Решение смешанной краевой задачи с внутренними условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.946

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ВНУТРЕННИМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КОЛЬЦЕ

© О. Э. ЯРЕМКО*, А. А. МАЛЫШЕВ**

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

*кафедра математического анализа **кафедра алгебры e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э., Малышев А. А. - Решение смешанной краевой задачи с внутренними условиями сопряжения для уравнения Лапласа в кольце // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 43-45. - В статье, метод парных сумматорных уравнений применяется для решения смешанной краевой задачи с m- внутренними сопряжением для уравнения Лапласа в кольце. Указанная задача приводится к сингулярному интегральному уравнению. Ключевые слова: сумматорные уравнения, смешанная краевая задача, внутренние сопряжение.

Yaremko O.E., Malyshev A. A. - Solution of the mixed boundary value problem with m-inner adjoint for the Laplace equation in the ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im. V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 43-45. - In this paper, the method pair summatory equations applied to solve the mixed boundary value problem with т-inner adjoint for the Laplace equation in the ring. This problem is reduced to a singular integral equation.

Keywords: summatory equations, mixed boundary-value problems, inner adjoint.

Рассмотрим задачу определения решения сепаратной системы уравнений Лапласа в кольце

Ди1 = 0, R¡ < г < Ri_l,ф<е.\§,2п^ = 1,2,..., п,

по краевым условиям

и = 0,^е СЕ

(1)

д

дг 1 lr=R

llr=R = f(p), Pe E , 0

(2)

где

m i \ —

E = U a ,p^), CE = [-n,n\-E, -n<a <e <... <am <Pm <n, f (p), pe E k=1

лт

r=R

= 0

m

(3)

- заданная гладкая функция, и внутренним условиям сопряжения

Решение задачи (1),(2),(3)

U = иы,r = R,

КК = UL, r = Ri, i = \ — ,m -1.

Щ1 = Щ1( Г,Р) , Щ2 = Щ2 (Г,Р) , ■■■Um = Um (Г,Р)

(4)

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

ищется в классе функций, дважды непрерывно дифференцируемых внутри кольца и непрерывных вплоть до его границы. Раскладывая в ряды Фурье и применяя граничное условие (3), получаем следующие представления для неизвестного решения сепаратной системы уравнений (1) в слое с номером m :

/ ч ln (Rm / r) <» (Rm / r) -(r / Rm) , 4

um (r,q>) = Aq w^ in 4 ^ ^ _—{ñ—77------„ ñ (An cosпФ + Bn sinпф).

ln

(Rm/Rm-l) «=1 {Rm/Rm-1) ~{Rm-l/Rm )

Пусть

^ / v Ж 1 / 4

wm 1 = am An r + A 1+У rn (A л cos nm + B л sin nm] + У—(C , cos np + D ,sinnp)

m-1 m-1 0m-1 n=i \ nm-1 r nm-1 W n=i nm-1 ^ nm-1 V

Из условий внутреннего сопряжения (4) на m -1 слое для определения неизвестных коэффициентов

a 1,A i,A ,,B ,, C 1;D ,:

m-1 0m-1 nm-1 nm-1 nm-1 nm-1

получаем систему уравнений:

Ж / \

a 1lnR 1 + An i + У IA , cosnp+B , sin np) + m-1 m-1 0m-1 n=p nm-1 ^ nm-1

ж i \ ж

+ Z(Cnm-1 cos nP+Dnm-1 sin ”p)_ A0 + у (An cos nP + Bnsin np);

1 У n ((An1 cos nV + Bn1 sin nq)) - (Cn1 cos W + Dn1 sin p _

R

m-1 k + k

km-1 m-

(Rt^- У n (R /Rm-1)- +(Rm-1/(An cosnp + Bn sinnp).

Rm-1 ln (Rm / Rm-1 ) n=1 (Rm / R.-1)" - (R-1 / R )'

Ввиду единственности разложения в ряд Фурье, получаем:

km-1 ln (Rm / R

A /P ) ln (Rm-1 / Г ) + A0 + У Í (Г / Rm-1 У ‘ 1 t”"-1 + (R”-1 / Г ^ ^ X (An cos ”P + Bn sin nP) ,

(Rm / Rm-1) n_1V 2 2 У

где

1 1 + (Rm-1 / Rm )

2n

O _

nm-1 ; 9w '

km-11 -(Rm-1/ Rm )

Аналогично, из остальных условий сопряжения (4) находим последовательно компоненты решения ит2,^,и1. В явном виде решения мы не выписываем ввиду громоздкости получающихся выражений. Рассматривая асимптотику решений для больших значений п, получим следующие представления для решения задачи (1)-(4):

Ж I r II km-1 +1

un,i _ aln r + A0 + si — 11

n_1\ R

2k

m-1 y

km-1 + 1 V 2km-1 У

fb + O

v 2k. У

(1 + Sni) (An cos mp + Bn sin nq>)

d ж | r

r—un i _ у n i------

dr n,i n_1 \ R_

km-1 + 1km-1 + 1

2k

m-1 y

V 2km-1

k¡ +1 2k,

(1 + S„,)( a” cos np + Bn sin np)

где sn i _ sn i (r), 8n i _ 8n i (r) известные функции переменного r, для которых выполнены оценки:

К-(r)\-тт> \snj(r)\йтт.

Из краевых условий (2) имеем

Ж I R I / Ч

u1 _a1ln (R0) + A01 +nm у — I (1 + £и1 )x(An cos np + Bn sin np) _ 0,pe CE,

01 n_1VRm ^

(5)

а * (R Т /

г~Тип,1 = а1 + Пт Е п —1- I (1 + ¿1 )х(Ап сое щ + вп вт Пф) = Я0/ (р) ,р<= Е, (6)

¿г п=1 V ^ )

а „ * Д

—ип,1 = а1 +п т Е П 1

аг п=1

здесь обозначено:

, +1

1—г т-1

Пт =П ,=,

V 2£ .

V т-і J

Уравнения (5)-(6) представляют систему парных сумматорных уравнений [1], решение которых, как известно [1], можно свести к решению сингулярного интегрального уравнения:

1 ЇР(у)а ' 1 Г^Л,-х) + Ъу №(у)ау = -Г(х), хє Е,

_! +п |Г ^ (у- х)+^ и (у) ¿у=- г (х),

■Е у - X пЕ [ 4 2

п{ У_X П[ 2

где

\ 1 X 1 ^

К(х)=-с^~-----------^уп sinпх,

2 2 х п=1

последовательность коэффициентов {ук} участвующая в определении функции К (х) однозначно определяется по набору чисел еп1,5п1,i = 1,...,т .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.