2 - a2(X**)'- C*(c2a1 - a2c1) ab - a2b1

C** = [(a3d1 - a3(X**)'- a1d3)(a1b2 - a2b1) --(a2d1 -a2(X**)'-a1d2)(a1b3 -a3b1)]x x[(a1c3 - a3c1)(a1b2 - a2b1) -

- (a1c2 - a2c1)(a1b3 - a3b1)]_1.

+

+

Функция напряжений Эри Р = Р + Р для первого этапа прямого хода цикла нагружения определена. Нормальные напряжение и перемещение в произвольной точке пластины с деформированным фиктивным эллипсом вычисляются по формулам (13), (14).

Функция напряжений Эри для следующего цикла нагружения определяется аналогично, но с учетом поля растягивающих остаточных напряжений в окрестности вершин эллипса. В процессе нагружения остаточные напряжения меняются по величине.

Заметим, что функция напряжений Эри Р вычислялась, исходя из предположения, что напряжения сцепления в зонах контакта и пластичности постоянны и равны пределу текучести материала стъ =сту. Однако предположение, что ст ъ = ст у, оправдано только для концов пластической зоны. На концах зоны контакта силы сцепления нулевые. Это побуждает многих авторов считать, что распределение сил сцепления неравномерное. Один из вариантов распределения сил сцепления — линейное распределение для зоны пластичности (/0 < у < /0 + Д) [6]:

— = -СТ~(t)С (2 sh (2u) + A* + 2B*e~lu) = дu 4

= -a~(t)[(1 -B ) + B У12 +

+ с 2( A * - 2 B*)/ 4],

д 2 F *

—^ = -a„ (t) c2(ch (2u) - B*e~lu) = дu 2

= -a.

= (t) [2B*У1у/У12 - с2 +

+ 2У12(1 - B*) + (B* - 1)с2],

ЭГ“

дu

2 j-,**

д 2 F

дF * ay

дu (t) дu2

д 2 F * a у дu 2 (t)'

После необходимых вычислений критерий Нейбера-Новожилова (7) для сжатия примет вид:

- N*

(t) rjI0 - N**

(23)

где

N* = (1 - B*) у1 t2 + B*l

У1 -c

a ь (У) = a у +-

-(l0 +Д- y).

-y. Д (21)

Максимальные силы сцепления определяются формулой (1).

Исключая из формулы (21) предел текучести материала a у и меняя интервал воздействия сил, получим линейное распределение сил сцепления в зоне контакта длины 2dдеформированного эллипса для прямого хода цикла нагружения (0 < y < d(i)):

a ь( y) = amax(y - d«)/d® (22)

Формулы (21), (22) могли бы уточнить функции напряжений Эри F*, F**, однако это привело бы к значительному усложнению процесса их вычисления.

5. Критерий Нейбера-Новожилова для фиктивного эллипса

Найдем напряжения на линии продолжения большой оси фиктивного эллипса a^ (0, y1). При х1 = 0 формулы (13), (15) заметно упрощаются:

sin v = 1, sh u = д/yj2/с2 -1, ch u = yxjc,

sh (2u) = 2 yj с 2 ^ y12 - с2, ch (2u) = 2 y^/ с2 -1,

-2u 2 j 2 ^ / 2 f

e = 2У1/с -1 - 2У1/с V'

2 2 У1 - с 3

A1 = 0, ^ = 0, дu

2 2

У1 - с

дB1

дu

У1

22 У1 - с

Следовательно, напряжения на линии продолжения большой оси эллипса можно записать в виде:

aхД0, У1) = B1

^B, дP „ д2 F 7 1 + B,

дu дu

дu2

A* - 2B*

22 У1 - c

(24)

Ч = 1 + Д1> (2 = 1 + Д1 + ге//0-

Заменив в формуле (24) у входящих в нее констант верхний индекс индексом , получим формулу для определения Ж**.

Критерий (23) — преобразованный модифицированный критерий Нейбера-Новожилова для сжатия. При ст^(0 = ст^,), ст^(1) = стГ критерий (23) соответствует первому, второму этапам прямого хода цикла нагружения соответственно. Для разгрузки, когда ст^(1) = 0, ^ = 1 + Д(г), 12 = 1 + Д(; ^ + ге/ /0, критерий (23) запишется в виде неявного выражения

'е//0 -N1** = /М0, Д1, ст^Усту) = 0 (25)

для определения длины зоны предразрушения Д^.

6. Достаточный критерий разрушения

Достаточный критерий разрушения включает два деформационных критерия (4), (8) для сжатия и разгрузки и два силовых критерия (23), (25). Запишем деформационные критерии (4), (8) в виде:

где

где

^(х*> 1) - (р/10 -Р(г)/10)(ерг) + е !г)) =

= /2^1, е ст£>/ a у) = 0,

4° = -е e+S( х**, 1)(р*(г710 - р(г710)-1,

P°'VI0 = (|х10)|-|К х10),0)|)2,

Р*(°/10 = (V Р(0/10 + 1£( хГ,0)|)2,

(26)

+

+

Таблица 1

Материал єе пгеї 10 ау/ Д1 4° є® ьр Д?

Углеродистая сталь 0.3 % С 1.76-3 0.10 1.41 6.1-3 0.979 0.112 4.2-3

Углеродистая сталь 0.1 % С 1.24-3 0.15 1.28 8.3-3 0.987 0.120 6.9-3

1 =7(1 - (1+Д1)-2)((1+Д1)2 - с2), х** = V(1 - (1 ■

+ Д"Г)((1 + ДГГ - ^),

Х1(0) ^ (1 + Д1)2 - С2, Х1(00) ^ (1 + Д®)2 - с2. Перемещения £(Х1, У1) вычисляются по формуле(14). Параметры Є0, р//0, ге//0 считаем заданными. Поскольку два из четырех критериев, входящих в состав достаточного критерия прочности, заданы неявно, последовательность проведения вычислений величин а^/ау, Д1, є^, Д(1г) следующая. Из критериев (23), (27) величины ст^,уау, є^, выраженные явно, подставляем в (25), (26). Перебирая комбинации параметров

Д1СД Д°(*): Д1(0) = 10-6, Д1)(0) = 10-6,

Д1(у +1) = Д1^./) +t, Д1(£ +1) = Д1(£) +t,

ї = 5 • 10-5, j = 0, ..., т, к = 0, ..., т, находим комбинацию, при которой

/1(Д(1°, Д1, ст^уСту), Л(ДЪ ер'>, а а у)

минимальны и близки к нулю.

Для определения длины зоны контакта 2d1(г) перепишем формулу (6) в виде:

КХ1(И), 4г))-х{й) = /з(Д1,аГ/ау, d1(i>),

где х}п) = д/(1 - ^(г)2(1 + Д1)-2)((1 + Д1)2 - с2). Перебирая d1(г)(k): d1(г)(0) = 10-5, d1(г)(£ +1) = d1(г)(k) + ї, находим d1(г), при котором /3(Д1,ат“Уау, ^(г)) минимальна и близка к нулю.

В табл. 1 приведены значения параметров а у I а^,),

Д1, d1( , £р , Д(1 ) для первого цикла нагружения, когда р//0 = ЬШ-5, сту!ст™ = 1.04. Согласно таблице, при сжатии эллипс закрывается не по всей длине: незамкнутыми остаются области вблизи вершин эллипса. Дли-

Рис. 4. Границы деформированного фиктивного эллиптического отверстия при сжатии

на зоны пластичности Д(1 ) при разгрузке меньше длины зоны пластичности Д1 при сжатии.

На рис. 4 показаны границы деформированного фиктивного эллипса при сжатии пластины из углеродистой стали 0.3 % С. На рис. 4, а отображен интервал 0 < | у 11 < < 1, на рис. 4, б — интервал 1 < | у11 < 1 + Д1.

7. Усталостное разрушение при малоцикловом нагружении

При мягком цикле нагружения материал образцов, изготовленных из стали, упрочняется от цикла к циклу и петля пластического гистерезиса стабилизируется довольно быстро [14]. Оценить с запасом число отработанных циклов N *, после достижения которого произойдет скачок вершин эллипса, можно, воспользовавшись критериями, предложенными в [4, 14] для жесткого цикла нагружения. Заметим, что на микроскопическом уровне трещина либо узкий продолговатый дефект усталости растет скачками. Величина скачка за цикл нагружения составляет несколько параметров кристаллической решетки [3].

Критерий малоцикловой усталости, предложенный в [14], имеет вид:

Де® = с/ж " (28)

где п, С — постоянные; N — число циклов. Для большинства металлов показатель п имеет значение 0.55. Постоянная С = 1/21п Р0/Ри определяется исходя из начального Р0 и конечного Ри (после разрыва) поперечного сечения образца при статическом растяжении. Выражение (28) правомерно только для области малоцикловой усталости, поскольку именно в этой области пластическая деформация е^ за цикл заметно превышает упругую деформацию ее.

В [4] учтены две составляющие деформации:

Де<° = Де® + Дее = С N *п + 2сте/ Е. (29)

Принималось, что упругая составляющая ее постоянна, сте — предел упругости. В выражении (29) константы С и п те же, что и в выражении (28).

Зависимости (28), (29) позволяют определить количество циклов до разрушения при жестком цикле нагружения. Для этого достаточно найти полную или пластическую деформации. При мягком цикле нагружения амплитуда пластической деформации Де^ уменьшается вплоть до стабилизации петли пластического гистерезиса. Если в формулы (28), (29) подставить максимальное значение ДеРг), определенное во время первого

цикла нагружения, можно получить оценку числа циклов N * снизу.

Полученную оценку числа циклов N * можно уточнить, определяя остаточные деформации Де^г) и напряжения в конце каждого цикла нагружения. Выявление минимального значения Де^ позволит найти оценку числа циклов N * сверху. Заметим, что на точность расчетов влияет предположение, что распределение сил сцепления в зонах предразрушения и контакта равномерное и неопределенность момента перехода небольшого слоя материала у вершины эллиптического дефекта при сжатии в состояние несжимаемости.

8. Заключение

Для сведения существенно нелинейной задачи к граничной задаче теории упругости использовались модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, Гудьера-Каннине-на. В результате задача значительно упростилась, что позволило качественно и количественно описать процессы сжатия (с образованием зоны контакта) и разгрузки пластины с эллиптическим отверстием при малоцикловом нагружении переменными сжимающими напряжениями. Построенный достаточный критерий разрушения позволил вычислить параметры, характеризующие процесс деформирования и разрушения при малоцикловом нагружении.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-00220) и программы Президиума РАН (проект №23.16).

Литература

1. Крысанов Л.Г., Тырин В.П., Шабанов А.П. Влияние сжимающих напряжений на развитие усталостных трещин в рельсах // Повышение надежности верхнего строения пути в современных условиях эксплуатации: Сб. науч. тр. / Под ред. Л.Г. Крысанова. - М.: Интекст, 2000. - С. 55-59.

2. Шабанов А.П. О механизме роста усталостной трещины в поле внешних сжимающих напряжений // ПМТФ. - 2005. - Т. 46. -№6. - C. 108-115.

3. Арутюнян Р.А. Проблемы деформационного старения и длитель-

ного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2004. - 252 с.

4. Коцаньда С. Усталостное разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1976. - 456 с.

5. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1965. -Т. 2. - 480 с.

6. Pluvinage G. Mecanique Elastoplastique de la Rupture. - Toulouse: Cepad, 1989. - 184 p.

7. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разру-

шение. - M.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 13-82.

8. Керштейн ИМ., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А.

Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

9. Кожевникова М.Е. Геометрическая форма деформированной трещины нормального отрыва при разгрузке и повторном растяжении // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - С. 43-59.

10. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 1. - Киев: Наукова думка, 1988. - 487 с.

11. Orovan E. Fracture and strength of solids // Rep. Progr. Phys. - 19481949. - V. 12. - P. 185-232.

12. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.: Гостехтеоретиздат, 1947. - 204 с.

13. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. - М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 84-201.

14. Коффин Л. Циклические деформации и усталость металлов // Усталость и выносливость металлов. - М.: Иностранная литература, 1963. - С. 257-273.

Поступила в редакцию 18.10.2010 г., после переработки 31.01.2011 г.

Сведения об авторе

Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., не ИГиЛ СО РАН, kozhevnikova@hydro.nsc.ru, m.e.kozhevnikova@yandex.ru