Задача Адамара в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517.946

ЗАДАЧА АДАМАРА В КОЛЬЦЕ

© о. Э. ЯРЕМКО, Т. В. ЕЛИСЕЕВА*

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа *Пензенский государственный университет, кафедра высшей и прикладной математики e-mail: [email protected]

Яремко О. Э., Елисеева Т. В. - Задача Адамара в кольце // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С.50-52. - В статье приводится аналитическое решение задачи Адамара в кольце. Полученные результаты могут быть применены для решения обратных краевых задач, типа задачи Адамара. Исследование основано на методе операторов преобразования.

Ключевые слова: задача Адамара, обратная краевая задача, оператор преобразования.

Yaremko O.E., Eliseeva T.V.- Hadamard problem in the ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 50-52. - In article the analytical decision of Hadamard problem in a ring is resulted. The received results can be applied to the decision of return boundary problems, type of Hadamard problem. Research is based on a method of transform operators.

Keywords: of Hadamard problem, a return regional problem, transform operator.

Рассмотрим задачу: требуется найти функцию и (г,ф), удовлетворяющую внутри кольца K :r < |z| < 1 уравнению Лапласа

1 д ( ди \ 1 д2и

Аи =-1 r— |+——- = 0 , (1)

r dr V дr) r дф

непрерывную в замкнутом кольце K , причем такую что на границе круга должны выполнятся условия

I п ди

и , = 0,

lr=1 дп

где g (ф ) - непрерывная, 2п - периодическая функция.

Решение задачи Адамара получено в виде:

тл 2п 1 ^ 1 ( X ^ 2п

и (г,ф )=----J g (у )dy ■ ln r +-J—I e r - e-'r |J ex cos(ip-v) cos (X sin (ф -^ ))g (у )dy dk. (3)

2n 0 2п оX V ) о

Приведем вначале доказательство интегрального представление для функций аналитических в кольце

r < |z| < 1.

Теорема 1. Пусть функция w = f (z) - аналитическая в кольце r < |z| < 1, и непрерывна в замкнутом кольце r < |z| < 1, тогда справедлива формула:

f (z )=2п7 j: e~E J(q )v+j: e-E J 7zf (q )dq,r <1 z <1- (4)

C1 C2

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций

f’(z)= 2л/J.VCJ :'f fe >f+ J.v J Tf d,r <z| <'■

= g (ф ), (2)

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ ►►►►►

По теореме Коши в обоих внутренних интегралах контур интегрирования можно перенести на окружности С1,Сг, соответственно. Так, что

fN (Z )= 2п/i e"f (S ) f + 2П7 ^ i YZf ^ , Г < Z < L

С1 ^ С2

Меняя порядок интегралов в каждом слагаемом, и вычисляя внутренний интеграл по переменной е , получим:

— i

2п i I

1

S— z S— z

f (s )ds,r <|z|< 1.

Осуществим предельный переход при N ^ да. Имеем оценки:

1 . p-Ni~l-\z\), , e-N(44

s ül -щ-1f (i)H di|s ~тым ■

аналогично,

r " - nH )"

e ' gl f(?)dg

2^'C s-z

r " ^ f(?)dg

2 ml z

In C Z-r

-Я

z - r

здесь M = max f (z) . Из приведенных оценок следует, что слагаемые

r<\z\<Р V '•

f

2п i I

— N I —

S — z

1 с e \ /

f (s )dS ,т~г f---------------------f (s )dS,r <z <1

2п i Д с — z

-N 1—-

S — z

оба стремятся к нулю, причем сходимость будет равномерной по z в любом замкнутом подкольце r1 < |z| < r2. И, значит, lim fN (z )= f (z ).

N

Решим следующую задачу Адамара [1]:

найти функцию u (г,ф ), удовлетворяющую внутри кольца K : r < |z| < 1 уравнению Лапласа

. 1 д ( ди Л 1 д и

Аи =----1 г— 1+——- = 0,

г дг \ дг) г дф

непрерывную в замкнутом кольце К , причем на границе круга должны выполнятся условия

u| 1 = h (ф ), —

u дп

= о,

(5)

(6)

где h (ф ) - непрерывная, 2п - периодическая функция.

Из уравнений Коши-Римана [2] следует, что —л>ф = m'r и, значит v (1,ф )= 0 f = и + iv

имеем равенство f L=1 = h (ф ) Применив интегральную формулу (4) в которой r = r2 = 1, получим:

1 1 1 f pit ^ f (z) = —¡0 p' е j ехР(sze ")h(t) dt + 2~/0 e~e J —exp—Jh(t) dt, r < |z| < 1.

Возьмем действительную часть, в последней формуле получим решение задачи (5)-(6):

а 2п а 2п

u (r ,ф )=2п f;e-E fRe [exp (e ze—' ъ(t )dt+г e~E fRe

2n Jo

1 f e7t

—exp I e— z i z

h (t)dt, r < |z| < 1,

где z = rev.

В заключение наметим план решения задачи (1)-(2). Рассмотрим вспомогательную задачу (5)-(6):

. _ 1 д ( ди Л 1 д2и

Аи =-----1 г— | + ——- = 0,

r dr i dr ) r дф

N 1

z

e

z

e

r=1

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

=1=* <ф )• I

= 0,

1 2п

где *(ф)= — /^ Я(ф +¥ )^ •

Непосредственная проверка показывает, что решение задачи (1)-(2) имеет вид:

•% 2п л 2п

(г,ф )=^ ^ [ехр (е У* ()л + 2П10”11т

0 0 Интегрируя в правой части почленно, и учитывая что выполнено равенство *' (ф)= 8 (Ф) мы приходим к формуле (3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

г

г=1