Интегральные представления функций гармонических в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.946

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ГАРМОНИЧЕСКИХ В КОЛЬЦЕ

© О. Э. ЯРЕМКО*, Т. В. ЕЛИСЕЕВА**

*Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа **Пензенский государственный университет, кафедра высшей и прикладной математики e-mail: yaremki@yandex.ru

Яремко О. Э., Елисеева Т. В. - Интегральные представления функций гармонических в кольце // Известия

ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 38-42. - В статье получены различные интегральные представления для функции гармонической в кольце. Полученные результаты могут быть применены для решения обратных краевых задач, типа задачи Адамара. Исследование основано на методе операторов преобразования.

Ключевые слова: интегральное представление, обратная краевая задача, оператор преобразования.

Yaremko O. E., Eliseeva T. V. - Integral representation of harmonic functions in a ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im. V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 38-42. - In article the integral representations for harmonic function in a ring are resulted. The received results can be applied to the decision of return boundary problems, type of Hadamard problem. Research is based on a method of transform operators.

Keywords: the integral representations, a return regional problem, transform operator.

В работе И. И. Баврина [1] установлено интегральное представление для функции, аналитической в кольце, по её значениям на внутренней окружности. В настоящей работе предлагается аналогичное интегральное представление для функции гармонической в кольце.

Задача (а): пусть функция u = u (z) гармоническая в кольце {z : R < |z| < l},R < 1, непрерывная в замкнутом кольце {z :R <|z|<l} и пусть на внутренней окружности C(r0) = {д:|^| = ro},R <r0 < 1 заданы значения функций u = u (z) и L0 [u (z)] :

u (roV) = f ^, Lo [u (roV)] = g (v),

здесь

д = roe‘w,Lo [u (r,v)~\ = ru'r (r,v).

Требуется восстановить функцию u = u (z) в кольце {z: R < |z| < l}.

Задача (б): пусть функция u = u (z) гармоническая в кольце {z: R < |z| < l}, непрерывная в замкнутом кольце {z: R < |z| < l} и пусть на двух внутренних окружностях C(rl) = {д: |^| = rl } C(r2 ) = {д : д = r2} r2 < r

чения u (rv) = f (v^ u (r2,v) = f2 (v).

Требуется восстановить функцию u = u (z) в кольце {z: R < |z| < l}.

Лемма 1. Для функции w = F(z), голоморфной в кольце {z: R < |z| < l} справедлива формула:

F (z) = П i' e~l:,,(;(6;) +l]F (g) +2П i' e"k,exp (6g ]F (1)

здесь z = re,,p, д = roe'v.

В приведенной формуле функция ^ = ¥(г) восстанавливается в кольце {- : Я < |-| < 1} по ее значениям на внутренней окружности {д: |^| = г0}.

Доказательство. Воспользуемся формулой из [1]:

¥ (- )=Г,(«р )д -(=7) 7 )¥ (д) “7“=

Установим равенство:

Jo”e~‘J expУ (д)^ds = е~у |-gexp^(д)^-ds. Для этого обозначим: Jq exp^s —|f(д) — = Ф(г) , тогда J^ exp^s —|f(д)— = Ф1 (s),

и, следовательно,

Jo” e~l(, {Zexp (sZ ]]F (g) dggds=J0е"Ф'(s) ds=-L)F (g) 7+f e-sJc(ro)exp (sf У(g) ~ds.

•>0 ' •'Ч'О ) ' ' 7 •'О ^ С (Г)) ( д

Лемма 2. Если функция и = и (-) = и (г,у) удовлетворяет условию:

14 [и ](г у) “у=0 (2)

и если функция V (г,р) определена равенством:

у(г,р) = :г- [Г^А) [и](г,Р + у)“у , (3)

2П0

то пара функций и,V является парой сопряженных гармонических функций в кольце {-: Я < |-| < 1}, т.е. удовлетворяет системе уравнений Коши- Римана: ги[ = vp, г^г = -и^.

Доказательство. Проверяем первое из уравнений:

^(г^ =2п[0Пу( А[и ]( г,р+у^р у =~п\ъУ( А[и ](Г,^+У))у “у = = 2п (у (А0 [и](Г,Р + у))10П -14 [и](Г,Р + у)“у) = А0 [и](гр

Здесь мы учли, что

ГА0 [и ]( г ,р + у)“у = [ + А0 [и](г,у)“у = [ Ь0 [и](г,у)“у = 0.

Проверим второе уравнение:

гуГ (r, р )=-1 С у А0 А0 [и ](r, р+у) “у.

2П0

Так как функция и (г, р) - гармоническая, то А0А0 [и ] + и 1р = 0 и, поэтому,

(r, р) = -^ [02пуи (r, р+у) “у=--1 Суиу(r, р+у) “у = -иу(r, р+2п)+тт-и (r, р+у)| Г = -и^( г р).

2П0 2П0 2п 0

Следствие 1. Пусть функция V (г,р) определенна равенством (3), тогда функция ¥ (г,р) = и (г,р) + /V (г,р), является аналитической в кольце {- : Я < |-| < 1}, причем

¥ (г0, р) = у (р)+/к (р) , к (р) = [2п у я (р+у) “у.

2П0

При этом выполнено равенство: к (р) = я (р).

Приступим к решению задачи (а).

Теорема 1. Пусть функция и = и (г) , гармоническая в кольце {г : Я < |г| < 1}, непрерывная в замкнутом кольце {г: Я < |г| < 1}, тогда решение задачи (а) находится по формуле:

'(z )=Пч:)L [“— f'1п r+П e"L)Re (exp (s-)+exp И)-l)u (— fds+

(

1 Г«

2П о

+---І e

2n0

(

Re

exp I eZ I - exp І є-

r2* V V -) V z

10 є

(4)

L0 0 (-)] —

dє.

V )

Доказательство. Перепишем формулу (1) в полярной системе координат:

F (z )=е_єі"о2п[-exp (є-]+^ w) ‘у‘є + ¿Г e^fexp (є—У (у)—‘^‘є +

+¿ґ е-єго!п[-exp (є- ]+^ w)) ‘у‘є+2Пго° e~iexp (є— )оа (^))-‘^‘є

(5)

^ V

Интегрирование по частям в третьем и четвертом слагаемых, элементарные преобразования в первых двух слагаемых, приводит формулу (5) к виду:

F ( Z ) = exp [SZ )У ^ dWde+ ¿Д” exp (*7 )- ^ ^ dWde-

._L r2n

2n0

f2^ (уУ‘¥+e

exp І є— I -1

-g(w)dw

dє —— Г e 2n0

exp І є- I-1

f-------- , g (w) dw

dє.

Переходя к действительным частям и выполняя элементарные преобразования, получим:

(. 1 (»да |»2п

z) =— Г e^f Re > 2П о J0

exp(є—j + exp(є- ) -1

1 !•«

0

+---1 e

2n0

Re

f"

J0

f ( z) (

exp І є -I- exp | є —

s

f(w)dwdє-

(6)

g(w)dw

d .

V /

Избавимся от ограничений (2). Для этого от гармонической в кольце функции и = и (г) перейдем к функции

и (г)-2-Г* И йУ1п -

2П0 г0

также гармонической в рассматриваемом кольце и удовлетворяющей условию (2). В результате из формулы (6) с учетом равенств:

1 Г2п

2п

получаем доказываемую формулу (4).

Следствие. Если г0 = 1, то формула (4) дает решение так называемой задачи Адамара [2].

Приступим к решению задачи (б).

Решение задачи опирается на формулу из работы [1]:

Кr> > р) = f (р)> ru'r(r» р) = g(р)-t"-f2”"g(w)dW

(7)

p(z) = ¿f0"^гоf02n(2Re exp(є re'(p-w))J - ")p(r0e‘w)dwdє ,

(8)

f

ь

0

8

u

которая восстанавливает функцию р = р (г), гармоническую в единичном круге, по ее значениям на внутренней окружности {д: |^| = г0}.

Г 2

Будем считать в дальнейшем, что — < 1. Как известно [3], функцию и = и(г) , гармоническую в кольце

К

{г : К < |г| < 1} можно представить в виде:

и (г,р) = V (г,р) + ^ —,р| + а0 + а11п —, (9)

здесь V(г,р),м?(г,р)- некоторые функции, гармонические в круге {г : |г| < 1}, а0,а1, числа подлежащие определению. Не уменьшая общности, можно считать выполненными условия:

| V (т,рр!р = 0, | V (т,рр!р = 0. (10)

Из формулировки задачи (б) следует выполнение условий:

v (г-,р) + Ц г-,р) + а0 = /— (р)

,2

V(Гі,^) + ^1 1 + а0 + аі 1п= fl (ф)

Из соотношений (10) следует, что

2п0

В итоге задача (11) принимает вид:

.17/1 (фУф-Цж А (фУф

2л

1п г2 - 1п г1

V ( Г2,ф)+ ™( Г2,ф) = /02 (ф)

’( Г1,ф) + 1

( г2 ^

2

Г1-1Т>Ф

V Г1 У

= /01 (ф),

здесь

/02 (ф) = /2 (ф) - О» /12 (ф) = /1 (ф)- а0 - а1 1ПГ2.

'’(Г,ф) + 1

( г2 ^

гГ2,ф V Г1 У

Из формулы (8) следует, что

v (г,р) + м>( г,р) = —-£” еТеГг г- |0-П(-Reexp (егеР)')~ \)А0- (у) йуйе,

-п1о” 1Т(-ReeXP (с™'^)- 1)/01 (у)

Из двух полученных равенств находим неизвестные функции V (г,р), V (г,р):

М>(Г,Р) = —П^0”Ф(еГ-’к)Г-ЮГ(-ReexP(еге'(Р~У))- 1)/0— (У)¿уёе-

- ^—П/0”Ф(еГ1’к) Г!<Г(—ЯеехР (еге'(рму))-1)/0! (у) йУйе.

V (Г,Р)= —П^0”Ф(Srl, к ) Г' ^0—П( —'ЯееХР (БГе' ^)- 1)/0! (у) Уёе-

- —~1оФ(еГ12 1 г—, к ) Г1— 1 г— ГП(—■ЯееХР (еге'(р-у>)- 1)/0— (у) dУds,

где

2

к =

да

,ф = ф(є,к) = ^ехр(-єк)к .

(11)

1=0

Г

V г2 У

Подставив выражения для функций V(г,р),м>(г,р) в формулу (9) после группировки слагаемых и переходя к декартовым координатам, получим формулу:

(

и (г ) =1 Г фГ Re

(д)——є + - Г“фГ Re

ід П0 (г2)

ехр І є — j - ехр | є 2

( є —\[кj и (д)——є +

+± ( и(д)д

2пС(1) К ’ід

dд 1п г2/ г 1

—д 1п г / г1

'д 1п г—/ г1 — Пс(г—) 'д 1п г—/ г1

Замена функций /01 (у),/0— (у) на функции / (у),/— (у) не приводит к изменению правой части и позволяет избавиться от ограничений (9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин И. И. Обратная задача для интегральной формулы Коши в кольце // Доклады РАН. 2009. Т. 428. № 2. С. 151-152.

2. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.