Метод парных сумматорных уравнений для решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.946

МЕТОД ПАРНЫХ СУММАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕ

© А. А. МАЛЫШЕВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

кафедра алгебры e-mail: [email protected]

Малышев А. А. - Метод парных сумматорных уравнений для решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в кольце // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 11-14. - В предлагаемой статье, метод парных сумматорных уравнений применяется для решения смешанной краевой задачи с внутренним сопряжением для уравнения Лапласа в кольце. Указанная задача приводится к сингулярному интегральному уравнению.

Ключевые слова: сумматорные уравнения, смешанная краевая задача, внутренние сопряжение.

Malyshev A. A. - The method pair summatory equations for solution of Laplace equation in the ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 11-14. - In this article the method pair summatory equations applied to solve the mixed boundary value problem with inner adjoint for the Laplace equation in the ring. This problem is reduced to a singular integral equation.

Keywords: summatory equations, mixed boundary-value problems, inner adjoint.

Рассмотрим задачу определения решения сепаратной системы уравнений Лапласа в кольце

Aut = 0, Ri < r < RM, i = 1,2 ,

(1)

по краевым условиям

U |r=R = 0,фе CE

dr

(2)

r=R

= 0

(3)

и внутренним условиям сопряжения

где

Mj = «2, r = Rj, kujr = «2 , r = R1,

т / \ —

Е = и (ак) ’СЕ = [-п,п] -Е, -ж < а < <... < ат < вт < ж , /(ф), ф е Е, - заданная гладкая функция.

Решение « = и~1 (г,ф) ’ и2 = и2 (г,ф) ищется в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных вплоть до его границы’ где

Uj =al

(JU П I \ I \ I \

Inr + Aoj + Z (r/R) (A^jcosпф +B^jSinnv)+Z\Rj/r) (C^cosпф + D^sinпф)

d

u

2

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

In (я-/Г) да (R2/ r) -(r/R2) , ч

и- (г,ф) — An~—f--ч- + X — -----гй—:----cosпф + В~ sinпф).

2' ' 02 ln(R-/Я,) n—1 (r2/r,)" -(R,/r2)n ' n2 ф n2 ф

Из условий внутреннего сопряжения следует

да i \ да í \ да í \

alnЯ, + Ag, + 2 (An,cosпф + B^sinпф) + 2 (Cn,cosпф + Dn,sinпф) — Ag- + 2 (A^cosпф + B^sinпф); n—1 n—1 n 1

ak+k 2 n((An,cosпф+Bn,sinn^)-(Cn,cosпф + Dn,sinпф)) —

a02 да (Я2/R,)n +(Я,/Я2)п/, D . \

= - ,, , /2-- - 2 п^-2—^^(A ,cosпф+B ,smпф).

Я,In(Я2/Я,) п—1 (я-/Я,)п-(Я,/Я-Г п2 п2 >

Ввиду единственности разложения в ряд Фурье, получаем

U = k ln Rh Я)1П (Rl/ Г) + A02 + n—, ((Г / Rl )П ‘ ^ +(Rl/ Г )П ‘ 1~±2П )( An2 cos Пф + Bn2 sin пф),

n—

где

T —— 11 + (RJ Я2 )2n

П k 1 -(Я, / R2 )2n ,

ln (R2/ r) * (R2/ r) -( r / R2 )

«2 (r ,ф) = Aq—^^ + 2^--)--------~n ( cos пФ + Bn sin пф).

ln(r2/r1 ) n=1 (R2/R^f -(R1/R2)

2 1 1 2

Из краевых условий (2) имеем

u— kincRTR^ta(R/ Rg»+Ao2+П2,^( r0/r'»" •( ¥J+(R,/Rg )n (iir ))

g/ 02 'n—,^‘»"V V 2 )'V4'-°, ^ 2

• (An2 cos пф + Bn2 sin пф) — 0, ф G CE

A да

02 -+ 2 n

(Ro /R1 )n - (R, /R0 )n [] • ( An2 cos пф + Bn2 sin пф) = R0f (ф), ф G E

kR0 ln (Я2 / R,) n—1

Получаем парные сумматорные уравнения

да

Ag +2 (An cos пф + Bn sin пф) — 0 (4)

0 n—1

п—1

да

2 п (i -En)(An cos пф + Bn sin пф) — Rg f (ф), (5)

и—1

An —--------A--- ln (RJ R0) + Am

0 k ln (Я2/ Я,) v 1 o; 02

An — ((R0 / R1 )П V) + (R1 / R0 )n ( 1-+T^ An2 ,

Bn — ^(R0 / R1 )П V 1-ZT) + (R1 / R0 )П V-+TL^ Bn2 ,

2

n / \2n

Ro) ^ +1 R J 1+T

причем En ^ 0 при n ^ да не медленнее, чем 0(п 2) .

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

Методом [1] решение парных сумматорных уравнений можно свести к решению сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков. Обозначим

да

и (y) = A +^ An cos np + Bn sin щ, y e[—п,п] , (6)

n=1

, . du (y) \ г i

F (y) =— =^(-n • An cos np + n • Bn sin np), y e[—п,п], (7)

dy n=1

где и (y) , y e [—п, п], - непрерывная функция, а

F (y )| ye, = O ( q-in ), (8)

q - расстояние от точки y до границы дЕ множества Е .

В силу уравнения (5)

F (y ) = 0, y e CE, (9)

а также

ßk , ,

j F(y)dy, k = 1,2,...,m . (10)

a

k

Добавим сюда еще соотношение

4 + Z(-1)4 = о > (її)

n

n=1

которое получается из (4) при у = п и тогда (9) - (11) заменят уравнение (4). Из (7) с учетом (9) имеем при п е N

An =—— j F (y) sin nydy, (12)

nnE

— j F (y) cos nydy, (13)

ГУ7 *

B =------

n

nnE

а из (11), учитывая (12) и используя известное разложение в ряд Фурье функции g (х) = х/2, x е[_п,п], находим

А =- 2-J F (y) ydy. (14)

In E

Таким образом, все неизвестные коэффициенты выражаются через функцию F (y), y е E , которую и надлежит определить. Функция и (х) выражается непосредственно через F (y):

х

и (х) = j F (y) dy, y е[_п,п],

_п

причем в силу (9), (10) и (х) - непрерывна.

Применив к функции F (y), y е E , преобразование Гильберта для периодических функций

1 П y _ x

(rF)(x)= — _ F(y)ctg>— dy, ln _n l

переводящие cos ny в sin пх, sin ny в cos пх . Из (7) с учетом (9) находим

^0 1 y_х

X (п • An cos пф + п • Bn sin пф) =— j F (y) ctg-------------------------------dy . (15)

n=l 2п e 2

да

Подставляя в уравнение (5) вместо суммы X (п ' Ап cos пф + п • Bn sin пф)

п=1

а в остальных слагаемых левой части (5) заменяя искомые коэффициенты их выражениями через

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

F(у), у є Е ((12)-(14)), убеждаемся, что функция F(у), у є Е , удовлетворяет сингулярному инте-

гральному уравнению

11^ y^dy + -j{^ (y - x) + bi V (y) dy = -f(x), x є E , (16)

n E y - x nJE [ v 2

^ ^ 2

где

w ч 1 X 1 ^

A ( X )= — ctg----> e Sin nx .

W 2 52 x tí n

[1] описывает класс функций, в котором следует искать решение уравнения (16). Сужение функции F (y) на ин-

тервале (ak, ßk ) обозначим Fk (y) , т.е. (y) = F (y)

Г a л. В силУ (8) yG[ak ßk)

Рк(у)= /,д Щ(у) ч» уе(ак»в)» к = 1>->т» (17)

лУСА-- у)(у -ак)

где ик (у), у е [ак, вк ], непрерывные по Гельдеру функции. При этом должны выполняться т дополнительных условий (10).

ßk

и,

(y) dy

. ----------------= 0, к = 1,...,т .

акУ1 (Рк - у )(у -ак )

Характеристическое уравнение для (16) в указанном классе функций при дополнительных условиях (10) однозначно разрешимо.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.