Решение смешанной краевой задачи с внутренними условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.946

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ВНУТРЕННИМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕ

© О. Э. ЯРЕМКО*, А. А. МАЛЫШЕВ**

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

*кафедра математического анализа **кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Яремко О. Э., Малышев А. А. - Решение смешанной краевой задачи с внутренними условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 43-45. - В статье, метод парных сумматорных уравнений применяется для решения смешанной краевой задачи с m- внутренними сопряжением для уравнения Лапласа в кольце. Указанная задача приводится к сингулярному интегральному уравнению. Ключевые слова: сумматорные уравнения, смешанная краевая задача, внутренние сопряжение.

Yaremko O.E., Malyshev A. A. - Solution of the mixed boundary value problem with m-inner adjoint for the Laplace equation in the ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im. V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 43-45. - In this paper, the method pair summatory equations applied to solve the mixed boundary value problem with т-inner adjoint for the Laplace equation in the ring. This problem is reduced to a singular integral equation.

Keywords: summatory equations, mixed boundary-value problems, inner adjoint.

Рассмотрим задачу определения решения сепаратной системы уравнений Лапласа в кольце

Ди1 = 0, Ri < г < Ri_1, ^ е[0,2^] / = 1,2,..., п,

по краевым условиям

и |r=R = 0,^е СЕ

(1)

д

дг 1 lr=R

llr=R = f(p), Pe E , 0

(2)

где

m j \ —

E = IJ a ,p^), CE = [-n,n\-E, -n<a <e <... <am <Pm <n, f (p), pe E k=1

лт

r=R

= 0

m

(3)

- заданная гладкая функция, и внутренним условиям сопряжения

Решение задачи (1),(2),(3)

U = иы,r = R,

Ku't = UL, r = Ri, i = \ — ,m -1.

Щ1 = Щ1( Г,Р) , Щ2 = Щ2 (Г,Р) , ■■■Um = Um (Г,Р)

(4)

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

ищется в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных вплоть до его границы. Раскладывая в ряды Фурье и применяя граничное условие (3), получаем следующие представления для неизвестного решения сепаратной системы уравнений (1) в слое с номером т :

/ ч 1п (Rm / г) <» (Rm / г) -(г / Rm) , ч

ит (г ,ф) = Лд 1 ^ п ч ^ ^ ^—{п—7!------„ \П (Ап С08 пФ + вп ^ пф) .

In

(Rm/Rm-l) «=1 {Rm/Rm-1) ~{Rm-l/Rm )

Пусть

ГО , , ж 1 / ч

i = се„ , ln г + A„ 1+У г" (A л cos nm + B л sin nm] + 2—(C л cos nm + D ^sinw®).

m-1 m-1 0m-1 n=| \ nm-1 r nm-1 W n=i nm-1 ^ nm-1 V

Из условий внутреннего сопряжения (4) на m -1 слое для определения неизвестных коэффициентов

a 1,A i,A ^B ,, C ,,D ,:

m-1 0m-1 nm-1 nm-1 nm-1 nm-1

получаем систему уравнений:

ж , ч

a 1lnR 1 + An i+2( A , cosnm+B , sinпф) + m-1 m-1 0m-1 n=1\ nm-1 ^ nm-1

ж j \ ж

+ 2 (Cnm-1 cos «ф+Dnm-1 sin «ф)_ A0 + (An cos «ф + Bnsin «ф);

1 2 n ((An1 cos Щ + Bn1 sin W)- (Cn1 cos Щ + Dn1 sin nф)) _

R.

m-1 k + k

km-1 m-

R ^ n (R /Rm-1)- +(Rm-1/Rml (An cosnp + Bn sinnqS).

Rm-1 ln (Rm / Rm-1 ) n=1 (Rm / R.-1)" - (Rm-1 / R )'

Ввиду единственности разложения в ряд Фурье, получаем:

km-1ln (Rm / R

A /P ) ln (Rm-1 / r) + A0 + 2 f (r / Rm-1 ) ■ 1 ^”m-1 + (Rm-1 / Г)” ' l X (An cos Пф + Bn sin Щ>) ,

(Rm 1 Rm-1) n_1V 2 2 J

где

1 1 + (Rm-J Rm )

2n

О _

nm-1 j In '

km-H-(Rm-1/ Rm )

Аналогично, из остальных условий сопряжения (4) находим последовательно компоненты решения ит2,^,и1. В явном виде решения мы не выписываем ввиду громоздкости получающихся выражений. Рассматривая асимптотику решений для больших значений п, получим следующие представления для решения задачи (1)-(4):

ж I r II k. +1

uni _ at ln r + A0 + 2 I —

n_1\ R

2k.

m-1 J

km-1 + 1

\ 2km-1 J

V 2k- J

(1 + Sni) (An cos «ф + Bn sin «ф)

d ж | r

r—un i =2 n I — dr n,i n_1 \ R_

km-1 + 111 km-1 + 1

2k

m-1 J

V 2km-1

kt + 1 2k,

I1 + S„,)(An cos nф + Bn sin n<p)

где sn t _ sn t (r), 8n t _ 8n t (r) известные функции переменного r, для которых выполнены оценки:

IS(r)\- Zj’ \sni(r)\- ^.

Из краевых условий (2) имеем

ж I R I / ч

u1 _a1ln (R0) + A01 +nm 2 — I (1 + s« 1 )x(An cos nф + Bn sin «ф)_ 0,фе CE,

01 n_1VRm J

(5)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

а * (R Т /

г~Тип,1 = а1 + Пт Е п —1- I (1 + ^1 )х(Ап сое Пф + вп вт Пф) = Я0/ (р) ,р<= Е, (6)

& п=1 V К ) у

а „ * К,

—и = а1 +п т Е П 1 аг п=1

здесь обозначено:

^ , +1

1—г т-1

Пт =П ,=

V 2k .

V т-і J

Уравнения (5)-(6) представляют систему парных сумматорных уравнений [1], решение которых, как известно [1], можно свести к решению сингулярного интегрального уравнения:

1 ЇР(у)а ' 1 Г^Л,-х) + Ъу №(у)ау = -Г(х), хє Е,

_! +п |Г ^ (у- х)+ъу и (у) ау=- г (х),

■Е у - X пЕ [ 2

у-х [ 2

где

\ 1 X 1 ^

К(х)=-с^~------^Уп вшпх,

2 2 х п=1

последовательность коэффициентов {ук} участвующая в определении функции К (х) однозначно определяется по набору чисел еп1,5п1,i = 1,...,т .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.